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Exercices et corrigés sur les systèmes en Maths Sup

Name: Groupe Réussite: Cours particuliers, stages intensifs de révision
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Résumé de cours Exercices et corrigés

Cours en ligne de Maths en Maths Sup

Plan des exercices de systèmes

1. Système de 2 équations à 2 inconnues
2. Système de $4$ équations à $4$ inconnues
3. Système de $4$ équations à $4$ inconnues et $2$ paramètres
4. Système de $4$ équations à $3$ inconnues et $2$ paramètres
5. Système de 3 équations à $3$ inconnues
6. $4$ équations à $4$ inconnues et un paramètre
7. $3$ équations à $3$ inconnues et $2$ paramètres

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1. Système de 2 équations à 2 inconnues

Exercice 1
Le système $(S)$ : $\left \{ \begin{matrix} a\, x + b \, y = e \\ c\, x + d \, y = f \end{matrix} \right.$ a une unique solution ssi $a \, d - b \, c \neq 0$ .
Exprimer la solution lorsque le système admet une unique solution. Vrai ou Faux ?

Correction :

$\bullet$ Si $a \neq 0$ , en formant $L_2 \leftarrow L_2 - \displaystyle \frac c a \, L_1$
$(S)$ : $\left \{ \begin{matrix} a\, x &+& b\, y &=& e \\ & &(d - c \, b /a) \, y &=& f - (c \, e) / a \end{matrix} \right.$
avec $L_2 \leftarrow \displaystyle \frac 1 a \, L_2 \,$ ,
$(S)$ : $\left \{ \begin{matrix} a\, x &+& b\, y &=& e \\ & & (a \, d - c \, b ) \, y &=& f\, a - c \, e \end{matrix} \right.$

$\; \; \ast$ Si $a \, d - b \, c= 0$ , le système $(S)$ est équivalent à un système ayant $0$ ou une infinité de solutions.

$\; \; \ast$ Si $a \neq 0$ et $a \, d - b \, c \neq 0$ , le système admet une unique solution donnée par $y = \displaystyle \frac {a \, f - c \, e} { a \, d - b \, c}$ et $a \, x = e - b\, y$
$a \, x = \displaystyle \frac {e(a \, d - b \, c) - b(a \, f - c \, e)} { a \, d - b \, c}$
$a \, x = \displaystyle \frac {a(e\, d - b \,f)} { a \, d - b \, c}$ $\Leftrightarrow$ $x = \displaystyle \frac {e \, d - b\,f } { a \, d - b \, c}$ .

$\bullet$ Si $a = 0$ , en échangeant $L_1$ et $L_2$
$(S)$ : $\left \{ \begin{matrix} c \, x &+ &d\, y &=& f \\& & b \, y &= &e\end{matrix} \right.$

$\; \; \ast$ Si $c = 0$ , $a \, d - b \, c = 0$ et le système $\left \{ \begin{matrix} d \, y& =& f \\ b \, y &=& e\end{matrix} \right.$ admet $0$ ou une infinité de solutions.

$\; \; \ast$ Si $c \neq 0$ et $b = 0$ , $a \, d - b \, c = 0$ et le système $\left \{ \begin{matrix} c \, x + d \, y& =& f \\ 0&= &e\end{matrix} \right.$ admet $0$ ou une infinité de solutions.

$\; \; \ast$ Si $b \, c \neq 0$ , alors $a \, d - b \, c = - \, b \, c \neq 0$ , le système admet une unique solution que l’on calcule :
$y = \displaystyle \frac {e} {b} = \frac {a \, f - c \, e} { a \, d - b \, c}$
$c \, x = f - d \, y = \displaystyle f - d\, \frac {e} {b}$
$x = \displaystyle \frac {b \, f - d \, e} {b \, c}$ soit $x = \displaystyle \frac {e\, d - b \,f } { a \, d - b \, c}$ car $a = 0$ .

$\bullet$ Conclusion : le système admet une unique solution ssi $a \, d - b \, c \neq 0$ et dans ce cas
$\quad \quad x = \displaystyle \frac {b \, f - e \,d } { a \, d - b \, c}$ et $y = \displaystyle \frac {a \, f- c \, e} { a \, d - b \, c}$ .

