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Exercices corrigés sur les limites et continuité en Maths Sup

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Résumé de cours Exercices et corrigés

Cours en ligne de Maths en Maths Sup

Plan des exercices : Limites, Points fixes, Equation fonctionnelle

1. Calcul de limites
2. Pour manipuler la notion de limite
3. Études de continuité
4. Autour des valeurs intermédiaires
5. Fonction périodique et continue
6. Points fixes
7. Continuité et suites
8. Continuité et image d’un segment
9. Équation fonctionnelle

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1. Calculs de limites

Les calculs sont effectués avec les outils de début d’année.
À la suite du symbole 👍, vous trouverez l’étude des limites utilisant les équivalents lorsque c’est possible.

Question 1
Soit $a > 0$ et $a \neq 1$ , étude de la limite en $0$ de $\displaystyle x \mapsto \frac {a ^x - 1} {\sin(x)}$ .

Correction : Il s’agit d’une forme indéterminée $0/0$ .
$\displaystyle f(x) = \frac {a ^x - 1} {\sin(x)} = \frac {\textrm{e} ^{x\, \ln a } - 1} {x\, \ln a } \;\; \frac x {\sin(x)} \ln(a)$
en utilisant $\quad \displaystyle \lim _ {t \to 0} \frac {\textrm{e} ^t - 1} t = \lim _ {t \to 0} \frac {\sin(t)} t = 1$ ,
on obtient : $\displaystyle \lim _ {x \to 0} \frac {a ^x - 1} {\sin(x)} = \ln(a)$ .

👍 En utilisant les équivalents :
$\quad \displaystyle a^x - 1 \underset {x \to 0} {\sim} x \, \ln a$ et $\displaystyle \sin x \underset {x \to 0} {\sim} x$ ,
$\displaystyle f(x) \underset {x \to 0} {\sim} \ln a \Rightarrow\displaystyle \lim _ {x \to 0} \frac {a ^x - 1} {\sin(x)} = \ln a$ .

Question 2
Limite à droite en $0$ de $\quad \quad \displaystyle x \mapsto x \ln(\sin x)$ .

Correction : C’est une forme indéterminée $0 \times \infty$ .
$\displaystyle x \ln(\sin x) = \sin x \, \ln(\sin x) \; \frac {x} {\sin x}$ .
En utilisant $\displaystyle \lim _ {t \to 0^+ } t \ln (t) = 0$ et $\displaystyle \lim _ {t \to 0} \frac {\sin(t)} t = 1$ , on obtient :
$\quad \quad \quad \displaystyle \lim_{x \to 0 ^{+} } x \ln(\sin x) = 0$ .

👍 En utilisant les équivalents :
$\displaystyle x \underset {x \to 0} {\sim} \sin x$ donc $\quad \displaystyle x \ln(\sin x) \underset {x \to 0} {\sim} \sin x\, \ln(\sin x)$
et on utilise $\displaystyle \lim_{t \to 0^+} t \ln(t) = 0$ pour obtenir $\displaystyle \lim_{x \to 0 ^{+} } x \ln(\sin x) = 0$ .

Question 3
Limite en $0$ de $x \mapsto (1 + \tan(2 \, x)) ^{1/x}$

Correction : On écrit $\displaystyle f(x) = \exp \left ( \frac { \ln(1 + \tan (2 \, x) ) } x \right )$ .
On a une forme indéterminée $0/0$ (ou $1 ^{\infty}$ avant d’introduire la fonction exponentielle).
On rappelle que
$\displaystyle \lim _ {t \to 0 } \frac {\ln (1 + t)} t = 1$ et $\displaystyle \lim _ {t \to 0} \frac {\sin(t)} t = 1$ ,
$\displaystyle u(x) = \frac{\ln(1 + \tan (2 \, x) ) } x$ $\displaystyle u(x) = \frac {\ln(1 + \tan (2 \, x))}{\tan (2 \, x) } \, \frac {\sin (2 \, x) } {2 \, x} \, \frac 2 {\cos (2 \, x) }$
$\displaystyle \lim_ {x \to 0} u(x) = 1\times 1 \times 2$
donc $\displaystyle \lim_{x \to 0} (1 + \tan(2 \, x)) ^{1/x} = \textrm{e} ^2 .$

👍 En utilisant les équivalents :
$\displaystyle \ln(1 + \tan (2 \, x) ) \underset {x \to 0} {\sim} \tan (2 \, x) \underset {x \to 0} {\sim} 2 \, x$
donc $\displaystyle u(x) \underset {x \to 0} {\sim} 2$ .
On termine par continuité de la fonction exponentielle.

Question 4
Limite en $0$ de $\quad \quad \displaystyle x \mapsto \frac 2 {\sin ^2 x} - \frac 1 {1 - \cos x}$ .

