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Exercices corrigés sur les Fractions rationnelles en Maths Sup

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Résumé de cours Exercices et corrigés

Cours en ligne de Maths en Maths Sup

Plan des exercices : Polynome

1. Des calculs simples
2. Un peu plus compliqués
3. Avec des polynômes de degré n

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1. Des calculs simples sur les fractions rationnelles en maths sup

Exercice 1
Décomposition en éléments simples de $\displaystyle \frac {\textrm{X} ^3} {(\textrm{X} -1) (\textrm{X}-2) (\textrm{X}+ 2) }$

Correction :

$F$ est une fraction rationnelle irréductible de degré 0, ayant trois pôles simples.
Sa partie entière est égale à 1 (quotient de deux polynômes unitaires de degré 3).

Il existe trois réels $a,\, b,\, c$ tels que
$\quad F = 1 + \displaystyle \frac a {\textrm{X} - 1} + \frac b {\textrm{X} - 2} + \frac c { \textrm{X} + 2}$ .

On obtient $a$ en évaluant en $1$ $(X - 1)\, F = \displaystyle \frac {\textrm{X} ^3} { (\textrm{X}-2) (\textrm{X}+ 2) }$ ,
donc $a = \displaystyle \frac {1} {(1 - 2) (1 + 2) } = - \frac 1 3$ .

De même, $b = \displaystyle \frac 8 {(2 - 1)(2 + 2) } = 2$ et $c = \displaystyle \frac {-8} {(-2 - 1)(-2 - 2) } = \frac {-2} 3$ .

$F = 1- \displaystyle \frac 1 {3(\textrm{X} - 1)} + \frac 2 {\textrm{X} - 2} - \frac 2 { 3(\textrm{X} + 2)}$ .

Exercice 2
Décomposition en éléments simples dans $\mathbb{C}$ de $F = \displaystyle \frac {\textrm{X}^4} {(\textrm{X} + 1) (\textrm{X} ^2 - 1)}$ .

Correction :

$F = \displaystyle \frac {\textrm{X}^4} {(\textrm{X} + 1)^2 \, (\textrm{X} - 1)}$ est une fraction irréductible de degré 1, admettant un pôle double $-1$ et un pôle simple $1$ .

$\ast$ Il y a une partie entière $E$ qui est le quotient de $\textrm{X}^4$ par $\textrm{X}^3 + \textrm{X}^2 - \textrm{X}- 1$
On pose l’opération et on obtient un quotient égal à $\textrm{X} - 1$ et un reste égal à $2\, \textrm{X}^2- 1$ .

$\ast$ La décomposition formelle de la fraction $F$ s’écrit
$F = \textrm{X} - 1 + \displaystyle \frac a { (\textrm{X} + 1) ^2}$ $\quad \quad \quad \quad \displaystyle + \, \frac b {\textrm{X}+ 1} + \frac c {\textrm{X} - 1}$ .
$\ast$ en multipliant la relation par $( \textrm{X}+ 1)^2$ et en évaluant $\displaystyle \frac {\textrm{X}^4} {\textrm{X} - 1}$ en $- 1$ , on obtient
$\displaystyle \frac {1} { - 2} = a$
$\ast$ en multipliant la relation par $\textrm{X} -1$ et en évaluant $\displaystyle \frac {\textrm{X}^4} {(\textrm{X} +1)^2 }$ en $1$ ,
$\displaystyle \frac 1 {(1 + 1)^2} = c = \frac 1 4$
$\ast$ On évalue la relation en $0$ :
$0= - 1 + a + b - c$ $\Rightarrow b =1 - a + c = \displaystyle 1 + \frac 1 2 +\frac 1 4$ , $b = \displaystyle \frac {7} 4$

$F = \displaystyle \textrm{X} - 1 - \displaystyle \frac 1 { 2 (\textrm{X} + 1) ^2} + \frac 7 {4(\textrm{X}+ 1)}$ $\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \displaystyle + \, \frac 1 {4(\textrm{X} - 1)}$ .