Exercice 2
On suppose que $(a , \,b) \neq (0 , \, 0)$ .
Le système $(S)$ : $\left \{ \begin{matrix} a\, x + b\, y = e \\ c\, x + d\, y = f \end{matrix} \right.$ a une infinité de solutions ssi $a \, d - b \, c = 0$ et
$\exists \, \lambda \in \mathbb{K}, \, c = \lambda \, a , \, d = \lambda \, b$ et $f = \lambda \, e$ . Vrai ou Faux ?

Correction :

Condition nécessaire.
On suppose que le système admet une infinité de solutions.
L’exercice 1 implique que $a \, d - b \, c = 0$ . On reprend les calculs effectués dans cet exercice.

$\bullet$ On suppose que $a \neq 0$ .
$\ast$ On note $\lambda \in \mathbb{K}$ tel que $c = \lambda \, a$
alors $a \, d = b \, c = \lambda \, b \, a$ $\Rightarrow$ $d = \lambda \, b$ .
Le système est équivalent à
$\left \{ \begin{matrix} a\, x& +& b\, y &=& e \\ & & (a \, d - c \, b ) y &=& f\, a - c \, e \end{matrix} \right.$
soit à $\left \{ \begin{matrix} a\, x& +& b \, y &=& e \\ & & 0 &=& f\, a - c \, e \end{matrix} \right.$

Il admet une infinité de solutions ssi $f\, a - c \, e = 0$ ce qui donne $f \, a = \lambda\, a \, e$ soit $f = \lambda \, e$ .
On a prouvé qu’il existe $\lambda \in \mathbb{K}$ tel que $c = \lambda \, a , \, d = \lambda \, b$ et $f = \lambda \, e$

$\bullet$ Si $a = 0$ , $a \, d = b \, c \Rightarrow b\, c = 0$ .
On suppose que $(a , b) \neq 0$ , donc $c = 0$ .
Le système s’écrit : $\left \{ \begin{matrix} b \, y &=& e \\ d \, y &=& f \end{matrix} \right.$
ssi $\displaystyle y = \frac e b$ et $\displaystyle d \, \frac e b = f$ $\Rightarrow$ $d \,e = b \, f$ .

Comme $b \neq 0$ , on pose $\lambda = \displaystyle \frac d b$ , alors $d = \lambda \, b$ , $c = \lambda \, a$ (c’est $0 = 0$ ) puis $d \, e = b \, f$ et $b \neq 0$ donnent $f = \lambda \, e$ .
On a prouvé qu’il existe $\lambda$ tel que
$\quad \quad c = \lambda \, a , \, d = \lambda \, b$ et $f = \lambda \, e$ .

Condition suffisante
On suppose qu’il existe $\lambda \in \mathbb{K}$ tel que
$c = \lambda \, a , \, d = \lambda \, b$ et $f = \lambda \, e$ .
Le système s’écrit
$(S)$ : $\left \{ \begin{matrix} a\, x + b\, y &=& e \\ \lambda (a\, x + b \,y) &=& \lambda \, e \end{matrix} \right.$
et en formant $L _2 \leftarrow L_2 - \lambda \, L_1$
$(S)$ est équivalent à : $a \, x + b \, y = e$ .
$(S)$ admet une infinité de solutions.

2. Système de 4 équations à 4 inconnues

Exercice : Résoudre sur $\mathbb{K}$ lorsque $a \in \mathbb{K}$ ,
$(S)$ $\left \{ \begin{matrix} x + 2\, y - z + t &=&1\\ x + 3\, y + z - t &=& 1\\ - x + \; y + 7\, z + 2\, t &=& 1 \\ 2 \, x + y - 8\, z + t &=& a \end{matrix} \right.$

Correction :

$\bullet$ On échelonne le système.
$(S)$ $\left \{ \begin{matrix} x + 2\, y - z + t &=&1\\ x + 3\, y + z - t &=& 1\\ - x + \; y + 7\, z + 2\, t &=& 1 \\ 2 \, x + y - 8\, z + t &=& a \end{matrix} \right.$
En utilisant $L_2 \leftarrow L_2 - L_1\,$ , $L_3 \leftarrow L_3 + L_1\,$ , $L_4 \leftarrow 2 \, L_1 - L_4\,$ ,
on obtient le système équivalent :
$\left \{ \begin{matrix} x + 2 y - z + t &=&1\\\quad \quad y + 2 z - 2 t &=& 0\\ \quad \quad 3 y + 6 z + 3t &=& 2 \\ \quad \quad 3 y + 6 z + t &=& 2 - a \end{matrix} \right.$

