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Correction d’exercices sur les ensembles et applications en Math Sup

Résumé de cours Cours en ligne de Maths en Maths Sup

Plan des exercices : Bijection, Lois Internes, Anneaux

1. Sur les ensembles
2. Injection, surjection, bijection
3. Images directes et réciproques
4. Relations d’équivalence
5. Relations d’ordre
6. Lois internes
7. Groupes
8. Anneaux
9. Structure d’anneau sur $\mathcal{P}(E)$ .

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1. Sur les ensembles

Exercice 1
Soient $A, B , C$ trois parties de $E$ .
$A \cap B = A \cap C$ ssi $A \cap \overline{B} = A \cap \overline{C}$ . Vrai ou Faux ?

Correction : $\bullet$ On suppose que $A \cap B = A \cap C$ .
Soit $x \in A \cap \overline{B}$ , $x \notin B \Rightarrow x \notin A \cap B \Rightarrow x \notin A \cap C$ .
$x \in A$ et $x \notin A \cap C \Rightarrow x \notin C \Rightarrow x \in \overline {C}$ .
Comme $x \in A$ , $x \in A \cap \overline{C}$ .
On a prouvé l’inclusion
$\quad \quad\quad A \cap \overline{B} \subset A \cap \overline{C}$ .
En échangeant $B$ et $C$ , on obtient l’inclusion contraire, donc par double inclusion $A \cap \overline{B} = A \cap \overline{C}$ .

$\bullet$ On suppose que $A \cap \overline{B} = A \cap \overline{C}$ .
L’implication précédente utilisée avec $\overline B$ et $\overline C$ donne
$\quad A \cap \overline{\overline {B}} = A \cap \overline{\overline{C}} \Leftrightarrow A \cap B = A \cap C$ .

On a démontré l’équivalence.

Exercice 2
Soient $A, \, B,\, C$ trois parties de $E$ .
Trouver une condition nécessaire et suffisante pour que $A \cup B= B \cap C$ .

Correction : $\bullet$ Analyse
Si $A \cup B= B \cap C$ ,
$\ast$ $A \subset A \cup B$ donc $A \subset B \cap C \subset B$
$\ast$ $B \subset A \cup B$ donc $B \subset B \cap C \subset C$
On a prouvé que $A \subset B \subset C$ .

$\bullet$ Synthèse
Si $A \subset B \subset C$ , $A \cup B = B$ et $B \cap C = B$ donc $A \cup B= B \cap C$ .

On a démontré que $\quad \quad A \cup B = B \cap C \Leftrightarrow A \subset B \subset C$ .

Exercice 3
Soient $A$ , $B$ et $C$ trois parties de $E$ . vérifiant $E = A \cup B$ , $A \cap C \subset B$ et $B \cap C \subset A$ .
Alors $C \subset A \cap B$ .

Vrai ou Faux ?

Correction : Soit $x \in C$ .
$\bullet$ On suppose que $x \notin A$ , comme $E = A \cup B$ , $x \in B$ , donc $x \in B \cap C$ alors $x \in A$ . On aboutit à une contradiction.
Il est impossible que $x \notin A$ .

$\bullet$ On a prouvé que $x \in A$ . Comme $x \in C$ , $x \in A \cap C$ , donc $x \in B$ .
Alors $x \in A \cap B$ .

On a prouvé l’inclusion : $C \subset A \cap B$ .

Exercice 4
Soient $A$ , $B$ et $C$ trois parties de $E$ .
Si $A \cap B \subset A \cap C$ et $A \cup B \subset A \cup C$ , $B \subset C$ . Vrai ou Faux ?

Correction : Soit $x \in B$ .
On distingue deux cas :
$\bullet$ $x \in A$ , alors $x \in A \cap B \Rightarrow x \in A \cap C$ , donc $x \in C$ .

$\bullet$ $x \notin A$ , $x \in A \cup B \Rightarrow x \in A \cup C$ avec $x \notin A$ , $x \in C$ .

Dans les deux cas, $x\in C$ .
On a prouvé que $x \in B \Rightarrow x \in C$ .
On a établi que $B \subset C$ .

2. Injection, surjection, bijection

Exercice 1
Soit $f$ une application de $E$ dans $E$ telle que $f \circ f \circ f = f$ .
$f$ est injective si, et seulement si, $f$ est surjective. Vrai ou Faux ?

Correction :

$\bullet$ On suppose que $f$ est injective.
Pour tout $x$ de $E$ , $f \circ f \circ f (x) = f(x)$ , donc $f(f \circ f (x)) = f(x)$ .
$f$ étant injective, $f \circ f (x) = x$ , donc il existe $t$ dans $E$ ( $t = f (x)$ ) tel que $x = f(t)$ . On en déduit que $f$ est surjective.
On a donc prouvé que si $f$ est injective, $f$ est surjective.

$\bullet$ On suppose que $f$ est surjective.
Soient $x$ et $y$ dans $E$ tels que $f(x) = f(y)$ . Comme $f$ est surjective, il existe $t$ et $t'$ dans $E$ tels que $x = f(t)$ et $y = f(t')$ . L’hypothèse s’écrit $\quad f \circ f (t) = f (x) = f(y) = f \circ f (t')$
et en prenant l’image par $f$ : $\quad \quad \quad f \circ f \circ f (t) = f \circ f \circ f (t')$ .
Comme $f \circ f \circ f = f$ , on en déduit que $f(t) = f(t')$ soit $x = y$ .
On a ainsi prouvé que $f$ est injective.
On a donc établi que si $f$ est surjective, $f$ est injective.

On a donc prouvé que si $f$ est injective ou surjective, $f$ est bijective. En composant la relation $f \circ f \circ f = f$ par $f ^{-1}$ , on obtient $f \circ f = \textrm{Id}_E\,$ .

Exercice 2
On note $U =\; ]0 , +\infty [ \times ]0 , +\infty [$ et
$f : U \to U$ , $(x , \,y) \mapsto \displaystyle \left ( x \, y ,\, \frac {y} x \right )$ .
Question 1
$f$ est injective. Est-ce Vrai ou Faux ?

Correction : Il est évident que $f$ est définie sur $U$ à valeurs dans $U$ .

