Chapitres Maths en Terminale Générale

Limites de fonctions en Terminale

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Résumé de cours Exercices et corrigés

Cours en ligne de Maths en Terminale

Révisez votre chapitre de maths sur les limites de fonction au programme de maths en Terminale. La terminale est la dernière ligne droite avant le bac, il est ainsi primordial de préparer cet examen dès les premier jours de cours. Pour maximiser leurs résultats et leurs chances de réussite, les élèves peuvent suivre pendant les vacances, un stage de préparation au bac ou des cours de maths à domicile.

Cours en ligne sur les limites de fonctions en classe de Terminale

1. Connaître la définition d’une limite en $\pm \infty$

1.1. Limite d’une fonction en $+\infty$

Dans ce paragraphe, on suppose que la fonction $f$ est définie sur un ensemble $\mathcal{D}$ et qu’il existe $a \in \mathbb{R}$ tel que $[a , + \infty[ \, \subset \mathcal{D}$ . On note $\Gamma$ son graphe.

$\bullet$ Def1 : Soit $\ell \in \mathbb{R}$ , la fonction $f$ admet $\ell$ pour limite en $+\infty$ si elle vérifie l’une des deux conditions équivalentes suivantes :
$\ast$ tout intervalle ouvert $]\alpha , \beta [$ conte- nant $\ell$ contient toutes les valeurs $f(x)$ pour $x$ assez grand, ce qui veut dire qu’il existe $B \geqslant a$ tel que si $x \geqslant B$ , $f(x) \in \; ]\alpha , \beta[$
$\ast$ pour tout $\varepsilon > 0$ , il existe $B \geqslant a$ tel que si $x \geqslant B$ , $f(x) \in \; ] \ell - \varepsilon , \ell + \varepsilon[\,$ .
On écrit alors
$\quad \displaystyle \lim_{x \to + \infty} f(x) = \ell$ ou $f(x) \xrightarrow[x \to +\infty]{} {\ell}$ .

$\bullet$ Def2 : La fonction $f$ admet $+\infty$ pour limite en $+\infty$ si elle vérifie l’une des deux conditions équivalentes suivantes
$\ast$ pour tout $A \in \mathbb{R } ^+$ , l’intervalle $[A , \, + \infty[$ contient toutes les valeurs $f(x)$ pour $x$ assez grand
$\ast$ pour tout $A \geqslant 0$ , il existe $B \geqslant a$ tel que si $x \geqslant B$ , $f(x) \geqslant A$ .
On écrit alors
$\displaystyle \lim_{x \to + \infty} f(x) = + \infty$ ou $f(x) \xrightarrow[x \to - \infty]{} {+\infty}$

$\bullet$ Def3 : La fonction $f$ admet $-\infty$ pour limite en $+\infty$ si pour tout $A \in \mathbb{R }^+$ , l’intervalle $] - \infty , \, -A]$ contient toutes les valeurs $f(x)$ pour $x$ assez grand.
On écrit alors
$\displaystyle \lim_{x \to + \infty} f(x) = - \infty$ ou $f(x) \xrightarrow[x \to +\infty]{} {-\infty}$

1.2. Limite d’une fonction en $-\infty$

Dans ce paragraphe, on suppose que la fonction $f$ est définie sur un ensemble $\mathcal{D}$ et qu’il existe $a \in \mathbb{R}$ tel que $\qquad \qquad ] - \infty, \, a] \subset \mathcal{D}$ .
On note $\Gamma$ son graphe.

$\bullet$ Def1 : Soit $\ell \in \mathbb{R}$ , la fonction $f$ admet $\ell$ pour limite en $-\infty$ si elle vérifie l’une des conditions équivalentes suivantes
$\ast$ tout intervalle ouvert $]\alpha , \beta [$ contenant $\ell$ contient toutes les valeurs $f(x)$ pour $x$ négatif assez grand en valeur absolue
$\ast$ pour tout $\varepsilon > 0$ , il existe $B \leqslant a$ tel que si $x \leqslant B$ , $f(x) \in \; ] \ell - \varepsilon , \,\ell + \varepsilon[$
On écrit alors
$\quad \displaystyle \lim_{x \to + \infty} f(x) = \ell$ ou $f(x) \xrightarrow[x \to +\infty]{} {\ell}$ .

