Chapitres Maths en MPSI, PCSI, MP2I, PTSI
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Exercices corrigés sur les Nombres réels en Maths Sup
Résumé de cours Exercices et corrigés
Cours en ligne de Maths en Maths Sup
Plan des exercices : Inégalité de Cauchy-Schwarz
1. Sur la partie entière
2. Inégalités
3. Parties bornées
4. Inégalité de Cauchy-Schwarz
Ces exercices sur les nombres réels sont classiques et incontournables pour certains. Il est primordial de bien comprendre le cours et de savoir traiter ces exercices pour la suite de maths sup. Si vous souhaitez aller plus loin et exceller, n’hésitez pas à demander à Groupe Réussite de vous mettre en relation avec un professeur pour des cours particuliers de maths à domicile.
1. Sur la partie entière en MPSI, PCSI, MP2I et PTSI
Exercice 1
. Vrai ou Faux ?
Correction : La propriété est fausse si , mais juste si
.
On suppose que . On note
avec
et
donc avec
et
donc .
Exercice 2
Vrai ou Faux ?
Correction :
On rappelle quei .








Autre méthode :
On utilise la périodicité de la fonction
ainsi définie et et on étudie
sur
.
Soit si ,
Par le rappel,
.
est 1-périodique .
si
, et
si
, et
si ,
.
Par 1-périodicité, le résultat est valable pour tout réel .
Exercice 3
Si et
, calculer
Correction : Les entiers et
sont de même parité (car leur somme
est paire).
Cas où
et
sont pairs.
On écrit et
avec
donc
et et
or par somme de et
,
donc .
Cas où
et
sont impairs.
On écrit et
avec
donc
et
or par somme de et
,
donc .
Dans les deux cas, .
Exercice 4
Pour tout ,
. Vrai ou Faux ?
puis
donc
et
ce qui donne .
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2. Inégalités des nombres réels en prepa maths sup
Exercice 1
Soit .
Montrer que
En déduire que
Correction :
par changement d’indice :
ssi
.
On introduit la fonction
définie sur
.
est croissante sur
et décroissante sur
, elle admet donc un maximum en
et .
Le minimum de est égal à
car
.
En utilisant
et par produit de ces inégalités :
puis comme la fonction est croissante
.
Exercice 2
Peut on déterminer des réels tels que la fonction polynôme
définie par
soit négative ou nulle pour tout réel
? Est-ce Vrai ou Faux ?
Correction : Si
,
s’annule en changeant de signe en
, donc
ne convient pas.
Si
,
Si
ssi
,
s’annule en changeant de signe, donc
ne convient pas.
Si
,
est du signe du coefficient de
donc du signe de
ssi
et
si
et
(
est la racine double de
).
Si ,
ne s’annule pas et est du signe du coefficient
de
.
Si .
Si .
En conclusion, pour tout
ssi
.
Exercice 3
Suivant les valeurs du réel , étudier l’existence et le signe des racines réelles de l’équation
Correction : Si
, l’équation s’écrit
, elle admet une seule racine positive.
On suppose dans la suite que .
.
lorsque
ou
, il n’y a pas de racine réelle.
ssi
ou
Si , on obtient une racine double égale à 3 et si
égale à
.
On suppose que
soit
.
La somme des racines est égale à
avec
.
Le produit des racines est égal à
.
On est amené à placer par rapport à
et
.
… Si ,
,
et
,
et
. Les deux racines sont négatives.
… Si ,
et
, une racine est nulle, l’autre est strictement négative.
… Si ,
et
. Les deux racines sont de signe opposé.
… Si ,
et
. Les deux racines sont strictement positives.
3. Parties bornées en prepa MPSI, PTSI, PCSI et MP2I
Exercice 1
est une partie de n’admettant pas de plus grand élément mais telle que
.
Correction :
Si
avait un plus grand élément, il existerait
tel que
, alors on devrait avoir en particulier
donc ce qui implique
ce qui est absurde .
est une partie de
, non vide et majorée par 3. Elle admet une borne supérieure vérifiant
.
Pour tout , on démontre que
n’est pas un majorant de
en cherchant
tel que
c’est équivalent à .
Comme on compare des réels strictement positifs, c’est équivalent à
ssi .
La fonction étant strictement croissante, on a la CNS
ssi
ssi
en divisant par
ssi
Il suffit de choisir si c’est un entier positif et
= 0 sinon.
On a prouvé que .
Exercice 2
Soient et
deux parties non vides de
telles que
.
Si est bornée,
est bornée et
et
. Vrai ou Faux ?
Correction :
Si
est une partie bornée non vide de
, on peut définir
et
.
Pour tout ,
, donc
est bornée.
est un minorant de
, il est donc inférieur ou égal à la borne inférieure de
, soit
donc
.
est un majorant de
, donc il est supérieur ou égal à la borne supérieure de
, donc
, soit
.
Exercice 3
Soient deux réels non tous les deux nuls. On note
.
admet un minimum et un maximum. Vrai ou Faux ?
Correction :
On introduit le complexe non nul et sa forme exponentielle
avec
et
.
Alors
donc .
décrit
si
décrit
.
et
existent et
,
.
Exercice 4
Soient une partie borne non vide de
. On note
.
.
Vrai ou Faux ?
Correction : est une partie bornée non vide de
. On peut introduire
et
.
, on écrit
avec
, donc
et alors
.
est une partie bornée non vide de
admettant
pour minorant et
pour majorant.
donc et
.
soit et
.
Puis en introduisant
,
le raisonnement précédent donne en échangeant et
,
et
.
Soit et
.
Par double inégalité,
et
.
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4. Inégalité de Cauchy-Schwarz en prepa maths sup
Exercice 1
On suppose que et que
et
sont deux familles de réels.
Question 1
Soit et
En développant , montrer l’inégalité de Cauchy-Schwarz :
Correction :
Expression que l’on écrit sous la forme
.
On doit avoir pour tout réel ,
.
Si
, comme somme nulle de réels positifs ou nuls, on en déduit que
et l’inégalité est évidente, car elle s’écrit
.
Si
,
est une fonction polynôme de degré 2 qui est positive ou nulle pour tout
, donc
soit
ce qui est l’inégalité demandée.
Question 2
L’inégalité précédente est une égalité si, et seulement si,
ou
,
.
Correction :
On garde les notations de la démonstration de la question précédente.
Si
, il y a égalité et cela correspond à la CNS :
.
Si
et s’il y a égalité, le discriminant de l’équation est nul, donc il existe
soit comme somme nulle de réels positifs ou nuls,
donc
On démontre la réciproque.
On suppose qu’il existe
.
et .
L’égalité est alors évidente.
Conclusion :
Il y a égalité ssi ou
.
Il est évident que l’on peut échanger les deux familles et
dans la condition précédente.
Exercice 2 Deuxième démonstration
On suppose que et que
et
sont deux familles de réels.
Question 1
,
.
Vrai ou Faux ?
Correction : .
Question 2
. Vrai ou Faux ?
Correction :
On additionne les inégalités
.
Question 3
On suppose que les deux familles et
contiennent au moins un élément non nul.
Soit et
.
En utilisant les réels et
si
, démontrer l’inégalité de Cauchy-Schwarz :
Correction :
de même
et
donne
soit .
Par l’inégalité triangulaire,
puis en élevant au carré,
On a donc obtenu une autre démonstration de l’inégalité de Cauchy-Schwarz dans le cas de deux familles de réels non tous nuls.
Si l’une des familles est nulle, l’inégalité est évidente car elle s’écrit .
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