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Cours : Arithmétique Polynômes en Maths Sup MPSI, MP2I

Résumé de cours Exercices et corrigés

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Résumé de cours et méthodes – Arithmétique Polynômes en Maths Sup

Plan :

1.Trouver un PGCD de $A$ et $B$
2. Relation de Bezout
3. Propriétés des PGCD et PPCM
4. Polynômes premiers entre eux

Rappel $A$ et $B$ non nuls de $\mathbb{K}[\textrm{X}]$ sont associés lorsque’il existe $\lambda \in \mathbb{K}^*$ tel que $A = \lambda \, B$ .

1.Trouver un PGCD de $A$ et $B$

On suppose dans ce §, que $(A , B) \in (\mathbb{K}[\textrm{X}]) ^2$ et sont non nuls.
On note
$\ast$ $\mathcal{D}(A , \, B)$ l’ensemble des diviseurs communs à $A$ et $B$ ,
$\ast$ $\textrm{PGCD}(A , \, B)$ un P.G.C.D de $A$ et $B$ (soit un polynôme de degré maximal élément de $\mathcal{D}(A , \, B)$ )
$\ast$ $\Delta = A \wedge B$ le P.G.C.D de $A$ et $B$ , c’est à dire le polynôme unitaire de degré maximal de $\mathcal{D}(A , \, B)$ .
Tous les PGCD de $A$ et $B$ sont associés.

$\bullet$ M1. Si $A$ et $B$ sont scindés sur $\mathbb{K}$ ,
$\ast$ s’ils n’ont pas de racine commune, $A \wedge B = 1$
$\ast$ s’ils ont $p$ racines communes et s’écrivent
$A = \lambda \displaystyle \prod_{k = 1} ^p (\textrm{X} - x_k)^{\alpha_k}\, \prod_{j = p + 1 } ^n (\textrm{X} - x_j)^{\alpha_j}$
et $B = \mu\displaystyle \prod_{k = 1} ^p (\textrm{X} - x_k)^{\beta_k}\, \prod_{j = n + 1 } ^q (\textrm{X} - x_j)^{\beta_j}$
où $(x_j)_{1 \leq j \leq q}$ sont des éléments de $\mathbb{K}$ deux à deux distincts.
$\quad \quad \quad A \wedge B = \displaystyle \prod_{k = 1} ^p (\textrm{X} - x_k)^{\gamma_k}$
où $\gamma_k = \min(\alpha _ k \, , \, \beta_k)$ .

$\bullet$ M2. Si $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ et si les décompositions de $A$ et $B$ sous forme de produits de polynômes irréductibles
$\ast$ s’ils n’ont pas de facteur irréductible commun, $A \wedge B = 1$
$\ast$ s’ils ont $p$ facteurs irréductibles communs et s’écrivent :
$A = \lambda \displaystyle \prod_{k = 1} ^p P_k ^{\alpha_k}\, \prod_{j = p + 1 } ^n P_ j^{\alpha_j}$
et $B = \mu \displaystyle \prod_{k = 1} ^p P_k ^{\beta_k}\, \prod_{j = n + 1 } ^q P_ j^{\beta_j}$
où $(P_j)_{1 \leq j \leq q}$ sont des polynômes irréductibles 2 à 2 distincts,
$A \wedge B = \displaystyle \prod_{k = 1} ^p P_k ^{\gamma_k}$ où $\gamma_k = \min(\alpha _ k \, , \, \beta_k)$

$\bullet$ M3. En utilisant une relation de Bezout
$\ast$ Il existe $(U , \, V) \in (\mathbb{K}[\textrm{X}])^2$ tel que $A \, U + B \, V = A \wedge B$ .
$\ast$ $A \wedge B = 1$ ssi $\exists\, (U , \, V) \in (\mathbb{K}[\textrm{X}])^2$ tel que $A \, U + B \, V = 1$ .

