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Exercices et corrigés sur les espaces euclidiens en Maths Sup

Name: Groupe Réussite: Cours particuliers, stages intensifs de révision
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SKU: Cours Particuliers
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Résumé de cours Exercices et corrigés

Cours en ligne de Maths en Maths Sup

Les mathématiques représentent évidemment le coefficient en MP, PC et PSI le plus élevé. Bien que les autres matières enseignées soient également importantes pour entrer dans les meilleures écoles d’ingénieurs, les étudiants de Maths Sup doivent s’assurer dès leur 1ère année de prépa de n’avoir aucune difficulté en mathématiques.

Exercice sur le raisonnement avec un produit scalaire en Maths Sup

Soit $E$ un espace vectoriel euclidien muni d’une base orthonormale $(e_1 \,,\, e_2 \,,\, \cdots \,,\, e_n)$ .

On donne $(f_i)_{1\leqslant i \leqslant n}$ une famille de $n$ vecteurs de $E$ .

On note $g_i = e_i + f_i$ pour tout $i\in [\![1,\, n]\!]$ .

Si $\displaystyle \sum _ {i = 1} ^p \Vert f _ i \Vert < 1$ , la famille $(g_1 \,,\, g_2 \,,\, \cdots \,,\, g_n)$ est une base de $E$ .

Vrai ou Faux ?

Exercice sur un produit scalaire canonique sur $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$

Question 1 : Une inégalité entre traces

$\forall \, A \in \mathcal{M} _ n (\mathbb{R})$ , $\textrm{Tr}(A)^2 \leq n\, \textrm {Tr}(A ^{\textrm{T}} \, A)$

Vrai ou Faux ?

Question 2 : Un orthogonal

Quel est l’orthogonal de $\quad F = \{ A \in \mathcal{M} _ n (\mathbb{R}) \, / \, \textrm{Tr} (A) = 0\}$ ?

Question 3 : Distance de $A$ à $F$

Calculer le carré de la distance de $A$ à $F$ .

Exercice sur un produit scalaire sur $\mathbb{R} _ n [\textrm{X}]$

On se place sur $E = \mathbb{R} _ n [\textrm{X}]$ .

Question 1 :

Si $G$ est l’ensemble des polynômes $P \in E$ tels que $\displaystyle \sum _{k = 0} ^n P(k) = 0$ , déterminer $G ^{\perp}$ .

Question 2 :

Déterminer une base orthonormale de $F = \mathbb{R} _ 1 [\textrm{X}]$ .

Exercice sur l’écriture d’une matrice de projection orthogonale

On se place dans $E = \mathbb{R}^4$ muni du produit scalaire canonique.

On considère le sous espace $F$ défini par $\left \{ \begin{matrix} x+y+z+t&=&0\\x+2\, y+3\,z+4\, t&=&0 \end{matrix} \right.$

Question :

Déterminer une base de $F^{\perp}$ , puis une base orthonormale.

Exercice sur les projections orthogonales en Maths Sup

Soient $F$ et $G$ deux sous-espaces vectoriels de dimension finie.

On suppose que $p_F \circ p_G = p_H\,$ .

Question 1 :

Caractériser $H$ .

Question 2 :

On suppose toujours $p_F \circ p_G = p_H\,$ .

$p_F \circ p_G = p_G \circ p_F$

Vrai ou Faux ?

Exercice sur les coefficients d’une matrice orthogonale en Maths Sup

Soit $A\in O_{n} (\mathbb{R})$ , $A = (a_{i,\, j})_{1\leqslant i,j\leqslant n}$ .

Question 1 :

a) $\displaystyle \sum _ {i = 1} ^n \sum _ {j = 1} ^n \vert a_{i,\, j} \vert \leq n\, \sqrt{n}$ .

Vrai ou Faux ?

Question 2 :

Le cas d’égalité ?