On suppose que $f(x , \,y) = f(x' ,\, y')$ soit $\displaystyle \left ( x \, y ,\, \frac {y} x \right )= \left ( x' \, y' ,\, \frac {y'} {x' }\right)$ donc $x y = x' y'$ et $\displaystyle \frac x y = \frac {x'} {y'}$ .
On note $t = \displaystyle \frac {y} x$ .
$t\in \mathbb{R} ^{+*}$ est tel que $y = t \,x$ et $y' = t\, x'$ .
La relation $x \,y = x' y'$ donne $t \,x^2 = t\, x'^2$ , puis $x^2 = x'^2$ ( $t > 0$ ) et enfin $x = x'$ car
$x > 0$ et $x' > 0$ . On en déduit que $\quad \quad \quad y = t \,x = t \,x' = y'$ .
On a prouvé que $\; \; f(x , \,y) = f(x' ,\, y') \Rightarrow (x , y) = (x' , \,y')$ , donc $f$ est injective.

Exercice 2 (fin)
Question 2
$f$ est-elle bijective ?

Correction : Soit $(u , v) \in U$ , on cherche $(x ,\, y) \in U$ tel que $f(x ,\, y) = (u , \,v)$ .
On doit donc résoudre le système :
$\quad \left \{ \begin{matrix} x \, y &=& u \\ y/x &=& v \end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow \left \{ \begin{matrix} v \, x^2 &=& u \\ y &=& v \, x \end{matrix}\right.$
$\quad \Leftrightarrow \left \{ \begin{matrix} x^2 = u/v \\ y = v \, x \end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow \left \{ \begin{matrix} x = \sqrt{ u/v} \\ y = v \, \, \sqrt{u/v} \end{matrix}\right.$
car $x > 0$ .
Les valeurs $x$ et $y$ obtenues sont bien strictement positives.

On a établi :
$\quad \quad f(x , \, y) = (u ,\, v)$ $\quad \quad \Leftrightarrow \displaystyle (x , \, y) = \left ( \sqrt{\frac u v } \, , \, \sqrt{u \, v} \right )$ .
On en déduit que $f$ est surjective.

En résumé, $f$ est une bijection de $U$ sur $U$ et $\; \; f ^{-1} : U \to U,\, (u , v) \mapsto \displaystyle \left ( \sqrt{\frac u v } \, , \, \sqrt{u \, v} \right )$ .

Exercice 3
Soient $f$ une application de $E$ dans $F$ , $g$ une application de $F$ dans $G$ et $h = g \circ f$ .
Question 1
Si $h$ est surjective et $g$ injective, $f$ est surjective. Vrai ou Faux ?

Correction : Soit $y \in F$ , $g(y) \in H$ .
Comme $h : E \to H$ est surjective, il existe $x \in E$ tel que $g(y) = h(x)$ soit $g(y) = g (f(x))$ .
Comme $g$ est injective, $y = f(x)$ .
On a donc prouvé que $f$ est surjective.

Exercice 3 (fin)
Question 2
Si $h$ est injective et $f$ surjective, $g$ est injective. Vrai ou Faux ?

Correction : Soit $(y ,\, y') \in F^2$ tel que $g(y) = g(y')$ .
$f$ est une surjection de $E$ sur $F$ .
Il existe $x \in E$ et $x' \in E$ tels que $\quad \quad y = f(x)$ et $y' = f(x')$
donc $g (f(x) ) = g(f(x'))$ $\Rightarrow h(x) = h(x')$ .
$h$ est injective, donc $x = x'$ alors $y = y'$ .
On a prouvé que $g$ est injective.

Exercice 4
Soient $E, \, F$ et $G$ trois ensembles et $f$ une application de $F$ dans $G$ .
Montrer que $f$ est injective ssi $\forall\, (g ,\, h) \in( \mathcal{F}(E,\, F)) ^2 ,$ $\quad \quad \quad \, ( f \circ g = f \circ h \Rightarrow g = h )$ .

Correction : $\bullet$ On suppose que $f$ est injective.
Soient $g$ et $h$ deux applications de $E$ dans $F$ telles que $f \circ g = f \circ h$ .
Alors $\forall \, x \in E ,\, f \circ g(x) = f \circ h(x)$ , donc $f ( g(x) ) = f ( h(x) )$ , comme $f$ est injective, on en déduit que $g(x) = h(x)$ .
$g$ et $h$ sont deux applications de $E$ dans $F$ telles que $\forall\, x \in E$ , $g(x) = h(x)$ , alors $g = h$ .

$\bullet$ Au lieu de montrer que si $\forall\, (g ,\, h) \in \left (F ^E \right ) ^2 , \, ( f \circ g = f \circ h \Rightarrow g = h )$ , alors $f$ est injective, on démontre la contraposée.
C’est à dire on démontre que si $f$ n’est pas injective, on peut trouver deux applications $g$ et $h$ de $E$ dans $F$ telles que $g \neq h$ et $f\circ g = f \circ h$ .

$f$ n’est pas injective, donc il existe deux éléments distincts $a$ et $b$ de $F$ tels que $f(a) \neq f(b$ ).
On définit $g : E \to F ,\, x \mapsto a$ et $h : E \to F , \, x \mapsto b$ .
$g$ et $h$ sont deux éléments distincts de $\mathcal{F}(E,\, F)$ .
Pour tout $x \in E$ , $f \circ g(x) = f( g(x) ) = f(a) = f(b)$ $f \circ g(x) = f( h(x) ) = f \circ h(x)$ ,
ce qui prouve que $f \circ g = f \circ h$ .
On a donc établi que
si $\forall\, (g ,\, h) \in \left (F ^E \right ) ^2 ,$ $\quad \quad \quad \, ( f \circ g = f \circ h \Rightarrow g = h )$ ,
alors $f$ est injective.

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3. images directes et réciproques

Exercice 1
Soit $f$ une application de $E$ dans $F$ , montrer que $f$ est surjective si, et seulement si, $\quad \forall \, B \in \mathcal {P}(F), \, f(f^{-1}(B)) = B$ .

Correction : $\bullet$ On suppose que $f$ est surjective. Soit $B$ une partie quelconque de $F$ .
$\ast$ Pour tout $y \in f(f^{-1}(B))$ , il existe $x$ dans $f^{-1}(B)$ tel que $y = f(x)$ . Par définition de $f^{-1}(B)$ , $f(x) \in B$ , donc $y = f(x) \in B$ . On a donc établi que $f(f^{-1}(B)) \subset B$ .
$\ast$ Soit $y \in B$ . Comme $f$ est surjective, il existe $x \in E$ tel que $y = f(x)$ . Alors $f(x) \in B$ donc $x \in f^{-1}(B)$ , on en déduit que $\; \; f(x) \in f(f^{-1}(B)) \Rightarrow y \in f(f^{-1}(B))$
On a démontré que $B \subset f(f^{-1}(B))$ .
Donc si $f$ est surjective, pour toute partie $B$ de $F$ , $B = f(f^{-1}(B))$ .

