Chapitres Maths en Terminale Générale

Exercices et corrigés sur les suites en terminale générale

Name: Groupe Réussite: Cours particuliers, stages intensifs de révision
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Résumé de cours Exercices et corrigés

Cours en ligne de Maths en Terminale

Nos exercices corrigés sur les suites et sur tout le programme de maths en Terminale générale vous permettront de progresser. Mettez en application toutes vos connaissances acquises en cours particulier de maths. Vous pouvez également concrétiser vos acquis lors de stages de révision du bac. Si vous avez du mal à rédiger ou à démarrer les exercices suivants, n’hésitez pas à revoir le cours sur les suites en terminale.

1. Annale bac : Etude conjointe de deux suites en terminale

D’après bac 1982.
On définit les deux suites réelles $u$ et $v$ par $u_1 = 1, \, v_1 = 12$
et pour tout $n \in\mathbb {N} ^ *$ , $u_ { n + 1} = \displaystyle \frac {u_n + 2 \, v_n} 3$ et $v_ {n + 1} = \displaystyle \frac {u_n + 3 \, v_n} 4$ .

Enoncé de l’étude conjointe de deux suites en terminale

Question 1 :
En pose pour $n \in\mathbb {N} ^ *$ , $w_n = v_n - u_n$ .
Démontrer que $w$ est une suite géométrique. Exprimer $w_n$ en fonction de $n$ et en déduire la limite de $(w_n) _n \,$ .

Question 2 :
$u$ est une suite augmentée et $v$ est une suite décroissante. Vrai ou faux?

Question 3 :
Les suites $u$ et $v$ convergent vers la même limite. Vrai ou faux?

Question 4 :
En pose pour $n \in\mathbb {N} ^ *$ , $t_n = 3 \, u_n + 8 \, v_n$
Démontrer que $t$ est une suite constante.
En déduire la limite des suites $u$ et $v$ .

Question 5 :
Trouver la valeur de $u_n$ et $v_n \,$ .
Retrouver les résultats de la question 4.

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Correction de l’étude conjointe des deux suites en terminale

Question 1 :

$w_ {n + 1} = v_ {n + 1} - u_ {n + 1}$ $w_ {n + 1} = \displaystyle \left (\frac 3 4 - \frac 2 3 \right) v_n + \gauche (\frac 1 4 - \frac 1 3 \droite) u_n$
$w_ {n + 1} = \displaystyle \frac 1 {12} \, v_n - \frac 1 {12} \, u_n = \frac {w_n } {12}$ .

$w$ est une suite géométrique de raison $q = \displaystyle \frac 1 {12}$ et de premier terme $\qquad \quad w_1 = v_1 - u_1 = 11$ .
Alors pour tout $n \in \mathbb {N} ^ *$ , $\qquad \quad w_n = \displaystyle \frac {w_1} {12 ^ {n - 1}} = \frac {11} {12 ^ {n - 1}}$
Comme $\displaystyle 0 <\frac 1 {12} <1$ , $\displaystyle \boxed {\ lim_ {n \to + \infty} w_n = 0}$ .

D’autre part, on retient pour la suite que pour tout $n \in \mathbb {N} ^ *, w_n> 0$ soit $v_n> u_n \,$ .

Question 2 :

On rappelle que la question précédente a permis de prouver que,
pour tout $n \in \mathbb {N} ^ *, w_n> 0$ soit $v_n> u_n \,$ .

$\bullet$ Pour $n \in \mathbb {N} ^ *$ , $u_ {n + 1} - u_n = \displaystyle \frac {u_n + 2 \, v_n} 3 - u_n$
$u_ {n + 1 } - u_n = \displaystyle \frac {2 \, (v_n - u_n)} 3 = \frac {w_n} 3> 0$
$u$ est une suite augmentée.

$\bullet$ Pour $n \in \mathbb {N} ^ *$ , $v_ {n + 1} - v_n = \displaystyle \frac {u_n + 3 \, v_n} 4 - v_n$
$v_ {n + 1 } - v_n = \displaystyle \frac {3 \, (u_n - v_n)} 4 = \frac {-3 \, w_n} 4 <0$
$v$ est une suite décroissante.

Question 3 :

Sur rappelle que la question 1 a permis de prouver que,
pour tout $n \in \mathbb {N} ^ *, w_n> 0$ soit $v_n> u_n \,$ .

$\bullet$ Pour tout $n \in \mathbb {N} ^ *, \, u_n \leqslant v_n \leqslant v_1$ en utilisant le signe de $v_n - u_n$ obtenu en question 1 et la décroissance de la suite $v$ .
La suite $u$ est augmentée et majorée par $v_1 = 12$ , elle est convergente vers $\ell$ .

