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Exercices corrigés sur les dérivées en Maths Sup

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Résumé de cours Exercices et corrigés

Cours en ligne de Maths en Maths Sup

Plan des exercices de dérivées

1. Autour de la formule de Leibniz
2. Généralisation du théorème de Rolle pour un intervalle qui n’est pas un segment
3. Utilisation du théorème de Rolle
4. Autour du théorème des accroissements finis.

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1. Application de la formule de Leibniz

Exercice 1.
Soit $n\in \mathbb{N}^*$ . Dérivée $n$ -ième de $\quad \quad f : x \mapsto x^2 \, \ln(1 + x)$ .

Correction :

$\bullet$ On se place sur $I =\; ] - 1 , +\infty[$ .
On note $u(x) = x^2$ et $v(x) = \ln(1 + x)$
$v'(x) = \displaystyle \frac 1 {1 + x}$ et si $k \geq 1$ , $\quad \quad v ^{(k)}(x) = \displaystyle \frac {(- 1) ^{k - 1} \, (k - 1)!} {(1 + x)^k }$ .

Par la formule de Leibniz
$f ^{(n)} (x) = \displaystyle \sum _{k = 0} ^n \binom {n} {k} \, u ^{(k)} (x) \, v ^{(n - k)}(x)$
avec $u ^{(k)} = 0$ si $k \geq 3$ .
Donc si $n \geq 2$ ,
$f ^{(n)} (x) = \displaystyle \sum _{k = 0} ^2 \binom {n} {k} \, u ^{(k)} (x) \, v ^{(n - k)}(x)$
$f^{(n)}(x) = \displaystyle x^2 \, v ^{(n)}(x) + 2\, n \, x \, v^{(n - 1)}(x)$ $\quad \quad \quad \quad \quad \displaystyle + \, \frac {n (n - 1)} 2 \, 2 \, v^{(n - 2)}(x)$ .

⚠️ $v^{(0)}$ et $v^{(k)}$ si $k \geq 1$ ne s’expriment pas de la même façon !
Ce qui conduit à distinguer les cas $n = 2$ et $n > 2$ .

$\bullet$ Si $n = 2$ ,
$f''(x) = \displaystyle \frac {- x^2} {(1 + x)^2} + \frac {2 \, x} {1 + x} + 2 \, \ln(1 + x^2)$
$f''(x) = \displaystyle \frac {2 \, x + x^2} {(1 + x)^2} + 2 \, \ln(1 + x^2)$ .

$\bullet$ Si $n \geq 3$ , $n - 2 \geq 1$ , donc
$f^{(n)}(x) = \displaystyle \frac {(- 1) ^{n - 1 } \, (n - 1) ! \, x^2} {(1 + x) ^n}$ $\displaystyle \quad \quad \quad \quad + \frac { (- 1) ^{n}\, 2 \, \, n \, (n - 2) ! \, x} {(1 + x) ^{n - 1} }$ $\displaystyle \quad \quad \quad \quad \quad + \frac {( - 1) ^{n - 1} \, n\, (n - 1) \, (n - 3)! } {(1 + x) ^{n - 2} }$
$f ^{(n)}(x) = \displaystyle \frac {(-1) ^{n- 1 } \, (n - 3)! } {(1 + x)^n} \, g(x)$
avec $g(x) = (n - 1) (n - 2) \,x ^2$ $\; - 2 \, n (n - 2) x \, (1 + x) + n(n - 1)(1 + x)^2$
Après calculs,
$g(x) = 2 \, x^2 + 2 \, n \, x + n(n - 1)$
$f ^{(n)}(x) =$ $\displaystyle (2 \, x^2 + 2 \, n \, x + n^2 - n) \frac {(-1) ^{n- 1 } (n - 3)! } {(1 + x)^n}$

Exercice 2
Soit $n \in \mathbb{N}^*$ . Calculer la dérivée $n$ -ième de $x \mapsto x^{n-1} \ln(1 + x)$ .

Correction :

On se place sur $I = \; ] - 1 , +\infty[$ .
On note $u(x) = x^{n - 1}$ et $v(x) = \ln(1 + x)$
$v'(x) = \displaystyle \frac 1 {1 + x}$
si $k \geq 1$ , $v ^{(k)}(x) = \displaystyle \frac {(- 1) ^{k - 1} \, (k - 1)!} {(1 + x)^k }$
si $k \leq n - 1,$ $\quad u ^{(k)}(x) = \displaystyle \frac {(n - 1)! } {(n - 1 - k)!} \, x^{n - 1 - k}$
et $u ^{(n)} = 0$ .