$\bullet$ M4. En utilisant l’algorithme d’Euclide
On se ramène au cas où $\quad \quad \quad \quad \textrm{deg}\, A \geq \textrm{deg} \,B$ ,
Poser $R_0 = A$ et $R_1 = B$ .
$A \wedge B$ est le polynôme unitaire proportionnel au dernier reste non nul dans la suite des divisions euclidiennes suivantes :
$R_0 = R_1 \, Q_1 + R_2$ $\quad \textrm{avec deg} \, R_2 < \textrm{deg} \, R_1\,$
$R_{k - 1} = R_k \, Q_k + R_{k + 1}$ $\quad \textrm{avec deg}\, R_{k + 1} < \textrm{deg} \, R_k\,$
…
$R_{n - 2} = R_{n - 1} \, Q_{n - 1} + R_{n}$ $\quad \textrm{avec deg}\, R_{n} < \textrm{deg} \, R_{n - 1}\,$
$R_{n - 1} = R_{n} \, Q_{n} \,$ .

👍 On rappelle que l’on note $0 \wedge 0 = 0$ .
Si $A \neq 0, \, A \wedge 0$ est associé à $A$ .

Exemple
Soit $A = \textrm{X}^4 + 4\, \textrm{X}^3 + \textrm{X}^2 - 16$ et $B = \textrm{X}^3 + 3 \, \textrm{X}^2 - 3 \textrm{X} + 4$
Trouver $A \wedge B$ et une identité de Bezout.

Correction :

$\bullet$ Algorithme d’Euclide :
On note $R_0 = A$ et $R_1 = B$ .
$\ast$ $R_0 = Q_1\, R_1 + R_2$ avec $Q_1 = \textrm{X} + 1$ et $R_2 = \textrm{X}^2 - \textrm{X} - 20$

$\ast$ $R_1 = Q_2 \, R_2 + R_3$ et $Q_ 2 = \textrm{X} + 4$ et $R_3 = 21 Q_2$

$\ast$ $R _ 3 = 21( \textrm{X} + 4)$ et $R_2 (- 4) = 0$ donnent : $R_3$ divise $R_2$ , donc $R_4 = 0$ .
$R_3$ est le dernier reste non nul

$\conclusion$ $A \wedge B = \textrm{X} + 4$

$\bullet$ Identité de Bezout en remontant l’algorithme de Bezout :
$R_3 = R_1 - Q_2 R_2$
$R_3 = R_1 - Q_2 (R_0 - Q_1 \, R_1)$
$R3 = R_1 \left ( 1 + Q_1 \, Q_2 \right ) - Q_2 \, R_0$
En divisant par 21 :
$\textrm{X} + 4 = U \, A + V \, B$ avec $A = - \displaystyle \frac 1 {21} Q_2$
soit $U = \displaystyle \frac {- 1} {21} (\textrm{X} +4 )$
et $V = \displaystyle \frac 1 {21} (1 + Q_1 \, Q_2)$
soit $V = \displaystyle \frac 1 {21} ( \textrm{X}^2 +5 \textrm {X} +5 )$

$\bullet$ En utilisant l’algorithme étendu sachant que $Q_1 = \textrm{X} + 1$ et $Q_2 = (\textrm{X} + 4$
On définit
$\ast$ $(U_0 \,, \, V_ 0) = (1\, ,\, 0)$
$\ast$ $(U_1 \,, \, V_1) = (0 \, , \, 1)$
$\ast$ $(U_2 \,, \, V_2) = (U_0 - Q_1 \, U_1 \, , \, V_0 - Q_1 \, V_1 )$
$(U_2 \,, \, V_2) = (1 \, , \, - Q_1)$

$\ast$ $(U_3 \,, \, V_3) = (U_1 - Q_2 \, U_2 \, , \, V_1 - Q_2 \, V_2 )$
$(U_3 \,, \, V_3) = (- Q_2 \, , \,1 + Q_1\, Q_2)$
donne
$21( \textrm{X} + 4) = ( - Q_2) A + (1 + Q_1 \, Q_2) B$ .