$\bullet$ Def2 : La fonction $f$ admet $+\infty$ pour limite en $-\infty$ si elle vérifie l’une des deux conditions équivalentes suivantes
$\ast$ pour tout $A \in \mathbb{R } ^+$ , l’intervalle $[A , \, + \infty[$ contient toutes les valeurs $f(x)$ pour $x$ négatif, assez grand en valeur absolue
$\ast$ pour tout $A \geqslant 0$ , il existe $B \leqslant a$ tel que si $x \leqslant B$ , $f(x) \geqslant A$ .
On écrit alors
$\displaystyle \lim_{x \to - \infty} f(x) = + \infty$ ou $f(x) \xrightarrow[x \to -\infty]{} {+\infty}$ .

$\bullet$ Def3 : La fonction $f$ admet $-\infty$ pour limite en $-\infty$ si pour tout $A \in \mathbb{R }^+$ , il existe $B \leqslant a$ tel que si $x \leqslant B$ , $f(x) \leqslant - A$ .
On écrit alors
$\displaystyle \lim_{x \to - \infty} f(x) = - \infty$ ou $f(x) \xrightarrow[x \to -\infty]{} {+\infty}$ .

1.3. Les limites de référence

$\bullet$ Pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ , $\displaystyle \lim_{x\to + \infty} x^n = + \infty$
$\displaystyle \displaystyle \lim _{x \to -\infty} x^n = \left \{ \begin{matrix} + \infty & \textrm{si} & n \textrm{ est pair} \\ - \infty & \textrm{si}& n \textrm{ est impair} \end{matrix} \right.$

$\bullet$ $\displaystyle \lim_{x \to + \infty} \frac 1 x = 0$ et $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \frac 1 x = 0$

$\bullet$ $\displaystyle \lim_{x \to + \infty} \sqrt{x} = + \infty$

$\bullet$ $\displaystyle \lim_{x \to + \infty} \textrm{e} ^x = + \infty$ et $\displaystyle \lim_{x \to - \infty} \textrm{e} ^x = 0$ .

Vous avez déjà étudié la fonction exponentielle l’an dernier dans le programme de première en maths. Cette année, vous verrez la fonction logarithme avec d’autres limites de référence à connaitre.

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2. Connaître la définition d’une limite en $a$ d’une fonction

2.1. Limite à droite en $a$ d’une fonction

On suppose dans cette partie que $f$ est définie sur un ensemble contenant un intervalle de la forme $]a , a + r]$ avec $r > 0$ .

$\bullet$ On dit que $f$ admet $+\infty$ pour limite à droite en $a$ lorsque pour tout $A > 0$ , l’intervalle $[A , + \infty[$ contient tous les $f(x)$ lorsque $x$ est proche de $a$ et dans $]a , \, a + r]$ .
On écrit $\displaystyle \lim _ {x \to a ^{+} } f(x) = + \infty$ .

$\bullet$ On dit que $f$ admet $-\infty$ pour limite à droite en $a$ lorsque pour tout $A > 0$ , l’intervalle $] - \infty, - A]$ contient tous les $f(x)$ lorsque $x$ est proche de $a$ et supérieur à $a$ .
On écrit $\displaystyle \lim _ {x \to a ^{+} } f(x) = - \infty$ .

$\bullet$ Soit $\ell \in \mathbb{R}$ , on dit que $f$ admet $\ell$ pour limite à droite en $a$ lorsque tout intervalle de la forme $]\ell - \varepsilon , \ell + \varepsilon[$ contient tous les $f(x)$ pour $x$ assez proche de $a$ et supérieur à $a$ .
On écrit $\displaystyle \lim_{x \to a^+} f(x) = \ell$ .