Par la formule de Leibniz
$f ^{(n)} (x) = \displaystyle \sum _{k = 0} ^n \binom {n} {k} \, u ^{(k)} (x) \, v ^{(n - k)}(x)$
Il suffit donc de sommer de $k = 0$ à $n - 1$ et dans ce cas $n - k \geq 1$
$f ^{(n)} (x) =$ $\quad \quad \displaystyle \sum _{k = 0} ^{n - 1} \binom {n} {k} \, \frac {(n - 1)! } {(n - 1 - k)!} \, x^{n - 1 - k}\,$ $\displaystyle \quad \quad \quad \quad \times \, \frac {(- 1) ^{n - k - 1} \, (n - k - 1)!} {(1 + x)^{n - k} }$
$f ^{(n)} (x) = \displaystyle (n - 1)! \sum _{k = 0} ^{n - 1} \binom {n} {k} \, \frac {(- x) ^{n - k - 1} \, } {(1 + x)^{n - k} }$

$\ast$ Le seul terme de la somme non nul en $0$ est celui pour $k = n - 1$ :
$\displaystyle f ^{(n)}(0) = (n - 1)! \binom {n} {n - 1} \times 1 = n!$

$\ast$ Si $x \neq 0$ , $f ^{(n)} (x) = \displaystyle \frac {(n - 1)!} {- x} \sum _{k = 0} ^{n - 1} \binom {n} {k} \, \frac {(- x) ^{n - k } \, } {(1 + x)^{n - k} }$
par le binôme de Newton (en faisant attention qu’il manque le terme pour $k = n$ qui est égal à 1)
$f ^{(n)} (x) = \displaystyle \frac {-(n - 1)!} {x} \left ( \left ( 1 - \frac x {1 + x} \right) ^n - 1 \right )$
$f ^{(n)} (x) = \displaystyle \frac {(n - 1)!} x \left (1 - \frac 1 {(1 + x) ^n } \right)$ .

Exercice 3
En dérivant $n$ fois $f : x \mapsto x^n \, (x - 1) ^n$ , on obtient $\displaystyle \sum_{k = 0} ^n \binom n k ^2 = \binom {2 \, n} n$ . Vrai ou Faux ?

Correction :

$\bullet$ Soit $u : x \mapsto x ^n$ et $v : x \mapsto (x - 1) ^n$ .
Si $k \leq n$ , $u ^{(k)}(x) = \displaystyle \frac {n!} {(n - k)!} x ^{n - k}$
et $v ^{(k)}(x) = \displaystyle \frac {n!} {(n - k)!} (x - 1) ^{n - k}$ .

Par la formule de Leibniz :
$f ^{(n)}(x) = \displaystyle \sum_{k = 0} ^n \binom {n} k u ^{(k)}(x) \, v ^{(n - k)}(x)$
$u ^{(k)}(x) \, v ^{(n - k)}(x)$ $\quad \quad = \displaystyle \frac {(n!)^2} {k! \, (n - k)! } \, x^{n - k} (x - 1) ^k$
$\quad \quad = \displaystyle n ! \binom n k \, x^{n - k} (x - 1)^ k$
donc
$f ^{(n)}(x) = \displaystyle n! \, \sum_{k = 0} ^n \binom {n} k ^2 x^{n - k} (x - 1) ^k$

$f^{(n)}$ est une fonction polynôme de degré $n$ de coefficient dominant $a_n = \displaystyle n ! \, \sum_{k = 0} ^n \binom n k ^2$ .

$\bullet$ On écrit $f(x) = x ^{2\, n} + Q(x)$ avec $\deg (Q) \leq 2\, n - 1$
donc $f ^{(n)} (x) = \displaystyle \frac {(2 \,n)! } {n!} x ^n + Q ^{(n)}$
Le coefficient de $x ^n$ dans cette écriture est $a_n = \displaystyle \frac {(2 \, n)! } {n!}$ .

$\bullet$ En égalant les deux valeurs de $a_n\,$ , on obtient
$\quad \quad \displaystyle \sum_{k = 0} ^n \binom n k ^2 = \frac {(2n)!} {(n!)^2} = \binom {2 \, n} n$ .

Exercice 4
Soient $(a , b) \in (\mathbb{R}^*)^2$ et $n \in \mathbb{N}^*$ .
En dérivant $n$ fois la fonction $\quad \quad f : x \mapsto \cos(b\, x) \, \textrm{e} ^{a \, x}$ ,
on obtient :
$\displaystyle \sum _{p = 0} ^{\lfloor n / 2 \rfloor} \binom n {2 \, p} (- 1) ^p \, b ^{2 \, p} \, a ^{n - 2 \, p } =$ $\displaystyle ( - 1) ^n\, (a^2 + b^2) ^{n/2} \cos \left ( n \textrm{Arctan} \left (\frac b a \right ) \right )$ . Vrai ou Faux ?

Correction :

La relation n’est pas vraie si $n$ est impair, $a < 0$ et $\displaystyle \cos \left ( n\, \textrm{Arctan} \left (\frac b a \right ) \right ) \neq 0$ .