Exercice 3
Décomposition en éléments simples de $\displaystyle \frac {\textrm{X} ^3} {(\textrm{X} -1)^2 (\textrm{X}-2)^ 2 }$

Correction : $F = \displaystyle \frac {\textrm{X} ^3} {(\textrm{X} -1)^2 (\textrm{X}-2)^ 2 }$ est une fraction rationnelle irréductioble, sans partie entière et ayant deux pôles doubles.
Il existe 4 réels $a,\, b,\, c,\, d$ tels que $F =$
$\displaystyle \frac a {(\textrm{X} - 1)^2 } + \frac b {\textrm{X} - 1} + \frac c { (\textrm{X} - 2)^2 } + \frac d {\textrm{X} - 2}$

On obtient $a$ en évaluant en $1$ $(X - 1)^2\, F = \displaystyle \frac {\textrm{X} ^3} { (\textrm{X}-2)^2 }$
donc $a = \displaystyle \frac {1} {(1 - 2)^2 } = 1$ .
De même, $c = \displaystyle \frac {2 ^3} {(2 - 1)^2} = 8$ .

On détermine ensuite la limite en $+\infty$ de $x \, F(x)$ et on obtient $1 = b + d$ .
Et en évaluant en $0$ :
$0 = \displaystyle a - b + \frac c 4 - \frac d 2 = 3 - b - \frac d 2$
ce qui donne
$b + d = 1$ et $2 \, b + d = 6$
ssi $b = 5$ et $d = - 4$ .

$F = \displaystyle \frac 1 {(\textrm{X} - 1)^2 } + \frac 5 {\textrm{X} - 1}$ $\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \displaystyle +\, \frac 8 { (\textrm{X} - 2)^2 } - \frac 4 {\textrm{X} - 2}$

Exercice 4
Décomposition en éléments simples dans $\mathbb{R}$ de $\displaystyle \frac 1 {\textrm{X} ^3 + 1}$ .

Correction : $F$ est irréductible, sans partie entière et la décomposition dans $\mathbb{R}$ du dénominateur est :
$\quad \quad \textrm{X} ^3 + 1 = ( \textrm{X} + 1) (\textrm{X} ^2 - \textrm{X} + 1))$ .

Il existe trois réels $a, \, b\, c$ tels que
$F = \displaystyle \frac 1 { (\textrm{X} + 1) (\textrm{X} ^2 - \textrm{X} + 1) }$
$F = \displaystyle \frac a { \textrm{X} + 1} + \frac {b \, \textrm{X} + c} {\textrm{X} ^2 - \textrm{X} + 1}$

On obtient $a$ en évaluant $( \textrm{X} + 1)\, F = \displaystyle \frac 1 {\textrm{X} ^2 - \textrm{X} + 1 }$ en $-1$ , donc $a = \displaystyle \frac 1 3$ .

On détermine ensuite la limite en $+\infty$ de $x \, F(x)$ et on obtient $0 = a + b$ soit $b = - a = - 1/3$ .
Puis on évalue en $0$ : $1 = a + c$ soit $c = 2/3$ .
Donc $F = \displaystyle \frac 1 { 3(\textrm{X} + 1)} + \frac {- \textrm{X} + 2} {3(\textrm{X} ^2 - \textrm{X} + 1)}$ .

2. un peu plus compliqués

Exercice 1
Décomposer en éléments simples dans $\mathbb{C}$ , puis $\mathbb{R}$ , $F = \displaystyle \frac 1 {\textrm{X}^2 \, (\textrm{X} ^2 + 1)}$ .

Correction : $F = \displaystyle \frac 1 {\textrm{X}^2 \, (\textrm{X} ^2 + 1)}$ est une fraction rationnelle irréductible, de degré égal à $- 4$ admettant un pôle double $0$ et deux pôles complexes conjugués $\textrm{i}$ et $- \textrm{i}$ .

$\bullet$ Décomposition dans $\mathbb{C}$ .
$\ast$ On obtient une décomposition formelle en éléments simples de la forme
$\quad F = \displaystyle \frac a {\textrm{X}^2} + \frac b {\textrm{X}} + \frac c {\textrm{X} - \textrm{i} } + \frac d {\textrm{X}+ \textrm{i} }$ .
C’est une fraction rationnelle à coefficients dans $\mathbb{R}$ avec deux pôles conjugués, donc $d = \overline{c}$ .