$\bullet$ Pour tout $n \in \mathbb {N} ^ *, \, u_1 \leqslant u_n \leqslant v_n$ en utilisant le signe de $v_n - u_n$ obtenu en question 1 et la croissance de la suite $u$ .
La suite $v$ est décroissante et minorée par $u_1 = 1$ , elle est convergente vers $\ell \, '$ .

Puis en utilisant $\displaystyle \lim_ {n \to + \infty} w_n = 0$ , alors $\ell \, '- \ell = 0$ .

Les suites $u$ et $v$ convergent vers la même limite.

Question 4 :

Pour $n \in \mathbb {N} ^ *$ , $t_ {n + 1} = 3 \, u_ {n + 1} + 8 \, v_ {n + 1}$
$t_ {n + 1} = (u_n + 2 \, v_n) + 2 \, (u_n + 3 \, v_n)$
$t_ {n + 1} = 3 \, u_n + 8 \, v_n = t_n \,$ .

La suite $(t_n) _n$ est constante égale à $t_1 = 3 \, u_1 + 8 \, v_1 = 3 + 8*12 = 99$ .

En passant à la limite dans la relation $3 \, u_n +8 \, v_n = 99$ , on obtient $\qquad \qquad 3 \, \ell + 8 \, \ell \, '= 99$
sachant que $\ell = \ell \, '$ , on obtient $11 \, \ell = 99$ soit $\ell = 9$ .

Les suites $u$ et $v$ convergent vers $9$ .

Question 5 :

Sur un système $\left \ {\ begin {matrix} 3 \, u_n + 8 \, v_n = 99 \\ v_n - u_n = w_n \end {matrix} \right.$

$\Ast$ En plus la première équation et 3 fois la deuxième:
$11 \, v_n = 99 + 3 \, w_n = \displaystyle 99 + 3. \frac {11} {12 ^ {n - 1}}$
donc $\boxed {v_n = \displaystyle 9 + \frac {3} {12 ^ {n - 1}} \;}$ .

$\ast$ En formant la première équation – 8 fois la deuxième, sur Résultat:
$11 \, u_n = 99 - 8 \, w_n = \displaystyle 99 - \frac {8* 11} {12 ^ {n - 1}}$
donc $\boxed {u_n = \displaystyle 9 - \frac {8} {12 ^ {n - 1}} \; }$ .

En utilisant $\displaystyle \lim _ {n \ to + \infty} \frac {1} {11 ^ {n - 1}} = 0$ , on retrouve $\displaystyle \boxed {\ lim_ {n \ to + \infty} u_n = \lim_ {n \ to + \infty} v_n = 9}$ .

2. Exercice Etude d’une population, exemple de suites en terminale

Ce sujet d’annale du bac de Polynésie 2017 traite de l’étude d’une population, ici des tortues sur une île. L’étude d’une population est un exercice très classique de suites au bac, et tombe régulièrement. Parties A et B indépendantes.

Partie A
Au début de l’an 2000, on comptait 300 tortues. Une étude a permis de modéliser ce nombre de tortues par la suite $(u_n)$ définie par :
$\left \{ \begin{matrix} u_0 = 0,3\\ \textrm{si }n \in \mathbb{N},\, u_{n + 1} = 0,9\, u_n \, (1 - u_n)\end{matrix} \right.$
où pour tout entier naturel $n$ , $u_n$ modélise le nombre de tortues, en milliers, au début de l’année $2000+n$ .

Question 1.
Calculer, dans ce modèle, le nombre de tortues au début de l’année $2001$ puis de l’année $2002$ .

Question 2
a. Pour tout $n\in\mathbb{N}$ , $0 \leqslant u_n \leqslant 1$
Vrai ou faux?

Question 2 (suite)
b. Pour tout entier naturel $n$ , $\qquad 0 \leqslant u_{n+1} \leqslant 0,9\, u_n$ .
Vrai ou faux?

Question 2 (fin)
c. Déterminer la limite de la suite $(u_n)$ . Que peut-on en conclure sur l’avenir de cette population de tortues ?

Question 3
Des études permettent d’affirmer que, si le nombre de tortues à une date donnée est inférieur au seuil critique de 30 individus, alors l’espèce est menacée d’extinction.
On souhaite qu’à la fin de son exécution, la fonction Python ci-dessous affiche la dernière année avant laquelle il reste un nombre de tortues au moins égal à seuil (exprimé en milliers) de tortues lorsque pour l’année $2000$ il y a $u_0$ tortues (en milliers).

Recopier et compléter la fonction afin qu’elle satisfasse cette exigence en appelant tortues(0.3 , 30 )

def tortues (u0, seuil):
$\qquad \vert$ u = u0
$\qquad \vert$ n = 0
$\qquad \vert$ while …. :
$\qquad \vert \qquad \vert$ u = …
$\qquad \vert \qquad \vert$ n = …
$\qquad \vert$ return …

Partie B
Au début de l’année 2010, il ne reste que 32 tortues.
Afin d’assurer la pérennité de l’espèce, des actions sont menées pour améliorer la fécondité des tortues.
L’évolution de la population est alors modifiée et le nombre de tortues peut être modélisé par la suite $(v_n)$ définie par :
$\left \{ \begin{matrix} v_{10} = 0,032\\ \textrm{si }n \geqslant 10,\, v_{n + 1} = 1,06\, v_n \, (1 - v_n)\end{matrix} \right.$
où pour tout entier naturel $n > 10$ , $v_n$ modélise le nombre de tortues, en milliers, au début de l’année $2000+n$ .