$\bullet$ On suppose que pour toute partie $B$ de $F$ , $B = f(f^{-1}(B))$ .
En particulier pour $B = F$ , $\quad \quad \quad F = f(f^{-1}(F))$ .
Donc pour tout $y \in F$ , $y \in f(f^{-1}(F))$ , il existe $x \in f^{-1}(F)$ donc $x \in E$ tel que $y = f(x)$ .
On a établi que $f$ est surjective.

👍 On remarque que l’on a prouvé que
si $f \in E ^F$ , l’inclusion $f(f^{-1}(B)) \subset B$ est vérifiée pour toute partie $B$ de $F$ .

Exercice 2
Soit $f$ une application de $E$ dans $E$ .
On note $X = \{A \in \mathcal{P}(E)\, /\, f ^{-1} (f(A)) = A\}$ .
Question 1
$E \in X$ . Vrai ou Faux ?

Correction : On remarque d’abord que pour tout $A \in \mathcal{P}(E)$ , $A \subset f ^{-1} (f(A))$ :
car si $x \in A,\, f(x) \in f(A)$ , donc $x \in f ^{-1} (f(A))$ .

Alors $E \subset f ^{-1} (f(E))$ et comme l’inclusion $f ^{-1} (f(E)) \subset E$ est évidente, par double inclusion, $f ^{-1} (f(E))= E$ , donc $E \in X$ .

Exercice 2 (suite)
Question 2
Si $A$ et $B$ sont deux éléments de $X$ , $A \cup B \in X$ . Vrai ou Faux ?

Correction : Soient $A$ et $B$ deux éléments de $X$ , on suppose donc que $f ^{-1} (f(A)) = A$ et $f ^{-1} (f(B)) = B$ .
Soit $x \in f ^{-1} (f(A \cup B))$ , alors $f(x) \in f(A \cup B)$ , donc il existe $x' \in A \cup B$ tel que $f(x) = f(x')$ .
Comme $x' \in A$ ou $x' \in B$ , $f(x') \in f(A)$ ou $f(x') \in f(B)$ , avec $f(x) = f(x')$ , donc $f(x) \in f(A)$ ou $f(x) \in f(B$ ), alors $x \in f ^{-1} (f(A))$ ou $x \in f ^{-1} (f(B))$ .
D’après l’hypothèse sur $A$ et $B$ , $x \in A$ ou $x \in B$ soit $x \in A \cup B$ .
On a prouvé que $\quad \quad f ^{-1} (f(A \cup B))\subset A \cup B$ .
Comme l’inclusion $\quad \quad A \cup B \subset f ^{-1} (f(A \cup B))$
est toujours vérifiée, par double inclusion, $A \cup B = f ^{-1} (f(A \cup B))$ soit $A \cup B \in X$ .

Exercice 2 (suite)
Question 3
Si $A$ et $B$ sont deux éléments de $X$ , $A \cap B \in X$ . Vrai ou Faux ?

Correction : Soient $A$ et $B$ deux éléments de $X$ , on suppose donc que $f ^{-1} (f(A)) = A$ et $f ^{-1} (f(B)) = B$ .
Soit $x \in f ^{-1} (f(A \cap B))$ , alors $f(x) \in f(A \cap B)$ , donc il existe $x' \in A \cap B$ tel que $f(x) = f(x')$ .
Puisque $f(x') \in f(A)$ , $f(x) \in f(A)$ donc $x \in f ^{-1} (f(A))$ , comme $A \in X$ , $x \in A$ .
De même, $x \in B$ donc $x \in A \cap B$ .
On a démontré que $\quad \quad f ^{-1} (f(A \cap B)) \subset A \cap B$ .

Comme on a toujours $\quad \quad \quad A \cap B \subset f ^{-1} (f(A \cap B))$ ,
par double inclusion,
$A \cap B = f ^{-1} (f(A \cap B))\Rightarrow A \cap B \in X$ .

Exercice 2 (fin )
Question 4
$X = \mathcal{P}(E)$ si, et seulement si, $f$ est injective.

4. Relations d’équivalence

Exercice 1
Soit $E$ un ensemble non vide et $F = \mathcal{F}(E , E)$ .
On rappelle que $S_E$ est l’ensemble des bijections de $E$ sur $E$ .
On définit sur $F$ la relation $\mathcal{R}$ par
$\; \; f\, \mathcal{R} \, g \Leftrightarrow \exists \, h \in S_E, \, g = h \circ f \circ h ^{- 1}$ .
$\mathcal{R}$ est une relation d’équivalence sur $F$ .

Vrai ou Faux ?

Correction : $\bullet$ Soit $f \in F$ et $h = \textrm{Id}_E\,$ , alors $f = h \circ f \circ h ^{- 1}$ donc $f\, \mathcal{R} \, f$ .
$\mathcal{R}$ est réflexive.

$\bullet$ Soit $(f\, , \, g) \in F^2$ vérifiant $f\, \mathcal{R} \, g$ .
Il existe $h \in S_E$ tel que $g = h \circ f \circ h ^{- 1}$ alors $f = h ^{-1} \circ g \circ h$ soit $f = h' \circ g \circ h'^{-1}$ avec $h' = h ^{- 1} \in S_E\,$ .
$\mathcal{R}$ est symétrique.

$\bullet$ Soit $(f\, , \, g\, , \, h) \in F^3$ vérifiant $f\, \mathcal{R} \, g$ et $g\, \mathcal{R} \, h$ .
Il existe $(u \, , \, v) \in S_E^2$ tel que $\quad g = u \circ f \circ u ^{- 1}$ et $h = v \circ g \circ v ^{- 1}$
alors $h = v \circ ( u \circ f \circ u ^{- 1}) \circ v ^{- 1}$
par associativité de la loi $\circ$ ,
$\quad h =( v \circ u ) \circ f \circ (u ^{- 1} \circ v ^{- 1})$
puis en utilisant $u ^{- 1} \circ v ^{- 1} = (v \circ u) ^{- 1}$ en notant $w = v \circ u \in S_E\,$ , on a montré que $h = w \circ f \circ w^{- 1}$ donc $f\, \mathcal{R} \, h$ .
On a prouvé que $\mathcal{R}$ est transitive.

$\mathcal{R}$ est une relation d’équivalence sur $F$ .