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Correction de l’exercice sur le raisonnement avec un produit scalaire

Vrai,

Soient $(\lambda_1 \,,\, \lambda_2 \,,\, \cdots \,,\, \lambda_n) \in \mathbb{R}^n$ tel que $\displaystyle \sum _ {i = 1} ^n \lambda _ i \, g_ i = 0$ .

On note $M = \displaystyle \max _{1 \leq i \leq n} \vert \lambda _ i\vert$ .

On introduit $j\in [[1,\, n]]$ tel que $M = \vert \lambda_j\vert$

$0 = \displaystyle \left ( \sum _ {i = 1} ^n \lambda _ i \, g_ i \mid e_j \right )$

$(g_i \mid e_j) = (e_i \mid e_j) + (f_i \mid e_j)$

$(g_i \mid e_j) = \delta _{i , j} + (f_i \mid e_j)$

donc $0 = \lambda _ i + \displaystyle \sum _ {i = 1 } ^p \lambda_i \, (f_i \mid e_j)$

$\displaystyle \sum _ {i = 1 } ^p \lambda_i \, (f_i \mid e_j) = - \lambda _ j$

$M =\displaystyle \left \vert \sum _ {i = 1 } ^p \lambda_i \, (f_i \mid e_j) \right \vert$

$M \leq \displaystyle \sum _ {i = 1 } ^p \vert \lambda_i \vert \, \vert (f_i \mid e_j)\vert$ .

Par l’inégalité de Cauchy-Schwarz,

$\qquad \quad \vert (f_i \mid e_j)\vert \leq \Vert f_i \Vert \, \Vert e_j\Vert$

donc $\vert (f_i \mid e_j)\vert \leq \Vert f_i \Vert$ et $\vert \lambda _i \vert \leq M$ ,

alors $M \leq \displaystyle \sum _ {i = 1} ^p M \, \Vert f_i \Vert$ .

Soit $\displaystyle M \left ( 1 - \sum _ {i = 1} ^p \Vert f_i \Vert \right ) \leq 0$ .

Comme $\displaystyle 1 - \sum _ {i = 1} ^p \Vert f_i \Vert > 0$ , on en déduit que $M = 0$ .

Donc $\forall\, i \in [[1,\, n]],\, \lambda _ i = 0$ .

$(g_1 \,,\, g_2 \,,\, \cdots \,,\, g_n)$ est une famille libre de $n$ vecteurs dans un ev de dimension $n$ , c’est une base de $E$ .

Corrections sur un produit scalaire canonique sur $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$

Question 1 : Une inégalité entre traces

Vrai,

Par utilisation de l’inégalité de Cauchy-Schwarz, avec les matrices $A$ et $\textrm{I}_n \,$ ,

$(\textrm{I}_n \, | \, A) ^2 \leq (\textrm{I}_n \, | \,\textrm{I}_n ) \, (A \, | \, A)$ ce qui s’écrit

$\quad \quad \quad \textrm{Tr}(A)^2 \leq n\, \textrm {Tr}(A ^{\textrm{T}} \, A)$ .

Il y a égalité ssi la famille $(\textrm{I}_n\, , \, A)$ est liée ssi $A$ est combinaison linéaire de $\textrm{I}_n\,$

Question 2 : Un orthogonal

Tr est une forme linéaire non nulle sur $\mathcal{M} _ n (\mathbb{R})$ . $F = \textrm{Ker Tr }$ est un hyperplan de $\mathcal{M} _ n (\mathbb{R})$ .

$F ^ {\perp }$ est une droite.

Pour tout $A \in F$ , $(\textrm{I}_n \, | \, A) = \textrm{Tr} (A) = 0$ , donc $\textrm{I}_n \in F ^{\perp}$ , ce qui prouve que $\textrm{Vect}(\textrm{I}_n)$ est l’orthogonal de l’hyperplan $F$ .

