Chapitres Maths en MPSI, PCSI, MP2I, PTSI
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Cours sur les variables aléatoires en Maths Sup
Résumé de cours Exercices et corrigés
Cours en ligne de Maths en Maths Sup
A. Variable aléatoire en Maths Sup MPSI, PCSI, MP2I, PTSI
1. Notations des variables aléatoires en Maths Sup
est un espace probabilisé fini, une variable aléatoire réelle est une application de dans .
L’ensemble est un ensemble fini.
Dans la suite, on note
.
Si est une partie de , .
Si ,
Ce sont des parties finies de .
Si est une variable aléatoire sur , si , on peut définir la variable aléatoire notée : .
2. Définir la loi d’une variable aléatoire en Maths Sup
Donner la loi de la variable aléatoire ,
c’est donner l’ensemble
et définir .
On doit vérifier .
On peut alors définir la loi de
.
Alors est un ensemble probabilisé fini.
3. Définir l’espérance d’une variable aléatoire en Maths Sup
Si est une variable aléatoire sur et si .
l’espérance de est le réel .
.
Cette formule peut être utile pour les démonstrations des propriétés de l’espérance, elle est inutile dans le cas des calculs pratiques.
Si , on peut calculer sans utiliser la loi de grâce au théorème de transfert.
Lorsque ,
.
En particulier si est une variable aléatoire réelle,
lorsque ,
Si et sont définies sur à valeurs dans ,
Si , .
Si , le moment d’ordre de est égal à .
4. Définir la variance de en Maths Sup
Si est une variable aléatoire réelle, la variance de est égale à .
C’est un réel positif ou nul et l’écart type de est égal à , il mesure la dispersion de autour de .
Il vaut mieux calculer la variance de à l’aide du théorème de Koenig-Huyghens
.
Si est une variable aléatoire réelle, lorsque ,
Si , la variable aléatoire , appelée variable aléatoire centrée réduite associée à , vérifie et .
5. Variables aléatoires de même loi en Maths Sup
Soient et deux variables aléatoires réelles définies sur ont même loi lorsque
et , .
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B. Couples de variables aléatoires réelles en Maths Sup
1. Loi conjointe de variables aléatoire en Maths Sup
Soit un univers probabilisé fini.
et sont deux variables aléatoires réelles sur .
Définir la loi conjointe des variables et , c’est donner
et
,
la valeur de qui est aussi notée .
Vérifier que l’on a donné la loi du couple , c’est vérifier que l’on a donné les ensembles et et vérifier que
et ,
et .
2. Lois marginales de variables aléatoires en Maths Sup
Ayant la loi conjointe des variables aléatoires et , on peut déterminer les lois des variables et appelées lois marginales.
,
,
3. Loi conditionnelle de variable aléatoire en Maths Sup
Soient et deux variables aléatoires et tel que ,
alors
définit la loi d’une variable aléatoire appelée loi conditionnelle de sachant .
4. Indépendance de deux variables aléatoires en Maths Sup
Deux variables aléatoires et définies sur sont indépendantes lorsque
Si et sont indépendantes, pour tout , .
Si et sont indépendantes, les variables et sont aussi indépendantes.
Si et sont indépendantes, pour tout tel que , la loi conditionnelle de sachant est la loi de .
5. Indépendance de variables aléatoires en Maths Sup
variables aléatoires réelles sont mutuellement indépendantes
ssi
ssi ,
Si sont v.a.r. mutuellement indépendantes, toute sous famille est formée de variables aléatoires indépendantes.
En particulier, elles sont deux à deux indépendantes.
Si sont v.a.r. indépendantes de loi de Bernoulli de paramètre , suit une loi binomiale de paramètres et .
6. Compléments des propriétés de l’espérance en Maths Sup
L’espérance est une forme linéaire sur l’espace vectoriel des variables aléatoires définies sur .
Si est une variable aléatoire à valeurs positive sou nulles,
Soient et deux variables aléatoires telles que ,
Si et sont deux variables aléatoires dont on connaît la loi conjointe, est égale à
.
Si et sont des v.a.r. sur indépendantes, .
C. Les lois usuelles de variables aléatoires en Maths Sup
Variable aléatoire constante :
, .
et .
Variable aléatoire de Bernoulli de paramètre :
,
et
et .
On note .
Variable aléatoire uniforme sur :
,
et (deux résultats à retrouver)
On note .
Variable aléatoire de loi binomiale de paramètres et :
,
et .
On note .
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D. Calculs pratiques de l’espérance ou de la variance en Maths Sup
En reconnaissant la loi de
Si , .
En utilisant la définition et en utilisant les sommes classiques.
En utilisant le théorème de transfert qui rend inutile le calcul de la loi de lorsque l’on peut écrire .
C’est souvent la démarche à utiliser lorsque l’on demande directement l’espérance de sans calculer sa loi, lorsque cette loi n’est pas classique.
En écrivant comme somme de variables aléatoires plus simples (en général des variables aléatoires de Bernoulli).
On peut aussi envisager de déduire de
une relation permettant d’être réutilisée pour le calcul de .
2. Pour la variance des variables aléatoires en Maths Sup
En reconnaissant la loi de .
Si , .
En utilisant la formule de Koenig-Huyghens,
Il sera peut-être plus simple de passer par le calcul , pour , de
(en général ) et d’utiliser la formule :
En écrivant où l’on connaît la loi des variables et et en particulier si et sont indépendantes,
.
En écrivant comme somme de variables aléatoires plus simples (en général des variables aléatoires de Bernoulli).
si elles sont 2 à 2 indépendantes, la variance de est la somme des variances des .
E. Inégalités de Bienayme-Tchebichev en Maths Sup
L’énoncé
Hypothèses : est une variable aléatoire sur l’univers fini et .
Conclusion : .
F. Des méthodes pour déterminer les lois de quelques variables
1. Cas de variables aléatoires à valeurs dans
On suppose que est une variable aléatoire à valeurs dans .
1.a. On a su calculer pour .
.
Si , écrire
Les événements étant disjoints,
soit
1.b. On a su calculer pour .
Lorsque ,
.
Si , écrire
Les événements étant disjoints,
soit
2. Somme de deux variables aléatoires en Maths Sup
Pour trouver la loi de lorsque et sont à valeurs dans .
Déterminer .
Écrire si ,
C’est une réunion d’événements deux à deux incompatibles,
.
3. Minimum et maximum de deux variables aléatoires indépendantes
Si et sont deux variables réelles, on note et .
Lois de et
.
.
Loi du couple
.
Si ,
Si .
Il est utile de se souvenir que
et .
4. Maximum et minimum de variables aléatoires réelles
Si sont variables aléatoires réelles, on note et .
Loi de
On calcule
(On peut aussi utiliser ).
Si les variables sont à valeurs dans , on termine avec les remarques du 6.1.2.
Loi de
On calcule
.
Si les variables sont à valeurs dans , on termine avec les remarques du 1.b.
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