Exercice 2
Soit $E$ un ensemble contenant au moins deux éléments et $x$ un élément de $E$ fixé.
On définit $\mathcal{R}$ sur $\mathcal{P}(E)$ par :
$A \, \mathcal{R} \, B$ ssi $x \in A \cap B$ ou $x \in \overline{A} \cap \, \overline{B}$
Question 1
$\mathcal{R}$ est une relation d’équivalence sur $\mathcal{P}(E)$ . Vrai ou Faux ?

Correction : $\bullet$ Soit $A \in \mathcal{P}(E)$ .
$\ast$ Si $x \in A$ , $x \in A \cap A$ donc $A \, \mathcal{R} \,A$ .
$\ast$ Si $x \notin A$ , $x \in \overline{A}$ donc $x \in \overline{A} \cap \overline{A}$ , donc $A \, \mathcal{R} \,A$ .
Par disjonction des cas, on a prouvé que $A \, \mathcal{R} \,A$ .
La relation est réflexive.

$\bullet$ Soit $(A \, , \,B) \in \mathcal{P}(E)^2$ ,
si $A \, \mathcal{R} \, B$ , alors $B \, \mathcal{R} \, A$ par commutativité de la loi $\cap$ .
La relation est symétrique.

$\bullet$ Soit $(A \, , \,B\, , \, C) \in \mathcal{P}(E)^3$ ,
si $A \, \mathcal{R} \, B$ et $B \, \mathcal{R} \, C$ , on distingue les cas :
$\ast$ $x \in A \cap B$ et $x \in B \cap C$ , alors $x \in A \cap C$ donc $A \, \mathcal{R} \, C$ .
$\ast$ $x \in \overline{A} \cap \, \overline{B}$ et $x \in \overline{B} \cap \, \overline{C}$ , alors $x \in \overline{A} \cap \, \overline{C}$ donc $A \, \mathcal{R} \, C$ .
$\ast$ Il est impossible d’avoir $x \in A \cap B$ et $x \in \overline{B} \cap \overline{C}$ , car on devrait avoir $x \in B \cap \overline {B}$ .
$\ast$ Il est impossible d’avoir $x \in B \cap C$ et $x \in \overline{A} \cap \overline{B}$ , car on devrait avoir $x \in B \cap \overline {B}$ .
Par disjonction des cas, on a prouvé que $A \, \mathcal{R} \, C$ .
$\mathcal{R}$ est transitive.

$\mathcal{R}$ est une relation d’équivalence sur $\mathcal{P}(E)$ .

Exercice 2 (fin)
Question 2
Quel est le nombre de classes d’équivalence ?

Correction : $\ast$ Soit $A = \{x \}$ .
On remarque que $A \, \mathcal{R} \,A'$ ssi $x \in A'$
car la relation $x \in \overline{A} \cap \overline {A'}$ est impossible et $x \in A \cap A'$ ssi $x \in A'$ .
Donc $\textrm{Cl}(A) = \{ A' \in \mathcal{ P}(E) \, / \, x \in A'\}$ .

$\ast$ Soit $B = \overline {\{x \}}$ .
On remarque que $B' \, \mathcal{R} \,B$ ssi $x \notin B'$
car la condition $x \in B \cap B'$ est impossible et $x \in \overline{B} \cap \overline {B'}$ ssi $x \in \overline {B'}$ ssi $x \notin B'$ .
Alors $\textrm{Cl}(B) = \{ B' \in \mathcal{ P}(E) \, / \, x \notin B'\}$ .

Toute partie $C$ de $E$ vérifie
$\ast$ soit $x \in C$ , alors $C \in \, \textrm{Cl}(A)$
$\ast$ soit $x \notin C$ , alors $C \in \textrm{Cl}(B)$ .
On a donc trouvé toutes les classes d’équivalence.
Il y en a deux.

5. Relations d’ordre

Exercice 1
Soit $E$ un ensemble contenant au moins deux éléments et $x$ un élément de $E$ fixé.
Sur $\mathcal{P}(E)$ , on définit $\mathcal{R}$ par
$\quad A \, \mathcal{R} \, B$ ssi $A = B$ ou $x \in A \cap \overline{B}$ .
Question 1
$\mathcal{R}$ est une relation d’ordre sur $\mathcal{P}(E)$ .

Vrai ou Faux ?

Correction : $\bullet$ Soit $A \in \mathcal{P}(E)$ , comme $A = A$ , $A \, \mathcal{R} \,A$ .
La relation est réflexive.

$\bullet$ Soit $(A \, , \,B) \in \mathcal{P}(E)^2$ ,
On suppose que $A \, \mathcal{R} \, B$ et $B \, \mathcal{R} \, A$ .
Si l’on avait $A \neq B$ , on aurait $x \in A \cap \overline{B}$ et $x \in B \cap \overline{A}$ , donc on aurait $x \in A \cap \overline{A}$ , ce qui est impossible.
On a donc prouvé que $A = B$ .
La relation est antisymétrique.

$\bullet$ Soit $(A \, , \,B\, , \, C) \in \mathcal{P}(E)^3$ ,
On suppose que $A \, \mathcal{R} \, B$ et $B \, \mathcal{R} \, C$ .
$\ast$ Si $A = B$ et $B = C$ alors $A = C$ , donc $A \, \mathcal{R} \, C$ .
$\ast$ Si $A = B$ et $x \in B \cap \overline{C}$ , alors $x \in A \cap \overline{C}$ donc $A \, \mathcal{R} \, C$ .
$\ast$ Si $x\in A \cap \overline{B}$ et $B = C$ , alors $x \in A \cap \overline{C}$ donc $A \, \mathcal{R} \, C$ .
$\ast$ Les conditions $x \in A \cap \overline{B}$ et $x \in B \cap \overline {C}$ sont incompatibles car elles donnent $x \in B$ et $x \notin B$ .
Par disjonction des cas, on a prouvé que $A \, \mathcal{R} \, C$ .
La relation est transitive.

La relation $\mathcal{R}$ est une relation d’ordre.

Exercice 1 (suite)
Question 2
C’est une relation d’ordre total. Vrai ou Faux ?

Correction : On introduit $y \in E$ tel que $y \neq x$ .
On note $A = \{x \}$ et $B = \{x \, , \, y \}$ .
$\ast$ $A \neq B$ et $x \notin A \cap \overline {B}$ , donc $A \, \mathcal{R} \, B$ n’est pas vérifiée.
$\ast$ $B \neq A$ et $x \notin B \cap \overline {A}$ , donc $B \, \mathcal{R} \, A$ n’est pas vérifiée.

