Chapitres Maths en MPSI, PCSI, MP2I, PTSI
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Exercices : Raisonnement et récurrence en maths sup
Résumé de cours Exercices Corrigés
Cours en ligne de maths en Maths Sup
Exercices – raisonnements et récurrence MPSI, PCSI
1. 1. Manipulation des assertions et quantificateurs
Exercice 1
Soit une fonction de dans .
Traduire en termes de quantificateurs les phrases suivantes :
1/ est majorée.
2/ n’est pas minorée
3/ est bornée.
4/ n’est ni paire ni impaire
5/ ne s’annule jamais
6/ est périodique
7/ est croissante
8/ est strictement décroissante
9/ n’est pas monotone
10/ n’est pas la fonction nulle
11/ ne prend pas deux fois la même valeur
12/ atteint toutes les valeurs de .
Exercice 2
Si est une partie non vide de , traduire en français les propriétés suivantes :
Question 1
.
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Question 2
est une partie non vide de vérifiant .
Exercice 3
Que dire de vérifiant
a)
b) ?
Exercice 4
Quelles sont les fonctions vérifiant
a)
b)
Exercice 5
Soit et
Traduire avec des quantificateurs
a) sont réels non nuls.
b) sont réels non tous nuls
c) est une famille de réels contenant au moins un 0
d) est une famille de réels contenant un seul 0.
Exercice 6
Traduire avec des quantificateurs :
Question 1
Certains réels sont strictement supérieurs à leur carré
Question 2
Étant donnés trois réels non nuls, il y en a au moins deux de même signe
Exercice 7
Soient et deux propriétés définies sur un ensemble .
Les assertions
a) et )
b) () et ()
sont-elles équivalentes ?
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2. Raisonnement par récurrence maths sup
Exercice 1
Montrer que si , 3 divise .
Exercice 2
et si , .
Conjecturer la valeur de et le démontrer
Exercice 3
Soit .
Si est croissante de dans il existe tel que .
Exercice 4
Si est un réel non nul tel que , alors .
Exercice 5
Tout entier peut s’écrire comme somme de puissances de 2 toutes distinctes.
Exercice 6
Trouver l’erreur dans le raisonnement par récurrence suivant.
Soit si , » dans toute partie de entiers, tous les éléments ont même parité. »
est vraie de façon évidente.
Soit tel que soit vraie.
Soit une partie de entiers que l’on range par ordre strictement croissant.
On note (resp ) la partie de formée des plus petits (resp. plus grands) éléments de .
D’après l’hypothèse , les éléments de ont même parité ainsi que les éléments de .
Or l’entier numéro est à la fois dans et , donc les éléments de et de ont la parité de , donc tous les éléments de ont même parité.
Par récurrence, toute partie finie non vide de est formée d’éléments de même parité.
Exercice 7
Soit pour , : 5 divise
Question 1
La propriété est héréditaire.
Question 2
est vraie pour tout .
Exercice 8
Soit
et .
On note si ,
: .
Question 1
est héréditaire.
Question 2
Si , on a prouvé par récurrence forte que est rationnel pour tout
3. Sur la suite de Fibonacci
On considère la suite (suite de Fibonacci) définie par et, pour tout .
Question 1
La suite vérifie :
.
Question 2
La suite vérifie :
.
Question 3
La suite vérifie pour tout ,
.
Question 4
On note et .
.
4. Autres types de raisonnements
Exercice 1
Démontrer que si est la somme de deux carrés d’entiers, alors le reste de la division euclidienne de par 4 est toujours différent de 3.
Exercice 2
Pour tout , est divisible par 6
Exercice 3
Si et sont réels,
.
Exercice 4
Déterminer l’ensemble des fonctions de dans telles que , .
Exercice 5
Déterminer les fonctions telles que pour tout réel ,
Exercice 6
Déterminer toutes les fonctions telles que,
.
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