$\ast$ $F$ est paire
$F( - \textrm{X}) = \displaystyle \frac a {\textrm{X}^2} - \frac b {\textrm{X}} -\frac c {\textrm{X} + \textrm{i} } - \frac d {\textrm{X}+ \textrm{i} }$
c’est la décomposition en éléments simples de $F$ , donc par unicité :
$- b = b$ , $- c = d$ , alors $b = 0$ et $d = - c = \overline{c}$ , donc $c$ est un imaginaire pur.

Par propriété des pôles simples : $c = \displaystyle \frac 1 {\textrm{i} ^2 \, (2 \, \textrm{i} )} = \frac {\textrm{i} } 2$ .
En utilisant $X ^2 \, F$ et en substituant $0$ à $\textrm{X}$ , on obtient $a = \displaystyle \frac 1 1 = 1$
alors $F = \displaystyle \frac 1 {\textrm{X}^2} + \frac {\textrm{i} } {2(\textrm{X} - \textrm{i}) } - \frac {\textrm{i} } {2(\textrm{X}+ \textrm{i} )}$ .

$\bullet$ Décomposition dans $\mathbb{R}$ .
Pour trouver la décomposition en éléments simples dans $\mathbb{R}$ , on réduit au même dénominateur
$g = \displaystyle \frac {\textrm{i} } {2(\textrm{X} - \textrm{i}) } - \frac {\textrm{i} } {2(\textrm{X}+ \textrm{i} )}$ $\displaystyle g = \frac {\textrm{i}\, (\textrm{X}+ \textrm{i} ) - \textrm{i} \, (\textrm{X}- \textrm{i} ) } {2(\textrm{X}^2 + 1)}$
$g = \displaystyle \frac {-1 } {\textrm{X}^2 + 1}$ et $F = \displaystyle \frac 1 {\textrm{X}^2} - \frac {1 } {\textrm{X}^2 + 1}$ .

Exercice 2
Décomposer en éléments simples dans $\mathbb{C}$ puis $\mathbb{R}$ la fraction
$\quad \quad F = \displaystyle \frac {1} {(\textrm{X}^2 + 1)(\textrm{X}^2 + \textrm{X} + 1)}$

Correction : $F = \displaystyle \frac {1} {(\textrm{X}^2 + 1)(\textrm{X}^2 + \textrm{X} + 1)}$

$\bullet$ Décomposition dans $\mathbb{C}$ .
C’est une fraction irréductible, sans partie entière et admettant 4 pôles simples : $\textrm{i} \, ,\, - \textrm{i} ,\, \textrm{j},\, \textrm{j}^2$ .
Comme $F$ est à coefficients réels, sa décomposition en éléments simples s’écrit
$F = \displaystyle \frac {a} { \textrm{X} - \textrm{i}} + \frac {\overline{a} } { \textrm{X} + \textrm{i}} + \frac b { \textrm{X} - \textrm{j}} + \frac {\overline{b} } { \textrm{X} - \textrm{j}^2}$

On obtient la valeur de $a$ en évaluant $\displaystyle \frac 1 {(\textrm{X} + \textrm{i} ) (\textrm{X}^2 + \textrm{X} + 1)}$ en $\textrm{i}$ :
$\quad \quad \quad \quad a = \displaystyle \frac 1 {2\, \textrm{i}\, (\textrm{i})}= - \frac 1 2$ .

On obtient la valeur de $b$ en évaluant en $\displaystyle \frac 1 {(\textrm{X} - \textrm{j} ^2) (\textrm{X}^2 + 1)}$ en $\textrm{j}$ .
On rappelle que $\textrm{j} + \textrm{j}^2 +1 = 0$ et $\textrm{j} ^3 = 1$ .
$b = \displaystyle \frac 1 {(\textrm{j} - \textrm{j} ^2 ) (\textrm{j}^2 + 1)} = \frac 1 {(\textrm{j}^2 - \textrm{j} ) ( - \textrm{j})}$
$b = \displaystyle \frac 1 { 1 - j ^2 } =\frac {2} {3\, + \textrm{i} \, \sqrt{3} } = \frac { 2} {\sqrt{3} }\, \frac {\sqrt{3} - \textrm{i} } {4}$
$\displaystyle b = \frac { \sqrt{3} - \textrm{i} } {2\, \sqrt{3}}$ .

donc $F = - \displaystyle \frac 1 {2(\textrm{X} - \textrm{i} )} - \frac 1 {2(\textrm{X} + \textrm{i} )}$ $\displaystyle \quad \quad \quad \quad \quad +\, \frac { \sqrt{3} - \textrm{i} } {2 \sqrt{3} (\textrm{X} - \textrm{j} ) } + \frac { \sqrt{3}+ \textrm{i} } {2 \sqrt{3} (\textrm{X} - \textrm{j}^2 ) }$ .