Correction : Il s’agit d’une forme indéterminée $\infty - \infty$ .
On réduit au même dénominateur en remarquant qu’il est égal à $\quad \quad \sin ^2 x = (1 - \cos x )(1 + \cos x)$ .
$\displaystyle f(x) = \frac 2 {\sin ^2 x} - \frac 1 {1 - \cos x}$ $\displaystyle f(x) = \frac {2 - 1 - \cos x} {\sin ^2 x} = \frac {1 - \cos x} {\sin^2 x}$ .
$\displaystyle f(x) = \frac 1 {1 + \cos x}$ .

$\displaystyle \lim_ {x \to 0} \frac 1 {\sin ^2 x} - \frac 1 {1 - \cos x} = \frac 1 2$ .

Question 5
Limite en $+\infty$ de $\displaystyle x \mapsto \sqrt{x + 1} - \sqrt{x}$

Correction : C’est une forme indéterminée $\infty - \infty$ .
En utilisant la quantité conjuguée,
$f(x) = \sqrt{x + 1} - \sqrt{x}= \displaystyle \frac 1 {\sqrt{x + 1} + \sqrt{x}}$
$\displaystyle \lim_ {x \to +\infty} \sqrt{x + 1} - \sqrt{x} = 0$ .

Question 6
Limite à droite en $0$ de $x \mapsto {x} ^{{(\cos x )} ^{1/x} }$

Question 7
Limite à droite en $0$ de $\quad \quad \quad \displaystyle x \mapsto {{(\sin x^2 )} ^{1/\ln x} }$ .

Question 8
Limite à droite en $0$ de $\displaystyle x \mapsto \frac {x ^x - 1 } {\ln (x + 1)}$ .

Question 9
Limite à droite en $0$ de $\quad \quad \quad \displaystyle x \mapsto {\ln(x + 1)} ^{1 / \ln x}$ .

Question 10
Limite en $+\infty$ de $x \mapsto \displaystyle \frac {x ^{x + 1 }} {(x + 1)^x }$ .

2. Pour manipuler la notion de limite.

Exercice 1
Soit $f$ une fonction croissante sur $\mathbb{R}^+$ .
Les propriétés suivantes sont équivalentes :
1) $f$ a une limite finie en $+\infty$
2) la suite $(f(n))_n$ converge.

Vrai ou faux ?

Correction :

$\bullet$ Si $f$ a une limite $L$ en $+ \infty$ , on sait que $(f(n))_n$ converge vers $L$ .

$\bullet$ On suppose que la suite $(f(n))_n$ converge vers $L$ .
C’est une suite croissante car $f$ est croissante. Donc $L$ est un majorant de la suite.
Pour tout $x \in \mathbb{R} ^+ ,\, x \leq \lfloor x \rfloor + 1$ , donc $f(x) \leq f ( \lfloor x \rfloor + 1) \leq L$ .
La fonction $f$ est croissante et majorée. Elle a une limite finie en $+\infty$ .

Les deux propriétés sont équivalentes.

Exercice 2
Soient $a \in \mathbb{R}$ et $f : [a , \, + \infty[ \to \mathbb{R}$ croissante qui admet une limite finie $b$ en $+ \infty$ . Soit $g$ définie sur $]a ,\, + \infty[$ par $g(x) = \displaystyle \frac {f(x) - f(a)} {x - a}$ .
On suppose $g$ croissante.
Alors $f$ est constante. Vrai ou faux ?

Correction : $\bullet$ Comme $\displaystyle \lim_ {x \to +\infty } (f(x) - f(a)) = b - f(a)$
et $\displaystyle \lim_ {x \to +\infty } \frac 1 {x - a} = 0$ ,
par produit, $\displaystyle \lim_ {x \to +\infty } g(x) = 0$ .

$\bullet$ $g$ est croissante sur $]a , \, + \infty[$ de limite nulle en $+\infty$ , donc $\forall \, x > a, \, g(x) \leq 0$ soit $f(x) - f(a) \leq 0$ , inégalité qui reste vraie si $x = a$ .
Par croissance de $f$ ,
$\quad\quad$ si $x \geq a$ , $f(a) \leq f(x)$ .
Donc par double inégalité,
$\quad \quad$ si $x \geq a$ , $f(x) = f(a)$ .
$f$ est constante.

Exercice 3
Soit $f$ une fonction définie sur $\mathbb{R }^{+*}$ à valeurs dans $\mathbb{R}$ telle que
$\forall\, (x ,\, y) \in \mathbb{R}^{+*2}$ , $\quad \quad \quad \displaystyle \vert f(x) - f(y) \vert \leq \frac 1 {x + y}$ ,
alors $f$ est constante , vrai ou faux ?

Correction : On fixe $a > 0$ et $\displaystyle \vert f(x) - f(a) \vert \leq \frac 1 {x + a}$ .
Si $x$ tend vers $+\infty$ , par encadrement, $f(x ) - f(a)$ admet une limite nulle, donc $f$ admet $f(a)$ pour limite en $+\infty$ .
En prenant $b \neq a$ , $f$ admet $f(b)$ pour limite en $+ \infty$ .
Donc par unicité de la limite, $f(a) = f(b)$ et $f$ est constante.

