Chapitres Maths en Terminale Générale

Fonctions polynômes, exercices et corrigés en Terminale

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Résumé de cours Exercices et corrigés

Cours en ligne de Maths en Terminale

Exercice sur les équations du second degré à coefficients réels

Question 1 :

Résoudre dans $\mathbb{C}$ l’équation $\qquad x^2 - 4 \, x + 13 + 4 \, \sqrt{2} = 0$ .

Question 2 :

Trouver deux complexes de somme égale à 1 et de produit égal à $\dfrac 3 2$ .

Question 3 :

Racines complexes de $\qquad \qquad x ^4 + 7 \, x ^2 + 10 = 0$

Exercice sur la détermination de fonctions polynômes

Question 1 :

Déterminer les coefficients de la fonction polynôme $P : x \mapsto 6 \, x^4 + a \, x^3 + b \, x ^2 + c\, x + d$ admettant $\sqrt{2}$ , $- \sqrt{2}$ , $-1/2$ et $1/3$ pour racines.

Question 2 :

Trouver une fonction polynôme $P$ de degré 3 admettant $-1$ et $4$ pour racines et telle que $P(0) = 8$ et $P(1) = 18$ .
Le coefficient de $x$ est égal à ?

Question 3 :

Soit $P : x \mapsto x ^4 - 4 \, x^3 + 6 \, x ^2 - 4 \, x + 5$
Écrire $P$ comme produit de deux polynômes de degré 2 sachant que $P( \textrm{i} ) = 0$ .
En déduire les racines du polynôme $P$ .

Exercice théorique sur les polynômes en Terminale Maths Expertes

Question 1 :

Il existe une unique fonction polynôme $P$ de degré 3 et telle que $P(0) = 0$ vérifiant pour tout réel $x$ ,
$\qquad \quad P(x + 1) - P(x) = x ^2$ .

Vrai ou faux ?

Question 2 :

Soit $n \in \mathbb{N}^*$ .

En déduire sous forme factorisée la valeur de $1^2 + 2 ^2 + \cdots + n ^2$ .

Exercice sur l’utilisation de $x^n - a^n$ en Terminale

Question 1 :

Soit $n \in \mathbb{N}^*$ et $\qquad P : x \mapsto x ^{n + 1} - x^n - x + 1$

Il existe une fonction polynôme $Q$ telle que pour tout réel $x$ ,

$\qquad \quad P(x) = (x - 1) ^2 \, Q(x)$

et $Q(1) = n$ .

Vrai ou Faux ?

Question 2 :

Soit $n \in \mathbb{N}^*$ et $P : x \mapsto x ^{n + 2} - x^{n + 1}+ x ^2 -3\, x + 2$ .

Il existe une fonction polynôme $Q$ telle que pour tout réel $x$ , $\qquad \quad P(x) = (x - 1) ^2 \, Q(x)$

Vrai ou Faux ?

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Correction sur les équations du 2nd degré à coefficients réels

Question 1 :

$\Delta = 16 - 4 \,(13 + 4 \, \sqrt{2} = - 4\,( 9 + 4 \, \sqrt{2} )$

$\Delta = - 4 \left ( 2^2 \, \sqrt{2} ^2 + 1 + 2 \times 2 \,\sqrt{2} \right )$

$\Delta = - 4 \left ( 1 + 2 \, \sqrt{2} \right ) ^2$

$\Delta = \left ( 2 \, \textrm{i} \, ( 1 + 2 \, \sqrt{2}) \right ) ^2$

L’équation admet deux racines complexes conjuguées :

$\displaystyle \frac {4 - 2 \, \textrm{i}\, ( 1 + 2 \, \sqrt{2}) } {2} =\boxed{ 2 - \textrm{i}\, ( 1 + 2 \, \sqrt{2})}$

et $\boxed{\displaystyle 2 + \textrm{i}\, ( 1 + 2 \, \sqrt{2})}$ .

Question 2 :

Ils sont racines de $x^2 - S \, x + P = 0$ avec $S = 1$ et $P = \displaystyle \frac {3} 2$ donc de :

$\qquad \qquad x^2 - x + \dfrac 3 2 = 0$ .

$\Delta = 1 - 6 = - 5 = \left ( \textrm{i} \, \sqrt{5} \right ) ^2$

Les deux racines sont

$\qquad \qquad \boxed{\dfrac {1 + \textrm{i} \, \sqrt{5} } 2}$ et $\boxed{\dfrac {1 - \textrm{i} \, \sqrt{5} } 2}$ .