Question 3 : Distance de $A$ à $F$

On détermine la projection orthogonale $p$ sur $F^{\perp}$ engendré par $\textrm{I}_n\,$ ,

$\displaystyle p(A) = \frac { (\textrm{I}_n \, | \, A) } {\Vert \textrm{I}_n\Vert ^2} \, \textrm{I}_n$ soit $\displaystyle p(A) = \frac { \textrm{Tr}( A) } {n} \, \textrm{I}_n$

Par le théorème de Pythagore,

$d^2(A ,\, F) = \Vert A \Vert ^2 - \Vert p(A)\Vert ^2$

$\displaystyle d^2(A ,\, F) = \textrm{Tr}( A^{\textrm{T} } \, A) - \frac { \textrm{Tr}^2 ( A) } n$ .

On rappelle que pour déterminer la projection orthogonale $q$ sur un hyperplan $H$ , on introduit $a$ tel que $H^{\perp} = \textrm{Vect}(a)$ .

La projection orthogonale $p$ sur la droite engendrée par $a$ est définie par $p: x \mapsto \displaystyle \frac {(a \, |\, x)} {\Vert a \Vert ^2 } \, a$ . Alors $q = \textrm{Id}_E - p$ .

Correction de l’exercice sur le produit scalaire sur $\mathbb{R} _ n [\textrm{X}]$

Question 1 :

On remarque que $P \in G$ ssi $(1 \mid P) = 0$

Donc $G$ est un sous-espace vectoriel de $E$ et c’est l’orthogonal de $\textrm{Vect}(1)$ .

C’est un hyperplan (de dimension $n$ car $\dim E = n + 1$ ).

Question 2 :

On utilise le procédé d’orthonormalisation de Gram-Schmidt sur la base $(1\, , \, \textrm{X})$ de $F$ .

$\ast$ On a déjà vu que $\Vert 1 \Vert = \sqrt{n + 1}$ .

On pose $R_0 = \displaystyle \frac 1 {\sqrt{n + 1}}$ .

$\ast$ Soit $U = \textrm{X} - (\textrm{X} \mid R_0) \, R_0$

$U = \displaystyle \textrm{X} - \frac { (\textrm{X} \mid 1)} {n + 1}$

On avait calculé : $(\textrm{X} \mid 1) = \displaystyle \frac {n(n + 1)} 2$

$U = \displaystyle \textrm{X} - \frac n {2}$ .

$\Vert U \Vert ^2 = \displaystyle \sum _{k =0} ^n \left ( k - \frac n 2 \right ) ^2$

$\Vert U \Vert ^2 = \displaystyle \sum _ {k = 0} ^n k ^2 - n\, \sum _{k = 0} ^n k + \frac {n^2(n + 1)} 4$

$\Vert U \Vert ^2 = \displaystyle \frac{n(n + 1)(2 n + 1) } 6 - \frac{n^2 (n + 1)} 2$ $\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \displaystyle + \frac {n^2(n + 1)} 4$

$\Vert U \Vert ^2 = \displaystyle \frac{n(n + 1)(n + 2) } {12}$

$\ast$ Puis $R_1 = \displaystyle \frac 1{ \Vert U \Vert } \, U$

$R_1 = \displaystyle \frac {\sqrt{3}} {\sqrt{n(n + 1)(n + 2)} } (2\, \textrm{X} - n )$ .

$(R_0\,,\, R_1)$ est une base orthonormale de $F$ .

Correction sur l’écriture d’une matrice de projection orthogonale

$\bullet$ Recherche d’une base de $F^{\perp}$

Soit $v = (x,\,y,\, z,\, t)$ .

$v \in F^{\perp}$ ssi $(v \mid a) = (v \mid b) = 0$

ssi $\left \{ \begin{matrix} x - 2\, y + z = 0 \\2\, x - 3\, y + t = 0 \end{matrix} \right.$

ssi $\left \{ \begin{matrix} z= - x + 2\, y \\t = - 2\, x + 3\, y \end{matrix} \right.$

$F^{\perp} = \{(x, y,2y-x, 3y-2x)\,/\, (x,y) \in \mathbb{R}^2\}$ .