Réciproquement, toute fonction constante sur $\mathbb{R }^{+*}$ vérifie l’inégalité demandée.

L’ensemble des solutions est l’ensemble des fonctions constantes.

Exercice 4
Soit $f$ une fonction définie sur $]0 , \, 1[$ à valeurs dans $\mathbb{R} ^{+ *}$ vérifiant $\quad \quad \displaystyle \lim _{x \to 0^+} \left ( f(x) + \frac 1 {f(x)} \right ) = 2$ ,
$\displaystyle \lim _{x \to 0^+} f(x) = 1$

Exercice 5
Soit $a \in \mathbb{R}$ , $f : [a , + \infty[ \to \mathbb{R}$ de limite nulle en $+\infty$ .
Soit $g : \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ périodique.
On suppose $f + g$ croissante sur $[a , \, + \infty[$ .
La fonction $g$ est constante.

Exercice 6
Question 1
Soit $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ bornée sur tout intervalle de longueur égale à 1 et telle que $\displaystyle \lim_{x \to + \infty} f(x + 1) - f(x) = 0$ .
Montrer que $\displaystyle \lim_{x \to + \infty} \frac {f(x)} x = 0$ .

Exercice 6 (fin)
Question 2
Soit $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ bornée sur tout intervalle de longueur égale à 1 et telle que $\displaystyle \lim_{x \to + \infty} f(x + 1) - f(x) = L$ où $L \in \mathbb{R}$ .
Alors $\displaystyle \lim_{x \to + \infty} \frac {f(x)} x = L$ .

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3. Études de continuité

Exercice 1
Étude de la continuité de $\quad \quad f : x \mapsto \lfloor x \rfloor + \sqrt {x - \lfloor x \rfloor }$ . $f$ est continue en tout point, vrai ou faux ?

Correction : $f$ est définie sur $\mathbb{R}$ car $x - \lfloor x \rfloor \geq 0$ .

Soit $n \in \mathbb{Z}$ , si $x \in [n , \, n + 1[$ , $\quad \quad f(x) = n + \sqrt{x - n}$
alors $f$ est continue sur $]n , \, n + 1[$
$\displaystyle \lim_{x \to n^{+}} f(x) = n = f(n)$ .
$\displaystyle \lim_{x \to n^{-}} f(x) =\lim_{x \to n^{-} } n - 1 + \sqrt{x - n + 1}$ $\displaystyle \lim_{x \to n ^- }f(x) = n - 1 + 1 = f(n)$ .
On a prouvé que $f$ est continue en $n$ .

Conclusion : $f$ est continue sur $\mathbb{R}$ .

Exercice 2
Soit $f$ une fonction croissante sur $I = \mathbb{R} ^{+*}$ telle que $g : x \mapsto \displaystyle \frac {f(x)} x$ soit décroissante sur $I$ .
Question 1
$f$ est continue sur $I$ . Vrai ou faux ?

Correction : Par le théorème de la limite monotone pour tout $a > 0$ , $f$ admet une limite à gauche et à droite en $a$ vérifiant
$\quad \quad f(a - \textrm{o} ) \leq f(a) \leq f(a + \textrm{o} )$ .

Puis $g$ étant décroissante sur $I$ , $g$ admet aussi en $a$ une limite à gauche et une limite à droite vérifiant
$\quad \quad g(a + \textrm{o} ) \leq g(a) \leq g(a - \textrm{o} )$
soit $\displaystyle \frac {f(a + \textrm{o} )} a \leq \frac {f(a) } a \leq \frac {f(a - \textrm{o})} a$
donc après multiplication par $a > 0$
$\quad \quad {f(a + \textrm{o} )} \leq {f(a) } \leq f(a - \textrm{o} )$
et $f(a - \textrm{o} ) \leq f(a) \leq f(a + \textrm{o} )$
Par double inégalité,
$\quad \quad f(a - \textrm{o} ) =f(a) = f(a + \textrm{o} )$ .
Les limites à droite et à gauche de $f$ en $a$ sont égales à $f(a)$ , donc $f$ est continue en $a$ .

Exercice 2 (suite)
Question 2
Si $f$ n’est pas l’application nulle, $f$ ne s’annule pas sur $I$ . Vrai ou Faux ?

Correction : On suppose qu’il existe $a > 0$ tel que $f(a) = 0$ , alors $g(a) = 0$ .
Comme $f$ est croissante,
$\quad \quad \forall \, x \in [a , \, + \infty[$ , $f(x) \geq f(a)$
donc $f(x) \geq 0$ .
Comme $g$ est décroissante, $g(x) \leq g(a)$ donc $g(x) \leq 0$ , alors $f(x) \leq 0$ .
Par double inégalité si $x \geq a, \, f(x) = 0$ .