$\bullet$ Décomposition dans $\mathbb{R}$ .
$\ast$ $\displaystyle - \frac 1 {2(\textrm{X} - \textrm{i} )} - \frac 1 {2(\textrm{X} + \textrm{i} )} = - \frac {\textrm{X} } {\textrm{X} ^2 + 1}$ par réduction au même dénominateur .

$\ast$ $\displaystyle \frac { \sqrt{3} - \textrm{i} } {2 \sqrt{3} (\textrm{X} - \textrm{j} ) } + \frac { \sqrt{3}+ \textrm{i} } {2 \sqrt{3} (\textrm{X} - \textrm{j}^2 ) }= \frac N D$
$N = (\sqrt{3} - \textrm{i} ) (\textrm{X} - \textrm{j}^2 ) + (\sqrt{3} + \textrm{i} ) (\textrm{X} - \textrm{j} )$
$N = 2 \sqrt{3} \textrm{X} - \sqrt {3} , (\textrm{j} + \textrm{j}^2 ) - \textrm{i}\, (\textrm{j} - \textrm{j}^2)$
$N = 2 \sqrt{3} \textrm{X} + \sqrt {3} - \textrm{i} ( \textrm{i} \, \sqrt{3} )$
$N = 2 \sqrt{3} \textrm{X} + \sqrt {3} + \sqrt{3}$
donc
$\displaystyle \frac { \sqrt{3} - \textrm{i} } {2 \sqrt{3} (\textrm{X} - \textrm{j} ) } + \frac { \sqrt{3}+ \textrm{i} } {2 \sqrt{3} (\textrm{X} - \textrm{j}^2 ) } =$ $\quad \quad \quad \quad \quad \displaystyle \frac { \textrm{X} + 1} {\textrm{X} ^2 + \textrm{X} + 1}$ .

$F = \displaystyle - \frac {\textrm{X} } {\textrm{X} ^2 + 1} + \frac { \textrm{X} + 1} {\textrm{X} ^2 + \textrm{X} + 1}$ .

Exercice 3
Décomposer en éléments simples sur $\mathbb{C}$ puis $\mathbb{R}$ la fraction $\displaystyle \frac {\textrm{X}^2 + 1} {\textrm{X}^4 + 1}$

Correction : $\bullet$ Décomposition sur $\mathbb{C}$ .
$F = \displaystyle \frac {\textrm{X}^2 + 1} {\textrm{X}^4 + 1}$ est une fraction rationnelle paire, écrite sous forme irréductible et admettant 4 pôles qui sont tous simples et qui sont les racines $4$ -ièmes de $-1$ .

En notant $r = \textrm{e} ^{\textrm{i} \, \pi/4}$ , $r ^4 = - 1$ , donc les racines $4$ -ièmes de $-1$ sont $\quad\quad \quad \quad \quad r,\,\textrm{i} \, r \, - r, \, - \textrm{i} \, r$ .
La décomposition de $F$ s’écrit
$F = \displaystyle \frac a {\textrm{X} - r} + \frac b {\textrm{X} + r} + \frac c {\textrm{X} - \textrm{i} \, r} + \frac d {\textrm{X} + \textrm{i} \, r}$
avec $a = \displaystyle \frac {r ^2 + 1} { 4 \, r ^3 }$ .
Comme $r ^4 = - 1$ , $r ^3 = - 1/r$
et $r^2 = \textrm{e} ^{\textrm{i} \, \pi/2} = \textrm{i}$
donc $\displaystyle a = - \frac {r(r ^2 + 1)} { 4 } = -\frac {(1 + \textrm{i}) r } 4$
Puis $(1 + \textrm{i})\, r = \displaystyle \frac {(1 + \textrm{i})^2 } {\sqrt{2} } = \sqrt{2} \textrm{ i}$
donc $a = -\displaystyle \frac {\textrm{i} } {2\sqrt{2}}$ .

