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Exercices corrigés sur les primitives et intégrales en Maths Sup

Name: Groupe Réussite: Cours particuliers, stages intensifs de révision
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Résumé de cours Exercices et corrigés

Cours en ligne de Maths en Maths Sup

Plan des exercices : IPP, Intégrale de Wallis

1. Avec seulement un peu de réflexion
2. Par intégration par parties
3. Par changement de variable.
4. En utilisant les deux théorèmes
5. Fonctions paires, impaires, périodiques
6. Calcul d’intégrales sur un segment
7. Intégrales de Wallis (Première partie)
8. Une famille d’intégrales dépendant de 2 paramètres

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1. Avec un peu de réflexion des primitives simples

Question 1
Primitives de $f : x \mapsto \textrm{ch}(x) \, \cos(\textrm{sh}(x))$

Correction :

En notant $u(x) = \textrm{sh}(x)$ , on remarque que $f(x) = u'(x) \cos( u(x))$ qui est la dérivée de $x \mapsto \sin(u(x))$ .
Donc les primitives de $f$ sur $\mathbb{R}$ sont les fonctions $x \mapsto \sin(\textrm{sh}(x)) + C$ où $C \in \mathbb{R}$ .

Question 2
Si $n \in \mathbb{N}$ , primitives de $\displaystyle f : x \mapsto \frac {\ln^n (x)} {x}$

Correction :

On se place sur $\mathbb{R}^ {+*}$ .
On remarque que $f(x) = u'(x) \, u ^n(x)$ avec $u(x) = \ln(x)$ .
Primitives : $x \mapsto \displaystyle \frac 1 {n + 1} \ln^{n + 1} (x) + C$ .

Question 3
Primitives de $\displaystyle f : x \mapsto \frac {1} {x \ln (x)}$

Correction : On se place sur $]0 , \, 1[$ ou sur $]1\, , \, + \infty[$ .
On remarque que $f(x) =\displaystyle \frac {u'(x)} {u (x)}$ avec $u(x) = \ln(x)$ .
Primitives : $x \mapsto \displaystyle \ln \vert \ln(x)\vert + C$ .

Question 4
Soit $\alpha \in \mathbb{R}$ . Primitives de $\quad \quad \quad \displaystyle f : x \mapsto \frac {\ln^{\alpha} (x) } {x}$ .

Correction : On se place sur $]1 , + \infty[$ pour avoir $\ln(x) >0$ .
$f = u' \, u ^{\alpha}$ avec $u : x \mapsto \ln(x)$ .

$\ast$ Si $\alpha \neq - 1$ ,
primitives : $x \mapsto \displaystyle \frac {\ln^{\alpha + 1} (x) } {\alpha + 1} + C$ .

$\ast$ Si $\alpha = - 1$ ,
primitives : $x \mapsto \displaystyle \ln (\ln(x)) + C$ .

Question 5
Si $a > 0$ , primitives de $\displaystyle x \mapsto \frac 1 {\sqrt{a^2 - x^2} }$

Correction : On se place sur $]- a,\, a[$ et on écrit $f(x) = \displaystyle \frac 1 a \, \frac 1 {\sqrt{1 - (x/a)^2}}$
Primitives : $x \displaystyle \mapsto \textrm{Arcsin} \left ( \frac x a \right ) + C$ .

Question 6
Si $a > 0$ et $a \neq 1$ , primitives de $x \mapsto a ^x$

Correction : $a ^x = \textrm{e} ^{x \ln (a)}$
Primitives : $x \mapsto \displaystyle \frac 1 {\ln a} \, a ^x + C$ .

Question 7
Primitives de
$x \mapsto \cos^2(x)$ et $x \mapsto \sin^2(x)$ .

Question 8
Primitives de
$x \mapsto \cos^3(x)$ et $x \mapsto\sin^3(x)$ .

Question 9
Primitives de $x \mapsto \tan(x)$ .

Question 10
Primitives de $x \mapsto \displaystyle \frac 1 {1 + \cos(x)}$ .

Question 11
Primitives de $x \mapsto \displaystyle \frac {1 - \cos(x)} {1 + \cos(x)}$ .

Question 12
Primitives de $x \mapsto \tan^3(x)$ .

Question 13
Primitives de $f : x \mapsto \cos(3 \, x) \, \textrm{e} ^{2\, x}$ .

Question 14
Primitives de $x \mapsto x \, \textrm{e} ^{ - a \, x^2}$ où $a \neq 0$ .

Question 15
Primitives de $x \mapsto \displaystyle \frac {\textrm{e}^{- x} } {1 + \textrm{e} ^{- 2 \, x} }$

Question 17
Soit $a > 0$ . Primitives de $\displaystyle x \mapsto \frac 1 {a ^2 - x^2}$ .

Correction : On se place sur $]- \infty,\, a[$ ou $]- a ,\, a[$ ou $]a , +\infty[$ .
On cherche $\alpha$ et $\beta$ réels tels que si $x \neq \pm a$ ,
$\displaystyle f(x) = \frac 1 {a ^2 - x^2} = \frac {\alpha } {x - a} + \frac {\beta }{x + a}$
$\displaystyle f(x) = \frac {\alpha(x + a) + \beta (x - a)} {x^2 - a^2}$
On obtient les CNS
$\left \{ \begin{matrix} \alpha + \beta = 0 \\ a \, (\alpha - \beta ) = 1 \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow$ $\displaystyle \alpha = \frac 1 {2 \, a} = - \beta$

$f(x) = \displaystyle \frac 1 {2 \, a} \left (\frac {1} {x - a} - \frac 1 {x + a}\right)$

Les primitives sont les fonctions :
$\quad \quad \displaystyle x \mapsto \frac 1 {2 \, a}\, \ln \left \vert \frac {x - a} {x + a} \right \vert + C$ .

Question 18
Primitives de $x \displaystyle \mapsto \frac 1 {x ^2 + x + 1}$ .

Correction : Le dénominateur n’a pas de racine réelle, on l’écrit comme somme de deux carrés.
$D(x) = x ^2 + x + 1 = \displaystyle \left ( x + \frac 1 2 \right ) ^2 + \frac 3 4$

Puis $D(x) = \displaystyle \frac 3 4 \left ( \left ( \frac {2 \, x + 1} {\sqrt{3}} \right ) ^2 + 1 \right )$ .

$f(x) = \displaystyle \frac 4 3 \, \frac 1 {1 + u^2(x)}$ avec $u(x) = \displaystyle \frac {2 \, x + 1} {\sqrt{3}}$ .
Une primitive $F$ est définie par
$\quad \quad F(x) = \displaystyle \frac 4 3 \frac {\sqrt{3} } 2 \textrm{Arctan}(u(x))$ .
Ls primitives s’écrivent :
$\quad x \mapsto \displaystyle \frac 2 {\sqrt{3} } \, \textrm{Arctan}\left ( \frac {2 \, x + 1} {\sqrt{3}} \right ) + C$ .

Question 19
Primitives de $\displaystyle x \mapsto \frac 1 {x^2 + 2 \, x + 4}$ .