Alors $F^{\perp} = \textrm{Vect}(c,\, d)$ avec $c = (1,0,-1,-2)$ et $d = (0 , 1 , 2, 3)$ .

$\bullet$ On utilise le procédé d’orthonormaisation de Gram-Schmidt

$\ast$ $\Vert c \Vert ^2 = 6$ , on note donc $v_1 = \displaystyle \frac 1 {\sqrt{6}} \, c$ .

$\ast$ Soit $w = d - (d\mid v_1) \, v_1$

$\displaystyle w = d - \frac 1 6 (d\mid c) \, c$

$\displaystyle w = d + \frac 4 3 \, c = \frac 1 3 \, (4,\, 3,\, 2,\, 1)$

$\Vert (4,\, 3,\, 2,\, 1)\Vert ^2 = 30$

donc $v_2 = \displaystyle \frac 1 {\sqrt{30 }} (4,\, 3,\, 2,\, 1)$ .

Conclusion : Une base orthonormale de $F ^{\perp}$ est $(v_1\, ,\, v_2)$ avec

$\qquad v_1 = \displaystyle \frac 1 {\sqrt{6}} \, (1,\,0,\,-1,\,-2)$

$\qquad v_2 = \displaystyle \frac 1 {\sqrt{30 }} \, (4,\, 3,\, 2,\, 1)$ .

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Correction d’exercice sur les projections orthogonales

Question 1 :

$\ast$ Si $x \in F \cap G$ , $p_G(x) = x$ et $p_F(x) = x$ donc $p_F \circ p_G(x) = x$ alors $x \in H$ , ce qui prouve que $F \cap G \subset H$ .

$\ast$ Si $x \in H$ , $\Vert x \Vert = \Vert p_H(x) \Vert = \Vert p_F(p_G(x)) \Vert$ $\Vert x \Vert \leq \Vert p_G(x)\Vert \leq \Vert x \Vert\, .$ en utilisant Q1.b) pour $p_F$ puis $p_G\,$ ,

Par double inégalité, $\Vert p_G(x) \Vert = \Vert x \Vert$ , par Q1a), $x \in G$ ; alors $x = p_F(p_G(x)) = p_F(x)$ donc $x \in F$ .

On a prouvé que $x \in F \cap G$ , donc $H \subset F \cap G$ .

$\ast$ $\ast$ Par double inclusion, $H = F \cap G$ .

Question 2 :

Vrai,

Soit $(x , y) \, \in E^2$ .

Comme $p_H$ est une projection orthogonale, $(p_H(x) \, | \, y) = (x \, | \, p_H(y))$ soit $(p_F(p_G(x)) \, | \, y) = (x \,,| \, p_F (p_G(y))\, )$

$(p_G(x) \, | \, p_F(y)) = (x \,| \, p_F(p_G(y)) )$

puis $(x \, | \,p_G( p_F(y))) = (x \,| \,p_F(p_G(y)))$

soit $(x \, | \,p_G\circ p_F(y) - \,p_F\circ p_G(y)) = 0$

donc $p_G\circ p_F(y) - p_F\circ p_G(y) \in E ^{\perp }$ .

Sachant que $E ^{\perp }=\{0\}$ , pour tout $y \in E$ , $p_G\circ p_F(y) - p_F\circ p_G(y) = 0$ ,

soit $p_F \circ p_G = p_G \circ p_F\,$ .

Correction d’exercice sur les coefficients d’une matrice orthogonale

Question 1 :

Vrai,

On utilise le produit scalaire canonique sur $\mathcal{M}_{n} (\mathbb{R})$ : $< M \, , \, B > \, = \textrm{Tr} (M ^{\textrm{T}} \, B )$ .

On définit la matrice $B = (b_{i , \,j})_{1\leqslant i,j\leqslant n}$ par $b_{i,\,j} = 1$ si $a_{i,\,j}\geq 0$ et $b_{i,\,j} = - 1$ si $a_{i,j}< 0$ , alors $a_{i,\, j} \, b_{i,\, j} = \vert a_{i,\, j} \vert$ .