$\bullet$ Soit $F : x \mapsto \textrm{e} ^{(a + \textrm{i} \,b) x}$ .
Alors $\forall \, x \in \mathbb{R},\, F^{(n)}(x) = (a + \textrm{i} \, b) ^n \, F(x)$
On note $\rho = \sqrt {a^2 + b ^2}$ et $t \in \; ] - \pi/2 ,3\, \pi/2 [$ un argument de $a + \textrm{i} \, b$
$\tan t = \displaystyle \frac b a$ et $\cos t$ est du signe de $a$
donc $t = \left \{ \begin{matrix} \textrm{Arctan}( b / a ) &\textrm{si}& a > 0 \\ \pi + \textrm{Arctan}(b / a) &\textrm{si}& a < 0 \end{matrix} \right.$
$F^{(n)}(x) =$ $\; \displaystyle \rho ^n \, \textrm{e} ^{a \, x+ \textrm{i} \,(b \, x + n \, t)}$ .

En écrivant $f = \mathcal{R}e(F)$ , on obtient $\forall\, x \in \mathbb{R}, \, f ^{(n)}(x) = \rho ^n \,\cos( b \, x + n \, t) \, \textrm{e} ^{a \, x}$

$\bullet$ On note $u : x \mapsto \cos(b \, x)$ et $v : x \mapsto \textrm{e}^{a \, x}$
Si $k \in \mathbb{N}$ , $u ^{(k)}(x) = \displaystyle b ^k \cos \left ( b \, x + \frac {k \, \pi} 2 \right )$
et $v ^{(k)}(x) = a ^k \, \textrm{e}^{a \, x}$ .
Par la formule de Leibniz,
$f ^{(n)}(x) =$ $\; \; \displaystyle \sum _{k = 0} ^n \binom n k b ^k \, a ^{n - k } \, \cos \left ( b \, x + \frac {k \, \pi} 2 \right ) \, \textrm{e}^{a \, x}$

$\bullet$ En prenant la valeur en $0$ ,
$\rho ^n \,\cos( n \, t) = \displaystyle \sum _{k = 0} ^n \binom n k b ^k \, a ^{n - k } \, \cos \left (\frac {k \, \pi} 2 \right )$
si $k = 2 \, p + 1$ , $\displaystyle \cos \left (\frac {k \, \pi} 2 \right ) = 0$
si $k = 2 \, p$ , $\displaystyle \cos \left (\frac {k \, \pi} 2 \right ) = (- 1) ^p$
$\rho ^n \,\cos( n \, t) =$ $\quad \quad \quad \displaystyle \sum _{p = 0} ^{\lfloor n / 2 \rfloor} \binom n {2 \, p} (- 1) ^p \, b ^{2 \, p} \, a ^{n - 2 \, p }$

$\ast$ si $a > 0$ ,
$\displaystyle \sum _{p = 0} ^{\lfloor n / 2 \rfloor} \binom n {2 \, p} (- 1) ^p \, b ^{2 \, p} \, a ^{n - 2 \, p }$ $\quad \displaystyle = (a^2 + b^2) ^{n/2} \cos \left ( n \textrm{Arctan} \left (\frac b a \right ) \right )$

$\ast$ si $a < 0$ , on utilise $\quad \quad \quad \cos(x + n \, \pi) = (- 1) ^n \, \cos(x)$
$\displaystyle \sum _{p = 0} ^{\lfloor n / 2 \rfloor} \binom n {2 \, p} (- 1) ^p \, b ^{2 \, p} \, a ^{n - 2 \, p } =$ $\displaystyle (- 1) ^n\, (a^2 + b^2) ^{n/2} \cos \left ( n \textrm{Arctan} \left (\frac b a \right ) \right )$

Exercice 5
Soit $n \in \mathbb {N}$ . $\displaystyle f_n : \mathbb{R}^* \to \mathbb{R},\, x \mapsto x^n \, \exp \left ( \frac {1} {x } \right )$ .
Montrer que $\quad f_n^{(n + 1 )}(x) = \displaystyle \frac {(-1) ^ {n + 1}} {x^{n + 2} } \, \exp \left ( \frac {1} {x } \right )$ .

Correction :

Si $x \in \mathbb {R}^*$ , on note $\displaystyle g(x) = \exp \left ( \frac {1} {x } \right )$ .
Si $n \in \mathbb{N}$ , on note $H_n : \forall \, x \in \mathbb{R}^*, \, f_n^{(n+1)}(x) = \displaystyle \frac {(-1) ^ {n + 1}} {x^{n + 2} } \, g(x)$ .

$\bullet$ Pour $n = 0$ ,
$\displaystyle \frac {(-1) ^ {n + 1}} {x^{n + 2} } \, g(x) = \frac {- 1 } {x^2} \, g(x) = f_0 ^{(0+1)} (x)$
$H_0$ est vérifiée.