Correction : $f$ est continue sur $\mathbb{R}$ .

Le dénominateur n’a pas de racine réelle. On l’écrit comme somme de deux carrés.
$D(x) = x^2 + 2 \, x + 4 = (x + 1)^2 + 2$ $D(x) = \displaystyle 2 \left ( \frac {(x + 1)^2} 2 + 1 \right)$
$D(x) = \displaystyle 2 \left ( \left ( \frac {x + 1} {\sqrt{2}} \right ) ^2 + 1 \right)$

$f(x) = \displaystyle \frac 1 2 \, \frac 1 {1 + u^2(x)}$ avec $u(x) = \displaystyle \frac {x + 1} {\sqrt{2}}$

$x \displaystyle \mapsto \frac 1 {\sqrt{2} }\, \textrm{Arctan} \left (\frac {x + 1} {\sqrt{2}} \right )$ est une primitive de $f$ .

Question 20
Primitives de $x \mapsto \displaystyle \textrm{e} ^x \left ( \frac 1 x + \ln(x) \right )$

Correction: On remarque que $f(x) = (u(x) + u'(x)) \, \textrm{e} ^x$ avec $u(x) = \ln(x)$ .
Les primitives sont les fonctions définies sur $\mathbb{R}^{+*}$ par $x \mapsto \ln(x) \, \textrm{e} ^x + C$

Question 21
Primitives de $x \mapsto \displaystyle \sqrt { \frac {1 - x} {1 + x}}$

Question 22
Primitives de $x \mapsto \textrm{ch}^ 3 (x)$

2. Par intégration par parties

Question 1
Primitives de $x \mapsto \textrm{Arcsin}(x)$ .

Correction : On se place sur $]- 1 , \, 1[$ .
Soit si $x \in \; ]- 1,\, 1[$ ,
$\quad \quad F(x) = \int_0 ^x \textrm{Arcsin}(t)\, \textrm{d} t$

$u : t \mapsto t$ et $v : t \mapsto \textrm{Arcsin}(t)$ sont des fonctions classe $C ^1$ sur $]- 1 , \, 1[$ .
$\quad \quad \left \{\ \begin{matrix} u'(t)&=&1\\v(t) &=&\textrm{Arcsin}(t) \end{matrix} \right.$
$\quad$ et $\left \{\ \begin{matrix} u(t)&=&t\\v'(t) &=&1/\sqrt{1 - t ^2} \end{matrix} \right.$
Par intégration par parties,
$\displaystyle F(x) = \left [ t \, \textrm{Arcsin}(t) \right] _0 ^x - \int_0 ^x \frac {t} {\sqrt{1 - t ^2}} \textrm{d} t$
$\displaystyle F(x) = \left [ t \, \textrm{Arcsin}(t) + {\sqrt{1 - t ^2}} \right] _0 ^x$

$G : x \mapsto x \, \textrm{Arcsin}(x) + \sqrt{1 - x ^2}$ est une primitive de $f$ sur $]- 1 , \, 1[$ .

Remarque : On peut prolonger $G$ par continuité en $\pm 1$ par $G(1) = \pi/2$ et $G(-1) = - \pi/2$ .

$G$ est continue sur $[ - 1 \, ,1]$ , $G ' = f$ admet une limite égale à $f(1) = \pi/2$ en 1 (resp. $f(-1) = \pi/2$ en $- 1$ )
Alors $G$ est dérivable en $\pm 1$ et $\quad \quad G'(1) = f(1)$ , $G'(_1) = f(-1)$ .
Donc $G$ est une primitive de $f$ sur $[ - 1 \, ,1]$ .

Question 2
Primitives de $x \mapsto \displaystyle \frac {x} {\cos^2(x)}$ .

Correction : On se place sur $I_k = ] - \pi/2 + k \,\pi ,\, \pi/2 + k \, \pi[$ où $k \in \mathbb{Z}$ .
Soit $x \in I_k$ et $\displaystyle F(x) = \int_{k \, \pi} ^x \frac {t} {\cos^2(t)}\, \textrm{d} t$ .

Les fonctions $u : t \mapsto \tan(t)$ et $v : t \mapsto t$ sont de classe $C ^1$ sur $I_k\,$ .

$\quad \quad \left \{\ \begin{matrix} u'(t)&=&1/{\cos^2(t)}\\v(t) &=&t \end{matrix} \right.$
$\quad$ et $\left \{\ \begin{matrix} u(t)&=&\tan(t)\\v'(t) &=&1\end{matrix} \right.$
Par intégration par parties,
$\displaystyle F(x) = \left [ t \, \tan t \right] _{k \, \pi} ^x - \int_{k\, \pi} ^x \frac {\sin(t) } {\cos(t)} , \textrm{d} t$ .
$\displaystyle F(x) = \left [ t \, \tan t + \ln \vert \cos t \vert \right] _{k \, \pi} ^x$

$x \mapsto x\, \tan x + \ln \vert \cos x \vert$ est une primitive de $f$ sur $I_k\,$ .

Question 3
Primitives de $x \mapsto x^2 \, \textrm{e} ^{2\, x}$ .

Correction : Plutôt que de faire deux intégrations par parties, il vaut mieux chercher une primitive sous la forme $F : x \mapsto (a \, x^2 + b \, x + c ) \, \textrm{e} ^{2\, x}$ .
$F'(x) = 2 \, (a \, x^2 + b \, x + c) \, \textrm{e} ^{2\, x}$ $\quad \quad \quad \quad \quad \quad + \, (2\, a \, x + b) \, \textrm{e} ^{2\, x}$
$\; = \left ( 2 \, a x^2 + (2 \, a + 2\, b) x + (2 \, c + b) \right ) \, \textrm{e} ^{2\, x}$

$\forall \, x \in \mathbb{R},\, F'(x) = x^2 \, \textrm{e} ^{2\, x}$ ssi
$\left \{ \begin{matrix} 2\, a &=& 1 \\2(b + a) &=&0 \\ 2\, c + b &=& 0\end{matrix} \right.$
ssi $\displaystyle a = \frac 1 2 \, , \, b = \frac {-1} 2 \, , \, c = \frac 1 4$ .

$x \mapsto \displaystyle \frac 1 4 \left ( 2 \, x ^2 - 2 \, x + 1 \right) \, \textrm{e} ^{2\, x}$ est une primitive de $f$ .

Question 4
Primitives de $x \mapsto \sqrt{x^2 + 1}$ .

Correction : $\bullet$ Utilisation de l’indication
Si $g(x) = \displaystyle \ln \left ( x + \sqrt{x ^2 + 1} \right )$ , $g$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ car $-x \leq \vert x \vert < \sqrt{x ^2 + 1}$ donc $x + \sqrt{x^2 + 1} > 0$ .
$g'(x) = \displaystyle \left ( 1 + \frac {x} {\sqrt{x^2+ 1}} \right ) \frac {1} { x + \sqrt{x ^2 + 1}}$
$g'(x) = \displaystyle \frac 1 {\sqrt{x^2+ 1}}$ .