Les éléments $A$ et $B$ ne sont pas comparables pour la relation $\, \mathcal{R}\,$ qui n’est pas totale.

Exercice 2
Soit $E$ un ensemble et $H$ une partie fixée de $E$ distincte de $\varnothing$ et de $E$ .
On définit la relation $\mathcal{R}$ sur $\mathcal{P} (E)$ par :
$\forall (A , \, B) \in \mathcal{P} (E)^2$ , $A \, \mathcal{R} \, B$ ssi $A\cap H \subset B \cap H$ et $B \cap \overline{H} \subset A \cap \overline {H}$ .

Question 1
$\mathcal{R}$ est une relation d’ordre sur $\mathcal{P} (E)$ . Vrai ou Faux ?

Correction : $\bullet$ Pour tout $A \in \mathcal{P} (E) ,\, A \cap H \subset A \cap H$ et $A \cap \overline {H} \subset A \cap\overline {H}$ , donc $A \, \mathcal{R} \, A$ .
La relation $\mathcal{R} \,$ est une relation réflexive.

$\bullet$ $\forall\, (A ,\, B) \in \mathcal{P} (E)^2$ , si $A \, \mathcal{R} \, B$ et $B \, \mathcal{R} \, A$ .
$A \cap H \subset B \cap H$ et $B \cap \overline {H} \subset A \cap \overline {H}$
$B \cap H \subset A \cap H$ et $A \cap \overline {H} \subset B \cap \overline {H}$
$\Rightarrow A \cap H = B \cap H$ et $A \cap \overline {H} = B \cap \overline {H}$
On termine en utilisant $A = A \cap (H \cup \overline{H} ) = (A \cap H ) \cup (A \cap \overline{H})$
$A = (B \cap H ) \cup (B \cap \overline{H}) = B \cap E = B$ .
Donc la relation $\mathcal{R}$ est antisymétrique.

$\bullet$ $\forall\, (A , B , C) \in \mathcal{P} (E)^3$ ,
si $A \, \mathcal{R} \, B$ et $B \, \mathcal{R} \, C$ .
$\; \; A \cap H \subset B \cap H$ et $B \cap \overline {H} \subset A \cap \overline{H}$ ,
$\; \; B \cap H \subset C \cap H$ et $C \cap \overline {H} \subset B \cap \overline{H}$
donc par transitivité de l’inclusion, $\; \; A \cap H \subset C \cap H$ et $C \cap \overline {H} \subset A \cap \overline{H}$ .
On a prouvé que $A \, \mathcal{R} \, C$ .
La relation est donc transitive.

La relation $\mathcal{R}$ est une relation d’ordre sur $\mathcal{P} (E)$ .

Exercice 2 (suite)
Question 2
On a défini une relation d’ordre total ou partiel ?

Correction : Si l’on cherche à comparer $\varnothing$ et $E$ ,
$E\cap \overline{H} = \overline{H}$ n’est pas inclus dans $\varnothing \cap \overline{H} = \varnothing$ donc $\varnothing \, \mathcal{R} \, E$ est fausse.

$E \cap H = H$ n’est pas inclus dans $\varnothing \cap H = \varnothing$ , donc $E \, \mathcal{R} \, \varnothing$ est fausse.

On en déduit que $E$ et $\varnothing$ ne sont pas comparables pour la relation d’ordre $\mathcal{R}$ . Il s’agit d’une relation d’ordre partiel.

Exercice 2 (fin)
Question 3.
$\forall\, A \in \mathcal{P} (E)$ , $\overline{H} \mathcal {R} A$ et $A \mathcal {R} H$ .
$H$ (resp. $\overline {H}$ ) est appelé plus grand élément (resp. plus petit élément) pour cette relation d’ordre.

Vrai ou Faux ?

Correction : $\bullet$ On démontre que $H$ est plus grand élément de $\mathcal{P} (E)$ pour la relation $\mathcal{R}$ :
$\forall\, A \in \mathcal{P} (E)$ , $A \cap H \subset H$ donc $A \cap H \subset H \cap H$
et $H \cap \overline {H} = \varnothing \subset A \cap \overline {H}$ ,
donc $A \, \mathcal{R} \, H$ .

$\bullet$ On démontre que $\overline {H}$ est le plus petit élément de P (E) pour la relation $\mathcal{R}$ :
$\forall\, A \in \mathcal{P} (E)$ , $\overline {H}\cap H = \varnothing \subset A \cap H$ et $A \cap \overline {H} \subset \overline {H} = \overline {H} \cap \overline {H}$ , donc $\overline {H} \, \mathcal{R} \, A$ .

6. Loi de composition interne

Exercice 1
On suppose que $E$ est un ensemble non vide.
Si $v \in E ^E$ , on note $v_0 = \textrm{Id} _ E$ et si $n \in \mathbb{N}, v _{n + 1} = v_n \circ v$ .
On se donne $u \in E ^E$ et on note : $\quad \quad \mathcal{C} = \{ v \in E ^E \, / \, u \circ v = v \circ u \}$ .

Question 1.
Si $(v ,\, w) \in \mathcal{C}^2, \, v \circ w \in \mathcal{C}$ .

Vrai ou Faux ?

correction : On suppose que $(v , w) \in \mathcal{C}^2$
Par associativité de la loi $\circ$ ,
$(v \circ w) \, \circ u = v \circ (w \circ u)$
comme $w \in \mathcal{C}$ ,
$(v \circ w) \, \circ u = v \circ (u \circ w)$
par associativité de la loi $\circ$ ,
$(v \circ w) \, \circ u = (v \circ u ) \circ w$
comme $v \in \mathcal{C}$ ,
$(v \circ w) \, \circ u = (u \circ v ) \circ w$
par associativité de la loi $\circ$ ,
$(v \circ w) \, \circ u = u \circ ( v \circ w)$
donc $v \circ w \in \mathcal{C}$ .

⚠️ Justifiez les différentes étapes du raisonnement en déplaçant correctement les parenthèses.

Exercice 1 (suite)
Question 2
Pour tout $n \in \mathbb{N}, u_n \in \mathcal{C}$ .

Vrai ou Faux ?

Correction : Pour tout $n \in \mathbb{N}$ , soit $H_n : u_n \in \mathcal{C}$ .

$\bullet$ $u_ 0 = \textrm{Id}_E$ donc $u_0 \circ u = u = u \circ u_0$ et $u_0 \in \mathcal{C}$ .
$H_0$ est vraie.