$\bullet$ On suppose que $H_n$ est vraie.
On écrit si $x \neq 0$ , $f _{n + 1} (x) = u(x) \, f_n(x)$ avec $u(x) = x$ .
Par la formule de Leibniz,
$f_{n + 1} ^{(n + 2)} (x) =$ $\quad \quad \displaystyle \sum _{k = 0} ^{n + 2} \binom {n + 2 } {k} \, u ^{(k)} (x) \, f_{n } ^{(n + 2 - k)}(x)$
Pour tout $k \geq 2, \, u ^{(k)}(x) = 0$ .
Comme $n + 2 \geq 1$ , il suffit donc de sommer de $k = 0$ à $1$ , alors
$f_{n + 1} ^{(n + 2 )} (x) = \displaystyle u(x) \, f_{n} ^{(n + 2)} (x)$ $\quad \quad \quad \quad \quad \quad +\, (n + 2) \, u'(x) \, f_n ^{(n+1)} (x)$
$f_{n + 1} ^{(n + 2 )} (x) =$ $\quad \quad \quad \displaystyle x \, f_{n} ^{(n + 2)} (x) + (n + 2) \, f_n ^{(n+1)} (x)$

En dérivant la relation donnée par $H_n$ :
$\displaystyle f_{n} ^{(n + 2)} (x) =\frac {(-1) ^ {n + 2}\, (n + 2) } {x^{n + 3} } \, g(x)$ $\quad \quad \quad \quad \quad \quad \displaystyle + \, \frac {(-1) ^ {n + 1}} {x^{n + 1 } } \times \frac {- 1} {x^2} \, g(x)$
$\displaystyle f_{n} ^{(n + 2)} (x) = \frac {(-1) ^ {n + 2}\, (n + 2) } {x^{n + 3} } \, g(x)$ $\displaystyle \quad \quad \quad \quad \quad \quad +\, \frac {(-1) ^ {n + 2}} {x^{n + 3 } } \, g(x)$
$f_{n + 1} ^{(n + 1)} (x)= \displaystyle h(x) \, g(x)$ où
$h(x) = \displaystyle \frac {(-1) ^ {n + 2}\, (n + 2) } {x^{n + 2} } + \frac {(-1) ^ {n + 2}} {x^{n + 2} }$ $\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \displaystyle +\, (n + 2) \frac {(-1) ^ {n + 1}} {x^{n + 2 } }$
$h(x) = \displaystyle \frac {(-1) ^ {n + 2} } {x^{n + 3 } }$
et donc $\displaystyle f_{n + 1 } ^{(n + 2)} (x) = \frac {(-1) ^ {n + 2} } {x^{n + 3} } \, g(x)$ .

La propriété est démontrée par récurrence.

2. Théorème de Rolle

Exercice 1
Soit $f$ une fonction réelle continue sur $[a , \, +\infty[$ , dérivable sur $]a , \, +\infty[$ qui admet $f(a)$ pour limite en $+\infty$ .
Montrer qu’il existe $c > a$ que $f '(c) = 0$ .

Correction :

$\bullet$ Si $x$ décrit $]0 ,\, 1]$ , $1/x + b$ décrit $[b + 1 , + \infty[$ . On choisit $b = a - 1$ .
$x \mapsto a - 1 + 1/x$ définit une bijection de $]0 , 1]$ sur $[a , \, + \infty[$ .
On note $g$ où pour tout $x$ de $]0 ,\, 1]$ $\quad \quad \quad g(x) =f( a - 1 + 1/x)$ .

$\ast$ $g$ est continue sur $]0 , 1]$ à valeurs dans $\mathbb{R}$ .
$\ast$ $\displaystyle \lim_{x \to 0} g(x) = \displaystyle \lim_{t \to + \infty} f(t) = f(a)$ .
On prolonge $g$ par continuité en $0$ en posant $g(0) = f(a)$ .
$\ast$ $g(1) = f(a) = g(0)$ .
$\ast$ $g$ est dérivable sur $]0 , \,1 [$ .

Par application du théorème de Rolle, il existe $d \in \; ]0 , \, 1[$ tel que $g'(d) = 0$
soit $\displaystyle \frac {- 1} {d^2 } f ' \left ( \frac 1 d + a - 1 \right ) = 0$ .
En notant $c = \displaystyle \frac 1 d + a - 1 > a$ , $f'(c) = 0$ ce qui est le résultat attendu.

Exercice 2
Question 1
Soit $f$ une fonction dérivable sur $\mathbb{R}$ admettant une même limite finie $L$ en $+\infty$ et $- \infty$ .
Montrer qu’il existe $c \in \mathbb{R}$ tel que $f '(c) = 0$

Correction :

On note pour tout $x$ de $] - \pi/2 , \, \pi/2[$ , $\quad \quad \quad \quad g(x) = f(\tan x)$ .
On prolonge $g$ par continuité en posant $\displaystyle g \left ( \frac {- \pi} 2 \right ) = g \left (\frac {\pi} 2 \right ) = L$ .