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2. Relation de Bezout

Si $B = b \, \in \mathbb{K}^*$ , $A \wedge B = 1$ et
$A + \displaystyle \left ( 1 - \frac 1 b \, A \right ) B = b$
la relation de Bezout (arithmétique en Maths Sup) est évidente par division par $b$ de cette relation.

On suppose dans la suite $A$ et $B$ non constants.
On peut trouver $U$ et $V$ de la relation de Bezout :
Il existe $(U , \, V) \in (\mathbb{K}[\textrm{X}])^2$ tels que $A \, U + B \, V = \textrm{PGCD}(A , \, B)$ ,
en utilisant l’algorithme d’Euclide étendu

Poser $R_0 = A$ et $R_1 = B$ avec $\textrm{deg} A \geq \textrm{deg}(B)$ .
$A \wedge B$ est le polynôme unitaire proportionnel au dernier résultat non nul dans la suite des divisions euclidiennes suivantes :
on écrit si $1 \leq k \leq n - 2, \, R_{k - 1} = R_k \, Q_k + R_{k + 1}$ avec $\textrm{deg} \, R_{k + 1} < \textrm{deg} \, R_k$
et $R_{n - 1} = R_{n} \, Q_{n} \,$ .

En notant $\left \{ \begin{matrix} U_0 = 1 \, ,\, V_0 = 0 \\ U_1 = 0 \, , \, V_1 = 1 \end{matrix} \right.$ ,
et si $1 \leq k \leq n - 1$ ,
$\quad \left \{ \begin{matrix} U _{k + 1} & =&- Q_k \, U_k + U_{k - 1} \\V _{k + 1} & =&- Q_k \, V_k + V_{k - 1} \end{matrix} \right.$
alors pour tout $0 \leq k \leq n,$ $\quad \quad \, R_k = A \, U_k + B \, V_k\,$
ce qui permet de trouver par récurrence $R_n = A \, U_n + B \, V_n\,$
et d’en déduire la relation de Bezout.

👍 lorsque $n$ est faible, on peut « remonter » l’algorithme de Bezout petit à petit en partant de $\quad R _n = R_{n - 2} - R_{n - 1} \, Q_{n - 1}$
puis en utilisant $\quad R_{n - 1} = - R_{n - 3} - R_{n - 2} \, Q_{n - 2}$
et en réitérant le principe, jusqu’à tout exprimer en fonction de $R_0 = A$ et $R_1 = B$ .

⚠️ Il n’y a pas unicité du couple $(U \, , \, V)$ de la relation de Bezout car $(U + Q\, B\, , \, V - Q\, A)$ est aussi solution pour tout $Q \in \mathbb{K} [\textrm{X}]$ .

Démo :

On note si $1 \leq k \leq n - 1$ ,
$H _ k :$ $\left \{ \begin{matrix}R _{k - 1} & =&A \, U_{k - 1}+ B \,V _{k - 1} \\ R _{k} & =&A \, U_k + B \,V _{k } \end{matrix} \right.$

$H_1$ est vraie par choix de $U_0 \, , \, U_1 \,, \, V_0 \, , \, V_1$ car $R_0 = A$ et $R_1 = B$ .

On suppose que $H_k$ est vraie et que $k < n$ .
$R_{k + 1} = - Q_k \, R_k + R_{k - 1}\,$ .
En utilisant $H_k\,$ ,
$R_{k + 1} = - Q_k (A \, U_k + B \,V _{k })$ $\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad + \, A \, U_{k - 1}+ B \,V _{k - 1}$
$R_{k + 1} = A ( - Q_k \, U_k + U_{k - 1} )$ $\quad \quad \quad \quad \quad \quad +\, B ( - Q_k \,V _{k } +V _{k - 1})$
et en utilisant les définitions de $U_{k + 1}$ et $V_{k + 1}\,$ , $R _{k+1} =A \, U_{k + 1} + B \,V _{k + 1}\,$ ,
ce qui prouve $H_{k + 1}\,$ .