$\bullet$ On suppose que $H_n$ est vraie.
$u_{n + 1} \circ u = (u_n \circ u) \circ u$
Par $H_n$ ,
$u_{n + 1} \circ u = (u \circ u_n) \circ u$
par associativité de la loi $\circ$ ,
$u_{n + 1} \circ u = u \circ (u_n \circ u)$
par définition de $u_{n + 1}\,$ ,
$u_{n + 1} \circ u = u \circ u_{n + 1}$
donc $u_{n + 1} \in \mathcal{C}$ .
$H_{n + 1}$ est vraie.

La propriété est démontrée par récurrence.

Exercice 1 (suite)
Question 3
Si $v \in \mathcal{C}$ , $\forall\, n \in \mathbb{N}, u_n \circ v = v \circ u_n\,$ .

Vrai ou Faux ?

Correction : Soit $v \in \mathcal{C}$ . On note :
$\quad \forall\, n \in \mathbb{N},\, H_n : u_n \circ v = v \circ u_n\,$ .

$\bullet$ $H_0$ est évidente car $u_0 = \textrm{Id} _ E\,$ .

$\bullet$ On suppose que $H_n$ est vraie.
$u_{n + 1} \circ v = (u_n \circ u) \circ v$
par associativité,
$u_{n + 1} \circ v = u_n \circ (u \circ v)$
comme $v \in \mathcal{C}$ ,
$u_{n + 1} \circ v = u_n \circ (v \circ u)$
par associativité,
$u_{n + 1} \circ v = (u_n \circ v )\circ u$
par $H_n$
$u_{n + 1} \circ v = (v \circ u_n) \circ u$
par associativité
$u_{n + 1} \circ v = v \circ (u_n \circ u )$
et en utilisant la définition de $u_{n + 1}$
$u_{n + 1} \circ v = v \circ u_{n + 1}$
ce qui prouve $H_{n + 1}\,$ .

La propriété est démontrée par récurrence.

Exercice 1 (fin)
Question 4
Si $v \in \mathcal{C}$ , $\forall\, n \in \mathbb{N}, (u \circ v)_n = u_n \circ v_n\,$ .

Vrai ou Faux ?

Correction : Soit $v \in \mathcal{C}$ . On note :
$\quad \forall\, n \in \mathbb{N},$ $H _n : (u \circ v)_n = u_n \circ v_n$ .

$\bullet$ $H_0$ est évidente car $(u\circ v)_0 = u_0 = v_0 = \textrm{Id}_E\,$ .

$\bullet$ On suppose que $H_n$ est vraie.
$(u \circ v) _{n + 1} = (u \circ v) _ n \circ (u \circ v)$ .
par $H_n\,$ ,
$(u \circ v) _{n + 1} = (u_n \circ v_n ) \circ (u \circ v)$ .
Par associativité,
$(u \circ v) _{n + 1} = u_n \circ (v_n \circ u )\circ v)$ .
en utilisant la question 3 par échange de $u$ et $v$
$(u \circ v) _{n + 1} = u_n \circ (u \circ v_n )\circ v)$ .
par associativité,
$(u \circ v) _{n + 1} = (u_n \circ u ) \circ (v_n \circ v)$
soit $(u \circ v) _{n + 1} = u_{n + 1} \circ v_{n + 1}$
ce qui prouve $H_{n + 1}\,$ .

La propriété est démontrée par récurrence.

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7. Groupes

Exercice 1
Soit $(G ,\, .)$ un groupe. On suppose que $A$ et $B$ sont deux sous-groupes de $G$ .
$A \cup B$ est un sous-groupe de $G$ ssi $A \subset B$ ou $B \subset A$ .

Vrai ou Faux ?

Correction : $\bullet$ Si $A \subset B$ , $A \cup B = B$ est un sous-groupe de $G$ .

$\bullet$ Si $B \subset A$ , $A \cup B = A$ est un sous-groupe de $G$ .

$\bullet$ Si $B$ n’est pas inclus dans $A$ et $A$ n’est pas inclus dans $B$ , il existe $b \in B$ tel que $b \notin A$ et $a \in A$ tel que $a \notin B$ .
Soit $c = a \, b$
$\ast$ Si $c \in A$ , alors $b = a ^{- 1} \, c$ serait un élément du groupe $A$ ce qui est exclu.
$\ast$ Si $c \in B$ , alors $a = c \, b ^{- 1}$ serait un élément du groupe $B$ ce qui est exclu.
donc $c \notin A \cup B$ .
On a trouvé deux éléments $a$ et $b$ de $A \cup B$ tels que $a\, b\notin A \cup B$ .
Donc $A \cup B$ n’est pas un sous-groupe de $(G,\, .)$ .

Exercice 2
On note si $(a , \, b) \in \mathbb{C}^* \times \mathbb{C},$ $\quad \quad f _{(a , \,b)} : \mathbb{C}\to \mathbb{C} , z \mapsto a \, z + b$ .
$G = \{ f_{(a ,\, b)} \, / \, (a , \,b) \in \mathbb{C}^* \times \mathbb{C} \}$ est un groupe pour la loi $\circ$ .

Vrai ou Faux ?

Correction : $\bullet$ $f_{(a, b)}$ est une bijection de $\mathbb{C}$ dans lui même car
si $u \in \mathbb{C}$ , $u = f_{(a ,\, b)} (z)$ ssi $u = a \,z + b$ ssi $z = \displaystyle \frac {u - b} {a}$ .
donc l’équation $u = f_{(a , \,b)} (z)$ admet une et une seule solution pour tout $u\in \mathbb{C}$ .
On remarque que l’on a prouvé en même temps que $(f_{(a ,\, b)}) ^{- 1} = f_{( 1/a , \,- b / a)}$
Alors $G$ est une partie du groupe $(S_{\mathbb{C}}\,, \, \circ)$

$\bullet$ $G$ est non vide car $\textrm{Id} _ {\mathbb {C}} = f _ {(1 , 0)}\in G$ .

$\bullet$ Si $(a , \,b) \in \mathbb{C}^* \times \mathbb{C}$ et $(c ,\, d) \in \mathbb{C}^* \times \mathbb{C}$ .
$\forall z \in \mathbb{C}, \,$
$f _{(c , \,d)} \circ f_{(a , \,b)} (z) = f _{(c , \,d)}(a \, z + b)$ $f _{(c , \,d)} \circ f_{(a , \,b)} (z) = c(a \, z + b) + d$
$f _{(c , \,d)} \circ f_{(a ,\,b)} (z) = (a \, c ) z + c \, b + d$ .
Comme $a \, c \neq 0$ ,
$f _{(c , \,d)} \circ f_{(a ,\, b)} = f_{(a \, c, \, c\, b + d)} \in G$ .