$\bullet$ On cherche une primitive sur $\mathbb{R}$
Soit si $x \in \mathbb{R}$ , $F(x) = \int _0 ^x \sqrt{t ^2 + 1} \, \textrm{d} t$ .

$u : t \mapsto t$ et $v : t \mapsto \sqrt{t ^2 + 1}$ sont des fonctions de classe $C ^1$ sur $\mathbb{R}$ .
$\quad \quad \left \{\ \begin{matrix} u'(t)&=&1\\v(t) &=&\sqrt{t ^2 + 1}\end{matrix} \right.$
$\quad$ et $\left \{\ \begin{matrix} u(t)&=&t \\v'(t) &=&t /\sqrt{t ^2 + 1} \end{matrix} \right.$
Par intégration par parties,
$F(x) = \displaystyle \left [ t \sqrt{t ^2 + 1} \right] _ 0 ^x - \int_0 ^x \frac {t ^2} {\sqrt{t ^2 + 1}} \, \textrm{d} \, t$

On écrit $\displaystyle \frac {t ^2} {\sqrt{t ^2 + 1}}= \frac {t ^2 + 1 } {\sqrt{t ^2 + 1}}- \frac {1} {\sqrt{t ^2 + 1}}$
$\displaystyle F(x) = x \sqrt{x ^2 + 1} - \int_0 ^x \sqrt{t ^2 + 1} \, \textrm{d} \, t$ $\displaystyle \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad + \int_0 ^x \frac 1 {\sqrt{t ^2 + 1}} \, \textrm{d} \, t$
On utilise l’indication
$\displaystyle F(x) = x \sqrt{x ^2 + 1} - F(x)$ $\displaystyle \quad \quad \quad \quad \quad \quad + \left [ \ln \left ( t + \sqrt{t ^2 + 1} \right ) \right] _ 0 ^x$
$\displaystyle 2 \, F(x) = x \sqrt{x ^2 + 1} + \ln \left ( x + \sqrt{x ^2 + 1} \right )$

Une primitive est
$x \mapsto \displaystyle \frac 1 2 \left ( x \sqrt{x ^2 + 1} + \ln \left ( x + \sqrt{x ^2 + 1} \right )\right )$

Question 5
Primitives de $x \mapsto x \textrm{ Arctan}^2(x)$ .

3. Changement de variable

Les changements de variables sont donnés dans l’indication. Vous pouvez ainsi essayer de le deviner avant de consulter l’indication.

Question 1
Primitives de $x \mapsto \displaystyle \frac 1 {1 + \textrm{ch}(x)}$ .

Correction : On définit si $x \in \mathbb{R}$ ,
$\quad \quad \quad F(x) = \displaystyle \int_0 ^x \frac 1 {1 + \textrm{ch}(t)} \, \textrm{d} \, t$ .
$\displaystyle\frac 1 {1 + \textrm{ch}(t)}= \frac 2 {\textrm{e}^t + \textrm{e}^{-t} + 2}$ .
Après multiplication du numérateur et dénominateur par $\textrm{e}^t$ :
$F(x) = \displaystyle \int_0 ^x \, 2 \, \frac {\textrm{e}^t} {\textrm{e}^{2\, t} + 2 \, \textrm{e}^t +1 } \, \textrm{d} \, t$ .
$\quad \quad \quad F(x) = \displaystyle2 \, \int_0 ^x \frac {\textrm{e}^t} {\left ( \textrm{e}^{ t} +1 \right) ^2} \, \textrm{d} \, t$ .

En notant $\varphi : t \mapsto \textrm{e}^t$ , on a écrit
$F(x) = 2\, \displaystyle \int_0 ^x \frac {\varphi'(t) } {(\varphi(t) + 1) ^2 } \, \textrm{d} \, t$
$\displaystyle F(x) = \left [ \frac { - 2} {\varphi(t) + 1} \right ] _ 0 ^x = \left [ \frac { - 2} {\textrm{e} ^t + 1} \right ] _ 0 ^x$

$x \mapsto \displaystyle \frac { - 2} {\textrm{e} ^x + 1}$ est une primitive de $f$ .

Question 2
Primitives de $x \mapsto \displaystyle \frac {\sin(x)} {3 + \sin^2(x)}$ .

Correction :

On cherche une primitive sur $\mathbb{R}$ et on écrit $\displaystyle \frac {\sin(x)} {3 + \sin^2(x)} = \frac {\sin(x)} {4 - \cos^2(x)}$ .

Soit $x$ un réel.
$F(x) = \displaystyle \int_0 ^x \frac {\sin(u)} {4 - \cos^2(u)} \, \textrm{d}\, u$
s’écrit si l’on note $\varphi : u \mapsto \cos(u)$
$F(x) = \displaystyle \int_{0} ^x \frac { - \varphi'(u) } {4 - \varphi^2(u)} \, \textrm{d} \, u$
$F(x) = \displaystyle \int_{\varphi(0) } ^{\varphi(x)} \frac { 1} {t^2 - 4 } \, \textrm{d} \, t$
On cherche deux réels $a$ et $b$ tels que
$\quad \quad \displaystyle \frac { 1} {t^2 - 4 }= \frac { a} {t - 2 } + \frac { b} {t +2 }$
ce qui donne les deux équations
$\quad \quad a + b = 0$ et $2 (b - a) = 1$
$\quad \Leftrightarrow$ $a = -1/2$ et $b = 1/2$ .
$\displaystyle F(x) = \frac 1 4 \int_{1 } ^{\cos x} \left ( \frac { 1} {t - 2 } - \frac 1 {t+ 2 } \right ) \, \textrm{d} \, t$
$\displaystyle F(x) = \left [\frac 1 4 \ln \left ( \frac {\vert t - 2 \vert } {2 + t} \right ) \right ] _ 1 ^{\cos x }$
On remarque que $2 - \cos(x) > 0$ .

$x \displaystyle \mapsto \frac 1 4 \ln \left ( \frac {2 - \cos x } {2 + \cos x } \right )$ est une primitive de $f$ .

Question 3
Primitives de $\displaystyle x \mapsto \frac {\textrm{th } x } {1 + \textrm{ch } x }$ .

Correction : On cherche une primitive sur $\mathbb{R}$
$F(x) = \displaystyle \int_0 ^x \frac {\textrm{sh } u} { \textrm{ch } t( 1 + \textrm{ch } u) } \, \textrm{d} \, u$
On note $\varphi : u \mapsto \textrm{ch } u$ , on remarque que
$F(x) = \displaystyle \int_{0} ^x \frac { \varphi'(u) } { \varphi(t) ( 1 + \varphi(u))} \, \textrm{d} \, u$ .
donc $F(x) = \displaystyle \int_{\varphi(0) } ^{\varphi(x)} \frac { 1 } { t ( 1 + t)} \, \textrm{d} \, t$

En écrivant $1 = (1 + t) - t$ , on peut écrire puis simplifier les fractions :
$\displaystyle \frac 1 {t(t + 1)} = \frac {1 + t}{t(1 + t)} - \frac t {t(1 + t)}$
et obtenir :
$\displaystyle F(x) = \int_{1 } ^{\textrm{ch }(x)} \left ( \frac { 1 } { t} - \frac 1 { 1 + t}\right ) \, \textrm{d} \, t$
$F(x) = \displaystyle \left [ \ln \frac t {1 + t} \right ] _1 ^{\textrm{ch } x}$ .

