Chapitres Maths en MPSI, PCSI, MP2I, PTSI

Exercices corrigés sur le calcul des déterminants MPSI, PCSI et PTSI

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SKU: Cours Particuliers
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Résumé de cours Exercices et corrigés

Cours en ligne de Maths en Maths Sup

Exercices sur le calcul des déterminants en maths sup

1. Calculer le déterminants d’ordre inférieur ou égal à 4

Exercice 1 :
Sous forme factorisée, calculer le déterminant :
$\begin{vmatrix} a&x&b&x\\x&a&x&b\\b&x&a&x\\x&b&x&a\end{vmatrix}$

Exercice 2 :
Sous forme factorisée, calculer le déterminant :
$\begin{vmatrix} a^2 &ab&ab&b^2\\ab&a^2 &b^2 &ab\\ab&b^2&a^2 &ab\\b^2&ab&ab&a^2\end{vmatrix}$

2. Calculer le déterminant de Vandermonde

Exercice : Calculer le déterminant de Vandermonde $V(1 ,\, 2 ,\, \cdots \, , \, n)$ à l’aide de factorielles.

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3. Calculer le déterminants d’ordre $n$

Exercice :
Soient $n \geq 2$ et $a_1 \, , \, a_2 \, , \, \cdots \, , \, a_n$ $n$ réels deux à deux distincts.
On pose $P = \displaystyle \prod_{k = 1} ^n (\textrm{X} - a_k)$
et si $k \in [\![1 , n]\!]$ , $P = (\textrm{X} - a_k)\, P_k\,$ .

Calculer si $x \in \mathbb{R}$ ,
$f(x) =$ $\begin{vmatrix} 1 &1 & \cdots & 1 &1 \\ a_1&a_2&\cdots &a_{n - 1}& a_n \\ a_1^2&a_2^2&\cdots &a_{n - 1}^2& a_n^2\\ \vdots &\vdots & \cdots &\vdots &\vdots \\ a_1^{n- 2} &a_2^{n- 2}&\cdots &a_{n-1}^{n- 2}& a_n^{n- 2} \\ P_1(x)&P_2(x)& \cdots &P_{n- 1}(x) &P_n(x) \end{vmatrix}$

4. Calculer le déterminants d’endomorphismes

Calculer $\det(f)$ où $f : \mathcal{M} _ {n} (\mathbb{K}) \to \mathcal{M} _ {n} (\mathbb{K}), \, X \mapsto X ^{\textrm{T}}$ .

5. Calculer le déterminant avec opérations

Exercice 1 :
Soit $A = (a_{i,\, j} ) _ {1 \leqslant i,\, j \leqslant n }\in \mathcal{M} _ n (\mathbb{R})$ telle que $\forall\, (i, j) \in [\![1,\, n]\!] ^2, \, a_{i,\, j} \in \{ - 1 , 1\}$ $\det(A) \in \mathbb{Z}$ et est divisible par $2 ^{n - 1}$ .

Exercice 2 :
Soient $A$ et $M$ de $\mathcal{M} _ n (\mathbb{R})$ telles que $\textrm{rg}(M) = 1$ . Démontrer que $\det(A + M)(A - M) \leq \det(A^2)$ .
On commencera par le cas où $M = J_1$ .

6. Calculer le déterminants sur la comatrice

Exercice :
Soit $n \geq 2$ et $A \in \mathcal{M} _ n (\mathbb{K})$ .
$\det(\textrm{Com}(A)) = (\det A)^{n - 1}$ .

Corrigés des exercices sur le calcul des déterminants :

1. Corrigé de l’exercice : Calculer le déterminants d’ordre inférieur ou égal à 4

Exercice 1 : La somme des termes de chaque ligne est constante.

