Chapitres Maths en Terminale Générale
Limites de fonction exercices et corrigés Terminale
Résumé de cours Exercices et corrigés
Cours en ligne de Maths en Terminale
Préparez vos révisions en vous exerçant sur nos exercices de mathématiques sur le chapitre des limites de fonction en Terminale. N’hésitez pas à compléter avec les annales de bac en Terminale en maths pour asseoir durablement vos connaissances. Ce chapitre est très important pour la suite de l’année car dans toute étude de fonction exponentielle ou encore de fonction logarithme en terminale, il y aura forcément un calcul de limite à effectuer. Par ailleurs, vous pouvez aussi faire appel à un prof particulier en maths pour comprendre et maîtriser les limites de fonction et réussir le bac.
1. Calcul de limites : exercices corrigés
Consignes :
Lorsque le problème mettra en évidence une asymptote horizontale ou verticale, on précisera son équation.
On répondra
+oo , -oo pour une limite égale à ,
a/b pour une limite égale à
Pour « limite à gauche, à droite » : donner les 2 limites séparées par une virgule, sans espace
Exercice 1 : Limites en
Déterminer les limites suivantes en ou selon le cas.
Question 1 :
En ,
Question 2 :
En ,
Question 3 :
En ,
Question 4 :
a) En ,
b) En , .
Question 5 :
En , .
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Correction de l’exercice 1 sur les Limites en :
Question 1 :
Limite : -3
On a une forme indéterminée
Car la limite d’une fonction polynôme en est la limite du terme de plus haut degré .
On factorise au numérateur et au dénominateur de la fraction
.
Comme
et ,
On en déduit que .
Remarque : on démontre de même que .
On aurait aussi pu factoriser au lieu de au numérateur.
Question 2 :
Limite : -oo
On a une forme indéterminée
car la limite d’une fonction polynôme en est la limite du terme de plus haut degré .
On factorise au numérateur et au dénominateur
Comme
et ,
On en déduit que
Et comme ,
.
On démontre de même que .
Question 3 :
Limites : 0
On a une forme indéterminée
car la limite d’une fonction polynôme en est la limite du terme de plus haut degré .
On factorise au numérateur et au dénominateur
Comme
et ,
on en déduit que .
Et comme , .
On démontre de même que .
Question 4 :
a : Limite : +oo
et
donc .
b : Limite : 0
et
on a une forme indéterminée .
On utilise la quantité conjuguée
comme (somme de deux fonctions de limite ), .
On obtient une asymptote horizontale d’équation en .
La courbe est située en dessous de son asymptote car .
Question 5 :
Limite : 1/2
et ,
on a une forme indéterminée .
On utilise la quantité conjuguée
(par somme de deux fonctions de limite égale à ) et on a une forme indéterminée .
On factorise au dénominateur
en faisant attention que , donc ,
on peut alors simplifier le quotient :
comme alors .
On obtient une asymptote horizontale d’équation en .
Exercice 2 : Limites en 0
Question 1 :
En ,
Question 2 :
En ,
Question 3 :
En ,
Correction de l’exercice 2 sur les limites en 0 en Terminale :
Question 1 :
limite à gauche, à droite : -1,1
On a une forme indéterminée .
Si ,
Si ,
et .
Question 2 :
limite : -1
On a une forme indéterminée :
.
On utilise la quantité conjuguée du numérateur et dénominateur :
on simplifie par
Par quotient des limites,
.
Question 3 :
limite : 3
Utiliser un taux d’accroissement.
C’est une forme indéterminée .
On note
c’est le taux d’accroissement de en , comme est dérivable,
On a utilisé
si est dérivable sur et si et sont réels, est dérivable sur et
et a pour dérivée .
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Exercice 3 : Limite en
Question 1 :
En ,
Question 2 :
En ,
Question 3 :
En ,
Corrigé de l’exercice 3 sur les limites en en Terminale :
Question 1 :
limite à gauche, à droite : +oo,-oo
et
donc
alors .
et
donc
alors .
On obtient une asymptote verticale d’équation
Question 2 :
limite à gauche, à droite : -oo,-oo
et ,
.
,
donc .
La droite verticale d’équation est asymptote à la courbe.
Question 3 :
limite à gauche, à droite : +oo,-oo
.
et
donc
alors .
et
donc
alors .
On obtient une asymptote verticale d’équation .
2. Limites de fonction et suites : exercices corrigés
Question 1 :
Soit admettant une limite (finie ou infinie) en .
Pour toute suite de telle que , .
Corrigés limites de fonction de la question 1 :
Démonstration dans le cas où
On introduit un intervalle ouvert quelconque contenant .
Par définition de ,
il existe tel que si ,
Comme , à partir d’un certain rang , , donc .
Ayant prouvé que pour tout intervalle ouvert quelconque contenant , il existe un rang entier tel que si , , on a donc prouvé que
Démonstration dans le cas où
Soit .
Par définition de
il existe tel que si ,
Comme , à partir d’un certain rang , , donc .
Ayant prouvé que pour tout , il existe un rang entier tel que si , , on a donc prouvé que .
Dans le cas où , il suffit d’appliquer le résultat précédent à la fonction .
3. Étude complète d’une fonction en Terminale
On note .
Question 1 :
Étude des branches infinies
Question 2 :
Étude des variations de
Question 3 :
Tableau de variation et graphe
Correction de l’exercice :
Question 1 :
est définie sur .
Étude en
et , donc .
et , donc .
La droite d’équation est asymptote à la courbe.
Limites en
On lève l’indétermination en factorisant au numérateur et au dénominateur
comme
et
alors
et .
Étude de la branche infinie en
On forme
donc
et .
On forme
et .
La droite d’équation est asymp- tote oblique à la courbe.
Position par rapport à l’asymptote
est du signe de
La courbe est au dessus de l’asymptote sur et en dessous sur .
Question 2 :
est dérivable sur .
.
est racine évidente de
l’autre racine est égale au produit des racines donc égale à , ce qui permet la factorisation
est du signe de .
est strictement croissante sur et sur
et strictement décroissante sur et sur .
Question 3 :
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