$\ast$ $g$ est continue sur $[ - \pi/2 , \, \pi/2 ]$
$\ast$ $g$ est dérivable sur $] - \pi/2 , \, \pi/2[$
$\ast$ $\displaystyle g \left ( \frac {- \pi} 2 \right ) = g \left (\frac {\pi} 2 \right ) = L$ .
Par le théorème de Rolle, il existe $d \in \; ] - \pi/2 , \, \pi/2[$ tel que $g'(d) = 0$ .
soit $(1 + \tan ^2 d) \; f' (\tan d ) = 0$ donc $f'(\tan d ) = 0$ .
Alors si $c = \tan d,\, f'(c) = 0$ , ce qui donne le résultat attendu.

Question 2
Soit $f$ une fonction réelle dérivable sur $\mathbb{R}$ et admettant $+ \infty$ pour limite en $\pm \infty$
Montrer qu’il existe $c \in \mathbb{R}$ tel que $f ' (c) = 0$ .

Correction :

$g = \textrm{e} ^ {- f}$ est continue sur $\mathbb{R}$ et admet la même limite $L = 0$ en $\pm \infty$ .
D’après la question 1, il existe $c \in \mathbb{R}$ tel que $g'(c) = 0$ .
Or $g'(c) = - f'(c) \, \textrm{e} ^{- f(c) } = 0$ ssi $f'(c) = 0$ ce qui donne le résultat attendu.

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3. Utilisation du théorème de Rolle

Exercice 1
Question 1
Soit $f$ une fonction dérivable sur l’intervalle $I$ à valeurs dans $\mathbb {R}$ qui s’annule $n$ fois dans $I$ avec $n \geq 2$ .
Pour tout réel $\alpha$ , $\alpha \, f + f '$ s’annule au moins $n - 1$ fois dans $I$ .

Correction :

$g$ est dérivable sur $I$ à valeurs réelles.
On note $x_1\, < x_2 \, <\, \cdots \, <\, x_n$ les $n$ zéros de $f$ rangés par ordre strictement croissant.

Soit $k \in [\![1 , \, n - 1 ]\!]$ , $g$ est dérivable sur $[x_k \, , \, x_{k + 1} ]$ et $g(x_k) = g(x_ {k + 1}) = 0$ .
Par application du théorème de Rolle, il existe $y_k \in \; ]x_k \, , \, x_{k + 1} [$ tel que $g'(y_k) = 0$ .
En utilisant $g'(x) = (\alpha \, f(x) + f'(x) )\, \textrm{e} ^{\alpha \, x}$
$g'(y_k) = 0$ ssi $\alpha f(y_k) + f'(y_k) = 0$ .

Les racines $y_k$ sont dans des intervalles deux à deux disjoints, donc on a trouvé $n - 1$ zéros distincts pour $\alpha \, f + f '$ .

Question 2.
Si $P$ est un polynôme de degré $n \geq 2$ scindé à racines simples sur $\mathbb{R}$ , pour tout $\beta \in \mathbb {R}, \, P + \beta \, P'$ est scindé à racines simples (c’est-à-dire admet $n$ racines réelles distinctes). Vrai ou faux ?

Correction :

Le résultat est évident si $\beta = 0$ .
Si $\beta \neq 0$ , on note $\alpha = 1 / \beta$ , $\alpha \neq 0$ .
$Q = \alpha \, P + P'$ est la somme d’un polynôme de degré $n$ et d’un polynôme de degré $n - 1$ , c’est un polynôme de degré $n$ .
Par la première question, $\alpha \, P + P'$ admet $n - 1$ racines distinctes notées $y_1\, , \, y_2 \, , \, \cdots \, , \, y_{n - 1}$ que l’on suppose rangées par ordre strictement croissant.

On note toujours $g : x \mapsto P(x) \, \textrm{e} ^{ \alpha \, x}$ .
$\ast$ On suppose que $\alpha > 0$ .
Si $g'$ ne s’annule pas sur l’intervalle $I = \;]y_ {n - 1}\, , \, + \infty[$ , la fonction continue $g'$ garde un signe constant sur $I$ , donc $g$ est monotone sur $I$ .
On rappelle que $y_{n - 1} < x_n$ et que $g(x_n) = 0$ .
Par croissance comparée, $\quad \quad \quad \displaystyle \lim_{x \to + \infty } g(x) = 0$ .
Par la monotonie de $g$ sur $[x_ {n}\, , \, + \infty[$ , $g$ est nulle sur cet intervalle, il en est de même de $P$ , ce qui est absurde.
Donc $g'$ s’annule sur $]y_ {n - 1} \, , \, + \infty[$ en $y_n > y_{n - 1}$ et $\alpha\, P + P'$ admet $n$ racines distinctes.

$\ast$ On suppose que $\alpha < 0$ .
Si $g'$ ne s’annule pas sur $J = ]- \infty ,\, y_ {1}[$ , $g'$ garde un signe constant sur $J$ , donc $g$ est monotone sur $J$ .
On rappelle que $y_1 > x_1$ et que $g(x_1) = 0$ .
Par croissance comparée, $\quad \quad \quad \displaystyle \lim_{x \to - \infty } g(x) = 0$ .
Par la monotonie de $g$ sur $]- \infty ,\, x_ {1}]$ , $g$ est nulle sur cet intervalle, il en est de même de $P$ , ce qui est absurde.
Donc $g'$ s’annule sur $]- \infty ,\, y_ {1}[$ en $y_0 < y_{1}$ et $\alpha \, P + P'$ admet $n$ racines distinctes.