$x \mapsto \displaystyle \ln \frac {\textrm{ch } x} {1 + \textrm{ch } x}$ est une primitive de $f$ .

Question 4
Primitives de $x \mapsto \displaystyle \frac 1 {x ( \sqrt{x + 1} + \sqrt{x}) }$ .

Question 5
Primitives de $x \mapsto \sqrt{\textrm{e} ^x - 1}$ .

Question 6
Primitives de $x \mapsto \displaystyle \frac 1 {t + 3 + 2 \sqrt{t - 1}}$ .

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4. Et avec les deux théorèmes

Question 1
Primitives de $x \mapsto \ln \left ( 1 + \sqrt{x} \right )$ .

Correction : On se place sur $I = \mathbb{R}^{+ *}$ .
Si $x \in I$ , $F(x) = \int _0 ^x \ln \left ( 1 + \sqrt{t} \right )\, \textrm{d} t$

$u : t \mapsto t$ et $v : t \mapsto \ln \left ( 1 + \sqrt{t} \right )$ sont des fonctions de classe $C ^1$ sur $I$ .
$\quad \quad \left \{\ \begin{matrix} u'(t)&=&1\\v(t) &=&\ln \left ( 1 + \sqrt{t} \right ) \end{matrix} \right.$
$\quad$ et $\left \{\ \begin{matrix} u(t)&=&t\\v'(t)&=& 1 / (2\sqrt{t}\, (1 + \sqrt{t})) \end{matrix} \right.$
Par intégration par parties,
$\displaystyle F(x) = \left [ t \, \ln \left ( 1 + \sqrt{t} \right)\right] _{0} ^x$ $\quad \quad \quad \quad \displaystyle - \int_0 ^x \frac {\sqrt{t} } {2\, (1 + \sqrt{t}) } \, \textrm{d} t$

On utilise maintenant un changement de variable pour calculer $\quad \quad \displaystyle G(x) = \int_0 ^x \frac {\sqrt{t} } {2\, (1 + \sqrt{t}) } \textrm{d} t$
La fonction $\varphi : u \mapsto u ^2$ est de classe $C^1$ sur $I$ ( $u = \sqrt{t}$ )
Si $t = 0$ , $u = 0$ et si $t = x$ , $u = \sqrt{x}$ .
$\displaystyle G(x) = \int_0 ^{\sqrt{x}} \frac u {2(1 + u)} \, {2\, u} \, \textrm{d} \, u$
$\displaystyle \frac {u ^2} {1 + u} = \frac {u ^2 - 1} {1 + u}+ \frac {1} {1 + u}$ $\displaystyle \frac {u^2 } {u ^2 + 1} = u - 1 + \frac 1 {1 + u}$
$G(x) = \displaystyle \left [ \frac {u ^2} 2 - u + \ln(1 + u) \right] _0 ^{\sqrt{x}}$

Une primitive de $f$ sur $I$ est
$\displaystyle x \mapsto (x - 1) \, \ln \left ( 1 + \sqrt{x} \right ) - \frac {x} 2 + \sqrt{x}+ C$ .

Question 2
Primitives de $\displaystyle x \mapsto \frac {\ln \left ( \sqrt{x} - 1 \right )} {x \, \sqrt{x} }$ .

Correction : On se place sur $I = \; ]1 , \, + \infty[$ .
Si $x \in I$ , $F(x) =\displaystyle \int _4 ^x \frac {\ln \left ( \sqrt{t} - 1 \right )} {t \, \sqrt{t}} \, \textrm{d} t$

$\bullet$ La fonction $\varphi : u \mapsto u ^2$ est de classe $C^1$ sur $\mathbb{R}^+$ (et $t = u ^2$ ).
Si $t = 4$ , $u = 2$ et si $t = x$ , $u = \sqrt{x}$ .
Par changement de variable
$\displaystyle F(x) = \int_2^{\sqrt{x}} \frac {\ln \left ( u - 1 \right )} {u ^3} \, 2 \, u \, \textrm{d} u$ $\displaystyle F(x) = 2 \int_2^{\sqrt{x}} \frac {\ln \left ( u - 1 \right )} {u^2 } \textrm{d} u$

$\bullet$ $w : u \mapsto \displaystyle \frac 1 {u ^2}$ et $v : u \mapsto \ln(u - 1)$ sont des fonctions de classe $C ^1$ sur $I$ .
$\quad \quad \left \{\ \begin{matrix} w'(u)&=&- 1/u\\v(u) &=&\ln ( u - 1 ) \end{matrix} \right.$
$\quad$ et $\left \{\ \begin{matrix} w(u)&=&1/u^2 \\v'(u)&=& 1 / ( u - 1) \end{matrix} \right.$
Par intégration par parties,
$\displaystyle F(x)= \left [ \frac { - 2 \ln(u - 1)} {u} \right] _ 2^{\sqrt{x}}$ $\displaystyle \quad \quad \quad \quad \quad \quad + \int _2 ^{\sqrt{x}} \frac {2}{u\, (u - 1)} \textrm{d} \, u$
En utilisant $\displaystyle \frac {2}{u\, (u - 1)} = \frac 2 {u - 1} - \frac 2 u$ , $F(x)$ est égal à :
$\displaystyle \left [ \frac { - 2 \ln(u - 1)} {u} + 2 \ln(u - 1) - 2 \ln(u ) \right] _ 2^{\sqrt{x}}$

$\displaystyle x \mapsto \frac {- 2 \ln(\sqrt{x} - 1)} {\sqrt{x}} + 2 \ln \left ( \frac {\sqrt{x} - 1} {\sqrt{x} } \right )$
est une primitive de $f$
soit aussi
$\displaystyle x \mapsto 2 \, \left ( 1 - \frac { 1} {\sqrt{x}} \right ) \, \ln(\sqrt{x} - 1) - \ln(x)$

5. Fonctions paires, impaires, périodiques

Question 1
Toute primitive d’une fonction définie sur $\mathbb{R}$ et périodique de période $T > 0$ est périodique de période $T$ . Vrai ou Faux ?

Correction : $f : t \mapsto 1$ est périodique de période $T$ et $F : t \mapsto t$ est une primitive de $F$ qui n’est pas périodique.

Question 2.

Si $f$ est définie sur $\mathbb{R}$ et $T$ -périodique, si $F$ est une primitive de $f$ telle que $F(T) = F(0)$ , $F$ est $T$ -périodique

Vrai ou Faux ?

