Chapitres Maths en Terminale Générale

Cours sur la fonction polynome en Terminale Générale

A. Généralités sur la fonction polynome en Terminale

$\bullet$ On dit que $f$ est une fonction polynôme à coefficients réels lorsqu’il existe un entier $n$ et des réels $a_0 \,,\, a_1$ $\, , \cdots \,,\, a_n$ tels que pour tout réel $x$ ,

$f(x) = a_n \, x ^n + a_{n - 1}\, x ^{n - 1} + \cdots$ $\qquad \qquad \qquad \qquad + \, a_2\, x^2 + a_1 \, x + a_0$ .

Si de plus $a_n \neq 0$ , on dit que $f$ est une fonction polynôme de degré $n$ .

Pour tout réel $x$ , $f(x) \in \mathbb{R}$ .

On écrit aussi $\displaystyle f(x) = \sum _{k = 0} ^n a_k \, x ^k$ .

On peut aussi dire que $f$ est un polynôme.

$\bullet$ La fonction polynome

$x \mapsto a_n \, x ^n + a_{n - 1}\, x ^{n - 1} + \cdots$ $\qquad \qquad \qquad \qquad +\, a_2 \, x^2 + a_1 \, x + a_0$
est la fonction nulle ssi $\quad a_0 = a_1 = \cdots = a_{n - 1} = a_n = 0$ .

$\bullet$ Si $f$ et $g$ sont des fonctions polynômes, $f + g$ et $f - g$ sont des fonction polynômes.

On peut en effet trouver $n \in \mathbb{N }$ et des réels $(a_k)_{0\leqslant k \leqslant n}$ et $(b_k)_{0\leqslant k \leqslant n}$ tels que
$f : x \mapsto a_n \, x ^n + \cdots + a_1 \, x + a_0$ et $g : x \mapsto b_n \, x ^n + \cdots + b_1 \, x + b_0$

et alors

$f + g : x \mapsto (a_n + b_n) \, x ^n + \cdots$ $\qquad\qquad \qquad + \,(a_1 + b_1) \, x + a_0 + b_0$
$f - g : x \mapsto (a_n - b_n) \, x ^n + \cdots$ $\qquad\qquad \qquad+\, (a_1 - b_1) \, x + a_0 - b_0$

avec les notations précédentes

$f = g$ ssi $a_n = b_n \,,\, a_{n - 1} = b _ {n -1} \,, \, \cdots\, , \, a_1 = b_1$ et $a_0 = b_0\,$ .

$\bullet$ Si $f$ est une fonction polynôme à coefficients réels et $\lambda \in \mathbb{R}$ , $\lambda \, f$ est une fonction polynome de même degré que $f$ si $f \neq 0$ et $\lambda \neq 0$ .

$\bullet$ Si $f$ et $g$ sont deux fonctions polynômes de degrés respectifs $n$ et $p$ , $f \, g$ est une fonction polynôme de degré $n + p$ .

N’hésitez pas retrouver nos profs de maths sur notre plateforme en cas de besoin sur le chapitre des polynômes.

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B. Équations polynomiales particulières en Terminale

1. Équation du second degré à coefficients réels

Soit $P(x) = a \, x^2 + b \, x + c$
une fonction polynome du second degré à coefficients réels

Lorsque $\Delta = b ^2 - 4 \, a \, c < 0$ , on peut écrire $\Delta = \left ( \textrm{i} \, \sqrt{4 \, a\, c - b ^2 } \right) ^2$

L’équation $P(x) = 0$ admet deux racines complexes conjuguées :

$\qquad \displaystyle z_1 = \frac { - b - \textrm{i} \, \sqrt{4 \,a \, c - b ^2 }} {2 \, a}$

$\qquad \displaystyle z_2 = \frac { - b + \textrm{i} \, \sqrt{4 \, a\, c - b ^2 }} {2 \, a}$ .

Somme et produit :

$\displaystyle z_1 + z_2 = \frac {-b} a$ et $\displaystyle z_1 \times z_2 = \frac {c} a$ .

Si $\Delta < 0$ , vous pouvez écrire $\Delta = \delta^2$ avec $\delta = \textrm{i} \, \sqrt{4 \, \, c - b ^2 }$ et écrire les racines sous la forme $\displaystyle \frac {- b \pm \delta } {2 \, a}$ .

2. Factorisation de $z^n - a^n$

Pour $a$ et $z$ réels ou complexes et $n \in \mathbb{N}^*$

$z^n - a^n =$ $(z - a) \left ( z ^{n - 1} + a \, z^{n -2} + \cdots \right.$ $\left.\qquad \qquad \qquad \qquad + \, a ^{n - 2} \, z + a ^{n - 1} \right )$

Soit $z^n - a^n = (z - a) \, \displaystyle \sum _ {k = 0}^{n - 1} a^{n - 1 - k} \, z ^k$ .

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C. Racines d’une fonction polynome en Terminale

1. Résultats généraux des racines d’une fonction polynome

$\bullet$ Th1 : Soit $a \in \mathbb{R}$ et $P$ une fonction polynôme à coefficients réels.

Il existe une fonction polynôme $Q$ à coefficients réels telle que $P(x) = (x - a) \, Q(x)$ ssi $P(a) = 0$ .

On dit que $a$ est racine de la fonction polynome $P$ .

$\bullet$ Th2 : $\bullet$ Soit $P$ une fonction polynôme et $x_1 \,, \, x _ 2\, ,\, \cdots\, , \,x_n\,$ des racines distinctes de $P$ .

Il existe une fonction polynôme $Q$ telle que pour tout réel $x$ ,

$P(x) = (x - x_1) \, \cdots \, (x - x_n) \, Q(x)$ .

$\bullet$ Th3 : Une fonction polynome $P$ de degré $n$ admet au plus $n$ racines distinctes réelles.

2. Cas d’une fonction polynôme de degré 3

Soit $P : x \mapsto a\, x^3 + b \, x ^2 + c \, x + d$ une fonction polynome à coefficients réels de degré 3 et $t \in \mathbb{R}$ tel que $P(t) = 0$ .

Il existe des réels $e$ et $f$ tels que

$P(x) = (x - t) (a \, x ^2 + e\, x + f)$

avec $\left \{ \begin{matrix} e &= &a\, t + b \\ f &=& a \, t ^2 + b \, t + c \end{matrix} \right.$

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2. Factorisation de $z^n - a^n$

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