$\Delta = \begin{vmatrix} a&x&b&x\\x&a&x&b\\b&x&a&x\\x&b&x&a\end{vmatrix}$

En utilisant l’opération $\quad C_1 \leftarrow C_1 + C_2 + C_3 + C_4$
puis en factorisant $a + b + 2\, x$ :
$\Delta = (a + b + 2\, x) \, \begin{vmatrix} 1&x&b&x\\1&a&x&b\\1&x&a&x\\1&b&x&a\end{vmatrix}$

par $L_i \leftarrow L_i - L_ 1$ si $i \geq 2$
$\Delta =$ $\; (a + b + 2\, x) \, \begin{vmatrix} 1&x&b&x\\0&a-x&x- b &b- x \\0&0&a- b &0\\0&b-x &x- b &a - x\end{vmatrix}$
On développe suivant la première colonne :
$\Delta = (a + b + 2\, x) \, \begin{vmatrix} a-x&x- b &b- x \\0&a- b &0\\b-x &x- b &a - x\end{vmatrix}$
puis suivant la deuxième ligne :
$\Delta = (a + b + 2\, x) \, (a- b) \, \begin{vmatrix} a-x &b- x \\b-x &a - x\end{vmatrix}$
$= (a + b + 2\, x) \, (a- b) \, \left ( ( a-x)^2 - ( b- x)^2 \right )$
$= (a + b + 2\, x) \, (a- b) \,(a- b) \, (a + b - 2\, x)$
$\Delta = (a - b)^2\, (a + b + 2\, x)\, (a + b - 2\, x)$ .

Exercice 2 :

$D = \begin{vmatrix} a^2 &ab&ab&b^2\\ab&a^2 &b^2 &ab\\ab&b^2&a^2 &ab\\b^2&ab&ab&a^2\end{vmatrix}$

par $L_1 \leftarrow L_1 - L_4\, ,\, L_2 \leftarrow L_2 - L_3$ et $L_3 \leftarrow L_3 - L_4\,$ , $D$ est égal à

$\begin{vmatrix} a^2 - b^2 &0&0&b^2-a^2\\0&a^2-b^2 &b^2-a^2 &0\\ab- b^2&b^2-ab&a^2- ab &ab- a^2\\b^2&ab&ab&a^2\end{vmatrix}$

On factorise $a^2 - b^2$ dans $L_1$ et $L_2\,$ , et $a - b$ dans $L_3\,$ ,
$D = (a^2 - b^2)^2(a - b) \begin{vmatrix} 1 &0&0&-1\\0&1 &-1 &0\\b&- b&a &-a \\b^2&ab&ab&a^2\end{vmatrix}$

par $C_4 \leftarrow C_4 + C_1$ et $C_3 \leftarrow C_3 + C_2\,$ ,
$D$ est égal à
$(a^2 - b^2)^2(a - b) \times$ $\qquad \qquad \qquad \begin{vmatrix} 1 &0&0&0\\0&1 &0 &0\\b& b&a- b &b-a \\b^2&ab&2 ab&a^2 + b ^2\end{vmatrix}$

par les déterminants par blocs :
$D = (a^2 - b^2)^2\, (a - b) \times$ $\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \begin{vmatrix}a- b &b-a \\2 \, a\, b&a^2 + b^2 \end{vmatrix}$
on factorise $a - b$ dans la ligne 1 :
$D = (a^2 - b^2)^2\, (a - b)^2 \times$ $\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \begin{vmatrix}1 &-1\\2 \,a\, b&a^2 + b ^2 \end{vmatrix}$
$D = (a^2 - b^2)^2\, (a - b)^2 \, (a + b)^2$
soit $D = (a - b)^4 \, (a + b)^4$ .

2. Corrigé de l’exercice : Calculer le déterminant de Vandermonde

$V = V(1 ,\, 2 ,\, \cdots \, , \, n) = \displaystyle \prod _ {1 \leq i < j \leq n } (j - i)$

$\bullet$ On fixe $1 \leq i \leq n - 1$ et on calcule $P_ i = \displaystyle \prod _{j = i+1} ^n (j - i)$ .
On pose $k = j - i$ , $P_ i = \displaystyle \prod _{k = 1} ^{n - i} k= (n - i)!$

$\bullet$ $V= \displaystyle \prod_{i = 1} ^{n - 1} \, P_i = \prod_{i = 1} ^{n - 1} (n - i)!$
En posant $k = n - i$ , $V \displaystyle = \prod_{k = 1} ^{n - 1} k!\,$ .

On peut aussi écrire que $V = \displaystyle \prod_{k = 1} ^{n - 1} k ^{n - k }$ .