Correction : On note $\quad \forall\, x \in \mathbb{R}, \, G(x) = F(x + T) - F(x)$ .
$G$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $\forall\, x \in \mathbb{R},\, G'(x) = F'(x + T) - F'(x)$ $G'(x) = f(x + T) - f(x) = 0$ .
Donc $G$ est constante et comme $G(0) = F(T) - F(0) = 0$ , $G$ est nulle, ce qui donne : $F$ est $T$ – périodique.

Question 3
Toute primitive d’une fonction continue sur $\mathbb{R}$ et paire est impaire. Vrai ou Faux ?

Correction : La fonction $x \mapsto 1$ est paire, $x \mapsto x + 1$ est une primitive de $f$ qui n’est pas impaire.

Question 4
La primitive nulle en 0 d’une fonction continue paire sur $\mathbb{R}$ est impaire. Vrai ou Faux ?

Correction :

Soit $f$ une fonction continue sur $\mathbb{R}$ et $F$ la primitive de $f$ vérifiant $F(0) = 0$ .

On note pour $\forall\, x\in \mathbb{R}$ , $\quad \quad \quad G(x) = F( - x) + F(x)$ .
$G$ est dérivable et pour tout réel $x$ ,
$G('x) = - F'(-x) + F'(x )$ $G'(x) = - f(-x) + f(x) = - f(x) + f(x)$ $\forall\, x \in \mathbb{R},\, G'(x) = 0$ .
$G$ est une fonction constante sur $\mathbb{R}$ avec $G(0) = 0$ , donc $G = 0$ ce qui prouve que $F$ est impaire.

Question 5
Toute primitive d’une fonction définie sur $\mathbb{R}$ et impaire est paire.

Exercice 1
Si $f$ est continue sur $[ - a,\, a]$ à valeurs dans $\mathbb{K}$
$\ast$ si $f$ est paire, $\quad \quad \int_{ - a} ^a f(t) \, \textrm{d} \, t = 2 \int_{0} ^a f(t) \, \textrm{d} \, t$
$\ast$ si $f$ est impaire, $\int_{ - a} ^a f(t) \, \textrm{d} \, t = 0$ .

Exercice 2
Si $f$ est continue sur $\mathbb{R}$ à valeurs dans $\mathbb{K}$ et périodique de période $T$ .
Pour tout $a ,b \in \mathbb{R}$ ,
$\quad \ast$ $\int _ {a + T } ^{b + T} f(t) \, \textrm{d} \, t = \int _ {a } ^{b } f(u) \, \textrm{d} \, u$
$\quad \ast$ $\int _ {a } ^{a + T} f(t) \, \textrm{d} \, t = \int _ {b } ^{b + T} f(t) \, \textrm{d} \, t$ .

6. Calcul d’intégrales

Pour chaque question, on cherchera le domaine de dérivabilité et la dérivée.

Exercice 1
Calculer $\displaystyle \int_{1} ^{\textrm{e} } \ln ^2(x) \, \textrm{d} t$ .

Correction : $u : t \mapsto t$ et $v : t \mapsto \ln^2(t)$ sont des fonctions de classe $C ^1$ sur $[1 , e]$ .
$\quad \quad \left \{\ \begin{matrix} u'(t)&=&1\\v(t) &=&\ln ^2 (t)\end{matrix} \right.$
$\quad$ et $\left \{\ \begin{matrix} u(t)&=&t \\v'(t) &=&2 \ln(t) / t \end{matrix} \right.$
Par intégration par parties,
$I = \int_{1} ^{\textrm{e} } \ln ^2(t) \, \textrm{d} t$
$I = \left [ t \ln^2 (t) \right] _1^{\textrm{e} } - \int_1^{\textrm{e} } 2 \, t \ln(t) \, \textrm{d} \, t$
et en utilisant une primitive classique :
$I = \left [ t \ln^2 (t) - 2 \, t \, \ln(t) + 2\, t \right] _1^{\textrm{e} }$
$I = \textrm{e} - 2 \, \textrm{e} + 2 \, \textrm{e} - 2$
$I = \textrm{e} - 2$ .

Exercice 2
Calculer $\displaystyle \int _ {0} ^{\pi/2} \frac {\cos t } {\cos t + \sin t } \, \textrm{d} \, t$

Correction : $\displaystyle I = \int _ {0} ^{\pi/2} \frac {\cos t } {\cos t + \sin t } \, \textrm{d} \, t \; \; (1)$
La fonction $\varphi : u \mapsto \pi/2 - u$ est une fonction de classe $C ^1$ sur $[0 , \, \pi/2]$ .
$I = \int_{\varphi(\pi/2)} ^{\varphi(0)} f(t) \, \textrm{d} \, t$
Par le théorème de changement de variable, $I = \int_{\pi/2} ^{0} f ( \varphi (u)) \, \varphi'(u) \, \textrm{d} \, u$
$I$ est égal à
$\displaystyle \int _ {\pi/2}^{0} \frac {\cos (\pi/2 - u) } {\cos (\pi/2 - u) + \sin (\pi/2 - u) } \, (- 1) \, \textrm{d} \, u$
$\displaystyle I = \int _ {0} ^{\pi/2} \frac {\sin u } {\sin u + \cos u } \, \textrm{d} \, u$ (2)

En additionnant (1) et (2) :
$2 \, I = \displaystyle \int _ {0} ^{\pi/2} \frac {\cos t + \sin t } {\cos t + \sin t } \, \textrm{d} \, t$
donc $I = \displaystyle \int _ {0} ^{\pi/2} 1\, \textrm{d} \, t = \frac {\pi} 2$
alors $I = \displaystyle \frac {\pi} 4$ .

Exercice 3
Calculer $\displaystyle \int_0^{\pi} \cos(p \, t) \, \cos(n \, t)\, \textrm{d} \, t$ où $n$ et $p$ sont entiers.

Correction : On note $I(n , p) = \int_0^{\pi} \cos(p \, t) \, \cos(n \, t)\, \textrm{d} \, t$
avec un peu de trigonométrie en maths sup :
$\displaystyle \cos(p \, t) \, \cos(n \, t)$ $\displaystyle \quad \quad = \frac 1 2 \left ( \cos((n + p)t) + \cos((n - p) t) \right )$
Puis si $k \in \mathbb{Z}^*,$ $\, J_ k = \int _{0 } ^{\pi} \cos(k \, t) \, \textrm{d} \, t =\displaystyle \left [ \frac 1 k \sin(k \, t) \right] _ 0 ^{\pi} =0$
et $\int _{0 } ^{\pi} \cos(0. \, t) \, \textrm{d} \, t = \left [\; t \; \right] _ 0 ^{\pi} =\pi$ .

$\ast$ si $n = p = 0$ , $I(0 , \, 0) = J_0 = \pi$ .

$\ast$ si $n = p > 0$ ,
$I (n , \, n) = \displaystyle \frac 1 2 \left (J_{2 n} + J_0 \right ) = \frac {\pi} 2$ .

$\ast$ si $n \neq p$ , $n + p > 0$ et $n - p \neq 0$ donc $I(n , \, p) = 0$ .