Puis $f$ étant croissante,
si $x \in \; ]0 , \, a[$ , $f(x) \leq f(a)$ donc $f(x) \leq 0$
et $g$ étant décroissante, $g(x) \geq g(a)$ donc $g(x) \geq 0$ et $f(x) \geq 0$ .
Par double inégalité, $\quad \quad \forall\, x \in \; ]0 ,\, a], \, f(x) = 0$ .
On a prouvé que si $f$ s’annule, $f$ est l’application nulle.
On obtient le résultat attendu en prenant la contraposée.

4. Autour des valeurs intermédiaires

Exercice 1
Soit $f$ une fonction réelle continue sur $[0 , \, + \infty[$ ayant une limite finie $L$ en $+ \infty$ .
Alors $f$ prend toute valeur entre $f(0)$ et $L$ ( $L$ exclu).

Correction :

$\bullet$ Première méthode

La fonction $\varphi :\; ]0 , \, 1] \to \mathbb{R}, \, \displaystyle x \mapsto \frac 1 x - 1$ est une fonction continue, strictement décroissante admettant $+\infty$ pour limite en $0$ et vérifiant $\varphi(1) = 0$ , c’est une bijection de $]0 , \, 1]$ sur $[0 , \, + \infty[$ .
$\ast$ On définit $g$ par
$g(x) = f(\varphi(x))$ si $x \in \; ]0 ,\, 1]$ et $g(0) = L$ .
$g$ est continue sur $]0 , \, 1]$ par composition de fonctions continues.
$\displaystyle \lim _{x \to 0} g(x) = \displaystyle \lim_{t \to + \infty} f(t) = L$ , donc $g$ est continue en $0$ .

$\ast$ $g$ est continue sur $[0 , 1]$ , $g(0) = L$ et $g(1) = f(0)$ , donc $g$ prend sur $[0 , \, 1]$ toute valeur comprise entre $f(0)$ et $L$ .
Si $k$ est compris entre $f(0)$ et $L$ (exclu), il existe $t \in \;]0 , 1]$ tel que $g(t) = k$ (car $g(0) = L$ ) soit $f(x) = k$ où $x = \varphi(t) \geq 0$ .

$\bullet$ Autre démonstration
$\ast$ Il n’y a rien à prouver si $f(0) = L$ .
$\ast$ On suppose que $f(0) < L$ et soit $k$ tel que $f(0) < k < L$ .
On traduit la limite en $+\infty$ en prenant $\varepsilon = \displaystyle \frac { L - k} 2$ :
$\displaystyle \exists \, A > 0, \, \forall \, x \geq A , \, \vert f(x) - L \vert \leq \frac {L - k} 2$
si $x \geq A , f(x) - L \geq - \displaystyle \frac {L - k} 2$ , donc en particulier $f(A) \geq \displaystyle \frac {L + k} 2$ $\Rightarrow f(A) > k$ .
Alors $k \in \; ]f(0) ,\, f(A)[$ , par le théorème des valeurs interméiaires, il existe $x_0 \in \;]0 ,\, A[$ tel que $f(x_0) = k$ .

$\ast$ On suppose que $f(0) > L$ et soit $k$ tel que $L < k < f(0)$ .
On traduit la limite en $+\infty$ en prenant $\displaystyle \varepsilon = \frac { k - L} 2$ :
$\displaystyle \exists \, A > 0, \, \forall \, x \geq A , \, \vert f(x) - L \vert \leq \frac {k - L} 2$
si $x \geq A , \, f(x) - L \leq \displaystyle \frac {k - L} 2$ , donc en particulier $f(A) \leq \displaystyle \frac {L + k} 2 < k$
alors $k \in\; ]f(A) ,\, f(0)[$ , par le théorème des valeurs intermédiaires, il existe $x_0 \in\; ]0 ,\, A[$ tel que $f(x_0) = k$ .

Exercice 2
Soit $f$ une fonction réelle continue sur $\mathbb{R}$ ayant une limite finie $L$ en $+ \infty$ et une limite finie $L'$ en $- \infty$ .
On suppose $L \neq L'$ . Alors $f$ prend toute valeur entre $L$ et $L'$ . Vrai ou Faux ?

Correction : On définit $\quad \varphi :\; ]0, \, 1[ \to \mathbb{R} , \, x \mapsto \displaystyle \ln \left ( \frac x {1 - x} \right )$ .
$\varphi$ est une fonction continue, strictement croissante car $\varphi'(x) = \displaystyle \frac 1 x + \frac 1 {1 - x} > 0$ de limite égale à $- \infty$ en $0$ et de limite égale à $+\infty$ en $1$
$\varphi$ définit une bijection de $]0 , \,1[$ sur $\mathbb{R}$ .

