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Exercices corrigés de Fonctions usuelles en Maths Sup
Résumé de cours Exercices et corrigés
Cours en ligne de Maths en Maths Sup
Plan des exercices : Fonction Hyperbolique et suite de Fibonacci
1. Fonctions hyperboliques et puissances
2. Résolutions d’équations avec des fonctions circulaires réciproques
3. Transformation d’expressions de fonctions circulaires réciproques
4. Un mélange
5. Suite de Fibonacci et Arctangente
6. Fonction réciproque
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1. Fonctions hyperboliques et puissances
Exercice 1
Résoudre l’équation
Correction : On cherche des solutions .
L’équation est équivalente à
ssi
ssi ou
ssi ou .
L’équation admet deux solutions : et .
Exercice 2
Résoudre
Correction : On suppose .
L’équation est équivalente à
ssi .
On note
.
s’annule en et admet un minimum en ce point car est décroissante sur et croissante sur .
(on rappelle que et )
alors s’annule sur et sur.
Je vous conseille de faire le tableau de variations !
On cherche une solution de la forme .
ssi .
Il y a deux solutions évidentes : et .
On a donc obtenu
et .
Comme on sait qu’il n’y a que deux solutions, ce sont .
Exercice 3
Résoudre
Correction : On utilise
donc .
Donc en posant , donne soit .
Cette équation admet deux racines dont une seule est positive :
on en déduit que .
Exercice 4
Calculer puis .
il y a deux solutions opposées : On note et .
On commence par résoudre
ssi
ssi .
Soit l’équation .
L’équation a pour racines :
et .
On obtient donc
ou
ssi ou
ssi ou
ssi
ou
ssi .
L’équation admet deux solutions et .
Exercice 5
Si , simplifier .
Correction : On utilise
Avec
en multipliant par la quantité conjuguée,
puis
.
Exercice 6
Pour tout , .
Correction : Soit .
est dérivable sur
et
On note et .
Il est évident que ce qui permet une factorisation de la forme
(on a trouvé le coefficient de par identification des termes en et du terme constant en identifiant les coefficients constants, on obtient par calcul simple ).
sachant que si , donc et alors si .
On en déduit que si , .
est croissante sur et , donc si .
2. Résolutions d’équations avec des fonctions circulaires réciproques
Exercice 1
Résoudre .
Correction : Existence d’une solution
est une fonction continue et strictement croissante sur
.
Comme est impaire, définit une bijection de sur .
Il existe un unique tel que .
Comme de plus , on en déduit que .
Résolution par condition nécessaire
On rappelle que Les calculs sont plus simples en calculant .
Sachant que
ssi
soit
puis en élevant au carré, on obtient la condition nécessaire :
.
L’équation admet une seule racine positive :
.
Conclusion: Il reste donc à résoudre sachant que ,
On a prouvé qu’il y avait au plus une solution positive et on sait que l’équation admet une et une seule solution.
C’est donc le réel .
Exercice 2
Résoudre
Correction : Existence de solutions
On note si
est décroissante et est croissante, donc est décroissante et est croissante sur et sur .
et
définit une bijection de sur et une bijection de sur .
Comme , l’équation admet une unique solution strictement positive.
On peut préciser que cette solution est supérieure à 1 car
Résolution par condition nécessaire
On cherche donc tel que
et en utilisant ,
ssi
ssi
ssi
ssi .
Cette équation admet deux solutions et .
On a vu que l’équation n’admet qu’une seule solution qui est supérieure à 1, donc il s’agit de .
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3. Transformation d’expressions de fonctions circulaires réciproques
Exercice 1
Calculer
Correction : En utilisant la stricte croissance de la fonction Arctan et ,
et .
Si , , ce qui permet de calculer .
On utilise
On calcule d’abord
puis donc tel que .
Sachant que , on a prouvé que .
soit .
Exercice 2
Calculer
Correction : Soit ,
or et
Donc .
puis
soit ,
car .
Exercice 3
Simplifier
Correction : Définition de
est défini
ssi et
ssi et
ssi et
ssi et
On en déduit que est définie sur .
De plus car .
On simplifie d’abord si .
On pose
car .
et .
On doit donc distinguer deux cas :
ssi ssi
ssi ,
.
ssi
ssi ,
donc .
De plus , donc
.
Lorsque avec .
On distingue donc deux cas :
si ,
si ,
.
En résumé
si ,
si ,
si ,
Vous trouverez une autre démonstration dans le chapitre dérivées en Maths Sup et la tâche méthodes.
4. Un mélange
Exercice 1
Simplifier si est réel .
Correction : On note .
est définie et dérivable sur car th est à valeurs dans .
Si est réel,
En utilisant et ,
.
La fonction est constante sur et .
Pour tout réel , .
Exercice 2
Question 1
Pour tout , il existe un unique tel que
Correction : Si , donc , donc il existe un unique tel que et plus précisément .
Exercice 2 (fin)
Question 2
et
Correction : avec .
donc
.
Puis comme et par les hypothèses sur et , on a prouvé que .
On rappelle que
puis
et
donc .
5. Suite de Fibonacci et
On définit la suite de Fibonacci par
,
et .
Question 1
Compléter l’identité de Cassini :
Correction : Si , on note
Pour ,
.
La propriété est vraie.
On suppose que est vraie, on note
ce qui donne la relation au rang .
La propriété est démontrée par récurrence.
En déduire que, pour tout ,
Correction : La suite est une suite strictement croissante d’entiers, et , donc si .
Si donc vérifie .
On peut calculer .
En utilisant ,
on obtient
Transformation de cette relation
Puis on utilise
et
soit .
On obtient alors :
et .
Sachant que ,
.
Donc
ce qui donne pour tout ,
Question 3
Si , simplifier
Quelles identités particulières obtient- on pour ?
par télescopage
avec :
soit
On utilise ensuite .
La relation précédente donne
pour
pour
pour
.
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6.Fonction réciproque
Montrer que la fonction
admet une fonction réciproque et la déterminer.
Correction : est continue et strictement croissante sur admet (resp. ) pour limite en (resp. en ).
définit une bijection de sur .
Comme est impaire, la fonction réciproque est impaire (car si alors donc ).
, donc prend la valeur sur .
Résolution de (avec ).
ssi
ssi ssi ssi car .
On en déduit que
et
donc
On calcule si et ,
ssi .
Comme , cette équation admet deux racines
et .
On sait que , les deux racines sont de signe contraire.
Si .
Lorsque et on doit retenir la racine positive, on en déduit que .
Si .
Lorsque et on doit retenir la racine positive, on en déduit que .
Conclusion
On a prouvé que si
,
et en utilisant impaire,
si ,
.
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