Chapitres Maths en MPSI, PCSI, MP2I, PTSI

Les matrices : exercices et corrigés de Maths Sup

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Résumé de cours Exercices et corrigés

Cours en ligne de Maths en Maths Sup

Pour réussir en Maths Sup, il est important d’adopter les bonnes méthodes de travail dès les premiers mois de prépa. Bien connaître les chapitres de maths au programme de Maths Sup est indispensable pour réussir sa 2eme année de Maths Spé, et pour évidemment réussir avec brio les concours post-prépa.

Exercice sur les écritures de matrices et opérations de Maths Sup

Déterminer la matrice dans les bases canoniques de $f : \mathbb{R}_3[\textrm{X}] \to \mathbb{R}^3$ où $f(P) =$ $(P(1), \, P'(1) + P(2) , \, P''(2) + P'( - 1) )$ .

Exercice sur le calcul de l’inverse d’une matrice en Maths Sup

Montrer que $A =\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 2 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \\ \end{pmatrix}$ est une matrice inversible et calculer son inverse en l’interprétant comme une matrice de changement de bases.

Exercice sur l’interprétation de matrices d’ordre $n + 1$

Soit $n \in \mathbb{N}^*$ , $t \in \mathbb{C}$ et $M(t) = (m_{i,\, j}(t))_{0\leqslant i,\, j \leqslant n} \in \mathcal{M}_{n + 1}(\mathbb{C})$ telle que

$\forall (i, \, j) \in [\![0 , \,n]\!]^2$ , $\displaystyle m_{i,\, j}(t) = \binom {j} i t ^{j - i}$ si $0 \leqslant i \leqslant j \leqslant n$ et $m_{i,\, j}(t) = 0$ si $i > j$ .

Question :

Calculer si $(t,t') \in \mathbb{C}^2$ , $M(t)\, M(t')$ .

Exercice sur le produit de matrices d’ordre $n$ en Maths Sup

Soient $n \in \mathbb{N}$ et $n \geq 3$ et $\omega = \textrm{e} ^{2\, \textrm{i} \, \pi / n}$ .

On définit les matrices $X ,\, Y \in \mathcal{M}_ {n}(\mathbb{K})$ par $X = (x_{p,\, q}) _{1\leqslant p,\, q \leqslant n}$

$\; \;$ et $Y = (y_{p,\, q}) _{1\leqslant p, \,q \leqslant n}$

avec $\forall\, (p , \,q) \in [\![1 , \, n]\! ]^2$ ,

$\;\;\; x _ {p,\, q} = \omega ^{(p- 1)(q-1)}$ et $y_{p, \, q} = \overline{x_{p,\, q}}\,$ .

Question :

Calculer $X^2$ .

Exercice sur l’utilisation de la base canonique en Maths Sup

Démontrer que pour toute application linéaire $f$ de $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ dans $\mathbb{K},$ il existe une unique matrice $A$ telle que

$\; \; \; \forall \,X \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ , $f(X) = \textrm {Tr}(A \,X)$ .

Exercice sur les matrices de rang $1$ et généralisation en Maths Sup

Soit $A \in \mathcal{M}_{n , \, p}(\mathbb{K})$ de rang $r$ .

$A$ est la somme de $r$ matrices de rang 1 .

Vrai ou faux ?

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Correction d’exercice sur les écritures de matrices et opérations

On démontre facilement que $f$ est une application linéaire de $\mathbb{R}_3[\textrm{X}]$ dans $\mathbb{R}^3$ .

Sa matrice est de type $(3 , \,4)$ .

On détermine l’image de la base canonique de $\mathbb{R}_3[\textrm{X}]$ .

$f(1) = (1 , 1 , 0)$

$f(\textrm{X}) = (1 , 1 + 2 , 0 + 1 ) = (1 , 3 , 1)$

$f(\textrm{X}^2 ) = (1 , 2 + 4 , 2 - 2 ) = (1 , 6 , 0)$

$f(\textrm{X}^3 ) = (1 , 3 + 8 , 12 + 3 ) = (1, 11, 15)$

$A = \begin{pmatrix} 1&1&1&1\\ 1&3&6&11\\ 0&1&0&15 \end{pmatrix}$ .

