Chapitres Maths en MPSI, PCSI, MP2I, PTSI
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Exercices et corrigés sur les espaces euclidiens en Maths Sup
Résumé de cours Exercices et corrigés
Cours en ligne de Maths en Maths Sup
Les mathématiques représentent évidemment le coefficient en MP, PC et PSI le plus élevé. Bien que les autres matières enseignées soient également importantes pour entrer dans les meilleures écoles d’ingénieurs, les étudiants de Maths Sup doivent s’assurer dès leur 1ère année de prépa de n’avoir aucune difficulté en mathématiques.
Exercice sur le raisonnement avec un produit scalaire en Maths Sup
Soit un espace vectoriel euclidien muni d’une base orthonormale .
On donne une famille de vecteurs de .
On note pour tout .
Si , la famille est une base de .
Vrai ou Faux ?
Exercice sur un produit scalaire canonique sur
Question 1 : Une inégalité entre traces
,
Vrai ou Faux ?
Question 2 : Un orthogonal
Quel est l’orthogonal de ?
Question 3 : Distance de à
Calculer le carré de la distance de à .
Exercice sur un produit scalaire sur
On se place sur .
Question 1 :
Si est l’ensemble des polynômes tels que , déterminer .
Question 2 :
Déterminer une base orthonormale de .
Exercice sur l’écriture d’une matrice de projection orthogonale
On se place dans muni du produit scalaire canonique.
On considère le sous espace défini par
Question :
Déterminer une base de , puis une base orthonormale.
Exercice sur les projections orthogonales en Maths Sup
Soient et deux sous-espaces vectoriels de dimension finie.
On suppose que .
Question 1 :
Caractériser .
Question 2 :
On suppose toujours .
Vrai ou Faux ?
Exercice sur les coefficients d’une matrice orthogonale en Maths Sup
Soit , .
Question 1 :
a) .
Vrai ou Faux ?
Question 2 :
Le cas d’égalité ?
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Correction de l’exercice sur le raisonnement avec un produit scalaire
Vrai,
Soient tel que .
On note .
On introduit tel que
donc
.
Par l’inégalité de Cauchy-Schwarz,
donc et ,
alors .
Soit .
Comme , on en déduit que .
Donc .
est une famille libre de vecteurs dans un ev de dimension , c’est une base de .
Corrections sur un produit scalaire canonique sur
Question 1 : Une inégalité entre traces
Vrai,
Par utilisation de l’inégalité de Cauchy-Schwarz, avec les matrices et ,
ce qui s’écrit
.
Il y a égalité ssi la famille est liée ssi est combinaison linéaire de
Question 2 : Un orthogonal
Tr est une forme linéaire non nulle sur . est un hyperplan de .
est une droite.
Pour tout , , donc , ce qui prouve que est l’orthogonal de l’hyperplan .
Question 3 : Distance de à
On détermine la projection orthogonale sur engendré par ,
soit
Par le théorème de Pythagore,
.
On rappelle que pour déterminer la projection orthogonale sur un hyperplan , on introduit tel que .
La projection orthogonale sur la droite engendrée par est définie par . Alors .
Correction de l’exercice sur le produit scalaire sur
Question 1 :
On remarque que ssi
Donc est un sous-espace vectoriel de et c’est l’orthogonal de .
C’est un hyperplan (de dimension car ).
Question 2 :
On utilise le procédé d’orthonormalisation de Gram-Schmidt sur la base de .
On a déjà vu que .
On pose .
Soit
On avait calculé :
.
Puis
.
est une base orthonormale de .
Correction sur l’écriture d’une matrice de projection orthogonale
Recherche d’une base de
Soit .
ssi
ssi
ssi
.
Alors avec et .
On utilise le procédé d’orthonormaisation de Gram-Schmidt
, on note donc .
Soit
donc .
Conclusion : Une base orthonormale de est avec
.
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Correction d’exercice sur les projections orthogonales
Question 1 :
Si , et donc alors , ce qui prouve que .
Si , en utilisant Q1.b) pour puis ,
Par double inégalité, , par Q1a), ; alors donc .
On a prouvé que , donc .
Par double inclusion, .
Question 2 :
Vrai,
Soit .
Comme est une projection orthogonale, soit
puis
soit
donc .
Sachant que , pour tout , ,
soit .
Correction d’exercice sur les coefficients d’une matrice orthogonale
Question 1 :
Vrai,
On utilise le produit scalaire canonique sur : .
On définit la matrice par si et si , alors .
avec où , donc .
Par interversion des signes somme :
.
Puis par l’inégalité de Cauchy-Schwarz :
.
.
donc , ce que l’on voulait démontrer.
Question 2 :
S’il y a égalité, l’inégalité de Cauchy-Schwarz est une égalité ce qui est équivalent à est une famille liée
ssi
ssi .
On obtient une condition équivalente en multipliant chaque égalité par le réel non nul et en utilisant et .
Il y a égalité ssi
et donnent .
On a donc prouvé qu’il y a égalité ssi est une matrice orthogonale telle que .
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