$A ^{\textrm{T}} \, B = (c_{i,\, j})$ avec $c_{j,\,j} = \displaystyle \sum _{i = 1} ^n a'_{j,\,i} \, b_{i , \, j}$ où $a'_{j,\, i} = a_{i , \,j}\,$ , donc $c_{j,\,j} = \displaystyle \sum _{i = 1} ^n a_{i,j} \, b_{i , \,j} = \sum _{i = 1} ^n \vert a_{i,j} \vert$ .

$< A \, , \, B>\, = \displaystyle \sum _ {j = 1} ^n c_{j,\, j} = \displaystyle \sum _ {j = 1} ^n \sum _{i = 1}^n \vert a_{i,\, j} \vert$

Par interversion des signes somme :

$< A \, , \, B>\, = \displaystyle \sum _ {i = 1} ^n \sum _{j = 1} ^n \vert a_{i,\, j} \vert$ .

Puis par l’inégalité de Cauchy-Schwarz :

$\quad \quad < A \, , \, B> \, \leq \Vert A \Vert \, \Vert B \Vert$

$\Vert A \Vert ^2 = \textrm{Tr}( A ^{\textrm{T}}\, A ) = \textrm{Tr(I}_n) = n$ .

$\Vert B \Vert ^2 = \displaystyle \sum _{i = 1}^n \sum _{j = 1} ^n b_{i,\, j} ^2 = n^2$ .

donc $< A \, , \, B> \, \leq \sqrt{n} \; n$ , ce que l’on voulait démontrer.

Question 2 :

S’il y a égalité, l’inégalité de Cauchy-Schwarz $< A \, , \, B>\, \leq \Vert A \Vert \, \Vert B \Vert$ est une égalité ce qui est équivalent à $(A , B)$ est une famille liée

ssi $\exists \, \lambda \in \mathbb{R}, \, A = \lambda \, B$

ssi $\exists \, \lambda \in \mathbb{R}, \forall \, i,\, j\, , \, a_{i,\,j} = \lambda \, b_{i,\,j}\,$ .

On obtient une condition équivalente en multipliant chaque égalité par le réel non nul $b_{i,j}$ et en utilisant $\quad \quad a_{i,\,j} \, b_{i,\,j} = \vert a_{i,\,j}\vert$ et $b_{i,\,j}^2 = 1$ .

Il y a égalité ssi $\exists \, \lambda \in \mathbb{R},\forall \, i,\, j \, ,\, \vert a_{i,\,j}\vert = \lambda$

$1 = \displaystyle \sum _ {i=1}^n a_{i,\,j}^2 = n\, \lambda ^2$ et $\lambda \geq 0$ donnent $\displaystyle \lambda = \frac {1} {\sqrt{n}}$ .

On a donc prouvé qu’il y a égalité ssi $A$ est une matrice orthogonale telle que $\displaystyle \forall \,( i,\, j)\in [[1,\, n]]^2\, , \, \vert a_{i ,j} \vert = \frac 1 {\sqrt{n}}$ .

Pour espérer avoir de très bons résultats à Centrale Supélec, Mines-Pont, Mines-Télécom ou encore à l’X ou l’ENS, les étudiants de Maths Sup peuvent s’entraîner avec les exercices des cours en ligne avant de passer à la préparation des concours sur les annales. Bien connaître son cours et réussir les exercices de cours est primordial avant de se lancer sur les exercices des annales. Ainsi, les étudiants de PTSI, PCSI et MPSI ont à leur disposition tous les chapitres de Maths au programme sous forme de cours ligne, dont :

Exercices et corrigés sur les espaces euclidiens en Maths Sup

Exercice sur le raisonnement avec un produit scalaire en Maths Sup

Exercice sur un produit scalaire canonique sur $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$

Exercice sur un produit scalaire sur $\mathbb{R} _ n [\textrm{X}]$

Exercice sur l’écriture d’une matrice de projection orthogonale

Exercice sur les projections orthogonales en Maths Sup

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