Chapitres Maths en MPSI, PCSI, MP2I, PTSI
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Cours : Analyse Asymptotique en Maths Sup MPSI, MP2I, PCSI, PTSI
Résumé de cours Exercices et corrigés
Cours en ligne de Maths en Maths Sup
Résumé de cours et méthodes – Maths Sup Analyse Asymptotique
Résultats et Application directe du cours
Plan :
1. Suites dominées et négligeables
2. Suites équivalentes
3. Fonctions dominées et négligeables
4. Fonctions équivalentes
5. Équivalents usuels
6. Opérations autorisées sur les équivalents
7. Opérations interdites sur les équivalents
8. Des méthodes pour obtenir des équivalents
9. D’autres fautes à éviter
10. Équivalents en
11. Équivalents en
12. Équivalents en
13. Deux équivalents de suites
14. Fonctions dominées, négligeables et équivalentes
15. Suites dominées, négligeables et équivalentes
Remarque : certains points supposent que les DL ont été vus, ne pas en tenir compte si ce n’est pas le cas.
1. Suites dominées et négligeables
1.1. Suites dominées
Soient et deux suites réelles ou complexes.
On dit que la suite est dominée par la suite et on écrit ou
(on lit : est un grand O de ) si, et seulement si,
.
S’il existe un entier tel que si , la suite est dominée par la suite ssi la suite est bornée.
ssi la suite est bornée.
Si et , .
Si et ,
.
Puissance : si ,
si ,
si , si ,
si et , si , .
1.2. Suites négligeables
Soient et deux suites réelles ou complexes,
On dit que la suite est négligeable devant la suite et on écrit ou (on lit : est un petit o de ) si, et seulement si, .
si, et seulement si, il existe une suite de limite nulle telle que .
S’il existe un entier tel que si , la suite est négligeable devant la suite ssi la suite converge vers 0.
ssi la suite converge vers 0.
Soient et deux suites réelles ou complexes telles que , alors .
Si et , .
Si et ,
.
Puissance : si ,
si ,
si , si ,
et , , .
1.3. Traduction des résultats sur les croissances comparées
Comparaison des suites de référence :
si et .
si et
pour tout .
.
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2. Suites équivalentes
2.1. Définitions
Soient et deux suites réelles ou complexes.
Il y a équivalence entre :
il existe une suite qui converge vers telle que
il existe une suite qui converge vers telle que
.
On dit alors que les suites et sont équivalentes et on écrit : ou .
S’il existe un entier tel que si , la suite est équivalente à la suite ssi la suite converge vers 1.
La relation « les suites sont équivalentes » est une relation d’équivalence sur l’ensemble des suites réelles (resp. complexes) :
ssi .
et .
2.2. Opérations sur les suites équivalentes
Les suites introduites sont réelles ou complexes.
Si , .
si et
si à partir d’un certain rang , .
Puissance et équivalents
si ,
si et si pour ,
si et si et pour ,
.
⚠️ il est indispensable de retenir qu’aucun résultat ne permet de faire une somme ou une différence d’équivalents donc qu’il sera nécessaire d’effectuer un raisonnement complet dans le cas d’une somme ou d’une différence.
De même, il est impossible de dire que si , , propriété qui est fausse en général.
2.3. Suites équivalentes et limites
Soient et deux suites équivalentes.
Si ce sont des suites de réels non nuls, et sont de même signe pour assez grand.
si ( fini ou ), alors .
Si la suite converge vers le complexe non nul , .
⚠️ Si la suite n’est pas la suite nulle, on ne doit jamais obtenir .
2.4. Formule de Stirling
.
3. Fonctions dominées et négligeables
3.1. Fonctions dominées
Soient et deux fonctions définies dans un voisinage de (sauf peut-être en ) réelles ou complexes.
On dit que la fonction est dominée par la fonction lorsque et on écrit (on lit : est un grand O de si ) s’il existe un voisinage de inclus dans et un réel tel que
, .
S’il existe un voisinage de sur lequel est non nulle (sauf peut être en ), la fonction est dominée par la fonction lorsque la fonction est bornée au voisinage de .
Si et , .
Si et ,
.
Puissance : Si ,
si ,
si et si au voisinage de ,
si , si et sont à valeurs strictement positives au voisinage de , .