2.2. Limite à gauche en $a$ d’une fonction

On suppose dans cette partie que $f$ est définie sur un ensemble contenant un intervalle de la forme $[a - r , a[$ avec $r > 0$ .

On définit comme ci-dessus
$\ast$ $\displaystyle \lim _ {x \to a ^{-} } f(x) = + \infty$
$\ast$ $\displaystyle \lim _ {x \to a ^{-} } f(x) = - \infty$
$\ast$ $\displaystyle \lim _ {x \to a ^{-} } f(x) = \ell$ .
en remplaçant « $x$ assez proche de $a$ et supérieur à $a$ » par « $x$ assez proche de $a$ et inférieur à $a$ « .

2.3. Limite en $a$ d’une fonction

Si $f$ est définie au moins sur $[a - r , a[ \;\cup\; ]a ,a + r]$ et si les limites de $f$ à droite et à gauche en $a$ sont égales à $L$ , on dit que $f$ admet une limite en $a$ et on écrit $\displaystyle \lim_{x \to a} f(x) = L$ .

Lorsque $f$ admet une limite (à droite ou à gauche) infinie en $a$ , on dit que la droite d’équation $x = a$ est asymptote à la courbe .

Les limites de référence à apprendre par coeur (en début d’année)
$\displaystyle \lim_{x\to 0^{+}} \frac 1 x = + \infty$ , $\displaystyle \lim_{x\to 0^{-}} \frac 1 x = -\infty$
$\displaystyle \lim_{x\to 0^{+}} \frac 1 {\sqrt{x}} = + \infty$ .

3. Opérations sur les limites

On suppose que les fonctions $f$ et $g$ sont définies sur le même ensemble $\mathcal{D}$
Les limites considérées dans la suite sont prises en $a$ où $a$ représente :
$+ \infty$ , $- \infty$ , $b ^{+}$ , $b ^{ - }$ , $b$ si $b \in\mathbb{R}$ .

On note $\displaystyle \lim_{x \to b} f(x) = L$ et $\displaystyle \lim_{x \to b} g(x) = L'$ ( $L$ et $L'$ finies ou infinies)

3.1. Fonction $-f$ et limites

$\displaystyle \lim_{x \to b } (- f(x) ) = \left \{ \begin{matrix} - L &\textrm{si}& L \in \mathbb{R}\\ - \infty &\textrm{si}& L = + \infty \\ + \infty &\textrm{si}& L = - \infty \end{matrix} \right.$

3.2. Somme de limites de fonctions

$\displaystyle \lim_{x \to b } (f(x) + g(x)) =$
$\left \{ \begin{matrix} L + L' &\textrm{si}& L, L' \in \mathbb{R}\\ + \infty &\textrm{si}& L = + \infty \textrm{ et } L' \neq - \infty \\ - \infty &\textrm{si}& L = - \infty \textrm{ et } L' \neq + \infty \end{matrix} \right.$

Si $\displaystyle \lim_{x \to b} f(x) = + \infty$ et $\displaystyle \lim_{x \to b} g(x) = - \infty$ ,
on dit que l’on a une forme indéterminée $\boxed{\infty - \infty}$ .

3.3. Produit de limites de fonctions

$\displaystyle \lim_{x \to b } (f(x) \times g(x)) =$
$\left \{ \begin{matrix} L \times L' &\textrm{si}& L, L' \in \mathbb{R}\\ + \infty &\textrm{si}& L > 0 \textrm{ et } L' = + \infty\\ - \infty &\textrm{si}& L < 0 \textrm{ et } L' = + \infty \\ - \infty &\textrm{si}& L > 0 \textrm{ et } L' = - \infty \\ + \infty &\textrm{si}& L < 0 \textrm{ et } L' = - \infty \\ \end{matrix} \right.$

Si $\displaystyle \lim_{x \to b} f(x) = 0$ et $\displaystyle \lim_{x \to b} g(x) = \pm \infty$ ,
on dit que l’on a une forme indéterminée $\boxed{ 0 \times \infty}$ .