Puis en formant
$L_3 \leftarrow L_3 - 3 L_2\,$ et $L_4 \leftarrow L_4 - 3 L_2\,$ ,
on obtient le système équivalent :
$\left \{ \begin{matrix} x + 2 y - z + t &=&1\\ \quad \quad y + 2 z - 2 t &=& 0\\\quad \quad \quad \quad \quad \quad 9\,t &=& 2 \\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad 7 \, t &=& 2 - a \end{matrix} \right.$

et avec $L_4 \leftarrow 9 \, L_4 - 7 \, L_3\,$ ,
$\left \{ \begin{matrix} x + 2 y - z + t &=&1\\ \quad \quad y + 2 z - 2 t &=& 0\\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad 9\,t &=& 2 \\\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad 0&=& 4 - 9\, a \end{matrix} \right.$

$\bullet$ Discussion.
$\ast$ Le système est un système de rang 3, incompatible si $a \neq \displaystyle \frac 4 9$ .

$\ast$ Si $a = \displaystyle \frac 4 9$ , on exprime $x , y$ et $t$ en fonction de $z$
$\left \{ \begin{matrix} x &=& - 8/9+ 4\, z + z -2/9+ 1 \\ y &=& - 2\, z +4/9\\ t &=& 2/9 \end{matrix} \right.$

L’ensemble des solutions est donné par
$\displaystyle \left \{ \left (5 \, z - \frac 1 9 \, , \, \frac 4 9 - 2\, z \, , z \, , \, \frac 2 9\right ) \, / \, z \in \mathbb{K} \right \}$ .

3. Système de 4 équations à 4 inconnues et 2 paramètres

Exercice : Résoudre sur $\mathbb{K}$ lorsque $(a,\, b) \in \mathbb{K}^2$ ,
$\left \{ \begin{matrix} x\; -\; y\; +\; z \; +\; t &=&a\\ 3 x - 3 y + 3 z +2 t &=& 1\\ x \; -\; y\; +\; z \quad \quad &=& b \\ 5 x - 5 y +5 z +7 t &=& 0 \end{matrix} \right.$

Correction :

$\bullet$ On échelonne le système.
$\left \{ \begin{matrix} x\; -\; y\; +\; z \; +\; t &=&a\\ 3 x - 3 y + 3 z +2 t &=& 1\\ x \; -\; y\; +\; z \quad \quad &=& b \\ 5 x - 5 y +5 z +7 t &=& 0 \end{matrix} \right.$
En utilisant $L_2 \leftarrow - L_2 + 3 L_1\,$ , $L_3 \leftarrow L_1 - L_3\,$ , $L_4 \leftarrow L_4 - 5 L_1\,$ ,
on obtient le système équivalent :
$\left \{ \begin{matrix} x - y + z + t &=&a\\ \quad \quad \quad \quad t &=& 3\, a - 1\\ \quad \quad \quad \quad t &=& a - b \\ \quad \quad \quad \quad 2 \, t &=& - 5 \, a \end{matrix} \right.$

En utilisant
$L_3 \leftarrow L_3 - L_2\,$ , $L_4 \leftarrow L_4 - 2 L_2\,$ ,
on obtient le système équivalent :
$\left \{ \begin{matrix} x - y + z + t &=&a\\ \quad \quad \quad \quad t &=& 3\, a - 1\\ \quad \quad \quad \quad 0 &=&1 - 2\, a - b \\ \quad \quad \quad \quad 0 &=& - 11 \, a + 2 \end{matrix} \right.$

$\bullet$ Discussion
On obtient un système de rang 2.
Il est compatible ssi $\quad \quad \left \{ \begin{matrix} 0 &=&1 - 2 \, a - b \\ 0 &=& - 11 \, a + 2 \end{matrix} \right.$
ssi $\left \{ \begin{matrix} a &=&2/11 \\ b &=& 1 - 4/11 \end{matrix} \right.$
ssi $a = \displaystyle \frac 2 {11}$ et $b = \displaystyle \frac 7 {11}$ .

