Chapitres Maths en MPSI, PCSI, MP2I, PTSI
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Exercices corrigés sur l’Arithmétique et Polynômes en Maths Sup
Résumé de cours Exercices et corrigés
Cours en ligne de Maths en Maths Sup
Plan des exercices d’Arithmétique et Polynômes
1. Calculs de PGCD
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1. Calculs de PGCD en cours d’arithmétique maths sup
Exercice 1 :
pgcd de et
Correction :
On effectue la division euclidienne de par
avec
et
.
et
, donc
divise
.
Alors .
Exercice 2
Trouver une relation de Bezout pour les polynômes réels et
Correction :
On détermine
.
On note et
Par divisions euclidiennes successives
avec
et
.
avec
et
.
est le dernier reste non nul et est unitaire, donc
Relation de Bezout.
et avec
et .
2. une suite de polynômes
On définit la suite de polynômes par
,
et
,
.
Question 1.
Calculer si
.
Correction :
On note .
.
On obtient une suite constante de premier terme égal à 1.
Donc .
Question 2
Déterminer si ,
Correction :
On a donc écrit avec
et
, donc
.
3. Exercice 3
Soient et
deux éléments non nuls de
.
Il y a équivalence entre
a) et
ne sont pas premiers entre eux
b) Il existe et
dans
non nuls tels que
,
et
. Vrai ou faux ?
Correction :
Si
et
ne sont pas premiers entre eux,
est de degré au moins égal à 1 et on peut écrire
et
tels que
.
Alors et
.
et
conviennent.
Si
et
existent vérifiant les conditions de b), on note
et on peut écrire
et
tels que
.
.
donc et
donnent par le théorème de Gauss,
divise
.
On peut écrire donc
, donc
et
et
ne sont pas premiers entre eux.
4. Reste d’une division euclidienne
Soit ,
et
des entiers tels que
.
On note avec
Le reste de la division de par
est
. Vrai ou Faux ?
Correction :
car
.
ce qui donne
avec
On peut donc écrire
et alors
ce qui donne par unicité de la division euclidienne que le reste est égal à
5. Détermination d’un pgcd
Soit ,
et
des entiers tels que
.
Question 1
On note avec
Correction :
puis
avec
On a donc prouvé que le reste de la division de par
est égal à
donc
Question 2
Soit .
.
Vrai ou Faux ?
Correction :
Dans la suite on note .
On note et
et on utilise l’algorithme d’Euclide avec les entiers
et
.
On écrit , on sait que
est le dernier reste non nul
dans la suite des divisions de
par
, de
par
etc …
En utilisant
.
Et comme ,
car le reste de la division est nul.
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6. Théorème de Bezout précisé
Soit tel que
.
On note
Il existe un unique couple tel que
, avec
et
.
Vrai ou Faux ?
Correction :
Existence
On sait qu’il existe tel que
,
Par division euclidienne
et
avec
et
donc et
Alors donne
donc
Comme
.
De même
donc
donc .
La relation
implique que
donc
et on a obtenu
avec et
.
Unicité
On suppose que
et
avec de degré strictement inférieur à
.
donc .
Comme ,
divise
donne par le théorème de Gauss
divise
avec
,
donc et alors
.
On a prouvé l’unicité du couple.
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