3.4. Inverse et limite d’une fonction

$\bullet$ Si $f$ admet en $b$ une limite infinie ou une limite finie et non nulle, on peut définir $\displaystyle \frac 1 {f(x)}$ pour $x$ proche de $b$ .

$\displaystyle \lim_{x \to b } \displaystyle \frac 1 {f(x)} = \left \{ \begin{matrix} 1/L &\textrm{si}& L \in \mathbb{R}^*\\ 0 &\textrm{si}& L = \pm \infty \end{matrix} \right.$

$\bullet$ Si $f$ admet en $b$ une limite $L = 0$
$\ast$ et si pour $x$ proche de $b$ , $f(x) > 0$ , $\displaystyle \lim_{x\to b} \frac 1 {f(x)} = + \infty$ .

$\ast$ et si pour $x$ proche de $b$ , $f(x) < 0$ , $\displaystyle \lim_{x \to b} \frac 1 {f(x)} = - \infty$ .

3.5. Quotient et limites de fonctions

Pour trouver la limite de $\displaystyle \frac f g$ , on cherche avec 3.4., la limite de $\displaystyle \frac 1 g$ et on utilise la limite du produit.
On saura résoudre sauf si
$\ast$ $\displaystyle \lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} g(x) = 0$ , on dit que l’on a la forme indéterminée $\boxed{\displaystyle \frac 0 0}$ .

$\ast$ $\displaystyle \lim_{x \to a} f(x) = \pm \infty,\, \lim_{x \to a} g(x) = \pm \infty$ , on dit que l’on a la forme indéterminée $\boxed{\displaystyle \frac {\infty} {\infty} }$ .

3.6. Composition et limites de fonctions

On suppose que $a, b , c$ sont réels ou égaux à $\pm \infty$ .
Soient $f$ et $g$ deux fonctions telles que la composée $g \circ f$ soit définie au voisinage de $a$ .

Si $\displaystyle \lim_{x \to a } f(x) = b$ et $\displaystyle \lim_{y \to b } g(y) = c$ ,
alors $\displaystyle \lim _{x \to a} g(f(x)) = c$ .

Application au changement de variable :
sous réserve d’existence des limites,
$\bullet$ En utilisant la fonction $\displaystyle g : t \mapsto \frac 1 t$
$\ast$ $\displaystyle \lim _{x \to + \infty} f(x) = \lim_{t \to 0 ^+ } f\left (\frac 1 t \right )$
$\ast$ $\displaystyle \lim_ {x \to - \infty} f(x) = \lim_{t \to 0 ^{-} } f\left (\frac 1 t \right )$ .

$\bullet$ En utilisant la fonction $\displaystyle g : t \mapsto t + a$
$\displaystyle \lim_ {x \to a} f(x) = \lim_{t \to 0 } f\left (t + a \right)$ .

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4. Utilisation d’inégalités et limites en terminale

4.1. Comparaison et limites de fonctions en terminale

$\bullet$ F1 Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies sur $[a , + \infty[$ .
On suppose que $\displaystyle \lim_{x \to + \infty} g(x) = + \infty$ et
pour $x \geqslant A \geqslant a$ , $f(x) \geqslant g(x)$ , alors $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x) = + \infty$ .

$\bullet$ F1B Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies sur $] - \infty , a]$ .
On suppose que $\displaystyle \lim_{x \to - \infty} g(x) = + \infty$ et
pour $x \leqslant A \leqslant a$ , $f(x) \geqslant g(x)$ , alors $\displaystyle \lim_{x \to - \infty} f(x) = + \infty$ .

$\bullet$ F1T Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies dans un même voisinage de $b$
On suppose que $\displaystyle \lim_{x \to b} g(x) = + \infty$ et
pour $x$ proche de $b$ , $f(x) \geqslant g(x)$ , alors $\displaystyle \lim_{x \to b} f(x) = + \infty$ .

En raisonnant avec $-f$ et $-g$ , on obtient les résultats qui suivent :

$\bullet$ F2 Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies sur $[a , + \infty[$ .
On suppose que $\displaystyle \lim_{x \to + \infty} g(x) = - \infty$ et
pour $x \geqslant A \geqslant a$ , $f(x) \leqslant g(x)$ , alors $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x) = - \infty$ .

