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Exercices corrigés sur l’Analyse Asymptotique en Maths Sup

Name: Groupe Réussite: Cours particuliers, stages intensifs de révision
Brand: Groupe Réussite
SKU: Cours Particuliers
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Résumé de cours Exercices et corrigés

Cours en ligne de Maths en Maths Sup

Plan des exercices : Les équivalents

1. Exercices : 3 applications directes des équivalents usuels
2. Exercices : 7 équivalents illustrant les méthodes
3. Exercices : 7 équivalents à choisir parmi des propositions
4. Les équivalents et la fonction $\ln$
5. On demande des exemples

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1. Exercice 1 : Justifier ces résultats en analyse asymptotique

1) $\displaystyle \ln (\textrm{ch}(x))\underset{x\to 0}{\sim} \frac {x^2} 2$

Correction : On sait que $\ln (u)\underset{u\to 1}{\sim}u-1$ et ch admet 1 pour limite en 0, donc $\displaystyle \ln (\textrm {ch}(x))\underset{x\to 0}{\sim}\text{ ch}(x)-1$
et enfin $\displaystyle \ln (\textrm{ch}(x))\underset{x\to 0}{\sim} \frac {x^2} 2$ par un équivalent usuel ou le DL de ch à l’ordre 2 en 0.

2) $\ln (\textrm{ch}(x))\underset{x\to +\infty }{\sim}x$

Correction : en utilisant $\displaystyle \ln (\textrm{ ch}(x))=\ln \left(\operatorname{e}^x\frac{1+\operatorname{e}^{-2x}} 2\right)$
$\displaystyle \ln (\textrm {ch}(x)) =\ln (\operatorname{e}^x)+\ln \left(\frac{1+\operatorname{e}^{-2x}} 2\right)$ .
Comme $\displaystyle \lim_{x\to +\infty} \ln \left(\frac{1+\operatorname{e}^{-2x}} 2\right) = \ln\left(\frac1 2\right)$ ,
$\ln (\textrm {ch}(x)) \underset{x\to +\infty }{ = }\;x+o(x)$
(Méthodes M3 du paragraphe 8)

3) $\ln (\sin x)\underset{x\to 0}{\sim}\ln (x)$

Correction :

$\sin x \underset {x \to 0} \sim x$ donc $\sin x \underset {x \to 0} { = } x + o(x)$
En utilisant $\ln (\sin x)\underset{x\to 0}{ =}\ln (x+o(x))$ ,
$\ln(\sin x) \underset {x \to 0} {= } \ln(x) + \ln(1 + o(1))$
$\displaystyle \ln (\sin x )\underset{x\to 0}{=}\ln (x) \left(1+\frac{\ln (1+o(1))} {\ln (x)} \right)$
et $\displaystyle \lim _{x\to 0}\frac{\ln (1+o(1))}{\ln (x)}=0.$
Donc $\ln (\sin x)\underset{x\to 0}{\sim}\ln (x)$ .

(Méthodes M3 du paragraphe 4).

Exercice 2 : Donner un équivalent au voisinage de $x_0$ de

1) $\ln(x) - 1$ pour $x_0 = \textrm{e}$

Correction :

En effet en notant $f(x) = \ln(x)$ , on cherche un équivalent de $\quad \quad \quad f(x) - f(\textrm{e})= \ln(x) - 1$ ,
la fonction $f$ est dérivable en e et de dérivée non nulle égale à 1/e , $\quad \quad f(x) - f(\textrm e) \underset {x \to \textrm e } \sim f'(\textrm{e} ) (x - \textrm{e})$
$\quad \quad \ln (x) - 1 \underset {x \to \textrm e } \sim \displaystyle \frac 1 {\textrm{e}} \, (x - \textrm{e})$ .
(Méthodes M2 du paragraphe 8)

2) $\sin(x)$ pour $x_0 = n \pi$ où $n$ est entier.