On définit $g$ sur $[0 ,\, 1]$ par $g(x) = f(\varphi(x))$ si $x \in \;]0 , \, 1[$ , $g(0) = L'$ et $g(1) = L$ .
$g$ est continue sur $]0 , \, 1[$ par composition
$\displaystyle \lim_{x \to 0} g(x) = \lim_{t \to - \infty} f(t) = L' = g(0)$
$\displaystyle \lim_{x \to 1} g(x) = \lim_{t \to -+\infty} f(t) = L = g(1)$
donc $g$ est continue sur $[0 , \, 1 ]$ et vérifie $g(0) = L'$ et $g(1) = L$ .
Par le théorème des valeurs intermédiai- res, pour tout $k$ strictement compris entre $L$ et $L'$ , il existe $t \in \; ]0 , 1[$ tel que $g(t) = k$ donc $f(\varphi(t)) = k$ , $f$ prend la valeur $k$ .

Exercice 3
Nombre de fonctions continues sur $\mathbb{R}$ vérifiant $\forall\, x \in \mathbb{R}, (f(x) - \textrm{e} ^{x} ) (\textrm{e} ^x \, f(x) - 1) = 0$

Correction : $\bullet$ L’équation $(y - \textrm{e} ^{x} ) (\textrm{e} ^x \, y - 1) = 0$ admet deux solutions $\textrm{e} ^{x}$ et $\textrm{e} ^{-x}$ qui sont distinctes lorsque $x = 0$ et égales à $1$ pour $x = 0$ .
On en déduit que $f(0) = 1$ et $\quad \forall \, x \neq 0, \, f(x) \in \{ \textrm{e} ^{x}, \, \textrm{e} ^{-x}\}$ .

$\bullet$ S’il existe $a > 0$ et $b > 0$ tels que $f(a) = \textrm{e} ^{a}$ et $f(b) = \textrm{e} ^{-b}$ , alors $f(b)< 1 < f(a)$ , par le théorème des valeurs intermédiaires, il existe $c$ strictement compris entre $a$ et $b$ donc $c > 0$ tel que $f(c) = 1$ . Or $f(c) = \textrm{e} ^{c}$ ou $f(c) = \textrm{e} ^{-c}$ , dans les deux cas $f(c) \neq 1$ . On aboutit à une contradiction et on a prouvé que $\forall \, x > 0,\, f(x) = \textrm{e} ^{x}$ ou $\forall\, x > 0, \, f(x) = \textrm{e} ^{-x}$ .

$\bullet$ S’il existe $a < 0$ et $b < 0$ tels que $f(a) = \textrm{e} ^{a}$ et $f(b) = \textrm{e} ^{-b}$ , alors $f(a)< 1 < f(b)$ , par le théorème des valeurs intermédiaires, il existe $c$ strictement compris entre $a$ et $b$ donc $c < 0$ tel que $f(c) = 1$ . Or $f(c) = \textrm{e} ^{c}$ ou $f(c) = \textrm{e} ^{-c}$ , dans les deux cas $f(c) \neq 1$ . On aboutit à une contradiction et on a prouvé que $\forall \, x < 0,\, f(x) = \textrm{e} ^{x}$ ou $\forall\, x < 0, \, f(x) = \textrm{e} ^{-x}$ .

$\bullet$ On définit les 4 fonctions $f_1 \, f_2 , \, f_3 \, , \, f_4$ par
$\quad \ast$ $\forall \, x \in\mathbb{R } , \, f_1(x) = \textrm{e} ^x$
$\quad \ast$ $\forall \, x \in\mathbb{R} , \, f_2(x) = \textrm{e} ^{- x}$
$\quad \ast$ $f_3(x) = \left \{ \begin{matrix} \textrm{e} ^{x} & \textrm{ si } & x < 0\\ \textrm{e} ^{-x} & \textrm{ si } & x \geq 0 \end{matrix} \right.$
$\quad \ast$ $f_4(x) = \left \{ \begin{matrix} \textrm{e} ^{- x} & \textrm{ si } & x < 0\\ \textrm{e} ^{x} & \textrm{ si } & x \geq 0 \end{matrix} \right.$ .

On vérifie que $f_3$ et $f_4$ sont continues en $0$ en étudiant les limites à droite et à gauche de $0$ égales à la valeur de la fonction en $0$ .
Il est évident que $f_1$ et $f_2$ sont continues sur $\mathbb{R}$ .
Les 4 fonctions vérifient l’équation initiale.
Elle admet donc 4 solutions distinctes.

5. Fonction périodique et continue

Exercice 1
Soit $f$ une fonction continue, non constante et périodique .
L’ensemble des périodes strictement positives admet un plus petit élément. C’est ce réel que l’on nomme souvent par abus de langage la période de $f$ .

Correction : $\bullet$ On note $E$ l’ensemble des périodes strictement positives de $f$ .
$E$ est une partie non vide de $\mathbb{R}$ et minorée par $0$ . $E$ admet une borne inférieure que l’on note $T$ .

$\bullet$ Par propriété de la borne inférieure, il existe une suite $(u_n)_n$ de $E$ qui converge vers $T$ .
Comme $u_n$ est une période de $f$ ,
$\quad \quad \forall \, x \in \mathbb{R} , \ f(x + u_n) = f(x)$ .
Comme $f$ est continue en passant à la limite dans la relation précédente, on obtient : $\forall \, x \in \mathbb{R} , \ f(x + T) = f(x)$ .