Exercice 4
Calculer $\displaystyle \int _{- 1} ^{1} \textrm{e} ^{\textrm{Arccos }t } \, \textrm{d} \, t$ .

Correction : $\varphi : u \mapsto \cos(u)$ est de classe $C ^1$ sur $[0 , \, \pi]$ à valeurs dans $[-1 , \, 1]$ .
$I = \int_{\varphi(\pi)} ^{\varphi(0)} f(t) \, \textrm{d} \, t$
Par le théorème de changement de variable, $I = \int_{\pi} ^0 f ( \varphi(u) ) \,\varphi'(u) \, \textrm{d} \, u$ .
$I = \displaystyle \int _{\pi} ^0 \textrm{e} ^u \, (- \sin (u) ) \, \textrm{d} \, u$ $I= \int _0 ^{\pi} \textrm{e} ^u \, \sin (u) \, \textrm{d} \, u$ .

$F : \displaystyle u \mapsto \frac 1 {1 + \, \textrm{i} } \textrm{e} ^{(1 + \textrm{i} )\, u }$ est une primitive de $f : u \mapsto \textrm{e} ^{(1 + \textrm{i})\, u}$ .
$\forall \, u \in \mathbb{R}, \, F(u) = \displaystyle \frac {1 -\, \textrm{i} } {2} \, \textrm{e} ^u \, \textrm{e} ^{\textrm{i} \, u}$
et $G = \mathcal{I}m (F)$ est une primitive de $g : u \mapsto \sin u \, \textrm{e} ^u$
$\forall\, u \in \mathbb{R}, \, G(u) = \displaystyle \frac {\sin u - \cos u } 2 \, \textrm{e}^u$ .

On termine avec $I = G(\pi) - G(0) = \displaystyle \frac {\textrm{e} ^{\pi} + 1} 2$
Réponse : $\displaystyle \frac {\textrm{e} ^{\pi} + 1} 2$ .

Exercice 5
Calculer : $\displaystyle \int _{0} ^{1/2} \frac {x^3} {\sqrt{1 - x^2} } \, \textrm{d} \, x$ .

Correction : $\varphi : [0 , \pi/6] \to [0 , 1/2], \, u \mapsto \sin(u)$ est une fonction de classe $C^1$ et
$\displaystyle I = \int _{0} ^{1/2} \frac {t^3} {\sqrt{1 - t^2} } \, \textrm{d} \, t = \int _{\varphi(0)}^{\varphi(\pi/6)} f(t) \, \textrm{d} \, t$
Par le théorème de changement de variable, $I = \int _{0}^{\pi/6} f( \varphi(u) ) \, \varphi'(u)\, \textrm{d} \, u$ .
$I = \displaystyle \int _ {0} ^{\pi/6} \frac {\sin ^3(u)} {\vert \cos(u) \vert } \; ( \cos u ) \, \textrm{d} \, u$
$\cos (u) > 0$ sur le segment d’intégration.
$I = \displaystyle \int _ {0} ^{\pi/6} {\sin ^3(u)} \, \textrm{d} \, u$
$I = \displaystyle \int _ {0} ^{\pi/6} \sin u \left ( 1 - {\cos ^2(u)} \right ) \, \textrm{d} \, u$
$I = \displaystyle \left [ - \cos(u) + \frac 1 3 \cos ^3(u) \right ] _ 0 ^{\pi/6}$
$I = \displaystyle 1 - \frac {\sqrt{3}} 2 + \frac {3 \, \sqrt{3} } {3 . 8} - \frac 1 3$
$I = \displaystyle \frac 2 3 - \frac {3 \, \sqrt{3}} 8$ .

Exercice 6
Si $n \in \mathbb{N}^*$ , justifier l’existence de $\quad \quad \quad I_n = \int_{0} ^1 x ^n \ln(x) \, \textrm{d} \, x$ .
Calculer $I_n \,$ .

Correction : Soit $n \in \mathbb{N}$ .
Soit $f _n : x \mapsto x ^n \, \ln(x)$ , $f_n : 0 \mapsto 0$ , $f_n$ est une fonction continue sur $[0 ,\, 1]$ ce qui justifie l’existence de $I_n\,$ .
On note $F_n$ la primitive de $f_n$ s’annulant en 1.

Alors si $a \in \; ]0 , 1],$ $I_n (a) = \int_{a} ^1 f_n(x) \, \textrm{d} \, x = - F_n(a)$
Comme $F_n$ est continue en $0$ , alors $\displaystyle \lim _ {a \to 0} I_n(a) = -F_n(0) = I_n\,$ .

Il n’est pas possible d’intégrer par parties sur $[0 , \, 1]$ en prenant pour l’une des fonctions la fonction $\ln$ , mais on peut intégrer par parties sur $[a , \,1]$ .
On définit
$\quad \displaystyle u : x \mapsto \frac {x^{n + 1}} {n + 1}$ et $v : x \mapsto \ln(x)$ ,
ces fonctions étant de classe $C^1$ sur $[a , \, 1]$ , on peut donc intégrer par parties :
$I_n(a) = \displaystyle \left | \frac {x^{n + 1}} {n + 1} \ln(x) \right ] _ a ^1 - \int _a ^1 \frac {x ^{n+1} } {(n + 1) x } \, \textrm{d} \, x$
$I_n(a) = \displaystyle \left [ \frac {x^{n + 1}} {n + 1} \ln(x) - \frac {x^{n + 1}} {(n + 1) ^2} \right ] _ a ^1$
$I_n(a) = \displaystyle - \frac {1} {(n + 1) ^2} - \frac {a^{n + 1}} {n + 1} \ln(a)$ $\displaystyle \quad \quad \quad \quad \quad \quad + \frac {a^{n + 1}} {(n + 1) ^2}$
Si $a$ tend vers $0$ , on obtient à la limite la valeur de $I_n$ : $I_n = \displaystyle \frac {- 1} {(n + 1) ^2}$ .

Exercice 7
Trouver $a$ tel que : $\; \; \displaystyle \int_0 ^{\pi/4} \ln(1 + \tan(x))\, \textrm{d} \, x=\frac {\pi \, \ln 2} a$ .

Exercice 8
Question 1
Soit $f$ une fonction continue sur $[a ,\, b]$ à valeurs réelles telle que
$\quad \forall \, x \in [a , \, b] , \, f(a + b - x) = f(x)$ .
$2 \, \int_a ^b x \, f(x) \, \textrm{d} \, x = (a + b) \int_a ^ b f(x) \, \textrm{d} \, x$

Question 2
Calculer $\displaystyle \int_0 ^{\pi} \frac {x} {1 + \sin (x)} \, \textrm{d} \, x$ .

7. Intégrales de Wallis (le début)

Question 1
Soit si $n \in \mathbb{N}$ , $W_n = \int_0^{\pi/2} \sin^n (t) \textrm{d} \, t$ , alors $W_n = \int_0^{\pi/2} \cos^n (t) \textrm{d} \, t$ .

Vrai ou Faux ?