Correction d’exercice sur le calcul de l’inverse d’une matrice

Si $\mathcal{B} = (e_1\, ,\, e_2\, ,\, e_3)$ est une base de $\mathbb{K}^3$ , on introduit $f_1 = e_1 + 2\, e_2 + e_3\,$ , $f_2 = e_1 + 2\, e_2 + 2 \, e_3\,$ et $f_3 = e_2 + 2 \, e_3\,$ .

Il est immédiat que $e_3 = f_2 - f_1\,$ , puis $e_2 = f_3 - 2 \, e_3 = f_3 - 2 \, f_2 + 2\, f_1\,$ et enfin

$e_1 = f_1 - 2\, e_2 - e_3 \,$
$e_1 = f_1 - 2\, f_3 + 4\, f_2 - 4 \, f_1 - f_2 + f_1 \,$
$e_1= - 2\, f_1 + 3\, f_2- 2 \, f_3\,$ .

La famille $\mathcal{C} = (f_1 \, , \,f_2 \, ,\, f_3)$ est une famille génératrice de $\mathbb{K}^3$ , de cardinal égal à $\dim \mathbb{K}^3$ , c’est une base de $\mathbb{K}^3$ et $A$ est la matrice de passage de $\mathcal{B}$ à $\mathcal{C}$ , donc $A$ est inversible et $A^{-1}$ est la matrice de passage de la base $\mathcal{C}$ à la base $\mathcal{B}$

soit

$\quad \quad \quad A^{-1}= \begin{pmatrix} -2 & 2 & -1 \\ 3 & -2 & 1 \\ -2 & 1 & 0 \\ \end{pmatrix}$ .

Correction d’exercice sur l’interprétation de matrices d’ordre $n + 1$

$M(t) \, M(t')$ est la matrice de $\varphi_t \circ \varphi_ {t'}$ dans la base canonique de $E$ .

Il est évident que $\varphi_t \circ \varphi_ {t'} = \varphi_{t + t'}$

ce qui se traduit par $\quad \quad M(t)\, M(t') = M(t + t')$ .

Correction d’exercice sur le produit de matrices d’ordre $n$

On note $X ^2 = \left ( v_{p,\, q} \right) _ {1\leqslant p,\, q \leqslant n}\,$ .

$\forall\, (p ,\, q) \in [[1,\, n]]^2$ ,

$v_{p ,\, q} = \displaystyle \sum _ {k = 1} ^n x _ {p , k} \; x_{k , q}$

$v_{p ,\, q} = \displaystyle \sum _ {k = 1} ^n \omega^{(p - 1)(k - 1)}\, \omega^{(q - 1)(k - 1)}$

$v_{p ,\, q} = \displaystyle \sum _ {k = 1} ^n \omega^{(p + q - 2 )(k - 1)}$

Avec $h = k - 1$ , $v_{p ,\, q} = \displaystyle \sum _ {k = 0} ^{n - 1} \omega^{(p + q - 2 )h}$

Si $Z = \omega^{p + q - 2 }$ , on doit calculer

$v_{p ,\, q} = \displaystyle \sum _ {k = 0} ^{n - 1} Z ^h$ .

$\ast$ Si $Z = 1$ , $v_{p,\, q} = n$

$\ast$ Si $Z \neq 1$ , $v _{p,\, q} = \displaystyle \frac {1 - Z ^n} {1 - Z}$

or $Z ^n = \omega^{n(p + q - 2)} = (\omega^n) ^{p + q - 2 } = 1$ , et donc $v_{p,\, q} = 0$ .

On discute maintenant l’équation $Z = 1$ ssi $\omega^{p + q - 2 } = 1$ ssi $\textrm{e} ^{2\, \textrm{i} (p + q - 2 ) / n} = 1$ ssi $\exists \, h \in \mathbb{Z}, \, \displaystyle \frac {2 (p + q - 2 ) \pi} n = 2 \, h \, \pi$

ssi $\exists \, h \in \mathbb{Z}, \, p + q - 2 = h \, n$

Comme $(p ,\, q) \in [[0,\, n- 1]]^2$ , $\qquad -2 \leqslant p + q - 2 \leqslant 2 \, n - 4$ ,

$p + q - 2$ est un multiple de $n$

ssi $p + q - 2 = 0$ ou $p + q - 2 = n$

ssi $p = q = 1$ ou $p + q = n + 2$ .