$\bullet$ Résolution s’il est compatible
On suppose que ces conditions sont vérifiées, on exprime les solutions en fonction de $y$ et $z$ .
$\left \{ \begin{matrix} x - y + z + t &=&2 /11\\ \quad \quad \quad \quad t &=& - 5/11 \end{matrix} \right.$
ssi $\left \{ \begin{matrix} x & =& y - z +7/11 \\ t &=& - 5/11 \end{matrix} \right.$

$\bullet$ Conclusion
$\ast$ Si $a = \displaystyle \frac 2 {11}$ et $b = \displaystyle \frac 7 {11}$ , l’ensemble des solutions est donné par
$\displaystyle \left \{ \left (y - z + \frac 7 {11} \, , \, y \, , \, z \, , \, -\frac 5 {11} \right ) \, / \, (y \, , z) \in \mathbb{K}^2 \right \}$ .
$\ast$ Si $a \neq \displaystyle \frac 2 {11}$ ou $b \neq \displaystyle \frac 7 {11}$ , le système n’a pas de solution.

4. Système de 4 équations à 3 inconnues et 2 paramètres

Exercice : Résoudre sur $\mathbb{R}$ lorsque $(a,\, b) \in \mathbb{R}^2$ ,
$(S)$ $\left \{ \begin{matrix} x +2 y + a\, z &=&6 \, a+ 4 \\ 2 x +a y + z &=& b\\ a \, x + y + 2 z &=& b \\ x + y + z&=& 2 \, a + 6 \end{matrix} \right.$

Correction :

$\bullet$ On échelonne le système
$\left \{ \begin{matrix} x +2 y + a\, z &=&6 \, a+ 4 \\ 2 x +a y + z &=& b\\ a \, x + y + 2 z &=& b \\ x + y + z&=& 2 \, a + 6 \end{matrix} \right.$
En utilisant $L_2 \leftarrow 2 L_1 - L_2 \,$ , $L_3 \leftarrow L_3 - a\, L_1\,$ , $L_4 \leftarrow L_1 - L_4\,$ ,
on obtient le système équivalent :
$\left \{ \begin{matrix} x +2 y + a\, z =6\, a+ 4 \quad \quad \quad \quad\quad \quad \\ (4 - a) y +(2 a - 1) z = 12 a + 8 - b \\(1 - 2 a) y + (2 - a^2) z = b - 6 a^2 - 4 a \\ y + (a - 1) z= 4 a - 2 \end{matrix} \right.$

puis en échangeant $L_2$ et $L_ 4$
$\left \{ \begin{matrix} x +2 y + a\, z =6a+ 4 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \\ y + (a - 1) z= 4 a - 2 \\(1 - 2 a) y + (2 - a^2) z = b - 6a^2 - 4 a \\ (4 - a) y +(2 a - 1) z = 12 a + 8 - b \end{matrix} \right.$
en formant $L _ 3 \leftarrow L_3- (1 - 2 \, a) L_2$ et $L_4 \leftarrow L_4 - (4 - a) L_2\,$ , on obtient après calculs le système équivalent :
$\left \{ \begin{matrix} x +2 y + a\, z =6 a+ 4 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \\ y + (a - 1) z= 2 - 4 a\quad \quad \\ (a^2 - 3 \, a + 3) z =2 a ^2 - 12 a + 2 + b \\(- 3\, a + 3 + a^2) z = - b +4 a^2 - 6 a+16\end{matrix} \right.$

Puis avec $L_4 \leftarrow L_3 - L_4$
$\left \{ \begin{matrix} x +2 y + a\, z =6 a+ 4 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \\ y + (a - 1) z=4 a - 2 \quad \quad \\(a^2 - 3\, a + 3 ) z = b + 2 a^2 - 12 a+2 \\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad 0 = 2b - 2 a ^2 - 6 a - 14 \end{matrix} \right.$

$\bullet$ Discussion
$\ast$ Le système est incompatible si $b \neq a ^2 +3\, a +7$

$\ast$ On suppose que $b = a ^2 +3\, a +7$ .
Le système est un système de rang 3 car $a^2 - 3 \,a + 3 \neq 0$ .
et $b + 2 \, a^2 - 12 \, a+2 = 3\, a^2 - 9 \, a + 9$
ce qui permet de simplifier la dernière équation par $a^3 - 3 \, a + 3 \neq 0$