3.2. Fonctions négligeables
Soient et deux fonctions définies dans un voisinage de (sauf peut-être en ) réelles ou complexes
On dit que la fonction est négligeable devant la fonction lorsque ) et on écrit
(on lit : est un petit o de si ) si pour tout , il existe un voisinage de inclus dans tel que
ssi il existe une fonction définie au voisinage de et de limite nulle en telle que .
S’il existe un voisinage de sur lequel est non nulle (sauf peut être en ), la fonction est négligeable devant la fonction ssi la fonction est tend vers en .
exemple : Si ,
.
Soient et deux fonctions définies dans un voisinage de ,
.
Si et , .
Si et ,
.
Puissance : si
si ,
si et si au voisinage de ,
si et sont à valeurs strictement positives au voisinage de et si , .
3.3. Traduction des résultats sur les croissances comparées
Si et ,
.
Si , .
4. Définition de fonctions équivalentes
Soient et deux fonctions réelles ou complexes définies dans un voisinage de (sauf peut-être en ).
Il y a équivalence entre :
il existe une fonction définie dans de limite nulle en telle que
il existe une fonction définie dans de limite égale à en telle que
.
On dit que et sont équivalentes en et on écrit .
S’il existe un voisinage de sur lequel (sauf peut être en ), la fonction est équivalente à la fonction en ssi la fonction admet pour limite en .
La relation « les fonctions sont équivalentes en » est une relation d’équivalence sur l’ensemble des fonctions réelles (resp. complexes) définies au voisinage de .
ssi
et .
5. Équivalents usuels
équivalents en 0 :
👍 Tous ces équivalents (sauf 2 justifiés ci dessous) peuvent être retrouvés à l’aide des taux d’accroissement en et de la dérivée en .
Lorsque vous aurez étudié les développements limités, vous pourrez les retrouver en prenant le premier terme non nul du développement limité de la fonction considérée en 0.
Pour voir la démonstration de
et en utilisant ,
.
et en utilisant ,
.
équivalents en 1 :
Démo : On écrit et on utilise avec .
Si tend vers , tend vers 0 et comme , alors
puis on utilise
On démontre ce résultat en écrivant que
On termine en utilisant car
équivalents en :
si
.
Démo : On écrit
et
avec .
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6. Opérations autorisées sur les équivalents
Produit :
et
Quotient :
et et
Passage à la valeur absolue :
Puissance :
(en imposant si et à valeurs strictement positives).
Composition à droite :
et si ,
⚠️ La composition à gauche est fausse en général, c’est-à-dire si
, on ne peut pas dire en dehors de la valeur absolue ou de la fonction puissance que .
7. Opérations interdites sur les équivalents
👍 Une vérification qui peut aider à corriger des fautes : si la fonction ou la suite n’est pas nullle, on ne peut pas trouver un équivalent égal à 0.
Addition :
, et et n’est pas équivalent à 0.
Différence :
, et et n’est pas équivalent à 0.
Passage au logarithme pour des fonctions admettant 1 pour limite :
et n’impliquent pas que .
Exemple :
et alors que donc et ne sont pas équivalents en 0.
Passage à l’exponentielle :
et n’impliquent pas que .
Exemple :
est équivalent à en mais n’est pas équivalent à car le quotient ne tend pas vers 1.
Passage à la puissance :
n’implique pas et n’implique pas que lorsque n’est pas une constante.
De même, n’implique pas .
Voir les exemples justifiant les interdictions pour le passage à la puissance
Exemple 1 :
est équivalent à en , mais n’est pas équivalent à car le quotient tend vers .
De même n’est pas équivalent à en car le quotient tend vers e en .
Exemple 2 :
Soit et , , et , et ne sont pas équivalents.
8. Des méthodes pour obtenir des équivalents
M1. Utilisation de la limite
Si admet une limite finie non nulle en , .
M2. Utilisation de la dérivée.
Si est dérivable en et si est non nul, .
Exemple :
M3. Si et sont des fonctions à valeurs dans , de limite nulle en vérifiant , pour démontrer que ,
on écrit avec .
Démonstration : On écrit avec .
Les fonctions utilisées étant à valeurs strictement positives, on peut écrire
Comme , au voisinage de , donc
avec donc
Cas particulier : .
Démonstration : , avec .
M4. Si et sont des fonctions à valeurs dans , de limite égale à en vérifiant , pour démontrer que : ,
on écrit avec
Démo : Les fonctions utilisées étant à valeurs strictement positives, on peut écrire
Comme , au voisinage de , donc avec donc .