$\bullet$ Comme $f$ n’est pas constante, il existe $a \neq 0$ telle que $f(a) \neq f(0)$ .
Puis pour tout $n \in \mathbb{N}$ , on note $p_n$ la partie entière de $\displaystyle \frac a {u_n}$ .
On écrit $\displaystyle \frac a {u_n} = p_n + t_n$ avec $t_n \in [0 , 1[$ .
Donc $\exists \, a_n \in [0 , \, u_n[$ et $p_n \in \mathbb{Z}$ tels que $a = p_n \, u_n + a_n$ avec $a_n = t_n \, u_n\,$ , donc $f(a) = f(a_n)$ .

Si l’on avait $T = 0$ , par encadrement, on aurait $\displaystyle \lim_{n \to + \infty} a_n = 0$ , puis par continuité de $f$ , $\quad \quad f(a) = \displaystyle \lim_{n \to + \infty} f(a_n) = f(0)$
ce qui contredit $f(a) \neq f(0)$ .

On a donc prouvé que $T > 0$ .
L’ensemble des périodes strictement positives de $f$ admet un plus petit élément.

Le résultat précédent n’est pas valable si $f$ est discontinue, vrai ou faux ?

Correction :

On définit

$f(x) = 1$ si

$x \in \mathbb{Q}$ et

$f(x) = 0$ si

$x \notin \mathbb{Q}$ .

Pour tout $r \in \mathbb{Q}^{+*}$ , $f(x + r) = f(x)$ (car $x + r$ est rationnel ssi $x$ est rationnel, et irrationnel ssi $x$ est irrationnel).

Il n’existe pas de plus petite période strictement positive.

On démontre que $f$ est discontinue en tout point.
$\ast$ Si $a \in \mathbb{Q}$ , il existe une suite $(x_n)_n$ d’irrationnels qui converge vers $a$ , $f(a_n) = 0$ , la suite $(f(a_n))_n$ ne converge pas vers $f(a) = 0$ .
$\ast$ Si $a \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ , il existe une suite $(b_n)_n$ de rationnels qui converge vers $a$ , $f(b_n) = 1$ , la suite $(f(b_n))_n$ ne converge pas vers $f(a)$ .

Exercice 2
Soit $f$ une fonction continue de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ et 1-périodique.
Montrer que pour tout réel $a$ non nul, il existe un réel $c$ tel que $f(c + a) = f(c)$ .

Correction : On note $g : x \mapsto f(x + a) - f(x)$ .
$g$ est 1-périodique.
$g$ est continue sur $[0 , \, 1]$ . Elle est bornée et atteint ses bornes.
On introduit
$\quad m = \displaystyle \inf _{t \in [0 , \, 1]} f(t)$ et $M = \displaystyle \sup _{t \in [0 , \, 1]} f(t)$ .
Il existe $x_1 \in [0 , \, 1]$ tel que $f(x_1) = m$ et $x _ 2 \in [0 ,\, 1]$ tel que $f(x_2) = M$ .

Grâce à la périodicité de $f$ ,
$\quad \displaystyle m = \inf _{t \in \mathbb{R}} f(t)$ et $\displaystyle M = \sup _{t \in \mathbb{R}} f(t)$ .
$g(x_1) = f(x _ 1 + a) - f(x_1) \geq 0$ car $f(x_1 + a) \geq m$
$g(x_2) = f(x _ 2 + a) - f(x_2) \leq 0$ car $f(x_2 + a) \leq M$ .
$g(x_1) \, g(x_2) \leq 0$ donne par le théorème des valeurs intermédiaires l’existence d’un réel $c$ tel que $g(c) = 0$ soit $\quad \quad \quad f(c + a) = f(c)$ .

6. Points fixes

On rappelle que $f : I \to \mathbb{R}$ admet un point fixe sur $I$ s’il existe $a \in I$ tel que f(a) = a

Exercice 1
Soit $f$ une fonction strictement croissante sur $\mathbb{R}$ et sans point fixe. Montrer que $f \circ f$ n’a pas de point fixe.

correction : On suppose donc que la fonction continue $g : x \mapsto f(x) - x$ ne s’annule pas. Donc elle est soit à valeurs strictement positives soit à valeurs strictement négatives.
$\bullet$ Si $\forall\, x \in \mathbb{R}, \, g(x) > 0$ , $f(x) > x$ .
Par stricte croissance de $f$ , $f (f(x)) > f(x)$ donc $f (f(x)) > x$ et $f \circ f$ n’a pas de point fixe.

$\bullet$ Si $\forall\, x \in \mathbb{R}, \, g(x) < 0$ , $f(x) < x$ .
Par stricte croissance de $f$ , $f (f(x)) < f(x)$ donc $f (f(x)) < x$ et $f \circ f$ n’a pas de point fixe.

On a donc prouvé par disjonction des cas que $f \circ f$ n’a pas de point fixe.