Dans les deux cas, on a prouvé que $\alpha\, P + P'$ est scindé à racines simples.
En divisant par $\alpha$ , on a prouvé que $P + \beta \,P'$ est scindé à racines simples.

Exercice 2
Soit $f$ une fonction deux fois dérivable sur $[a , \, b]$ ( $a < b$ ) à valeurs réelles et telle que $f(a) = f(b) = 0$ et $\forall\, x \in [a,\, b] , \, f''(x) = q(x) \, f(x)$ où $q(x) \geq 0$ sur $[a, \, b]$ .
Montrer que $f$ est nulle sur $[a , \,b]$ .

Correction :

$\ast$ $g$ est deux fois dérivable sur $I = [a , \, b]$
$g' = 2\, f \, f'$
$g'' = 2 {f '} ^2 + 2\, f \, f'' = 2 \, {f '} ^2 + 2 \, q \, f ^2 \geq 0$
donc $g'$ est croissante sur $I$ .

$\ast$ Comme $g(a) = g(b) = 0$ , le théorème de Rolle donne l’existence de $c \in \; ]a , \, b[$ tel que $g'(c) = 0$ .
La croissance de $g'$ donne $g'(x) \leq 0$ si $x \in [a, c]$ et $g'(x) \geq 0$ si $x \in [c , \, b]$ .

$\ast$ $g$ est décroissante sur $[a, \, c]$ et croissante sur $[c , \, b ]$ .
Donc $\forall \, x \in [a , b], \, g(x) \leq 0$ car $g(a) = g(b) = 0$ .
Comme $g$ est à valeurs positives ou nulles, on a prouvé que $\forall \, x \in I,\, g(x) = 0$ soit $f(x) = 0$ .

Exercice 3
Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ à valeurs dans $\mathbb{R}$ et soit $\Gamma$ son graphe. Soient $A$ et $B$ deux points de $\Gamma$ distincts tels que $B$ soit sur la tangente en $A$ à $\Gamma$ . Montrer qu’il existe un point $M$ de $\Gamma$ tel que $A$ soit sur la tangente en $M$ à $\Gamma$ .

Correction :

$\bullet$ Analyse du problème :
Si $c \in I$ , la tangente en $(c , f(c))$ à $\Gamma$ a pour équation
$\quad \quad y = f(c) + f'(c) \, (x - c)$ .
On cherche donc $c \neq a$ tel que $\quad \quad f(a) = f(c) + f'(c) (c - a)$
soit $f'(c) = \displaystyle \frac {f(c) - f(a)} {c-a}$ .

$\bullet$ Résolution :
Une équation de la tangente en $A$ à $\Gamma$ étant $y - f(a) = f '(a)\, (x - a)$ , on sait qu’il existe $b \in I$ , $b \neq a$ tel que $\quad \quad f(b) - f(a) = f '(a)\, (b - a)$ .
On définit la fonction $g$ sur $J = [a ,\, b]$ (si $a < b$ ) et sur $J = [b ,\, a]$ si $b < a$ ) par $g(x) =\displaystyle \frac {f(x) - f(a)} {x - a}$ et $g(a) = f '(a)$ .
$g$ est continue sur $J \setminus \{a\}$ car $f$ est dérivable sur $I$ et continue en $a$ , par définition de $f '(a)$ .
$g$ est dérivable sur $]a , \, b[$ (ou sur $]b , \, a[$ )
et $g(a) = g(b) = f '(a)$ .
Par le théorème de Rolle, il existe $c \in\; ]a ,\, b[\; \subset I$ (ou $c \in \; ]b ,\, a [$ ) tel que $g'(c) = 0$ .
or $g'(x) = \displaystyle \frac {(x - a) f'(x) - (f(x) - f(a))} {(x - a)^2}$ ,
$g'(c) = 0 \Leftrightarrow (c - a) f '(c) = f (c) - f(a)$ , donc la tangente au point $(c , f(c))$ à la courbe $\Gamma$ passe par $A$ .

Exercice 4
Formule de Taylor Lagrange
Soit $I$ un intervalle et $a$ et $x$ deux éléments distincts de $I$ .
Soit $f$ une fonction réelle de classe $C^{n}$ sur $I$ et $n + 1$ fois dérivable sur $\overset{\circ} I$ .
Si $a$ et $x$ sont deux éléments distincts de $I$ , il existe $c$ strictement compris entre $a$ et $x$ tel que
$\displaystyle f(x) = \sum _{k = 0} ^n \frac {f ^{(k)}(a)} {k!} (x - a) ^k$ $\quad \quad \quad \quad \quad \displaystyle +\, \frac {(x - a)^{n + 1}} {(n + 1)! } \, f ^{(n + 1)} (c)$ .

indication :
appliquer le théorème de Rolle à la fonction $\displaystyle \varphi : t \mapsto - f(x) + \sum _{k = 0} ^n \frac {f ^{(k)}(t)} {k!} (x - t) ^k$ $\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \displaystyle +\, \frac {A} {(n + 1)!} (x - t)^{n + 1}$
pour $A$ convenablement choisi.