$\left \{ \begin{matrix} x &+&2 y &+& a\, z &=&6 a+ 4 \\ & & y &+& (a - 1) z&=& 4 a - 2 \\ & & & & z &=& 3 \end{matrix} \right.$
ssi $\left \{ \begin{matrix} x &=& -2 y - a\, z +6 a+ 4 \\ y &=& - 3 (a - 1) + 4 a - 2 \\ z &=& 3 \end{matrix} \right.$
ssi $\left \{ \begin{matrix} x &=& a+ 2 \\ y &=&a + 1 \\ z &=& 3 \end{matrix} \right.$

$\bullet$ Conclusion
Le système n’a pas de solution si $b \neq a ^2 +3\, a +7$
et une seule solution $(a + 2,\, a + 1\, ,\, 3)$ si $b = a ^2 +3\, a +7$ .

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5. Système de 3 équations à 3 inconnues

Exercice : Résoudre sur $\mathbb{K}$ lorsque $m \in \mathbb{K}$ ,
$\left \{ \begin{matrix} x \; \; +\; \; y \;\; + \; \; z \; \; &=& m + 1 \\ m x + y + (m - 1) z &=& m \\ x \; + \; m y \; +\; z &=&1 \end{matrix} \right.$

Correction :

$\bullet$ On échelonne le système
$\left \{ \begin{matrix} x \; \; +\; \; y \;\; + \; \; z \; \; &=& m +1 \\ m x + y + (m - 1) z &=& m \\ x \; + \; m y \; +\; z &=&1 \end{matrix} \right.$
En utilisant $L_2 \leftarrow L_2 - m \, L_1$ et $L_3 \leftarrow L_3 - L_1\,$ ,
$\left \{ \begin{matrix} x\;\; +\; \; y\; \; +\; \; z\; &=& m + 1 \\ \quad \quad (1 - m) y - z &=& - m^2 \\ \quad \quad \quad \quad ( m- 1) y &=&-m \end{matrix} \right.$
système que l’on réordonne sous la forme pour obtenir un système triangulaire :
$\left \{ \begin{matrix} x\; \; + \; \; z \; \; +\; \; y &=& m + 1 \\ \quad \quad z + (m - 1) y &=& m^2 \\ \quad \quad \quad \quad ( m - 1) y &=&-m \end{matrix} \right.$

$\bullet$ Discussion
$\ast$ Si $m = 1$ , le système est incompatible car la dernière équation s’écrit $0 =- 1$ .
Il n’a pas de solution.

$\ast$ Si $m \neq 1$ , c’est un système de rang 3 admettant une unique solution que l’on obtient en « remontant » le système
$y = \displaystyle \frac {- m} {m - 1}$
$z = -(m - 1) y + m^2 = m + m ^2$
$x = \displaystyle - y - z + m + 1 = \displaystyle \frac m {m - 1} - m^2 + 1$
$x = \displaystyle \frac {-m ^3 + m ^2 + 2 \, m - 1} {m - 1}$
donc la seule solution est $\displaystyle \left ( \frac {-m ^3 + m ^2 + 2 \, m - 1} {m - 1}\, , \, \frac {- m} {m - 1},\,m ^2 + m \right )$

6. 4 équations à 4 inconnues et un paramètre

Exercice : Résoudre sur $\mathbb{K}$ lorsque $\lambda \in \mathbb{K}$ ,
$(S)$ $\left \{ \begin{matrix} x + y+ z + (1 + \lambda)t &=& 4 \\ x + (1 + \lambda)y + z + t &=& - 2 \\ x + y + (1 + \lambda) z + t &=&- 3 \\ (1 + \lambda)x + y + z + t &=& 1 \end{matrix} \right.$

Correction :

$\bullet$ On échelonne le système
$\left \{ \begin{matrix} x + y+ z + (1 + \lambda)t &=& 4 \\ x + (1 + \lambda)y + z + t &=& - 2 \\ x + y + (1 + \lambda) z + t &=&- 3 \\ (1 + \lambda)x + y + z + t &=& 1 \end{matrix} \right.$
En utilisant $L_2 \leftarrow L_2 - \, L_1\,$ , $L_3 \leftarrow L_3 - L_1$ et $L_4 \leftarrow L_4 -(1 + \lambda) L_1\,$ ,
on obtient le système équivalent :
$\left \{ \begin{matrix} x + y + z + (1 + \lambda)t &=& 4 \\ \quad \lambda \, y \quad \quad \quad - \lambda \, t &=& - 6 \\ \quad \quad \quad \quad \lambda\, z - \lambda \, t &=&- 7 \\ - \lambda y - \lambda z - \lambda(2 + \lambda) t &=& - 3 - 4 \lambda \end{matrix} \right.$