Correction : En utilisant le changement de variable $\varphi : u \mapsto \pi/2 - u$ , de classe $C^1$ sur $[0 ,\, \pi/2]$ ,
$W_n = \int _ { \pi/2} ^0 \cos^n (\pi/2 - u) ( - 1)\, \textrm {d} \, u$ soit $W_n = \int_0^{\pi/2} \cos^n (u)\, \textrm{d} \, u$ .

Question 2
$\int_0^{\pi} \sin^n (t) \textrm{d} \, t = a \, W_n$

Correction : En utilisant le changement de variable $\varphi : u \mapsto \pi - u$ , de classe $C^1$ sur $[0 ,\, \pi]$ ,
$\int_{\pi/2} ^{\pi} \sin^n (t) \textrm{d} \, t = \int_{\varphi(\pi/2)} ^{\varphi(0)} \sin^n (t) \textrm{d} \, t$
$\int_{\pi/2} ^{\pi} \sin^n (t) \textrm{d} \, t = \int_{\pi/2} ^{0} \sin^n (\pi - u) (- 1) \textrm{d} \, u$
$\int_{\pi/2} ^{\pi} \sin^n (t) \textrm{d} \, t = \int_{0} ^{\pi/2} \sin^n (u) \textrm{d} \, u = W_n \,$ .
On termine par la relation de Chasles :
$\int_0^{\pi} \sin^n (t) \textrm{d} \, t =$ $\quad \quad \int_0^{\pi/2} \sin^n (t) \textrm{d} \, t + \int_{\pi/2}^{\pi} \sin^n (t) \textrm{d} \, t$
$\int_0^{\pi} \sin^n (t) \textrm{d} \, t = 2 \, W_n\,$ .

Question 3
$\forall \, n \in \mathbb{N}, n \geq 2, \, n Wn = a \, W_{n - 2}$

Correction : En intégrant $W_n$ par parties avec les fonctions de classe $C^1$ sur $I$ :
$u : t \mapsto - \cos(t)$ et $v : t \mapsto \sin^{n - 1} (t)$ ,
$\quad \quad \left \{\ \begin{matrix} u'(t)&=&\sin(t) \\v(t) &=&\sin ^{n-1} (t)\end{matrix} \right.$
$\quad$ et $\left \{\ \begin{matrix} u(t)&=&- \cos(t) \\v'(t) &=&(n - 1) \cos(t) \, sin ^{n - 2} (t) \end{matrix} \right.$

$Wn = \left [ - \cos(t)\, \sin ^{n - 1} (t) \right ] _0 ^{\pi/2}$ $\quad\quad +\, (n- 1) \int _ 0 ^{\pi/2} \cos^2 (t) \sin ^{n - 2} (t) \, \textrm{d} \, t$ .
En utilisant $\cos^2 t = 1 - \sin^2 t$ , on obtient par linéarité de l’intégrale $\quad \quad W_n = (n - 1) (W_{n - 2} - W_n)$
donc $n \, W_n = (n - 1) \, W_{n - 2}\,$ .

Question 4
$\forall \, n \in \mathbb{N}^*,\, n \, W_n \, W_{n - 1} = \displaystyle \frac {\pi} 2$ . Vrai ou Faux ?

Correction : Soit pour $n \in \mathbb{N} , \, n \geq 2,\, a_n = n\, W_n \, W_{n - 1}$
$a_{ n + 1} = ((n + 1) \, W_{n + 1})\, W_n$
$a_{n + 1} = (n \, W_{n - 1} ) \, W_n = a_n\,$ .
La suite $(a_n)_{n \geq 1}$ est constante, donc $a_n = a_1 = W_1 \, W_0 = \displaystyle \frac {\pi} 2$ .

Question 5.
$\forall \, n \in \mathbb{N}, \,\displaystyle W_ {2n} = \binom {2 n} {n} \frac {\pi} {2^{2 n + 1}}$ .

Question 6.
Valeur de $W_{2 n + 1}\,$ .

8. Une famille d’intégrales dépendant de deux paramètres

Si $(n , p) \in \mathbb{N}^2$ , on définit
$\quad \quad I(n , p) = \int_0 ^1 t ^n \, (1 - t) ^p \, \textrm{d} \, t$ .
Question 1
Si $p \in \mathbb{N}^*$ et $n \in \mathbb{N}$ , exprimer $I(n , p)$ en fonction de $I(n + 1 , p - 1)$ .

Correction : On utilise une intégration par parties avec $\displaystyle u : t \mapsto \frac {t ^{n + 1}} {n + 1}$ et $v : t \mapsto (1 - t) ^p$ qui sont de classe $C ^1$ sur $[0 , \,1]$ .
$\quad \quad \left \{\ \begin{matrix} u'(t)&=&t ^n \\v(t) &=&(1 - t) ^p \end{matrix} \right.$
$\quad$ et $\left \{\ \begin{matrix} u(t)&=&t^{n + 1} / (n + 1) \\v'(t) &=&- p \, (1 - t) ^{p - 1} \end{matrix} \right.$
$\displaystyle I(n , \, p) = \left [ \frac {t ^{n + 1}} {n + 1}\, (1 - t) ^p \right]_0 ^1$ $\quad \quad \quad \; \displaystyle +\, \frac {p} {n + 1} \int_0 ^1 t ^{n + 1} \, (1 - t) ^{p - 1} \, \textrm{d} \, t$
donc $\displaystyle I(n , \, p) = \frac {p} {n + 1} \, I(n + 1 , \, p - 1)$ .

Question 2
Calculer $I(n , \, p)$ pour $n, \, p \in \mathbb{N}$ .

Correction : On note si $n \in \mathbb{N}$ , $\quad H_n : \forall \, p \in \mathbb{N}, \displaystyle I(n , \, p) = \frac {p! \, n !} {(n + p + 1)! }$
et on raisonne par récurrence.

$\bullet$ $I(0, \, p) = \int _ 0 ^1 (1 - t) ^p \, \textrm{d} \, t$
$\displaystyle I(0 , \, p) = \left [ \frac {- (1 - t) ^{p + 1} } {p + 1} \right] _0 ^1 = \frac 1 {p + 1}$ $\displaystyle I(0, \, p) = \frac {0! \, p! } {( p + 1)!}$ .
Donc $H_0$ est vraie.

$\bullet$ On suppose que $H_n$ est vraie.
On utilise la formule de la question 1 en replaçant $p$ par $p + 1$ .
$\displaystyle I(n ,\, p+1 ) = \frac {p+1 } {n+1} \, I(n + 1 , \, p)$
$I(n +1 , \, p) = \displaystyle \frac {n + 1} {p + 1} \, I(n , \, p+1 )$
puis avec $H_n$ :
$I(n +1 , \, p) = \displaystyle \frac {n + 1} {p + 1} \frac {(p+1)! \, n !} {(n + p + 1 + 1)! }$
$I(n +1 , \, p) = \displaystyle \frac {p! \, (n + 1) !} {(n + p +2)! }$
ce qui prouve $H_{n + 1}\,$ .

La propriété a été démontrée par récurrence.

