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Exercices : Raisonnement et récurrence en maths sup

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Résumé de cours Exercices Corrigés

Cours en ligne de maths en Maths Sup

Exercices – raisonnements et récurrence MPSI, PCSI

1. 1. Manipulation des assertions et quantificateurs

Exercice 1
Soit $f$ une fonction de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ .

Traduire en termes de quantificateurs les phrases suivantes :

1/ $f$ est majorée.

2/ $f$ n’est pas minorée

3/ $f$ est bornée.

4/ $f$ n’est ni paire ni impaire

5/ $f$ ne s’annule jamais

6/ $f$ est périodique

7/ $f$ est croissante

8/ $f$ est strictement décroissante

9/ $f$ n’est pas monotone

10/ $f$ n’est pas la fonction nulle

11/ $f$ ne prend pas deux fois la même valeur

12/ $f$ atteint toutes les valeurs de $\mathbb{N}$ .

Exercice 2
Si $A$ est une partie non vide de $\mathbb{N}$ , traduire en français les propriétés suivantes :
Question 1
$\forall\, (a , \, b) \in A ^2, \vert a - b \vert \neq 1$ .

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Question 2
$A$ est une partie non vide de $\mathbb{N}$ vérifiant $\forall \, n \in A , \, n + 1 \in A$ .

Exercice 3
Que dire de $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ vérifiant
a) $\forall\, x \in \mathbb{R}, \exists \, y \in \mathbb{R} , y = f(x)$
b) $\exists \, y \in \mathbb{R}, \, \forall \, x \in \mathbb{R}, \, y = f(x)$ ?

Exercice 4
Quelles sont les fonctions $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ vérifiant
a) $\exists \, a \in \mathbb{R}, \exists\, b \in \mathbb{R},$ $\quad \quad \forall\, x \in \mathbb{R}, \,f(x) = a\,x + b$
b) $\forall\, x \in \mathbb{R},$ $\quad \exists \, a \in \mathbb{R}, \exists\, b \in \mathbb{R}, \, f(x) = a\, x + b$

Exercice 5
Soit $n \in \mathbb{N}, n \geq 2$ et
Traduire avec des quantificateurs
a) $x _ 1\, , \, x_2 \, , \, \cdots \, , \, x_n$ sont $n$ réels non nuls.
b) $x _ 1\, , \, x_2 \, , \, \cdots \, , \, x_n$ sont $n$ réels non tous nuls
c) $(x _ 1\, , \, x_2 \, , \, \cdots \, , \, x_n )$ est une famille de réels contenant au moins un 0
d) $(x _ 1\, , \, x_2 \, , \, \cdots \, , \, x_n)$ est une famille de réels contenant un seul 0.

Exercice 6
Traduire avec des quantificateurs :
Question 1
Certains réels sont strictement supérieurs à leur carré

Question 2
Étant donnés trois réels non nuls, il y en a au moins deux de même signe

Exercice 7
Soient $P$ et $Q$ deux propriétés définies sur un ensemble $E$ .
Les assertions
a) $(\exists\, x \in E ,\, P(x)$ et $Q(x)$ )
b) ( $\exists \, x \in E ,\, P(x)$ ) et ( $\exists \, x \in E ,\,Q(x)$ )
sont-elles équivalentes ?

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2. Raisonnement par récurrence maths sup

Exercice 1
Montrer que si $n \in \mathbb{N }$ , 3 divise $2 ^{2 n} - 1$ .

Exercice 2
$u_ 0 = 0$ et si $n \in \mathbb{N}$ , $u_{n + 1} = \displaystyle \frac 1 {2 - u_n}$ .
Conjecturer la valeur de $u_n$ et le démontrer

Exercice 3
Soit $n \in \mathbb{N}^*$ .
Si $f$ est croissante de $[\![1 ,\, n]\!]$ dans $[\![1, \, n]\!]$ il existe $k \in [\![1 ,\, n]\!]$ tel que $f(k) = k$ .

Exercice 4
Si $x$ est un réel non nul tel que $x + \displaystyle \frac 1 x \in \mathbb{Z}$ , alors $x ^n + \displaystyle \frac 1 {x^n} \in \mathbb{Z}$ .

Exercice 5
Tout entier $n \geq 1$ peut s’écrire comme somme de puissances de 2 toutes distinctes.

Exercice 6
Trouver l’erreur dans le raisonnement par récurrence suivant.