Le pôle conjugué de $r$ est $- \textrm{i} \, r$ , comme la fraction est à coefficients réels, $d = \overline {a} = -\displaystyle \frac {\textrm{i} } {2\sqrt{2}} = - a$ .
Puis comme $F$ est paire, $F( \textrm{X} ) = F(- \textrm{X})$
donne
$\displaystyle \frac a {\textrm{X} - r} + \frac b {\textrm{X} + r} + \frac c {\textrm{X} - \textrm{i} \, r} + \frac d {\textrm{X} + \textrm{i} \, r}$
$\; \displaystyle = - \frac a {\textrm{X} + r} - \frac b {\textrm{X} - r} - \frac c {\textrm{X} + \textrm{i} \, r} - \frac d {\textrm{X} - \textrm{i} \, r}$
donc par unicité de la décomposition en éléments simples :
$\quad \quad \quad a = - b$ et $c = - d = - a$ .

soit $F = \displaystyle \frac a {\textrm{X} - r} - \frac a {\textrm{X} + r} - \frac a {\textrm{X} - \textrm{i} \, r} + \frac a {\textrm{X} + \textrm{i} \, r}$
avec $a = \displaystyle \frac {\textrm{i} } {2\sqrt{2}}$

$\bullet$ Décomposition sur $\mathbb{R}$ .
Il est plus simple ensuite de remarquer que $\textrm{X}^4 + 1 = (\textrm{X}^2 + 1) ^2 - 2 \, \textrm{X}^2$
donc $\textrm{X}^4 + 1 =$ $\quad \quad (\textrm{X}^2 + \sqrt{2} \,\textrm{X} + 1) \, (\textrm{X} ^2 - \sqrt{2} \, \textrm{X} + 1)$
et que :
$2 (\textrm{X} ^2 + 1) =$ $\quad (\textrm{X}^2 + \sqrt{2} \,\textrm{X} + 1) + (\textrm{X} ^2 - \sqrt{2} \, \textrm{X} + 1)$
pour obtenir par division la décompostio de $F$ :
$\displaystyle \frac 1 {2(\textrm{X}^2 - \sqrt{2} \,\textrm{X} + 1)} + \frac 1 {2 (\textrm{X}^2 + \sqrt{2} \,\textrm{X} + 1)}$

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3. où il y a des polynômes de degré $n$

Exercice 1
Soit $P \in \mathbb{R} [\textrm{X}]$ où $\textrm{deg} P = n$ , $P$ ayant $n$ racines réelles distinctes et non nulles $(r_1 \, ,\, \cdots \, , \, r_n)$ avec $P = \displaystyle \sum _ {k = 0} ^n a_k \, \textrm{X}^k$
$\quad \quad \displaystyle \sum _{k = 1} ^n \frac 1 {r _ k \, P\, '(r_k)} = \frac 1 {a_0}$ . Vrai ou faux ?

Correction : On décompose en éléments simples dans $\mathbb{K}$ la fraction rationnelle $F = \displaystyle \frac 1 P$ qui est irréductible, de degré strictement négatif et admet $n$ pôles distincts.
On obtient une décomposition de la forme $F = \displaystyle \sum _ {k = 1} ^n \frac {\alpha _ k} {\textrm{X} - r_k}$
avec $\forall \, k \in [[1, \, n]], \; \alpha _ k = \displaystyle \frac 1 {P\, '(r_k)}$
donc $\displaystyle \frac 1 P = \sum _ {k = 1} ^n \frac 1 {P\, '(r_k)(\textrm{X} - r_k)}$ .

On peut évaluer la relation en $0$ car $0$ n’est pas pôle de la fraction :
$\displaystyle \frac 1 {P(0)} = \sum _ {k = 1} ^n \frac 1 {P\, '(r_k)( - r_k)}$
donc $\displaystyle \sum _ {k = 1} ^n \frac 1 {P\, '(r_k) \, r_k} = - \frac 1 {a_0} \,$ .