$\bullet$ Et on avait prouvé que $\quad (f_{(a , \,b)}) ^{- 1} = f_{( 1/a ,\, - b / a)} \in G$ .
Donc $G$ est un sous-groupe de $(S_{\mathbb{C}}\,, \, \circ)$ .

Exercice 3
Soient $(G , .)$ un groupe et $H$ un sous-groupe de $G$ .
Si $a \in G$ , on note $\quad a\, H\, a^{- 1} = \left \{ a\, x\, a ^{- 1} \, / \, x \in H \right \}$ .
$a\, H \, a ^{ - 1}$ est un sous-groupe de $G$ . Vrai ou Faux ?

Correction : On note $H' = a \, H\, a ^{ - 1}$ .
$\bullet$ $H'$ est une partie de $G$ .
$\bullet$ Comme $H$ contient $1_G\,$ , $H'$ contient $a . 1_G \, . a ^{- 1} = 1_G \,$ .
$\bullet$ Soit $( u ,\, v) \in H'^2$ , il existe $x$ et $y$ dans $H$ tels que $u = a \, x \, a ^{-1}$ et $v = a \, y \, a ^{-1}$ .
$u \, v ^{- 1} = ( a \, x \, a ^{-1}) \, ( a \, y \, a ^{-1}) ^{- 1}$
$u \, v ^{- 1} = ( a \, x \, a ^{-1}) \, ( a \, y^{-1} \, a ^{-1})$
$u \, v ^{- 1} = a \, x \, (a ^{-1} \, a) \, y^{-1} \, a ^{-1}$
$u \, v ^{- 1} = a \, x \, y^{-1} \, a ^{-1} = a \, z \, a ^{- 1}$ avec $z = x \, y^{-1} \in H$ , donc $u \, v ^{- 1} \in H'$ .

On a montré que $H'$ est un sous-groupe de $(G , \, . )$ . C’est un groupe.

8. Anneau

Exercice 1
Soit $(A , + , .)$ est un anneau
On dit que $x \in A$ est un diviseur de $0$ si $x \neq 0$ et il existe $y \neq 0$ tel que $x \, y = 0$ ou $y \, x = 0$ .

On note $U = \{ x \in A \, / \, \exists \, y \in A ,\, x \, y = y\, x = 1 \}$ .

Question 1
Soit $(x , \, y) \in A^2$ .
$1 - x \, y \in U$ ssi $1 - y \, x \in U$ . Vrai ou Faux ?

Correction : $\bullet$ On suppose que $z = 1 - x\, y \in U$ ,
$\ast$ on peut donc introduire
$(1 - y \, x) (1 + y \, z ^{ - 1} x ) = 1 - y \, x$ $\quad \quad \quad \quad \quad + \, y \, z ^{ - 1} x - y \, x\, y \,z ^{ - 1} \, x$

On simplifie :
$y \, z ^{ - 1} x - y \, x\, y \,z ^{ - 1} \, x = y\, (1 - x\, y ) z ^{- 1} \, x$
$y \, z ^{ - 1} x - y \, x\, y \,z ^{ - 1} \, x = y \, z \, z ^{ - 1} \, x = y \, x$
donc
$(1 - y \, x) (1 + y \, z ^{ - 1} x ) = 1 - y \, x + y \, x = 1$

$\ast$ On calcule
$(1 + y \, z ^{ - 1} x ) (1 - y \, x) = 1 - y \, x$ $\quad \quad \quad \quad \quad +\, y \, z ^{ - 1} x - y \,z ^{ - 1} \, x \, y \, x$
On simplifie
$y \, z ^{ - 1} x - y \,z ^{ - 1} \, x\, y \, x = y \, z^{- 1} (1 - x\,y)\, x$
$y \, z ^{ - 1} x - y \,z ^{ - 1} \, y \, x = y\, z ^{-1} \, z \, x = y \, x$
donc $(1 + y \, z ^{ - 1} x ) (1 - y \, x) = 1 - y \, x + y \, x = 1$

On a prouvé que
$(1 - y \, x) (1 + y \, z ^{ - 1} x ) =$ $\quad \quad \quad \quad (1 + y \, z ^{ - 1} x ) (1 - y \, x) = 1$
donc $1 - y \, x \in U$ .
On a prouvé que
$\quad \quad$ si $1 - x \, y \in U, \,1 - y \, x \in U$ .

$\bullet$ En échangeant $x$ et $y$ , on obtient :
$\quad \quad$ si $1 - y \, x \in U, \,1 - x \, y \in U$ .

Exercice 1 (fin)
Question 2
On suppose que $(a, \, b) \in A^2$ , $a \, b \in U$ et $b \, a$ n’est pas un diviseur de $0$ .
Alors $a$ et $b$ sont éléments de $U$ .

Vrai ou Faux ?

Correction : Comme $a\, b \in U$ , il existe $c \in A$ tel que $(a \, b )\, c = c\,(a \, b) = 1$ .
On multiplie la relation $a\,b\, c = 1$ à droite par $a$ et à gauche par $b$ , on obtient
$(b \, a) (b \, c \, a) = b\, a$ donc $b\, a( b\, c \, a - 1) = 0$ .
Comme $b \,a$ n’est pas un diviseur de $0$ , $b\, c \, a - 1 = 0$

$\ast$ On a donc prouvé que $b\,(c \, a) = 1$ et par hypothèse $(c \, a ) \, b = 1$ donc $b \in U$ .

$\ast$ On a prouvé que $(b \, c) \, a = 1$ et par hypothèse $a \, (b \, c) = 1$ donc $a \in U$ .

Exercice 2 : éléments nilpotents
Soit $(A , \, + ,\, .)$ un anneau. On note $1$ l’élément neutre pour la multiplication.
On dit qu’un élément $a \in A$ est nilpotent s’il existe $n \in \mathbb{N }^*$ tel que $a^n = 0$ .
Question 1
Si $x \in A$ est nilpotent, montrer que $1 - x$ est inversible et calculer son inverse

Correction : Si $x \in A$ est nilpotent, on introduit $n \in \mathbb{N}^*$ tel que $x ^n = 1$ .
Les éléments $1$ et $x$ permutent, donc
$1 = 1 - x^n = (1 - x) \displaystyle\left ( \sum _ {k = 0} ^{n - 1} x ^k \right )$
$1 = 1 - x^n = \displaystyle \left ( \sum _ {k = 0} ^{n - 1} x ^k \right ) (1 - x)$
donc $1 - x$ est inversible d’inverse égal $\displaystyle \sum _ {k = 0} ^{n - 1} x ^k$ .