puis avec $L_4 \leftarrow L_4 + L_2 + L_3$
$\left \{ \begin{matrix} x + y + z + (1 + \lambda)t &=& 4 \\ \quad \lambda \, y \quad \quad \quad - \lambda \, t &=& - 6 \\ \quad \quad \quad \lambda\, z\; \; -\; \; \lambda \, t &=&- 7 \\ \quad \quad \quad \quad \quad - \lambda( \lambda + 4) t &=& -4(4 + \lambda)\end{matrix} \right.$

$\bullet$ Discussion
$\ast$ Si $\lambda = 0$ , le système est de rang 1 et il est incompatble.

$\ast$ Si $\lambda = - 4$ , le système est de rang 3, il est compatible et s’écrit
$\left \{ \begin{matrix} x \; + \; y \; + \; z\; - \; 3 t &=& 4 \\ \quad \quad - 4 \, y \quad \quad + 4 \, t &=& - 6 \\ \quad \quad \quad \quad - 4\, z + 4 \, t &=&- 7 \end{matrix} \right.$
On exprime les solutions en fonction de la variable $t$
$\left \{ \begin{matrix} x &=& - y - z + 3 t + 4 \\ y &=& t +3/2 \\ z &=& t + 7/4 \end{matrix} \right.$
L’ensemble des solutions est l’ensemble
$\displaystyle \left \{ \left (t + \frac 3 {4} \, , \,t + \frac 3 2 \, , \, t + \frac 7 4 \, , \, t \right ) \, / \, t \in \mathbb{K} \right \}$ .

$\ast$ Si $\lambda \notin \{0 \, , - 4\}$ , le système est de rang 4, il admet une unique solution
$\quad \left \{ \begin{matrix} x + y + z + (1 + \lambda)t &=& 4 \\ \quad y \quad \quad \quad \; - \; \; t &=& - 6/ \lambda \\ \quad \quad \quad z\; \; \; - \; \; t &=&- 7/\lambda \\\quad \quad \quad \quad \quad \quad t &=& 4/\lambda \end{matrix} \right.$
ssi $\left \{ \begin{matrix} x &=& 5/\lambda - 4 (1 + \lambda)/ \lambda + 4 \\ y &=& - 2/ \lambda \\ z &=&- 3/\lambda \\ t &=& 4/\lambda \end{matrix} \right.$
La solution est donnée par $\quad \quad \quad \left ( \displaystyle \frac {\lambda}\, ,\, -\frac 2 {\lambda}\, ,\, -\frac 3 {\lambda} \, ,\, \frac 4 {\lambda} \right )$ .

7. 3 équations à 3 inconnues et 2 paramètres

Exercice : Résoudre sur $\mathbb{K}$ lorsque $(a,\, b) \in \mathbb{K}^2$ ,
$(S)$ $\left \{ \begin{matrix}a\, x &+ &b\, y &+& z &=&1 \\ x &+&a\, b \, y &+& z &=& b\\ x &+ &b\, y &+ &a\, z &=& 1 \end{matrix} \right.$

Correction :

$\bullet$ On cherche une forme échelonnée.
En échangeant la première et la dernière équation :
$\left \{ \begin{matrix}x + b y + az &=&1 \\ x +a\, b y + z &=& b\\ a x + b y + z &=& 1 \end{matrix} \right.$
avec les opérations
$L_2 \leftarrow L_2 - L_1 \,$ et $L_3 \leftarrow L_3 - a \, L_1\,$
$\left \{ \begin{matrix}x \quad + \quad b\, y \quad + \quad a\, z &=&1 \\\quad b(a- 1) y + (1 - a) z &=& b - 1 \\\quad b(1 - a) y + (1 - a^2) z &=& 1 - a \end{matrix} \right.$

et avec $L_3 \leftarrow L_3 + L_2\,$
$\left \{ \begin{matrix}x \quad + \quad b\, y \quad +\quad a\, z &=&1 \\ \quad \quad b(a- 1) y + (1 - a) z &=& b - 1 \\ \quad \quad \quad \quad (2 + a) (1 - a) z &=& b - a \end{matrix} \right.$