Exemple
Soient $A = \textrm{X}^4 + 4\, \textrm{X}^3 + \textrm{X}^2 - 16$ et $B = \textrm{X}^3 + 3 \, \textrm{X}^2 - 3 \textrm{X} + 4$ .
Trouver $A \wedge B$ et une identité de Bezout.

Correction :

$\bullet$ Algorithme d’Euclide :
On note $R_0 = A$ et $R_1 = B$ .
$\ast$ $R_0 = Q_1\, R_1 + R_2$ avec $Q_1 = \textrm{X} + 1$ et $R_2 = \textrm{X}^2 - \textrm{X} - 20$

$\ast$ $R_1 = Q_2 \, R_2 + R_3$ et $Q_ 2 = \textrm{X} + 4$ et $R_3 = 21 \, Q_2$

$\ast$ $R _ 3 = 21( \textrm{X} + 4)$ et $R_2 (- 4) = 0$ donnent : $R_3$ divise $R_2\,$ , donc $R_4 = 0$ .
$R_3$ est le dernier reste non nul

$\ast conclusion$ $A \wedge B = \textrm{X} + 4$

$\bullet$ Identité de Bezout en remontant l’algorithme de Bezout :
$R_3 = R_1 - Q_2 R_2$
$R_3 = R_1 - Q_2 (R_0 - Q_1 \, R_1)$
$R3 = R_1 \left ( 1 + Q_1 \, Q_2 \right ) - Q_2 \, R_0$
En divisant par 21 :
$\quad \quad \quad \textrm{X} + 4 = U \, A + V \, B$
avec $U = - \displaystyle \frac 1 {21} Q_2$
soit $U = \displaystyle \frac {- 1} {21} (\textrm{X} +4 )$
et $V = \displaystyle \frac 1 {21} (1 + Q_1 \, Q_2)$
soit $V = \displaystyle \frac 1 {21} ( \textrm{X}^2 +5 \textrm {X} +5 )$

$\bullet$ en utilisant l’algorithme étendu sachant que $Q_1 = \textrm{X} + 1$ et $Q_2 = \textrm{X} + 4$
On définit
$\ast$ $(U_0 \,, \, V_ 0) = (1\, ,\, 0)$
$\ast$ $(U_1 \,, \, V_1) = (0 \, , \, 1)$
$\ast$ $(U_2 \,, \, V_2) = (U_0 - Q_1 \, U_1 \, , \, V_0 - Q_1 \, V_1 )$
$\quad (U_2 \,, \, V_2) = (1 \, , \, - Q_1)$
$\ast$ $(U_3 \,, \, V_3) = (U_1 - Q_2 \, U_2 \, , \, V_1 - Q_2 \, V_2 )$
$\quad (U_3 \,, \, V_3) = (- Q_2 \, , \,1 + Q_1\, Q_2)$
donne
$21( \textrm{X} + 4) = ( - Q_2) A + (1 + Q_1 \, Q_2) B$ .

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3. Propriétés des PGCD et PPCM

$\bullet$ Si $A , B , C , P \in \mathbb{K}[\textrm{X}]$ ,
$\ast$ $(A\wedge B) \wedge C = A \wedge (B \wedge C)$
$\ast$ $P(A \wedge B)$ et $(P A) \wedge (P B)$ sont associés.