Question 3 :

En posant $y = x ^2$ , on commence par résoudre : $y ^2 + 7 \, y + 10 = 0$ qui a pour discriminant $\Delta = 49 - 40 = 9$

donc deux racines réelles distinctes $\displaystyle \frac {- 7 - 3} 2 = - 5$ et $\displaystyle \frac {- 7 + 3 } 2 = - 2$

On écrit donc $\qquad y ^2 + 7 \, y + 10 = (y + 2) (y + 5)$ .

Puis $P(x) = (x ^2 + 2) (x ^2 + 5)$ .

$P(x) = 0$ ssi $x ^2 = - 2$ ou $x ^2 = - 5$

ssi $x = \pm \, \textrm{i} \, \sqrt{2}$ ou $x = \pm \, \textrm{i} \, \sqrt{5}$ .

Les 4 racines complexes de $P(x) = 0$ sont $\boxed{\textrm{i} \, \sqrt{2} \, ,\, - \textrm{i} \, \sqrt{2}\, ,\, \textrm{i} \, \sqrt{5} , \, - \textrm{i} \, \sqrt{5}\, }$ .

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Correction de l’exercice sur la détermination de fonctions polynômes

Question 1 :

Comme le coefficient de $x^4$ dans $P$ est 6 et comme on a donné les 4 racines de $P$ :

$P(x) =\displaystyle 6 \times \left (x - \sqrt{2} \right ) \left (x + \sqrt{2} \right )$ $\qquad \qquad \qquad \times \left (x + \dfrac 1 2 \right ) \left (x - \dfrac 1 3 \right )$ .

$P_1(x) = \left (x - \sqrt{2} \right ) \left (x + \sqrt{2} \right )= x^2 - 2$

$P_2(x) = \displaystyle \left (x + \frac 1 2 \right ) \left (x - \frac 1 3 \right )$

$P_2(x) = x ^2 + \displaystyle \left ( \frac 1 2 - \frac 1 3 \right ) x - \frac 1 6$

$P_2(x) = x ^2 + \displaystyle \frac 1 6 \, x - \frac 1 6$

donc $6 \, P_2(x) = 6 \, x ^2 + x - 1$

$P(x) = (x ^2 - 2) \, (6 \, x ^2 + x - 1)$

$P(x) = 6 \, x ^4 + x^3 - x ^2 - 12 \, x ^2 - 2\, x + 2$

$\boxed{P(x) = 6 \, x ^4 + x^3 - 13 \, x ^2 - 2\, x + 2}$ .

Question 2 :

Comme $-1$ et $4$ sont racines de $P$ de degré 3, il existe une fonction polynôme $Q$ de degré $1$ telle que pour tout réel $x$ , $P(x) = (x + 1) \, (x - 4)\, Q(x)$

donc il existe des réels $a$ et $b$ tels que $\quad P(x) = (x + 1) \, (x - 4) \, (a \, x + b)$ .

$P(0) = -4 \, b = 8$

et $P(1) = 2 (-3) (a + b) = 18$

ssi $b = - 2$ et $a + b = - 3$

ssi $b = - 2$ et $a = - 1$ .

donc $P(x) = -(x + 1) (x - 4) (x + 2)$

$P(x) = - (x^2 - 3 \, x - 4)(x + 2)$

$P(x) = - x^3 + 3 \, x ^2 + 4 \, x - 2 \, x^2 + 6 \, x + 8$

$\boxed{P(x) = - x^3 + x^2 + 10\, x + 8}$ .

Question 3 :

Comme $P(\textrm{i} ) = 0$ , $\overline{P(\textrm{i}) } = 0$ soit $P( - \textrm{i}) = 0$ car $P$ est à coefficients réels,

donc $P(x) = (x - \textrm{i}) (x + \textrm{i}) \, (a \, x ^2 + b \, x + c )$

soit $P(x) = (x ^2 + 1) \, (a \, x ^2 + b \, x + c )$

en développant

$P(x) = a \, x ^4 + b \, x^3 + (c + a) \, x ^2 + b\, x + c$

On obtient le système

$\left \{ \begin{matrix} a = 1 \\ b = - 4 \\ c + a = 6 \\ b = - 4 \\ c = 5 \end{matrix} \right.$ ssi $\left \{ \begin{matrix} a = 1 \\ b = - 4 \\ c= 5 \end{matrix} \right.$

$\boxed{P(x) = (x ^2 + 1) \, ( x ^2 - 4 \, x + 5 ) }$ .

On cherche les racines de $\qquad Q(x) = x ^2 - 4 \, x + 5 = 0$

$\Delta = 16 - 20 = - 4 = (2 \, \textrm{i} ) ^2$

Les racines de $Q(x) = 0$ sont donc $\displaystyle \frac {4 + 2 \, \textrm{i} } 2 = 2 + \textrm{i}$ et $2 - \textrm{i}$

Les racines de $P$ sont $\boxed{\textrm{i},\, - \textrm{i} ,\, 2 + \textrm{i},\, 2 - \textrm{i}}$ .