On en déduit que $z_{1,1} = n$ , $z _ {p , \, n + 2 - p } = n$ si $2 \leqslant p \leqslant n$ , les autres termes sont nuls.

Pour $n = 6$ on obtient :

$X^2 = \begin{pmatrix} 1&0&0 &0&0&0\\0&0&0&0 &0&1\\ 0&0&0&0 &1&0\\ 0 &0 & 0& 1 & 0 &0 \\0&0&1& 0 & 0 &0\\0&1&0&0&0&0\end{pmatrix}$ .

Correction de l’exercice sur l’utilisation de la base canonique

On raisonne par analyse-synthèse.

Soit $f$ une application linéaire $f$ de $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ dans $\mathbb{K}.$

Analyse : On suppose qu’il existe $A \in\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ telle que

$\quad \forall\, X \, \in \, \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ , $f(X) = \textrm {Tr}(A \, X).$

On note $A = (a_{i , \,j})_{1 \leqslant i ,\, j \leqslant n}$ .

En refaisant les calculs du § 3.4. de l’aide mémoire, on démontre que

$\forall\, (p , \,q) \in [[1 ,\, n]]^2$ , $\quad \quad A\, E_{p, \,q} =\displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_{i , \,p}\, E_{i , \,q}\,$

donc $\textrm {Tr}(A\, E_{p ,\, q}) = a_{q ,\, p} = f(E_{p ,\, q}).$

Le problème a donc au plus une solution $A = (a_{i ,\,j})_{1 \leqslant i ,\, j \leqslant n}$ telle que

$\quad \forall \, (i , j) \in [[1 ,\, n]]^2$ , $\, a_{i , \,j} = f(E_{j , \,i}).$

Synthèse :
On définit la matrice $A = (a_{i , \,j})_{1 \leqslant i ,\, j \leqslant n}$

par $\forall \, (i , j) \in [[1 ,\, n]]^2, \; a_{i ,\, j} = f(E_{j ,\, i}).$

Grâce au calcul de la partie analyse,
$\,\forall(p , q) \in [[1 ,\, n]] ^2$ , $\quad \quad \quad f(E_{p,\, q}) = \textrm {Tr}(A\, E_{p,\, q})$

On prouve facilement que l’application $g : X \mapsto \textrm{Tr}(A\, X)$ est linéaire.

Les applications linéaires $f$ et $g$ sont égales sur la base canonique de $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ elles sont donc égales.

Conclusion : pour toute application linéaire $f$ de $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ dans $\mathbb{K}$ , il existe une unique matrice $A$ telle que

$\quad \forall \, X \in\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ , $f(X) = \textrm {Tr}(A \,X).$

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Correction d’exercice sur les matrices de rang $1$ et généralisation

Vrai

On sait que $A$ est équivalente à la matrice de type $(n , p)$ notée $J_r\,$ .

Il existe $U \in \textrm{GL}_n(\mathbb{K})$ et $V \in \textrm{GL}_p(\mathbb{K})$ telles que $A = U \, J_r \, V$ .

En introduisant la base canonique $(E_{r,\, s})_{1 \leqslant r \leqslant n ,\, 1 \leqslant s \leqslant p}$ de $\mathcal{M}_{n,\, p}(\mathbb{K})$ ,

$J_ r = \displaystyle \sum _ {k = 1} ^r E_{k ,\, k}\, \Rightarrow A = \displaystyle \sum _ {k = 1} ^r B_k$ avec $B_k = U \, E_{k,\, k} \, V$ .

$E_{k,\, k}$ est une matrice de rang $1$ , la multiplication par une matrice inversible ne change pas le rang d’une matrice, donc $\textrm{rg}(B_{k}) = \textrm{rg}(E_{k ,\, k}) = 1$ .

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