Chapitres Maths en MPSI, PCSI, MP2I, PTSI
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Cours : Arithmétique Polynômes en Maths Sup MPSI, MP2I
Résumé de cours Exercices et corrigés
Cours en ligne de Maths en Maths Sup
Résumé de cours et méthodes – Arithmétique Polynômes en Maths Sup
Plan :
1.Trouver un PGCD de et
2. Relation de Bezout
3. Propriétés des PGCD et PPCM
4. Polynômes premiers entre eux
Rappel et
non nuls de
sont associés lorsque’il existe
tel que
.
1.Trouver un PGCD de
et 
On suppose dans ce §, que et sont non nuls.
On note
l’ensemble des diviseurs communs à
et
,
un P.G.C.D de
et
(soit un polynôme de degré maximal élément de
)
le P.G.C.D de
et
, c’est à dire le polynôme unitaire de degré maximal de
.
Tous les PGCD de et
sont associés.
M1. Si
et
sont scindés sur
,
s’ils n’ont pas de racine commune,
s’ils ont
racines communes et s’écrivent
et
où sont des éléments de
deux à deux distincts.
où .
M2. Si
et si les décompositions de
et
sous forme de produits de polynômes irréductibles
s’ils n’ont pas de facteur irréductible commun,
s’ils ont
facteurs irréductibles communs et s’écrivent :
et
où sont des polynômes irréductibles 2 à 2 distincts,
où
M3. En utilisant une relation de Bezout
Il existe
tel que
.
ssi
tel que
.
M4. En utilisant l’algorithme d’Euclide
On se ramène au cas où ,
Poser et
.
est le polynôme unitaire proportionnel au dernier reste non nul dans la suite des divisions euclidiennes suivantes :
…
.
On rappelle que l’on note
.
Si est associé à
.
Exemple
Soit et
Trouver et une identité de Bezout.
Correction :
Algorithme d’Euclide :
On note et
.
avec
et
et
et
et
donnent :
divise
, donc
.
est le dernier reste non nul
Identité de Bezout en remontant l’algorithme de Bezout :
En divisant par 21 :
avec
soit
et
soit
En utilisant l’algorithme étendu sachant que
et
On définit
donne
.
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2. Relation de Bezout
Si ,
et
la relation de Bezout (arithmétique en Maths Sup) est évidente par division par de cette relation.
On suppose dans la suite et
non constants.
On peut trouver et
de la relation de Bezout :
Il existe tels que
,
en utilisant l’algorithme d’Euclide étendu
Poser et
avec
.
est le polynôme unitaire proportionnel au dernier résultat non nul dans la suite des divisions euclidiennes suivantes :
on écrit si avec
et .
En notant ,
et si ,
alors pour tout
ce qui permet de trouver par récurrence
et d’en déduire la relation de Bezout.
lorsque
est faible, on peut « remonter » l’algorithme de Bezout petit à petit en partant de
puis en utilisant
et en réitérant le principe, jusqu’à tout exprimer en fonction de et
.
Il n’y a pas unicité du couple
de la relation de Bezout car
est aussi solution pour tout
.
Démo :
On note si ,
est vraie par choix de
car
et
.
On suppose que est vraie et que
.
.
En utilisant ,
et en utilisant les définitions de et
,
,
ce qui prouve .
Exemple
Soient et
.
Trouver et une identité de Bezout.
Correction :
Algorithme d’Euclide :
On note et
.
avec
et
et
et
et
donnent :
divise
, donc
.
est le dernier reste non nul
Identité de Bezout en remontant l’algorithme de Bezout :
En divisant par 21 :
avec
soit
et
soit
en utilisant l’algorithme étendu sachant que
et
On définit
donne
.
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3. Propriétés des PGCD et PPCM
Si
,
et
sont associés.
Si
sont des éléments non nuls de
, le PGCD de cette famille est le polynôme unitaire noté
qui est le diviseur unitaire commun aux
polynômes de degré maximal.
Il existe des polynômes de
tels que
.
(Relation de Bezout)
Si
, on appelle PPCM de
et
tout élément
vérifiant les deux conditions :
est un multiple de
et
Si
est un multiple de
et
,
est un multiple de
.
Lorsque et
sont non nuls, tous les PPCM sont associés et on note
le seul PPCM unitaire.
Si
,
et
sont associés.
4. Polynômes premiers entre eux
et
de
sont premiers entre eux
ssi
ssi ,
.
de
sont premiers entre eux dans leur ensemble
ssi
ssi Il existe de
tels que
.
Si
de
sont premiers deux à deux, ils sont premiers entre eux dans leur ensemble.
la réciproque est fausse.
Théorème de Gauss
non nuls,
Si et
divise
, alors
divise
.
Soient
de
,
alors .
divise
et si les polynômes
sont premiers 2 à 2, alors
divise
.
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