Cas particulier : .
Démo : , avec .
On a prouvé que :
., avec .
On a prouvé que :
.
M5. Par utilisation de la propriété et , alors .
conséquence :
Si où et , , par utilisation de la propriété précédente car
Exemple :
Si , l’une au moins des fonctions tendant vers , on met en facteur la fonction qui tend le plus vite vers l’infini.
Exemple : équivalent en de
.
Correction :
où la fonction admet 0 pour limite en , donc .
👍 Si l’on ne devine pas quelle est la fonction qui tend le plus vite vers l’infini, dans un cas comme celui-ci, il n’y aurait au maximum que trois factorisations à essayer !
M7. Cas d’une somme de fonctions, chacune des fonctions admettant 0 pour limite.
Si et, si pour tout , la fonction admet 0 pour limite en , on met en facteur la fonction qui tend le moins vite vers 0.
Exemple : trouver un équivalent en , de .
M8. Par utilisation d’un encadrement
Si au voisinage de , ,
les fonctions et ayant même équivalent de signe constant au voisinage de , on divise l’inégalité par et en encadrant par et soit par 2 fonctions admettant 1 pour limite en , la fonction admet 1 pour limite en et on en déduit que .
Exemple : On rappelle que représente la partie entière du réel , montrer que .
M9. Pour trouver un équivalent de lorsque et admettent la même limite finie en .
On écrit
car , et
Exemple : trouver un équivalent en de
M10. Par utilisation d’un développement limité.
Si a un développement limité d’ordre au voisinage de donné par ,
lorsqu’au moins un des coefficients est non nul, où est le plus petit entier tel que
⚠️ Important ! on ne conserve qu’un seul terme du développement limité quand on prend un équivalent, jamais une somme de plusieurs termes.
Par exemple, on écrit , on n’écrit pas que est équivalent à
De même, on écrit et non
M11. Par intégration d’un équivalent :
si où ,
.
9. D’autres fautes à éviter
⚠️ Lorsque , on peut dire que et ont même signe au voisinage de ; mais chercher un équivalent de en ne peut servir à donner le signe de sur tout un intervalle de
Exemple :
donc au voisinage de 0, .
Si l’on veut prouver que pour tout réel on pourra, par exemple, étudier les variations de la fonction
,
calculer et en démontrant que est décroissante sur et croissante sur , dire (en s’aidant éventuellement d’un tableau de variations) que pour tout réel ,
⚠️ Attention à la recherche d’un équivalent à partir d’un DL, lorsque les coefficients de ce DL dépendent d’un paramètre. Certaines valeurs du paramètre peuvent annuler le terme retenu comme équivalent.
10. Équivalents en 0
Les équivalents suivants sont-ils justes ? Sinon les corriger.
1)
2) On note .
3)
4)
5)
6)
7) Si et sont des réels distincts, .
8)
11. Équivalents au voisinage de 1
Lorsque tend vers 1, les équivalents suivants sont ils corrects ? Si oui les justifier, si non donner la bonne réponse.
1)
2)
3)
12. Équivalents en
Lorsque tend vers (ou selon le cas), les équivalents suivants sont ils corrects ?
Si oui les justifier, si non les corriger.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
13. Deux équivalents de suites
1)
2)
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14. Fonctions dominées, négligeables et équivalentes
Question 1
Si et sont définies dans un voisinage de à valeurs dan si
Question 2
Soient et définies au voisinage de , on suppose que
et ,
alors .
Question 3
Soient et définies au voisinage de , on suppose que
et ,
alors .
Question 4
Soient des fonctions définies dans un voisinage de .
On suppose que , et
Alors .
Question 5
Si et sont définies au voisinage du réel , équivalentes en , si est dérivable en , l’est aussi.
Question 6
Si ,
et
15. Suites dominées, négligeables et équivalentes
Dans tout le paragraphe, , et sont des suites réelles ou complexes.
Question 1
Si est bornée et , la suite est bornée.
Question 2
Si la suite converge et si , la suite converge.
Question 3
Si la suite est bornée et si , la suite converge.
Question 4
Si et si ,
Question 5
Si la suite est bornée et si , la suite converge.
Question 6
Si la suite converge vers 0 et si , les suites et sont bornées.
Question 7
Si ,
et plus généralement si ,
si , .
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