Exercice 2
Soit $P \in \mathbb{R} [\textrm{X}]$ où $\textrm{deg} P = n$ , $P$ ayant n racines réelles distinctes et non nulles $(r_1 \, ,\, \cdots \, , \, r_n)$ où $P = \displaystyle \sum _ {k = 0} ^n a_k \, \textrm{X}^k$ et $P(0) \neq 0$ ,
$\quad \quad \quad \displaystyle \sum _{k = 1} ^n \frac 1 {r_k} = - \frac {a_1} {a_0}$ . Vrai ou Faux ?

Correction :

$F = \displaystyle \frac {\textrm{X} \, P\, '} P$ est le quotient de deux polynômes de degré $n$ dont les coefficients dominants sont $n \, a_n$ et $a_n\,$ . Elle admet $n$ comme partie entière.

Les racines de $P$ sont distinctes (donc ne sont pas racines de $P\,'$ ) et $0$ est racine de $\textrm{X} \, P\,'$ mais n’est pas racine de $P$ ), donc $F$ est écrite sous forme irréduc- tible.
On obtient donc
$\quad \quad \displaystyle \frac {\textrm{X} \, P\, '} P = n + \sum _ {k = 1} ^n \frac {\alpha _ k} {\textrm{X} - r_k}$
avec $\forall\, k \in [[1,\, n]] ,\, \displaystyle \alpha _ k = \frac {r_k \, P\, '(r_k)} {P\, '(r_k)} = r_k$
donc $F = \displaystyle n + \sum _ {k = 1} ^n \frac {r _ k} {\textrm{X} - r_k}$ .

En dérivant sur $\mathbb{R} \setminus \{ r_1 \, ,\, \cdots \, , \, r_n\}$ , la fonction rationnelle $F$ , on obtient
$F'(x) = \displaystyle \frac { P'(x) + x \, P''(x)} {P(x)} + \frac {x \, P'^2(x)} {P(x)^2}$
et $\displaystyle F'(x) = - \sum _ {k = 1} ^n \frac {r _ k} {(x - r_k)^2}$
en évaluant en $0$ qui n’est pas pôle de $F'$ , $\displaystyle \frac {P'(0)} {P(0)} = - \sum _ {k = 1} ^n \frac 1 {r_k}$
soit $\displaystyle \sum _ {k = 1} ^n \frac 1 {r_k} = - \frac {a_1} {a_0}$ .

Exercice 3
question 1.
Soit $P$ un polynôme de degré $n \geq 2$ scindé sur $\mathbb{K}$ , quelle est la décomposi- tion en éléments simples de $\displaystyle \frac { P\,' } P$ ?

Correction :

Si $P = \displaystyle a_n \prod_{k = 1} ^r (\textrm{X} - x_k)^{\alpha _ k}$ , il suffit de remarquer que :
$P\, ' = a_n \displaystyle \sum _{k = 1} ^n \prod _{i \neq k} \alpha_ i \, (\textrm{X} - x_i)^{\alpha_i - 1}$
donc $\displaystyle \frac {P\, '}{ P } =\sum _{k = 1} ^r \frac {\alpha _ k} {X - x_k}$ .

🧡 C’est un calcul classique à savoir refaire.

Question 2
On suppose que $P \in \mathbb{R} [\textrm{X}]$ est scindé sur $\mathbb{R}$ .
$\forall\, x \in \mathbb{R},\, P(x) \, P''(x) - P'^2(x)\geq 0$ . Vrai ou faux ?

Correction : On note $\Delta = \mathbb{R} \setminus \{x _1\, , \, \cdots \, , \, x_r \}$ .
On dérive la relation définie sur $\Delta$ par
$\quad \quad \quad \displaystyle \frac {P\, '(x)}{ P (x) } =\displaystyle \sum _{k = 1} ^r \frac {\alpha _ k} {x - x_k}$ .

$\displaystyle \frac {P(x) \, P\,''(x) - P\,'^2 (x)}{ P^2 (x) } = - \sum _{k = 1} ^r \frac {\alpha _ k} {(x - x_k)^2 }$ .
donc
$P(x) \, P\,''(x) - P\, '^2(x) =$ $\quad \quad \quad \quad \quad \displaystyle - P^2(x) \sum _{k = 1} ^r \frac {\alpha _ k} {(x - x_k)^2 } < 0$ .
comme opposé du produit de deux réels strictement positifs

Puis si $x \in \{x _1\, , \, \cdots \, , \, x_r \}$ , $P(x) = 0$
donc $P(x) \, P\,''(x) - P\,'^2(x) \leq 0$ .