Exercice 2
Soit $f$ une application continue de $[0 ,\, 1]$ dans $[0 ,\, 1]$ telle que $f \circ f = f$ . On note $E = \{ x \in [0 ,\, 1]\, / \, f(x) = x \}$
Question 1
Montrer que $f( [0 ,\, 1]) \subset E$ .

Correction : Si $y \in f( [0 ,\, 1])$ , il existe $x \in[0 ,\, 1]$ tel que $y = f(x)$ .
$y \in [0 , \, 1]$ et $f(y) = f\circ f (x) = f(x) = y$ , donc $y \in E$ .
On a prouvé que $f( [0 ,\, 1]) \subset E$ .

Exercice 2 (suite)
Question 2
Montrer que $E$ est un intervalle de $\mathbb{R}$ , puis un segment.

Correction : $\bullet$ Comme $f( [0 ,\, 1])$ est non vide, $E$ est non vide.
Soient $a$ et $b$ dans $E$ tels que $a \leq b$ .
Pour tout $t \in |0 , \, 1]$ , soit $\quad \quad c = t \, a + (1 - t ) \, b \in [0 , \, 1 ]$
$c = t \, f(a) + (1 - t ) \, f(b)$ est compris entre $f(a)$ et $f(b)$ , donc par le théorème des valeurs intermédiaires, il existe $d \in [a , \, b]$ tel que $c = f(d)$ .
Donc $c \in E$ par la question précédente.
On a donc prouvé que $E$ est un intervalle.

$\bullet$ $E$ est une partie bornée non vide de $\mathbb{R}$ , $E$ admet une borne supérieure $M \leq 1$ et une borne inférieure $m \geq 0$ .
On en déduit que $E \subset [m ,\, M]$ .
$\ast$ Il existe une suite $(a_n)_n$ d’éléments de $E$ telle que $\displaystyle \lim_{n \to + \infty} a_n = m$ .
$\forall \, n \in \mathbb{N}, \, f(a _n) = a_n\,$ , par continuité de $f$ $f(m) = m$ , donc $m \in E$ .
$\ast$ Il existe une suite $(b_n)_n$ d’éléments de $E$ telle que $\displaystyle \lim_{n \to + \infty} b_n = M$ .
$\forall \, n \in \mathbb{N}, \, f(b _n) = b_n\,$ , par continuité de $f$ $f(M) = M$ , donc $M \in E$ .

$\bullet$ $E$ est un intervalle contenant $m$ et $M$ , alors $[m , \, M] \subset E$ .
Par double inclusion, $E = [m , M]$ .

Exercice 2 (suite)
Question 3
Déterminer $E$ . Donner un exemple de fonction $f$ vérifiant ces conditions.

Correction : On a vu que $E = [m , M]$ et $f( [0 ,\, 1]) \subset E$ .
De plus $(m , M) \in f ([0 , 1]) ^2$ et $f ([0 , 1])$ est un intervalle, donc $[m , \, M] \subset f ([0 , 1])$
On a donc prouvé que $\quad \quad E = f ([0 , 1]) = [m , \,M]$ .

Réciproquement, si $f$ est une fonction continue sur $[0 , 1]$ telle qu’il existe $m$ et $M$ vérifiant $0 \leq m \leq M \leq 1$ et telle que $\quad \quad \quad \forall \, x \in [m , \, M] , \, f(x) = x$
$\quad \quad$ et $f ([0 , 1] ) \subset [m , \, M]$ ,
$\forall \, x \in [0 , \, 1] , \, f(x) \in [m , \, M],$ donc $f(f(x)) = f(x)$ ce qui prouve que $f \circ f = f$ .

exemple d’une telle fonction :
On suppose que $0 < m < M < 1$ .
On définit $f$ par :
$\quad f(x) = m$ si $x\in [0 , m[$
$\quad f(x) = x$ si $x \in [m , \, M]$
$\quad f(x) = M$ si $x \in [M , \, 1]$ .

$f$ est une fonction affine par morceaux.
On vérifie que $f$ est croissante sur $[0 , 1]$ , continue (en justifiant la continuité en $m$ et $M$ ), avec $f(0) = m$ et $f(1) = M$ .
$f([0 , \, 1]) = [m ,\, M]$ et $\quad \quad \forall \, x \in [m , \, M] , \, f(x) = x$ .

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7. Continuité et suites

Exercice 1
Soient $f$ et $g$ deux applications réelles continues sur $[0 , \, 1]$ telles que : $\quad \forall x \in [0 ,\, 1], 0 < f(x) < g(x)$ .
Soit $(x_n)_{n \geq 1}$ une suite d’éléments de $[0 , \, 1]$ .
On pose : $\forall n \in \mathbb{N} , y_n = \displaystyle \left ( \frac {f(x_n)} {g(x_n)} \right ) ^n$ . Montrer que la suite $(y_n)_{n \geq 1}$ converge et déterminer sa limite.