En particulier, $I(n , \, n) = \displaystyle \frac {(n!)^2} {(2 \, n + 1)!}$ .

Question 3
Si $a < b$ et $n, \, p \in \mathbb{N}$ , calculer
$J(n , p) = \int_a ^b (t - a)^n \, (b - t) ^p \, \textrm{d} \, t$ .

Correction :

$\bullet$ Recherche : On cherche un changement de variable de la forme $t = \alpha \, u + \beta$ tel que
$\quad t = a \Leftrightarrow u = 0$ et $t = b\Leftrightarrow u = b$ .
On résout donc le système
$\left \{ \begin{matrix} \beta = a\\ \alpha + \beta = b\end{matrix} \right.$ ssi $\beta = a, \, \alpha = b - a$
On a donc obtenu $t = (b - a) u + a$ .

$\bullet$ Rédaction
$\varphi : [0 ,\, 1] \to [a , \, b], \, u \mapsto \displaystyle (b - a)\, u + a$
$\varphi$ est de classe $C ^1$ et
$\quad \quad J(n ,\, p) = \int _ {\varphi(0)} ^{\varphi(1)} f(t) \, \textrm{d} \, t$
donne par le théorème de changement de variable :
$\quad J(n , \, p) = \int _ {0} ^{1} f(\varphi(u)) \,\varphi'(u) \, \textrm{d} \, u$
$t - a = (b - a) u$ et $b - t = (b - a) (1 - u)$
$J(n , p) =$ $\; \int _ {0} ^{1} (b - a)^n u ^n (b - a) ^p (1 - u) ^p \, (b - a) \, \textrm{d} \, u$
$J(n , p) = (b - a) ^{n + p + 1} I( n, \, p)$

$\displaystyle J(n , p) = (b - a) ^{n + p + 1} \frac {p! \, n !} {(n + p + 1)! }$ .

Question 4
Soit $n ,\, p \, \in \mathbb{N}$ . Calculer
$K(n , p) = \int_0 ^{\pi/2} \cos^{2 n + 1} (\theta) \, \sin^{2 p + 1} ( \theta) \, \textrm{d} \theta$

Correction : La fonction $\varphi : |0 , \pi/2] \to [0 , 1] , \theta \mapsto \cos^2(\theta)$ est une bijection de classe $C^1$ .
Par le théorème de changement de variable
$I(n , p) = \int_{\varphi(\pi/2)} ^{\varphi(0)} f(t) \, \textrm{d} \, t$
$I(n , p) = \int _ {\pi/2} ^{0} f(\varphi(\theta)) \,\varphi'(\theta) \, \textrm{d} \, \theta$

$f(\varphi(\theta)) = \cos^{2\, n} (\theta)\, ( 1 - \cos^2 (\theta) ) ^p$
$f(\varphi(\theta)) = \cos^{2\, n} (\theta)\, \sin^{2\, p} (\theta)$
$\varphi'(\theta) = - 2 \, \sin (\theta) \, \cos(\theta)$ .
$f(\varphi(\theta)) \varphi'( \theta) = - 2 \cos ^{2 n + 1} (\theta) \, \sin ^{2 p + 1} (\theta)$
$I(n , \, p) = - 2 \int _ {\pi/2} ^{0} \cos^{2\, n + 1 } (\theta)\, \sin^{2\, p + 1 } \textrm{d} \, \theta$
$I(n , \, p) = 2 \, K(n ,\, p)$
donc $K(n , p) = \displaystyle \frac {p! \, n !} {2\, (n + p + 1)! }$ .

Question 5
Soit $n \in \mathbb{N}$ .
En déduire la valeur de $\quad \quad \quad \int_0 ^{\pi/2 } \sin^{2 n + 1} (u) \, \textrm{d} u$

Correction : $K(n , n) = \int_0 ^{\pi/2} \cos^{2 n + 1} (\theta) \, \sin^{2 n + 1} ( \theta) \, \textrm{d}\, \theta$
$K(n , n) = \displaystyle \frac 1 {2 ^{2 n + 1} }\, \int_0 ^{\pi/2} \sin^{2 n + 1} (2 \,\theta) \, \, \textrm{d} \, \theta$
en utilisant le changement de variable $u = 2 \, \theta$ , $2 ^{2 n + 1} K(n , n) = \, \int_0 ^{\pi} \sin^{2 n + 1} (u) \, 1 / 2 \, \textrm{d}\, u$
$2 ^{2 n + 2 } K(n , n) = \, \int_0 ^{\pi} \sin^{2 n + 1} (u) \, \textrm{d} u$
Puis par le changement de variable $v = \pi - u$ :
$\int_{\pi/2} ^{\pi} \sin^{2 n + 1} (u) \, \textrm{d} u =$ $\quad \quad \quad \int_{\pi/2} ^{0} \sin^{2 n + 1} (\pi - v) (-1) \, \textrm{d} v$
$\int_{\pi/2} ^{\pi} \sin^{2 n + 1} (u) \, \textrm{d} u = \int_{0} ^{\pi/2 } \sin^{2 n + 1} ( v) \, \textrm{d} v$

et par la relation de Chasles :
$2 ^{2 n+ 2 } K(n , n) = 2 \, \int_0 ^{\pi/2 } \sin^{2 n + 1} (u) \, \textrm{d} u$
donc $\int_0 ^{\pi/2 } \sin^{2 n + 1} (u) \, \textrm{d} u = 2 ^{2 n + 1 } K(n ,\, n)$
$\int_0 ^{\pi/2 } \sin^{2 n + 1} (u) \, \textrm{d} u = \displaystyle \frac {2 ^{2 n }\, (n!)^2} {(2 \, n + 1 )!}$ .

Question 6
Si $(p , n ) \in \mathbb{N}^2$ , calculer $\quad \quad \displaystyle \sum_{k = 0} ^p \binom p k \frac {(- 1) ^k } {n + k + 1}$ .

Correction : Si $(p , n ) \in \mathbb{N}^2$ , $I(n , \, p) = \int_0 ^1 t ^n \, (1 - t) ^p \, \textrm{d} \, t$
$\displaystyle I(n ,\, p) = \frac {p! \, n !} {(n + p + 1)! }$ .

Par le binôme de Newton :
$t ^n \, (1 - t) ^p = \displaystyle t ^n \, \sum _ {k = 0} ^p \binom p k \, (- 1) ^k \, t ^k$
$t ^n \, (1 - t) ^p = \displaystyle \, \sum _ {k = 0} ^p \binom p k \, (- 1) ^k \, t ^{k + n}$ .
Par linéarité de l’intégrale :
$\displaystyle I(n , p) = \sum _ {k = 0} ^p \binom p k \left [ \frac {( - 1) ^k \, t ^{n + k + 1} } {n + k + 1} \; \; \; \right] _ 0 ^1.$
soit $\displaystyle \sum _ {k = 0} ^p \binom p k \,\frac {( - 1) ^k} {n + k + 1} = \frac {p! \, n! } {(n+ p + 1)!}$

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