3. Corrigé de l’exercice : Calculer le déterminants d’ordre $n$

$f(x) =$ $\begin{vmatrix} 1 &1 & \cdots & 1 &1 \\ a_1&a_2&\cdots &a_{n - 1}& a_n \\ a_1^2&a_2^2&\cdots &a_{n - 1}^2& a_n^2\\ \vdots &\vdots & \cdots &\vdots &\vdots \\ a_1^{n- 2} &a_2^{n- 2}&\cdots &a_{n-1}^{n- 2}& a_n^{n- 2} \\ P_1(x)&P_2(x)& \cdots &P_{n- 1}(x) &P_n(x) \end{vmatrix}$

On développe le déterminant suivant la dernière ligne :
$f(x) = (-1)^{n+1} P_1(x) V(a_2 \, , \, \cdots \, , \, a_n)$ $\quad + \, (-1)^{n + 2} P_ 2(x) V(a_1 \, , \, a3 \, , \, \cdots \, , \, a_n)$ $+ \, \cdots \,$ $+ (- 1)^{k + n} P_k(x) \times$ $\qquad V(a-1 \, , \, \cdots \, , \, a_{k - 1} \, , \, a_{k + 1} \, , \, \cdots \, , \, a_n)$ $+ \, \cdots$ $+ (- 1)^n P_n(x) V(a_1 \, , \, \cdots \, , \, a_{n -1})$ .
ce que l’on peut résumer sous la forme
$f(x)= \displaystyle \sum _{ k = 1 } ^n ( - 1)^{n + k} P_k(x) V _k$ où $V_k = V\left (a_1 \, , \, \cdots \, , \, a_{k - 1} \, , \, a_ {k + 1} \, , \, \cdots \, , \, a_n \right )$

Si $i \neq k$ , $P_i(a_k) = 0$ car $P_i$ est un polynôme unitaire dont les racines sont $a_1 \, , \, \cdots \, , \, a_{i - 1} \, , \, a_ {i + 1} \, , \, \cdots \, , \, a_n\,$ .

$P_k(a_k)$ $\displaystyle = \prod_{ i = 1} ^ {k - 1} \left ( a_k - a_i \right ) \times \prod _{j = k + 1} ^ {n} \left ( a_k - a_j \right )$
$= \displaystyle \prod_{ i = 1} ^ {k - 1} \left ( a_k - a_i \right )\times$ $\displaystyle \qquad \qquad \qquad ( - 1) ^{n - k} \, \prod _{j = k + 1} ^ {n} \left ( a_j - a_k \right )$
$P_k(a_k) =$
$\displaystyle (-1) ^{n - k} \prod_{ i = 1} ^ {k - 1} \left ( a_k - a_i \right ) \, \prod _{j = k + 1} ^ {n} \left ( a_j - a_k \right )$

$f(a_k) = (-1)^{n + k} \, P_k(a_k) \, V_k$ avec
$V_k = \left (a_1 \, , \, \cdots \, , \, a_{k - 1} \, , \, a_ {k + 1} \, , \, \cdots \, , \, a_n \right )$
$f(a_k) =( -1)^{ n+ k} . ( -1)^{ n - k} \times$ $\qquad \displaystyle \prod_{ i = 1} ^ {k - 1} \left ( a_k - a_i \right ) \times \, \prod _{j = k + 1} ^ {n} \left ( a_j - a_k \right ) \times$
$\displaystyle \qquad \quad \prod_ {1 \leqslant i< j \leqslant n ,\, i\neq k, \, j\neq k} (a_j -a_i)$
$f(a_k) = \displaystyle \prod_{ 1 \leqslant i < j \leqslant n} \left ( a_j - a_i \right )$
$f(a_k) = V \left (a_1 \, , \, \cdots \, , \, a_n \right )$ .

$f$ est une fonction polynôme de degré inférieur ou égal à $n - 1$ , prenant en $n$ valeurs distinctes la valeur $\qquad \qquad V(a_1 \, , \, \cdots \, , \, a_n)$ ,
donc $f$ est une fonction constante et pour tout $x \in \mathbb{R }$ , $f(x) = V(a_1 \, , \, \cdots \, , \, a_n)$ .

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4. Corrigé de l’exercice : Calculer le déterminant d’endomorphisme

On sait que $\mathcal{M} _ {n} (\mathbb{K}) = \mathcal{A} _ {n} (\mathbb{K}) \oplus \mathcal{S} _ {n} (\mathbb{K})$ .
On note :
$p = \dim \mathcal{S} _ {n} (\mathbb{K})$ et $q = \dim \mathcal{A} _ {n} (\mathbb{K})$ .
Soit $(A_1 \, ,\, \cdots \, ,\, A_q\, ,\, S_1 \, ,\, \cdots \, ,\,S_p)$ une base adaptée à cette somme directe.