$\bullet$ Discussion
$\ast$ si $b (a - 1)(a + 2) \neq 0$ , le système est de rang 3, on calcule sa solution en « remontant » les équations :
$\displaystyle z = \frac {b - a} {(2 + a)(1 - a)}$
$\displaystyle y = \frac {z} b + \frac {b - 1} {b(a - 1)}$
$\displaystyle y = \frac {b - a} {b(2 + a)(1 - a)} + \frac {b - 1} {b(a - 1)}$
$\displaystyle y = \frac {2 - b - a\, b} {b(1 - a)(2 + a)}$
et $x = \displaystyle - b \, y - a \, z + 1$
après calculs, $x = \displaystyle \frac{b - a} {(2 + a)(1 - a)}$
La solution est donnée par $\displaystyle \left ( \frac{b - a} {(2 + a)(1 - a)} , \frac {2 - b - a\, b} {b(1 - a)(2 + a)} \right.$ $\quad \quad \quad \quad \quad \quad \displaystyle \left. , \, \frac {b - a} {(2 + a)(1 - a)} \right )$

$\ast$ si $a = 1$ , le système s’écrit
$\left \{ \begin{matrix}x + b \, y + z &=&1 \\ \quad \quad \quad \quad 0 &=& b - 1 \\ \quad \quad \quad \quad 0 &=& b - a \end{matrix} \right.$
Il admet des solutions ssi $b = 1$
et dans ce cas les solutions sont les triplets $(- y - z + 1 , y , z)$ où $(y , z) \in \mathbb{K}^2$ .

$\ast$ si $a = - 2$ , le système s’écrit
$\left \{ \begin{matrix}x &+ &b y& -& 2 z &=&1 \\& & - 3 b y& +& 3 z &=& b - 1 \\ & & & & 0 &=& b +2 \end{matrix} \right.$
Il admet des solutions ssi $b = - 2$ et alors $\left \{ \begin{matrix}x& -& 2 y& - &2 z &=&1 \\& & 6 y &+ &3 z &=&- 3 \end{matrix} \right.$
ssi $z = - 1 - 2 \, y$ et $x = 2 y + 2 z + 1 = - 2 y - 1$
L’ensemble des solutions est l’ensemble des triplets $( - 2 y - 1\, ,\, y \, , \, - 1 - 2 \, y )$ où $y \in \mathbb{K}$

$\ast$ si $b = 0$ et $a \notin \{1 , - 2 \}$ , le système s’écrit
$\left \{ \begin{matrix}x &+ &az &=&1 \\& & (1 - a) z &=& - 1 \\ & & (2 + a) (1 - a) z &=& - a \end{matrix} \right.$
et en formant $L_3 \leftarrow L_3 - (2 + a) L_2$
$\left \{ \begin{matrix}x &+ &az &=&1 \\& & (1 - a) z &=& - 1 \\ & & 0 &=& 2 \end{matrix} \right.$
Le système n’a pas de solution.

$\bullet$ Conclusion
$\ast$ Le système n’a pas de solution si
$\; \; b = 0$ et $a \notin \{1 , - 2 \}$
ou $a = 1$ et $b \neq 1$
ou $a = - 2$ et $b \neq - 2$ .

$\ast$ si $b (a - 1)(a + 2) \neq 0$ , il admet une unique solution
$\displaystyle \left ( \frac{b - a} {(2 + a)(1 - a)} , \frac {2 - b - a\, b} {b(1 - a)(2 + a)} \right.$ $\quad \quad \quad \quad \quad \quad \displaystyle \left. , \, \frac {b - a} {(2 + a)(1 - a)} \right )$

$\ast$ si $a = b = 1$ , l’ensemble des solutions est l’ensemble des triplets $(- y - z + 1 , \, y ,\, z)$ où $(y , z) \in \mathbb{K}^2$ .

$\ast$ si $a = b = - 2$ , l’ensemble des solutions est l’ensemble des triplets
$( - 2 \, y - 1\, ,\, y \, , \, - 1 - 2 \, y )$ où $y \in \mathbb{K}$ .

De nombreux autres exercices et corrigés d’exercices sont également disponibles pour s’entraîner sur le programme de Maths en MPSI, PTSI et PCSI. Anticipez les révisions en travaillant les prochains chapitres du programme :

Exercices et corrigés sur les systèmes en Maths Sup

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