$\bullet$ F2B Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies sur $] - \infty , a]$ .
On suppose que $\displaystyle \lim_{x \to - \infty} g(x) = + \infty$ et
pour $x \leqslant A \leqslant a$ , $f(x) \leqslant g(x)$ , alors $\displaystyle \lim_{x \to - \infty} f(x) = - \infty$ .

$\bullet$ F2T Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies dans un même voisinage de $b$
On suppose que $\displaystyle \lim_{x \to b} g(x) = - \infty$ et
pour $x$ proche de $b$ , $f(x) \leqslant g(x)$ , alors $\displaystyle \lim_{x \to b} f(x) = - \infty$ .

4.2. Limite par encadrement

C’est le théorème appelé « théorème des gendarmes » par le programme de terminale.
Estimant que les gendarmes ont mieux à faire que de servir de moyen mnémotechnique, j’utiliserai le terme de théorème d’encadrement.

Théorème d’encadrement (ou théorème des gendarmes)

Soit $\ell \in \mathbb{R}$ .
Soient $f, g, h$ trois fonctions définies sur un intervalle de la forme $[A , + \infty[$ et vérifiant
pour tout $x \geqslant A$ , $f(x) \leqslant g(x) \leqslant h(x)$ .
Si $\displaystyle \lim_{x \to + \infty} f(x) = \lim_{x \to + \infty} h(x) = \ell$ , alors $\displaystyle \lim_{x \to + \infty} g(x) = \ell$ .

5. Des limites avec la fonction exponentielle

5.1. Des limites au programme de terminale

$\bullet$ $\displaystyle \lim _ {x \to + \infty} \textrm{e} ^x = + \infty$ et $\displaystyle \lim_{x \to - \infty} \textrm{e} ^{ - x} = 0$

$\bullet$ Croissance comparée
Soit $n \in \mathbb{N}^*$ , $\displaystyle \lim_{x \to + \infty} \frac {\textrm{e} ^x} {x ^n} = + \infty$ ce qui s’écrit aussi $\displaystyle \lim_{x \to + \infty} x^n \, \textrm{e} ^{- x} = 0$

$\bullet$ Conséquence : $\displaystyle \lim_{x \to + \infty} \frac {\textrm{e} ^x} {\sqrt{x} } = + \infty$ .

6. Quelques méthodes pour lever des indéterminations

$\bullet$ M1 : Pour trouver la limite d’une fonction polynôme en $\pm \infty$ , factoriser le terme de plus haut degré.

$\bullet$ M2 : Pour trouver la limite en $\pm \infty$ d’un quotient de fonctions polynômes , factoriser au numérateur et au dénominateur le terme de plus haut degré.

$\bullet$ M3 : En présence de racines carrées, on peut envisager de multiplier et diviser par la quantité conjuguée.

$\bullet$ M4 : Pour une forme indéterminée avec une exponentielle et un polynôme, chercher à utiliser les résultats sur les croissances comparées.

$\bullet$ M5 : Pour une forme indéterminée de la forme $\displaystyle \frac 0 0$ en $a \in \mathbb{R}$ pour un quotient de deux fonctions polynômes $P$ et $Q$ , factoriser $(x - a)$ dans les deux fonctions polynômes

$\bullet$ M6 Reconnaître des taux d’accroissements de fonctions dérivables :
$\ast$ $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac {\sin(x)} x = 1$
$\ast$ $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac {\textrm{e} ^x - 1 } x = 1$

Ce chapitre servira également au moment d’effectuer des calculs de limites de suites en terminale. Complétez vos révisions en consultant et en vous entraînant sur l’ensemble des annales de maths de Terminale mais aussi avec les cours en ligne de maths au programme de Terminale, comme les chapitres suivants :

Pour des révisions encore plus efficaces et obtenir les meilleurs résultats au bac, n’hésitez pas à prendre des cours particuliers de maths ou effectuer un stage de révisions pendant les vacances.