Correction :

On note $J = [a ,\, x]$ (ou $[x , \, a]$ )
et $\overset {\circ} J =\; ]a \, , \,x[$ (ou $]x \, , \,a[$ ).

$\ast$ On remarque que $\quad \quad \varphi(x) = - f(x) + f(x) = 0$ .
On choisit $A$ tel que $\varphi(a) = 0$ (ce qui donne une équation du premier degré en $A$ ).
$\ast$ $\varphi$ est continue sur $J$ à valeurs dans $\mathbb{R}$
$\ast$ $\varphi$ est dérivable sur $\overset {\circ} J$ .

Par le théorème de Rolle, il existe $c$ strictement compris entre $a$ et $x$ tel que $\varphi'(c) = 0$ .

$\displaystyle \varphi'(t) = \sum _{k = 0} ^n \frac {f ^{(k +1 )}(t)} {k!} \; \; (x - t) ^k$ $\displaystyle -\, \sum _{k = 1} ^n \frac {f ^{(k)}(x)} {k!} k \, (x - t) ^{k - 1} - \frac {A} {n!}\, (x - t)^{n}$
en posant $p = k - 1$ dans la deuxième somme :
$\displaystyle \varphi'(t) = \sum _{k = 0} ^n \frac {f ^{(k +1 )}(t)\; } {k!}\; \; (x - t) ^k$ $\displaystyle - \,\sum _{p = 0} ^{n - 1} \frac {f ^{(p + 1 )}(t)\; } {p !} \; (x - t) ^{p} - \frac A {n!}\, (x - t)^{n}$
par télescopage
$\displaystyle \varphi'(t) =\frac {f ^{(n +1 )}(t) \; \; } {n !}\; (x - t) ^k - \frac A {n!} (x - t)^{n}$
en traduisant $\varphi'(c) = 0$ avec $c \neq x$ , on obtient $A = f ^{(n + 1)}(c)$ .

Puis $\varphi(a) = 0$ donne
$\displaystyle f(x) = \sum _{k = 0} ^n \frac {f ^{(k)}(a)} {k!} (x - a) ^k$ $\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \displaystyle + \, \frac { f ^{(n + 1)} (c)\; } {(n + 1)!} \; \; (x - a)^{n + 1}$

4. Accroissements finis

Exercice 1
Question 1
Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues sur $[a ,\, b]$ à valeurs dans $\mathbb{R}$ , dérivables sur $]a , \,b[$ et telles que $\quad \quad \forall\, x \in \; ]a ,\, b[ , \, g '(x) \neq 0$ .
Montrer qu’il existe $c$ dans $]a , \, b[$ tel que $\quad \quad \quad \displaystyle \frac {f(b) - f(a)} {g(b) - g(a)} = \frac {f'(c)} {g'(c)}$ .

Correction :

⚠️ si l’on applique deux fois le théorème des accroissements finis (à $f$ et à $g$ ), on écrit $f(b) - f(a) = (b - a) \, f'(c)$ et $g(b) - g(a) = (b - a) \, g'(c')$ .
Les réels $c$ et $c'$ ne sont pas égaux et on n’a pas prouvé le résultat.

$h = f - \alpha \, g$ est continue sur $[a , \, b]$ , dérivable sur $]a , \, b[$ à valeurs réelles,
$h(a) = h(b)$
ssi $f(b) - f(a) = \alpha \, (g(b) - g(a))$
Si l’on avait $g(b) = g(a)$ , il existerait $c \in \; ]a ,\, b[$ tel que $g'(c) = 0$ , ce qui est exclu.
$g(b) - g(a) \neq 0$ , donc $\alpha = \displaystyle \frac {f(b) - f(a) } {g(b) - g(a)}$ .

Par application du théorème de Rolle à $h$ , il existe $c \in \; ]a , \, b[$ tel que $h'(c) = 0$ soit $f'(c) = \alpha \, g'(c)$ avec $g'(c) \neq 0$ .
En égalant les deux valeurs de $\alpha$ obtenues, on a prouvé que
$\quad \quad \quad \displaystyle \frac {f(b) - f(a)} {g(b) - g(a)} = \frac {f'(c)} {g'(c)}$ .

Question 2
Soit $f$ une fonction de classe $C^2$ sur $[a ,\, b]$ à valeurs dans $\mathbb{R}$ , trois fois dérivable sur $]a , \, b[$ .
Montrer qu’il existe $d$ de $]a ,\, b[$ tel que $\displaystyle \frac {f(b) - f(a) - (b - a) f'(a)} {(b - a) ^3}$ $\displaystyle \quad \quad \quad - \frac { \, (b - a) ^2 f ''(a)/2 } { (b - a)^3} = \frac {f^{3}(c)} {6}$ .