Alors $\forall \, x \in \mathbb {R}, \, P\,'^2(x) - P(x) \, P\,''(x) \geq 0$ .

Exercice 4
Soit $n \in \mathbb{N}$ .
Décomposer en éléments simples
$\displaystyle \frac {\textrm{X} ^{n + 1}} {(\textrm{X} + 1) (\textrm{X}+3) \, \cdots \, (\textrm{X}+ 2 n + 1)}$
On peut en déduire que $\displaystyle \sum _ {k = 0} ^n (-1) ^k (2 \, k + 1) ^n\, \binom {n } k = (-2) ^{n } \, n!$

Vrai ou faux ?

Correction : $F$ est une fraction rationnelle de degré $0$ (quotient de deux polynômes unitaires de degré $n + 1$ ), irréductible de pôles simples $- 2 \, k - 1$ où $k \in [[0,\, n]]$ .
La partie entière est le quotient du numérateur par le dénominateur, elle est égale à 1.
On peut donc écrire
$\quad \quad F = \displaystyle \frac P Q = 1 + \sum _ {k = 0} ^n \frac {\alpha _ k} {\textrm{X} + 2 \, k + 1}$ .

Soit $k \in [[0 ,\, n]]$ et $Q = (\textrm{X} + 2 \, k + 1) \, Q_k$ avec $Q_k = \displaystyle \prod _ {0 \leq i \leq n , i \neq k} (\textrm{X} + 2 \, i + 1)$
alors $\displaystyle \alpha _ k = \frac {P(- 2 k - 1)} {Q_k(- 2\, k - 1)}$
$Q_k(- 2 \, k - 1) = \displaystyle \prod _ {0 \leq i \leq n , i \neq k} ( 2 \,( i - k) )$ ,
ce que l’on peut écrire :
$Q_k(- 2 \, k - 1) =$ $\displaystyle \quad \quad \quad \quad \quad 2 ^{n } \, \prod _{i = 0} ^{k - 1} (i - k) \times \prod _{i = k + 1} ^n (i - k)$
en posant $p = k - i$ dans le premier produit et $q = i - k$ dans le deuxième :
$Q_k(- 2 \, k - 1) =$ $\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad 2 ^{n } \displaystyle (-1) ^k \prod _{p = 1} ^{k} p \times \prod _{q = 1} ^{n - k} q$
$Q_k(- 2 \, k - 1) = 2 ^{n } (-1) ^k \, k! \times (n - k)!$
et $\alpha _ k = \displaystyle \frac {(- 2\, k - 1) ^{n + 1} } { 2 ^{n } (-1) ^k \, k! \times (n - k)!}$
que l’on peut écrire
$\quad \quad \alpha _ k = \displaystyle \frac {(-1) ^ {n + 1 - k}\, (2 \, k + 1)^n } {2 ^n \, n!} \; \; \binom n k$ .

En évaluant en $0$ : $0 = \displaystyle 1 + \sum _ {k = 0} ^n \frac {\alpha_k} {2 \, k + 1}$
soit $0 = \displaystyle 1 + \frac { (-1) ^{n + 1} } {2 ^n \, n!} \sum _ {k = 0} ^n (2 \, k + 1) ^n\, \binom {n } k$
donc $\displaystyle \sum _ {k = 0} ^n (-1) ^k (2 \, k + 1) ^n\, \binom {n } k = (-1) ^n \, 2 ^n \, n!$

Exercice 5
Soit $n \in \mathbb{N}$ , $n \geq 2$ .
Si $k \in [\![0, n]\!]$ , on note $\omega_k = \textrm{e} ^{2 \textrm{i} \,k \, \pi/n}$
Quelle est la valeur de $\quad \quad \quad \quad F = \displaystyle \sum _ {k = 1} ^{n - 1} \frac {\omega_k - 1} { (\textrm{X} - \omega_k }$ ?

Exercice 6
Si $n \in \mathbb{N }^*$ , décomposition en éléments simples de $\displaystyle \frac {(2\, n + 1) \, \textrm{X}} {\textrm{X} ^{2\, n + 1 } + 1}$ dans $\mathbb{C}$ puis $\mathbb{R}$ .

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