$\bullet$ Si $A_1 \, , \, A_2 \, , \, \cdots \, ,\, A_n$ sont des éléments non nuls de $\mathbb{K}[\textrm{X}]$ , le PGCD de cette famille est le polynôme unitaire noté $A_1 \, \wedge \, A_2 \, \wedge \, \cdots \, \wedge\, A_n$ qui est le diviseur unitaire commun aux $n$ polynômes de degré maximal.
Il existe des polynômes $U_1 \, , \, U_2 \, , \, \cdots \, ,\, U_n$ de $\mathbb{K}[\textrm{X}]$ tels que
$\displaystyle A_1 \, \wedge \, A_2 \, \wedge \, \cdots \, \wedge\, A_n = \sum _{k = 1} ^n U_k \, A_k \,$ .
(Relation de Bezout)

$\bullet$ Si $A , B \in \mathbb{K}[\textrm{X}]$ , on appelle PPCM de $A$ et $B$ tout élément $M \in \mathbb{K}[\textrm{X}]$ vérifiant les deux conditions :
$\quad \ast$ $M$ est un multiple de $A$ et $B$
$\quad \ast$ Si $P$ est un multiple de $A$ et $B$ , $P$ est un multiple de $M$ .
Lorsque $A$ et $B$ sont non nuls, tous les PPCM sont associés et on note $A \vee B$ le seul PPCM unitaire.

$\bullet$ Si $A , B \in \mathbb{K}[\textrm{X}]\setminus \{0\}$ ,
$(A \vee B) \, (A \wedge B)$ et $A \, B$ sont associés.

4. Polynômes premiers entre eux

$\bullet$ $A$ et $B$ de $\mathbb{K}[\textrm{X}]$ sont premiers entre eux
ssi $A \wedge B = 1$
ssi $\exists \, (U \, , \, V) \in \mathbb{K}[\textrm{X}]^2$ , $A \, U + B \, V = 1$ .

$\bullet$ $A_1 \, , \, A_2 \, , \, \cdots \, ,\, A_n$ de $\mathbb{K}[\textrm{X}]$ sont premiers entre eux dans leur ensemble
ssi $A_1 \, \wedge \, A_2 \, \wedge \, \cdots \, \wedge\, A_n = 1$
ssi Il existe $U_1 \, , \, U_2 \, , \, \cdots \, ,\, U_n$ de $\mathbb{K}[\textrm{X}]$ tels que $\displaystyle \sum _{k = 1} ^n U_k \, A_k \, = 1$ .

$\bullet$ Si $A_1 \, , \, A_2 \, , \, \cdots \, ,\, A_n$ de $\mathbb{K}[\textrm{X}]$ sont premiers deux à deux, ils sont premiers entre eux dans leur ensemble.
⚠️ la réciproque est fausse.

$\bullet$ Théorème de Gauss
$A , B , C \in \mathbb{K}[\textrm{X}]$ non nuls,
Si $A \wedge B = 1$ et $A$ divise $B \, C$ , alors $A$ divise $C$ .

$\bullet$ Soient $A_1 \, , \, A_2 \, , \, \cdots \, ,\, A_n\, , \, P$ de $\mathbb{K}[\textrm{X}]$
$\ast$ $\forall \, i \in [\![1 \, , \, n]\!],\, P \wedge A_i = 1$ ,
alors $P \wedge (A_1 \, \cdots \, A_n) = 1$ .
$\ast$ $\forall \, i \in [\![1 \, , \, n]\!],\, A_i$ divise $P$ et si les polynômes $(A_i)_{1 \leq i \leq n}$ sont premiers 2 à 2, alors $A_1 \, \cdots \, A_n$ divise $P$ .

Les mathématiques sont très importantes en Maths Sup, et le coefficient de cette épreuve est très élevé aux concours post-prépa. Adopter les bons réflexes et maîtriser parfaitement les notions de Maths Sup est fondamental pour réussir ces concours. Les cours en ligne et des professeurs particulier de maths sont mis à disposition des étudiants de PTSI, PCSI et MPSI pour les aider dans leurs révisions et les faire progresser durablement. Ainsi, à la fin de ce cours, les étudiants sont invités à consulter et travailler sur les prochains chapitres du programme :

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