Correction :

attention, on ne suppose pas $n = 0$ , $\quad \sin (x)\underset{x\to n\pi}{\sim}(-1)^n(x-n\pi )$
car $\sin(x) = (- 1) ^{ n} \sin(x- n \pi)$ et $x - n \pi$ tend vers 0.
Il faut savoir que si $n \in \mathbb{Z}$ , $\quad \quad \quad \sin(t + n \pi) = ( - 1) ^n \sin(t)$
(considérer les cas $n$ pair puis $n$ impair).

3) $\tan(x) - 1$ pour $x_0 = \pi/4$

Correction : C’est une expression de la forme $\displaystyle f(x) - f \left (\frac {\pi} 4\right)$ avec $f = \tan$ dérivable en $\pi/4$ de dérivée non nulle égale à 2
$\displaystyle f(x) - f \left (\frac {\pi} 4\right) \underset {x \to \pi/4} \sim f' \left (\frac {\pi} 4\right) \left ( x - \frac {\pi} 4\right)$
$\displaystyle \tan(x) - 1 \underset {x \to \pi/4} \sim 2\, \left ( x - \frac {\pi} 4\right)$
(Méthodes M2 du § 8).

4) $x_0 = a$ où $a \, {\neq}\, 0$ et $n \, {\in} \, \mathbb{N}^*$ , $x^n - a^n$

Correction : $x^n-a^n\underset{x\to a}{\sim}n\;a^{n-1}\;(x-a)$
car $x$ $\mapsto x ^n$ est dérivable en $a$ de dérivée
$n \, a ^{n - 1}$ non nulle
(on avait à trouver un équivalent de $f(x) - f(a)$ voir Méthodes M2 du paragraphe 8).

5) $x_0 = + {\infty}$ , $\displaystyle \ln \left( x + \sqrt{ x^2 + 1}\right)$

Correction :

$\ln \left( x + \sqrt{ x^2 + 1}\right)\underset{x\to +\infty }{\sim}\ln (x)$

$f(x) = \ln \left(x+\sqrt{x^2+1}\right)$
$f(x) =\ln (x)+\ln \left(1+\sqrt{1+1/x^2}\right)$
$\displaystyle f(x) =\ln (x)\left(1+\frac{\ln \left(1\;+\;\sqrt{1+1/x^2}\right)}{\ln (x)}\right)$
et $\displaystyle \lim _{x\to +\infty }\frac{\ln \left(1+\sqrt{1+1/x^2}\right)}{\ln (x)}=0$ . (Méthodes M3 du §8).

⚠️ Si vous avez répondu $\ln(2 \, x)$ , êtes vous sûr de ne pas avoir fait une somme d’équivalents puis une composition par la fonction $\ln$ ?

On peut néanmoins démontrer que $\ln(2\, x)$ est équivalent à $\ln(x)$ en $+ \infty$ .

6) $x_0 =1 ^{ -}$ , $\displaystyle \ln \left(x + \sqrt{ 1 - x^2 }\right)$

Correction : $\displaystyle \ln \left(x+\sqrt{1-x^2}\right)\underset{x\to 1^{- }}{\sim}\sqrt{2}\sqrt{1-x}$ .

Soit $f(x) = \ln \left(x+\sqrt{1-x^2}\right)$ .
Comme $\displaystyle \lim _{x\to 1}\left(x + \sqrt{1-x^2}\right) = 1$ , et $\ln(u) \underset{u\to 1}{\sim} u - 1$ , $f(x) \underset{x\to 1^{-}}{\sim}x-1 + \sqrt{1-x^2}$
$f(x) \underset{x\to 1^{- }}{\sim} \sqrt{1-x}\left(-\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}\right)$
avec $\displaystyle \lim _{x\to 1}\left(-\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}\right)=\sqrt 2$ (Méthodes M1 du §8)

7) $x_0 = 0^{+}$ et $\alpha \, < \, 0$ , $\ln(1 + x^{{\alpha }})$

8) $x_0 = 0$ , $\sqrt{\cos (x)}-1$

9) $x_0 =+ {\infty}$ , $\displaystyle x\ln \left(\frac{x^2+x+3}{x^2+x+1}\right)$

10) $x_0 = 0$ , $\displaystyle \frac{\ln \left(x+\sqrt{ 2\, x^2+1}\right)}{\tan (x^2)}$