Exercice 2 (suite)
Question 2
Soient $a$ et $b$ deux éléments de $A$ tels que $a$ soit inversible, $a\, b = b \,a$ et $b$ soit nilpotent. Montrer que $a + b$ est inversible et donner son inverse.

Correction : $\bullet$ On démontre par récurrence que pour tout $p \in \mathbb{N}^*$ , $H_p : a \, b ^p = b ^p \, a$ .
$H_1$ est vraie par hypothèse sur $a$ et $b$ .
Si $H_p$ est vraie, alors $a \, b ^{p + 1} = a \, (b \, b ^p) = (a \, b) \, b ^p$
par associativité, puis par $a \, b = b \,a$ ,
$\quad \quad a \, b ^{p + 1} = (b \, a)\, b ^p = b \, (a \, b^p)$
puis en utilisant $H_p$ et l’associativité,
$\quad \quad a \, b ^{p + 1} = b \, (b ^p \, a ) = (b \, b ^p )\, a = b ^{p + 1} \, a$ .
La propriété est démontrée par récurrence.

$\bullet$ On démontre par récurrence que pour tout $p \in \mathbb{N}$ , $H_p : (a \, b) ^p = a^p \, b ^p$ .
$H_1$ est évidente.
On suppose que $H_p$ est vraie.
$(a \, b) ^{p + 1} = (a \, b )^p \, (a \, b) = (a^p \, b ^p) \, (a \, b)$
$(a \, b) ^{p + 1} = a^p \, (b ^p \, a ) \, b = a^p \, (a \, b ^p ) \, b$
en utilisant la première partie.
$(a \, b) ^{p + 1} = ( a^p \, a) \, (b ^p \, b) = a^{p + 1} \, b ^{p + 1}$ .
La propriété est démontrée par récurrence.

$\bullet$ On note $x = - a ^{ - 1} \, b$ .
Si $a \, b = b \, a$ , $a ^{- 1} \, a \, b \, a ^{- 1} = a ^{- 1} \, b \, a \, a^{- 1}$
soit $b \, a^{- 1} = a ^{- 1} b$ .

$\bullet$ On introduit $n \in \mathbb{N}^*$ tel que $b ^n = 0$ .
On a montré que $a^{-1} \, b = b \, a^{- 1}$ et la deuxième partie ci-dessus donne :
$( a^{- 1} \, b ) ^n = (a ^{-1} ) ^n \, b ^n = (a ^{-1}) ^n\, 0 = 0$
et $x ^n = (-1) ^n ( a^{- 1} \, b ) ^n = 0$ .
Par la question1, $1 - x$ est inversible, soit $1 + a ^{ - 1} \, b$ est inversible. Puis comme $a$ est inversible, par produit $a( 1 + a ^{- 1} \, b) = a + b$ est inversible.

👍 On a démontré des propriétés utiles dans d’autres exercices.
Dans un anneau $A$ , si $a \, b = b \, a$ ,
$\quad$ $\forall\, p \in \mathbb{N}, \, a \,b ^p = b ^p \, a$ et $(a \, b)^p = a ^p \, b^p$ .
On pourrait en déduire que $\quad \; \; \forall\, (p\, , \, n) \in \mathbb{N}^2, \,a^n \, b ^p = b ^p \, a^n$ .
Si de plus $a$ est inversible, $\quad \quad \quad a ^{- 1} \, b = b \, a^{- 1}$ .

Exercice 2 (suite)
Question 3
Soient $a$ et $b$ deux éléments de $A$ tels que $a\, b = b \,a$ .
a) Si $a$ et $b$ sont nilpotents et $a \, b = b \, a$ , montrer que $a + b$ est nilpotent.
b) Si $a$ est nilpotent et si $a \, b = b \, a$ , montrer que $a \,b$ est nilpotent.
c) Si $a \, b$ est nilpotent, montrer que $b\, a$ est nilpotent.

Correction : $\bullet$ Partie a)
On note $(n\, , \, p) \in \mathbb{N}^{*2}$ tels que $a ^n = 0$ et $b ^p = 0$ .
$\bullet$ Si $a \, b = b \, a$ , on peut utiliser la formule du binôme de Newton,
$\displaystyle (a + b) ^{n + p} = \sum _{k = 0} ^{n + p} \binom {n + p} {k} a ^k \, b ^ {n + p - k}$
$\ast$ si $0\leq k \leq n$ , $p + n - k \geq p$ donc $b ^ {n + p - k} = 0$ et $a ^k \, b ^ {n + p - k} = 0$ .
$\ast$ si $k \geq n + 1$ , $a ^k = 0$ , donc $a ^k \, b ^ {n + p - k} = 0$ .
Par somme, $(a + b) ^{n + p} = 0$ , $a + b$ est nilpotent.

$\bullet$ Partie b)
On a vu aussi dans la question 2 que $(a \, b ) ^n = a ^n \, b ^n$ si $a \, b = b \, a$ .
Comme $a^n = 0$ , $(a \, b ) ^n = 0$ .
$a \, b$ est nilpotent.

$\bullet$ Partie c)
On établit par récurrence :
Si $n \in \mathbb{N}$ , $H_n : (b \, a) ^{n + 1} = b\, (a \, b)^n \, a$ .
$\ast$ $b\, (a \, b) a = (b \, a) \, (b \, a) = (b \, a) ^2$ .
On a démontré que $H_1$ est vraie.
$\ast$ On suppose que $H_n$ est vraie.
$(b \, a) ^{n + 2} =( b \, a) \, (b \, a) ^{n + 1}$ $(b \, a) ^{n + 2} = (b \, a) (b \, (a \, b) ^n \, a)$
$(b \, a)^{n + 1} = b (a \, b) \, (a \, b) ^n \, a$ $(b \, a) ^{n + 1} = b\ (a \, b)^{n + 1} \, a$ .
Ce qui prouve $H_{n + 1}\,$ .

$\bullet$ On suppose que $a \, b$ est nilpotent. Il existe donc $n \in \mathbb{N}$ tel que $(a \, b )^n = 0$ .
$(b \, a) ^{n + 1} = b \, ( b \, a )^n \, a = b . 0 . a = 0$ .
On a prouvé que $b \, a$ est nilpotent.