Chapitres Maths en Terminale Générale
Primitives et les équations différentielles en terminale
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Cours en ligne de maths en Terminale
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1.Equations différentielles
Soit
. On appelle équation différentielle d’ordre
toute équation
dont l’inconnue est une fonction
de la variable
exprimant
en fonction de
et éventuellement de
.
Résoudre une équation différentielle d’ordre sur un intervalle
, c’est chercher l’ensemble des fonctions
fois dérivables sur
et vérifiant cette équation en tout point
.
- Exemple :
Il existe de nombreux types d’équations différentielles et on ne sait pas toutes les résoudre.
équation linéaire du premier ordre :
- Exemple :
,
,
etc …
équation linéaire du second ordre :
- Exemple :
,
,
que l’on peut écrire sur
sous la forme
.
équation non linéaire du premier ordre :
- Exemple :
,
.
En Première, vous avez résolu l’équation différentielle en apprenant que les fonctions vérifiant pour tout réel
,
sont les fonctions
où
.
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2. Primitives
- Définition d’une primitive :
Soit est une fonction définie sur un intervalle
.
On appelle primitive de sur
toute solution
de l’équation
.
est une primitive de
sur
ssi
est dérivable sur
et pour tout
.
On se place toujours sur un intervalle pour parler d’une primitive d’une fonction.
3. Calcul primitive
- Opérations sur les primitives :
Dans le tableau suivant on se place sur un intervalle ,
et
- Primitives des fonctions usuelles :
Soit
.
Primitives de sur
Soit
.
Primitives de sur
Soit
,
Primitives de sur
ou
4. Equations différentielles 
Équation homogène où
.
Théorème : Les solutions de l’équation différentielle où
sont les fonctions
où
.
Démonstration :
Soit
.
est dérivable sur
et pour tout réel
,
, donc
est solution de l’équation
.
Soit
une fonction dérivable solution de l’équation différentielle.
On note .
est dérivable sur
et vérifie pour tout réel
,
.
Pour tout réel ,
, donc
, alors
est une fonction constante égale à
sur
Pour tout ,
donne
.
Toute solution est de la forme où
.
Propriété : Soit , il existe une unique solution
de
telle que
.
5.Méthode d’Euler
Principe de la méthode d’Euler :
Soit une fonction dérivable sur
, d’après l’approximation affine, pour un pas
petit :
si ,
Si vérifie une équation différentielle d’ordre
, on peut remplacer
par une expression en fonction de
et
er donc obtenir une approximation de
en fonction de
et
Si l’on connaît une condition initiale , en utilisant l’approxima- tion affine de façon itérative, on peut déterminer des valeurs approchées de
pour
.
il se peut que l’approximation ne soit pas bonne quand on s’éloigne trop de
.
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