Question 1
Calculer le nombre de tortues au début de l’année $2011$ puis de l’année $2012$ .

Question 2
a. Quel est le sens de variation de la fonction $f : x\mapsto 1,06\, x\, (1 -x)$ sur $[0 , 1/2]$ ?

Question 2 (suite)
b. Pour tout entier $n \geqslant 10,$ $\qquad \qquad 0 < v_n\leqslant v_{n + 1} \leqslant 1/2$ . Vrai ou faux?

Question 2 (fin)
c. Démontrer que la suite $(v_n)_{n\geqslant 10}$ converge vers $\ell$ et déterminer une équation vérifiée par $\ell$

Question 3
La population de tortues est-elle encore en voie d’extinction ?

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Correction de l’étude de la population

Partie A

Question 1 : 189,138
$u_1 = 0,9\times 0,3 \times 0,7 = 0,189$
$u_2 = 0,9\times 0,189 \times 0,811 = 0,1379511$
que l’on arrondit de façon à avoir un nombre entier de tortues : 138 tortues en 2012 et 189 en 2011.

Question 2 : Vrai
On note si $n \in \mathbb{N},$ $\mathcal{P}(n)$ : $u_n\in [0 , 1]$ .

Question 3 :
def tortues (u0, seuil):
$\qquad \vert$ u = u0
$\qquad \vert$ n = 0
$\qquad \vert$ while (u >= seuil):
$\qquad \vert \qquad \vert$ u = 0.9 * u * (1 $-$ u)
$\qquad \vert \qquad \vert$ n = n +1
$\qquad \vert$ return n $-$ 1

Partie B

Question 1 :
$v_{11} = 1,06 \times 0,32\times (1 - 0,32)$
$v_{11} = 0.03283456$
$v_{12} =$ $\; \; \; 1,06\times 0.03283456 \times (1 - 0.03283456)$
$v_{12} = 0.033661838769782786$
que l’on arrondit à $10^{-3}$ près pour avoir un nombre entier de tortues.
Il y a 33 tortues en 2011 puis 34 tortues en 2012.

Question 2) a) : Fonction strictement croissance
$f$ est une fonction polynôme, donc $f$ est dérivable et
$f'(x) = 1,06 (1 - 2 \, x) > 0$ si $x \in [0 , 1/2[$ , donc $f$ est strictement croissante sur $[0 , 1/2]$ .
De plus $f(0) = 0$ et $f(1/2) =0.265 < 1/2$

Question 2) b) : Vrai

On note si $n \geqslant 10$ , $\mathcal{P}(n) : 0 < v_n\leqslant v_{n + 1} \leqslant 1/2$

Initialisation : Ayant prouvé que $v_10 } = 0.032$ et $v_{11} = 0.03283456$ , on a bien vérifié $\mathcal {P}(10)$

Hérédité : On suppose que $\mathcal{P}(n)$ est vraie pour un entier donné tel que $n \geqslant 10$
Alors la stricte croissance de $f$ sur $[0 , 1/2]$ donne
$f(0) < f(v_n)\leqslant f(v_{n + 1}) \leqslant f(1/2)$
donc $0 < v_{n + 1} \leqslant v_{n + 2} \leqslant 1/2$ car $f(1/2) \leqslant 1/2$

Conclusion : la propriété est vraie par récurrence pour tout $n geqslant 10$ .

Question 2) c) :
La suite $(v_n)_{n\geqslant 10}$ est croissante et majorée par $1/2$ .
Elle est convergente vers $\ell$ .Par opérations sur les limites et en utilisant $\displaystyle \lim_{n \to + \infty} v_{n + 1} = \ell$ , on obtient : $\ell = 1.06 \,\ell\, (1 - \ell)$ .

Question 3 : Non

Comme la suite $(v_n)_n$ est croissante, elle ne peut converger vers $0$ car sinon on aurait pour tout entier $n \geqslant 10$ , $v_n \leqslant 0$ , ce qui est absurde.

Donc sa limite $\ell$ est non nulle et on obtient en simplifiant par $\ell$ , $1 = 1,06\, (1 - \ell)$ soit $\ell = 1 - \displaystyle \frac 1 {1,06}$
ce qui donne $\ell \approx 0.0566$ .

La population de tortues n’est plus en extinction et pour $n$ assez grand, on aura une population supérieure à celle de l’année $2000$ c’est-à-dire à 300.

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