Correction : $h = \displaystyle \frac f g$ est continue sur $[0 , \, 1]$ comme quotient d’applications continues sur $[0 , \, 1]$ tel que le dénominateur ne s’annule pas sur $[0 , \, 1]$ . $h$ admet un maximum $M$ sur $[0 , \, 1]$ atteint en un point $c$ , comme $0 < h(c) < 1$ , $0 < M < 1$
et $h(x_n) \leq M$ .
$\forall \, n \in \mathbb{N}^*, \, 0 \leq y_n \leq M ^n$ .
Comme $\displaystyle \lim_{n \to + \infty} M ^n = 0$ car $0 < M < 1$
Par encadrement, la suite $(y_n)_{n \geq 1}$ converge vers 0.

Exercice 2
Soit $f$ une application continue sur $[0 , \, 1]$ à valeurs dans $[0 , \, 1]$ .
Question 1.
Pour tout entier naturel $n$ non nul, prouver l’existence d’un réel $x_n$ dans $[0 , \, 1]$ tel que $f(x_n) = x_n^n$

Question 2.
On suppose de plus que $f$ est strictement décroissante.
a) Pour tout entier naturel $n$ non nul, il existe un unique réel $x_ n$ dans $[0 , \, 1]$ tel que $f(x_n) = x_n^n$

b) La suite $(x_n)_{n\geq 1}$ est croissante.

c) Donner la limite de la suite $(x_n)_n$

8. Continuité et image d’un segment

Exercice 1
Soit $f$ une fonction continue sur $\mathbb{R}$ et telle que $\quad \displaystyle \lim_{x \to + \infty} f(x) = \lim_{x \to - \infty} f(x) = + \infty$ .
Alors $f$ admet un minimum sur $\mathbb{R}$ .

Exercice 2
Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues sur $I = [a ,\, b]$ à valeurs dans $\mathbb{R}$ .
Si $u \in \mathbb{R}$ , on note $\quad \quad \displaystyle F(u) =\sup _{x \in I} (f(x) + u\, g(x))$ .
Montrer que $\forall\, (u , \, v) \in I ^2$ , $\quad \displaystyle \vert F(u) = F(v) \vert \leq \vert u - v \vert\; \sup _{x \in I} \vert g(x) \vert$ .

Exercice 3
Soit $f$ une fonction continue sur $\mathbb{R}^+$
Si $x \geq 0$ , on note $\displaystyle F(x) = \sup_{t \in [0 , \, x]} f(t)$ .
Montrer que $F$ est croissante et continue sur $\mathbb{R}^+$ .

9. Équation fonctionnelle

Exercice 1
Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $\vert a \vert < 1$ .
L’ensemble des fonctions continues de $\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ vérifiant $\quad \quad \forall\, x \in \mathbb{R}\, , \, f (a\, x + b) = f(x)$
est l’ensemble des fonctions constantes.

Exercice 2
Soit $E$ l’ensemble des applications continues de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ vérifiant :
$\ast$ $\forall\, (x, y) \in \mathbb{R}^2$ , $f(x + y) + f(x - y) = 2 f(x)f(y)$ (*)
$\ast$ $f$ n’est pas l’application nulle
$\ast$ $f$ s’annule au moins une fois sur $\mathbb{R}$

Question 1
Vérifier que pour tout $a \in \mathbb{R}$ , la fonction $x \mapsto \cos(a \, x)$ appartient à $E$ .

Question 2
Déterminer la valeur de $f(0)$ et étudier la parité de $f$ .

Question 3
On note $E( f ) = \{x > 0 \, /\, f(x) = 0\}$ .
a) Montrer que $E( f )$ admet une borne inférieure que l’on note $a$ .

b) Prouver que $f(a) = 0$ et en déduire que $a > 0$ .

c) Montrer que $\forall\, x \in [0 ,\, a[, \, f(x) > 0$ .

b) Montrer que pour tout entier naturel $q$ : $\displaystyle f \left (\frac a {2 ^q} \right ) = g \left (\frac a {2 ^q} \right )$ .

c) Montrer que $\forall \, (p , q) \in \mathbb{N }^2, \displaystyle f \left (\frac {p \, a} {2 ^q} \right ) = g \left (\frac {p \, a} {2 ^q} \right )$ .

Question 4
On pose $b = \displaystyle \frac {\pi} {2 \, a}$ et on note $\quad \quad g : x \mapsto \cos(b \,x)$ .
a) Montrer que pour tout entier naturel $q$ , $\displaystyle f \left (\frac a {2 ^q} \right ) + 1 = 2 \left ( f \left (\frac a {2 ^{q+1}} \right )\right ) ^2$ .

d) Soient $x \in \mathbb{R}^{+*}$ fixé et si $n \in \mathbb{N}$ , $k_n = \displaystyle \left \lfloor \frac {2 ^n \, x} {a} \right \rfloor$ . Montrer que la suite de terme général $u_n = k_n \displaystyle \frac {a} {2^ n}$ converge vers $x$ .

e) Montrer que $f = g$ .

Question 5
En déduire l’ensemble $E$ .

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