Soit si $n \in \mathbb{N}^*$ , $H_n$ » dans toute partie de $n$ entiers, tous les éléments ont même parité. »
$\ast$ $H_1$ est vraie de façon évidente.
$\ast$ Soit $n$ tel que $H_n$ soit vraie.
Soit $A$ une partie de $n + 1$ entiers que l’on range par ordre strictement croissant.
On note $A_1$ (resp $A_2$ ) la partie de $A$ formée des $n$ plus petits (resp. $n$ plus grands) éléments de $A$ .
D’après l’hypothèse $H_n$ , les éléments de $A_1$ ont même parité ainsi que les éléments de $A_2\,$ .
Or l’entier $x$ numéro $n$ est à la fois dans $A_1$ et $A_2$ , donc les éléments de $A_1$ et de $A_2$ ont la parité de $x$ , donc tous les éléments de $A$ ont même parité.
$\ast$ Par récurrence, toute partie finie non vide de $\mathbb {N}$ est formée d’éléments de même parité.

Exercice 7
Soit pour $n \in \mathbb{N}$ , $H_n$ : 5 divise $6 ^n + 1$
Question 1
La propriété $H$ est héréditaire.

Question 2
$H_n$ est vraie pour tout $n \in \mathbb{N}$ .

Exercice 8
Soit $\forall \, n \in \mathbb{N}^* ,\, u_{n + 1} = u_{n } - u_{n - 1}$
et $u_0 = 0$ .
On note si $n \in \mathbb{N}^*$ ,
$\quad \quad H_n$ : $\forall \, k \in [\![0 , n]\!], \, u_k \in \mathbb{Q}$ .
Question 1
$H$ est héréditaire.

Question 2
Si $u_0 = 0$ , on a prouvé par récurrence forte que $u_n$ est rationnel pour tout $n \in \mathbb{N}$

3. Sur la suite de Fibonacci

On considère la suite $(u_n)_n$ (suite de Fibonacci) définie par $u_0=u_1=1$ et, pour tout $n\in \mathbb{N},\, u_{n+2}=u_n+u_{n+1}\,$ .
Question 1
La suite $(u_n)_n$ vérifie :
$\quad \quad \forall\, n\in \mathbb{N}^* ,\, n \geq 2, \, u_n \geq n - 1$ .

Question 2
La suite $(u_n)_n$ vérifie :
$\; \; \forall\, n\in \mathbb{N}, \, u_n\, u_{n+2} - u_{n + 1} ^2 =(-1)^n$ .

Question 3
La suite $(u_n)_n$ vérifie pour tout $(p \, , \, q) \in \mathbb{N}^* \times \mathbb{N}$ ,
$\quad \quad \, u_p \, u_{q + 1} + u_{p - 1} \, u_q = u_{p + q}\,$ .

Question 4
On note $\varphi = \displaystyle \frac {1 + \sqrt{5}} 2$ et $\varphi ' = \displaystyle \frac {1 - \sqrt{5}} 2$ .
$\forall\, n \in \mathbb{N}, \,\displaystyle u_n = \frac 1 {\sqrt{5}} \left ( \varphi ^n - {\varphi'}^n \right )$ .

4. Autres types de raisonnements

Exercice 1
Démontrer que si $n$ est la somme de deux carrés d’entiers, alors le reste de la division euclidienne de $n$ par 4 est toujours différent de 3.

Exercice 2
Pour tout $n \in \mathbb{N}$ , $n(n + 1)(2 \, n + 1)$ est divisible par 6

Exercice 3
Si $x$ et $y$ sont réels,
$\; \; \max (x , \, y) = \displaystyle \frac 1 2 \left (x + y + \vert x - y \vert \right )$
$\; \; \min(x ,\, y) = \displaystyle \frac 1 2 \left (x + y - \vert x - y \vert \right )$ .

Exercice 4
Déterminer l’ensemble des fonctions $f$ de $\mathbb{N}$ dans $\mathbb{N}$ telles que $\forall\, (m , n) \in \mathbb{N} ^2$ , $f( m+n ) = f(m) \, f(n)$ .

Exercice 5
Déterminer les fonctions $f$ telles que pour tout réel $x$ , $\quad \quad f(x) + x f(1 - x) = 1 + x$

Exercice 6
Déterminer toutes les fonctions $f\, :\, \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ telles que,
$\forall\, (x \, , \, y) \in \mathbb{R}^2 ,$ $\quad \quad f(x). f(y) - f(x \, y)=x+y$ .

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