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Correction de l’exercice théorique sur les polynômes en Terminale

Question 1 :

Vrai

On cherche donc des réels $a$ , $b$ et $c$ tels que $P(x) = a\, x ^3 + b \, x^2 + c\, x$ .

$P(x + 1) =$ $\; \; a\, (x + 1) ^3 + b (x + 1) ^2 + c(x + 1)$

On rappelle que $(x + 1) ^3 = x^3 + 3 \, x ^2 + 3 \, x + 1$

$P(x + 1) = a \, x^3 + (3 \, a + b) \, x ^2$ $\qquad +\, (3 \, a + 2 \, b + c) \, x + a + b + c$

$P(x + 1) - P(x) =$ $\qquad \quad 3 \, a \, x ^2 + (3 \, a + 2 \, b)\, x + a + b + c$

Pour tout $x$ , $P(x + 1) - P(x) = x^2$ ssi

$\left \{ \begin{matrix} 3 \, a = 1 \\ 3 \, a + 2 \, b = 0 \\ a + b + c = 0 \end{matrix} \right.$ ssi $\left \{ \begin{matrix} a = 1/3 \\ 2 \, b = - 1 \\ c = - 1/3 + 1/2 \end{matrix} \right.$

donc $\boxed{P(x) = \displaystyle\frac 1 3 \, x ^3 - \frac 1 2 \, x^2 + \frac 1 6 \, x}$ .

Question 2 :

Soit $S _ n = 1^2 + 2 ^2 + \cdots + n ^2$ .

On écrit la relation $P(x + 1) - P(x) = x ^2$ en prenant comme valeurs successives de $x$ : $0 , 1 ,\, 2 , \cdots ,\, n$

$P(1) - P(0) = 0^2$

$P(2) - P(1) = 1^2$

$P(3) - P(2) = 2^2$

$\vdots$

$P(n ) - P(n - 2) = (n - 1) ^2$

$P(n+ 1 ) - P(n)^2 = n ^2$

$-----------------$

Puis en sommant ces relations, après simplifications, il ne reste que

$P(n + 1) - P(0) = S_n$ avec $P(0) = 0$

$S_n = \displaystyle \frac 1 3 (n + 1) ^3 - \frac 1 2\, (n + 1)^2 + \frac 1 6 \, (n + 1)$

On factorise $\displaystyle \frac {n + 1} 6$

$S_n = \displaystyle \frac {n + 1} 6 \left ( 2 \, (n + 1) ^2 -3\, ( n + 1) + 1 \right )$

$S_n = \displaystyle \frac {n + 1} 6 \left ( 2\, n ^2 + 4 \, n + 2 - 3 \, n - 2 \right )$

$S_n = \displaystyle \frac {n + 1} 6 \left ( 2\, n ^2 + n \right )$

$\boxed {S_n = \displaystyle \frac {n(n + 1) (2 \, n + 1)} 6 }$ .

Correction d’exercice sur l’utilisation de $x^n - a^n$ en Terminale

Question 1 :

Vrai

$P(x) = x^n (x - 1) - (x - 1)$

$P(x) = (x - 1) \, (x ^n - 1)$

Comme $x ^n - 1 = (x - 1) \, Q(x)$ avec $\boxed{Q(x) = x ^{n - 1} + x ^ {n - 2} + \cdots + x + 1}$

$P(x) = (x - 1) ^2 \, Q(x)$ .

Il est immédiat que $Q(1) = n$ .

Question 2 :

Vrai

$P(x) = x ^{n + 2} - x^{n + 1}+ x ^2 -3\, x + 2$

$\bullet$ 1 est racine évidente de $\qquad \qquad x ^2 -3\, x + 2 = 0$ ,

l’autre racine est égale au produit $2$ des racines donc

$\qquad x^2 -3\, x + 2 = (x - 1) (x - 2)$ .

$\bullet$ Puis $P(x) = x^ {n + 1} \, (x - 1) + (x - 1) (x - 2)$

$P(x) = (x - 1) (x ^{n + 1} + x - 2)$

$\bullet$ $R(x) = x ^{n + 1} + x - 2$

$R(1) = 0$ , donc on peut factoriser $x - 1$

$R(x) = x ^{n + 1 } - 1 + (x - 1)$

comme $x ^{n + 1 } - 1 = (x - 1) \, R_1(x)$ avec $R_1(x) = x ^n + x ^{n - 1} + \cdots + x + 1$

$R(x) = (x - 1) (R_1(x) + 1)$

donc $\boxed{P(x) = (x - 1) ^2 Q(x)}$ avec $Q(x) = R_1(x) + 1$

$\boxed{Q(x) = x ^n + x ^{n - 1} + \cdots + x + 2}$ .

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