11) $x_0 = 1 ^{-}$ , $\displaystyle \ln\left(x+\sqrt{1-x^2}\right)+\ln (x)$

12) $x_0 = 1 ^{-}$ , $\displaystyle \frac{x^3}{\sqrt{1-x^2}}\ln \left(\frac{1+x}{1-x}\right)$

Exercice 3 : Trouver un équivalent en $x_0$ des fonctions suivantes

1) $x_0 = + {\infty}$ et $a > 1$ , $a^x + \ln(x)$

2) $x_0 = + {\infty}$ et ${\alpha}\, >\, 1$ , ${\alpha }^x+(\ln x)^{\sqrt{x}}$

3) $x_0 = + {\infty}$ et ${\alpha}\, > \, 1$ , ${\alpha }^x+x\;^{\ln (x)}$

4) $x_0 = + {\infty}$ , $\displaystyle x^2+x\sin \left(\frac 1 x\right)+\frac{\sqrt x}{\ln (x)}$

5) $x_0 = 0$ , $\displaystyle x^2+x\sin \left(\frac 1 x\right)+\frac{\sqrt x}{\ln (x)}$

6) $x_0 = + {\infty}$ , $\displaystyle \frac{\ln (x)}{x^2}+\frac{\ln ^2(x)}{x^3}+\frac 1 x$

7) $x_ 0 = 0$ , $\displaystyle \frac{\ln (x)}{x^2}+\frac{\ln ^2(x)}{x^3}+\frac 1 x$

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4. Les équivalents et la fonction $\ln$

On suppose que $u$ et $v$ sont à valeurs strictement positives et que $\quad \quad \quad u(x) \underset{x\to a}{\sim} v(x)$ .

Question 1
Si $\displaystyle \lim _{x\to a}u(x)\;=\;0$ , montrer que $\ln (u(x))\underset{x\to a}{\sim}\ln (v(x))$ .

Question 2
Si $\displaystyle\lim _{x\to a}u(x)\;=\;+\infty$ , montrer que $\ln (u(x))\underset{x\to a}{\sim}\ln(v(x))$

5. On demande des exemples

Trouver des exemples de fonctions remplissant les conditions suivantes :

1) $u(x)\underset{x\to a}{\sim }v(x)$ , $u$ et $v$ sont à valeurs strictement positives et $\ln(u(x))$ n’est pas équivalent à $\ln(v(x))$ en $a$ .

2) $u(x)\underset{x\to a}{\sim}v(x)$ et $\textrm e ^{u(x)}$ n’est pas équivalent à $\textrm e ^{v(x)}$ en $a$ .

3) $u(x) \underset{x\to a}{\sim }v(x)$ , $u$ et $v$ sont à valeurs strictement positives et $u(x)^{w(x)}$ n’est pas équivalent à $v(x)^{w(x)}$ en $a$ .

4) $u(x)\underset{x\to a}{\sim}v(x)$ , $w$ est à valeurs strictement positives et $w(x)^ {u(x)}$ n’est pas équivalent à $w(x)^ {v(x)}$ en $a$ .

5) Trouver deux suites équivalentes $(u_n)_n$ et $(v_n)_n$ , telles que les suites $(u_n^n)_n$ et $(v_n^n)_n$ ne le soient pas

Les exercices des cours en ligne sont des exercices typiques de cours. L’entraînement sur ces cours en ligne de Maths en MPSI, PCSI et PTSI ne pourra que vous être bénéfique et pourra vous faire progresser durablement. Pour continuer à garder un bon niveau, entraînez-vous aussi sur les divers chapitres au programme :

Exercices corrigés sur l’Analyse Asymptotique en Maths Sup

Plan des exercices : Les équivalents

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1. Exercice 1 : Justifier ces résultats en analyse asymptotique

Exercice 2 : Donner un équivalent au voisinage de $x_0$ de

Exercice 3 : Trouver un équivalent en $x_0$ des fonctions suivantes

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