Chapitres Maths en MPSI, PCSI, MP2I, PTSI
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Exercices corrigés sur le calcul des déterminants MPSI, PCSI et PTSI
Résumé de cours Exercices et corrigés
Cours en ligne de Maths en Maths Sup
Exercices sur le calcul des déterminants en maths sup
1. Calculer le déterminants d’ordre inférieur ou égal à 4
Exercice 1 :
Sous forme factorisée, calculer le déterminant :
Exercice 2 :
Sous forme factorisée, calculer le déterminant :
2. Calculer le déterminant de Vandermonde
Exercice : Calculer le déterminant de Vandermonde à l’aide de factorielles.
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3. Calculer le déterminants d’ordre
Exercice :
Soient et réels deux à deux distincts.
On pose
et si , .
Calculer si ,
4. Calculer le déterminants d’endomorphismes
Calculer où .
5. Calculer le déterminant avec opérations
Exercice 1 :
Soit telle que et est divisible par .
Exercice 2 :
Soient et de telles que . Démontrer que .
On commencera par le cas où .
6. Calculer le déterminants sur la comatrice
Exercice :
Soit et .
.
Corrigés des exercices sur le calcul des déterminants :
1. Corrigé de l’exercice : Calculer le déterminants d’ordre inférieur ou égal à 4
Exercice 1 : La somme des termes de chaque ligne est constante.
En utilisant l’opération
puis en factorisant :
par si
On développe suivant la première colonne :
puis suivant la deuxième ligne :
.
Exercice 2 :
par et , est égal à
On factorise dans et , et dans ,
par et ,
est égal à
par les déterminants par blocs :
on factorise dans la ligne 1 :
soit .
2. Corrigé de l’exercice : Calculer le déterminant de Vandermonde
On fixe et on calcule .
On pose ,
En posant , .
On peut aussi écrire que .
3. Corrigé de l’exercice : Calculer le déterminants d’ordre
On développe le déterminant suivant la dernière ligne :
.
ce que l’on peut résumer sous la forme
où
Si , car est un polynôme unitaire dont les racines sont .
avec
.
est une fonction polynôme de degré inférieur ou égal à , prenant en valeurs distinctes la valeur ,
donc est une fonction constante et pour tout , .
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4. Corrigé de l’exercice : Calculer le déterminant d’endomorphisme
On sait que .
On note :
et .
Soit une base adaptée à cette somme directe.
On a et , la matrice de est donc la matrice diagonale .
avec .
5. Corrigé de l’exercice : Calculer le déterminants avec opération
En utilisant la formule ,
est une somme d’éléments de , donc .
On note les vecteurs colonnes de et la base canonique de , .
On utilise les opérations : ,
où
les éléments de sont la somme de deux éléments de , ils sont égaux à ou .
On peut donc mettre en facteur dans les premières colonnes, et où
donc , ce qui prouve que divise .
6. Corrigé de l’exercice : Calculer le déterminant sur la comatrice
Si , .
Si , n’est pas inversible (sinon en multipliant par son inverse, on aurait ), alors donc , donc
.
Si , tous les cofacteurs sont nuls et , donc .
La relation est vérifiée lorsque n’est pas inversible.
Si ,
.
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