On a $\forall\, i \in [[1,\, q]],\, f(A_i) = - A_i$ et $\forall\, i \in [[1 , \, p]], \, f(S_i) = S_i\,$ , la matrice de $f$ est donc la matrice diagonale $\qquad \qquad \qquad \begin {pmatrix} - \textrm{I} _ q&0\\0& \textrm{I} _ p \end{pmatrix}$ .

$\det(f) =(-1) ^q \, 1 ^p = (-1) ^q$ avec $q = \displaystyle \frac {n(n - 1)} 2$ .

5. Corrigé de l’exercice : Calculer le déterminants avec opération

En utilisant la formule $\det(A) =\displaystyle \sum_{\sigma \in \mathcal{S}_n} \,\varepsilon(\sigma) \prod _{i = 1} ^n a_{\sigma(i),\, i }\,$ ,
$\det(A)$ est une somme d’éléments de $\mathbb {Z}$ , donc $\det(A) \in \mathbb{Z}$ .
On note $(C_1 \, ,\, C_2 \, ,\, \cdots \, ,\,C _n )$ les vecteurs colonnes de $A$ et $b$ la base canonique de $\mathbb{R} ^n$ , $\det(A) = \det_b (C_1 \, ,\, C_2 \, ,\, \cdots \, ,\,C _n )$ .

On utilise les opérations : $\qquad \forall\, i \in [[1 , n - 1]], \, C_i \leftarrow C_i + C_n\,$ ,
$\det(A) = \det_b (C'_1 \, , \, \cdots ,\, C'_ {n - 1} \, , \,C _n )$
où $\forall\, i \in [[1,\, n - 1]], \, C'_i = C_i + C_n$
les éléments de $C'_i$ sont la somme de deux éléments de $\{-1 , 1\}$ , ils sont égaux à $- 2 , 0$ ou $2$ .
On peut donc mettre en facteur $2$ dans les $n - 1$ premières colonnes, $C'_i = 2 \,C''_i$ et $\det(A) = 2^{n-1} \det_b (C''_1 \,, \, \cdots ,\, C''_ {n - 1} \, ,\,C _n )$ $\det(A) = 2 ^{n - 1}\, \det(A')$ où $A' \in \mathcal{M} _ {n} (\mathbb{Z})$
donc $\det(A') \in \mathbb{Z}$ , ce qui prouve que $2 ^{n - 1}$ divise $\det(A)$ .

6. Corrigé de l’exercice : Calculer le déterminant sur la comatrice

$\bullet$ Si $A \notin \textrm{GL}_n (\mathbb{K})$ , $A\, \textrm{Com}(A)^{\textrm{T} } = 0$ .
$\ast$ Si $A \neq 0$ , $\textrm{Com}(A)^{\textrm{T} }$ n’est pas inversible (sinon en multipliant par son inverse, on aurait $A = 0$ ), alors $\textrm{Com}(A)\notin \textrm{GL}_n (\mathbb{K})$ donc $\det( \textrm{Com}(A)) = 0$ , donc
$\det(\textrm{Com}(A)) =0 = (\det A)^{n - 1}$ .

$\ast$ Si $A = 0$ , tous les cofacteurs sont nuls et $\textrm{Com}(A) = 0$ , donc $\det(\textrm{Com}(A)) = 0$ .
La relation est vérifiée lorsque $A$ n’est pas inversible.

$\bullet$ Si $A \in \textrm{GL}_n (\mathbb{K})$ , $A\, \textrm{Com}(A)^{\textrm{T} } = \det(A) \, \textrm{I}_n$
$\Rightarrow \displaystyle \textrm{Com}(A)^{\textrm{T} } = \frac 1 {\det(A)} \, A$
$\Rightarrow \displaystyle \textrm{Com}(A) =\alpha \, A ^{\textrm{T} }$
$\det(\textrm{Com}(A) ) = \alpha ^n \,\det(A ^{\textrm{T} }) = \alpha ^n \,\det(A)$
$\det(\textrm{Com}(A) ) = \displaystyle \frac {\det(A)} {(\det(A))^n }$ $\det(\textrm{Com}(A)) = \displaystyle \frac 1 {(\det(A))^{n - 1} }\;$ .

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