Correction :

On note
$F : \displaystyle x \mapsto f(x) - f(a) (x - a) f'(a)$ $\quad \quad \quad \quad \displaystyle -\, \frac {(x - a)^2 } 2 f ''(a)$
et $G : x \mapsto (x - a)^3$ .
$F$ et $G$ sont deux fois dérivables sur $[a,\, b]$ et $G'$ ne s’annule pas sur $]a , \,b[$
Il existe donc $d \in \; ]a, \, b[$ tel que $\quad \quad \displaystyle \frac {F(b) - F(a)} {G(b) - G(a)} = \frac {F'(d)} {G'(d)}$
soit $\displaystyle \frac {F(b) } {G(b) } = \frac {F'(d)} {G'(d)}$ .

$F'(x) = f'(x) - f'(a) - (x - a) f''(a)$ et $G'(x) = 3(x - a)^2$ .
$F'$ et $G'$ sont dérivables sur $[a , \, d]$ et $G''$ ne s’annule pas sur $]a , \, d[$ .
On peut donc utiliser la question 1 sur $[a , \, d]$ .
Il existe $e \in \; ]a , \, d[$ tel que
$\quad \quad \quad \displaystyle \frac {F'(d) - F'(a)} {G'(d) - G'(a)} = \frac {F''(e)} {G''(e)}$
soit
$\displaystyle \frac {F'(d) } {G'(d) } = \frac {F''(e)} {G''(e)} = \frac {f''(e) - f''(a)} {6(e - a )}$

Par application du théorème des accroissements finis à $f''$ qui est continue sur $[a , \, e]$ et dérivable sur $]a , \, e[$ , il existe $c \in\; ]a , \, e[ \; \subset\; ]a , b[$ tel que
$\displaystyle \frac {F'(d) } {G'(d) } = \frac {f^{3}(c)} {6}$ donc $\displaystyle \frac {F(b) } {G(b) } = \frac {f^{3}(c)} {6}$ ,
ce qui est la relation demandée.

Exercice 2
Soit $f$ une fonction dérivable et bornée sur $\mathbb{R}$ .
On suppose que $f'$ est monotone.
Montrer que $f$ est constante.

Exercice 3
Question 1
Soit $f$ une fonction dérivable sur $[a , \, + \infty[$ à valeurs réelles telle que $\displaystyle \lim_{x \to + \infty} f'(x) = + \infty$ .
Montrer que $\displaystyle \lim_{x \to + \infty} \frac {f(x) } x = +\infty$ .

Question 2
a) On note $f : x \mapsto x^2 (2 + \sin x)$
Quelle est la limite en $+\infty$ de $\displaystyle x \mapsto \frac {f(x)} x$ ?

b) $f'$ a une limite en $+ \infty$

Exercice 4
Soit $f$ une fonction définie sur $[a ,\, b]$ à valeurs dans $\mathbb {R}$ , continue sur $[a ,\, b]$ et dérivable sur $[a ,\, b[$ telle que $f '$ soit strictement croissante sur $[a , b[$ .

Question 1
a) Pour tout $x$ de $]a ,\, b]$ , il existe un et un seul $c$ de $]a ,\, b[$ tel que $\quad \quad \quad f(x) - f(a) = (x - a) f '(c)$ .

b) On définit pour tout $t$ de $]a ,\, b]$ , $\quad\quad \quad \displaystyle g(t) =\frac {f(t) - f(a)} {t - a}$ .
Montrer que $g$ est prolongeable par continuité en $a$ et strictement croissante sur $[a ,\, b]$ .

Question 2
On définit $\varphi$ par $\varphi (a) = a$ et $\quad \quad \forall\, x \in \; ]a ,\, b]$ , $\varphi (x) = c$
où $c$ est l’unique point de $]a ,\, b[$ tel que $f(x) - f(a) = (x - a)\, f '(c)$ .
a) Montrer que $\varphi$ est strictement croissante sur $[a ,\, b]$ et $\quad \quad \varphi ( [a , \, b]) = [a,\, \varphi(b)]$ .

b) Montrer que $\varphi$ est continue.

c) On suppose que $f$ est de classe $C ^2$ sur $[a ,\, b]$ et que $f ''$ ne s’annule pas sur $]a ,\, b[$ . Montrer que $\varphi$ est de classe $C^1$ sur $]a ,\, b]$ .

Le programme de Maths en Maths Sup, que ce soit en MPSI, PCSI ou PTSI, est très complexe. Prendre de l’avance en se familiarisant sur les chapitres à venir est un bon moyen de progresser durablement. Pour cela, vous pouvez d’ores et déjà jeter un œil aux chapitres suivants :

Exercices corrigés sur les dérivées en Maths Sup

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