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Exercices corrigés de Trigonométrie en Maths Sup

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Résumé de cours Exercices et corrigés

Cours en ligne de Maths en Maths Sup

Plan des exercices : Equation, Inéquations, Linéarisation

1. Des calculs
2. Des équations
3. Des inéquations
4. Systèmes d’équations
5. Linéarisation

1. Des calculs de trigonométrie en maths sup

Exercice 1
Trouver $a \in \, ] \pi/2\, , \, \pi [$ tel que $\sin(a) = \displaystyle \frac {\sqrt{5} - 1} 4$ . On utilisera $\cos(4 \, a)$ .
On obtient $a = \displaystyle \frac {\alpha\, \pi} {10}$

avec $\alpha =$

Correction : $\ast$ $\cos(2 \,a) = 1 - 2 \sin ^2(a)$
$\cos(2 \, a) = \displaystyle 1 - \frac 1 8 \left ( 6 - 2 \sqrt{5} \right )$
$\cos(2 \, a) = \displaystyle \frac 1 4 + \frac{\sqrt{5} } 4$ .

$\ast$ $\cos(4 \, a) = 2 \, \cos^2(2\, a) - 1$
$\cos(4 \, a) = \displaystyle \frac 1 8 \left (6 + 2 \sqrt{5} \right ) - 1$
$\cos(4 \, a) = \displaystyle \frac 1 4 \left ( - 1 + \sqrt{5} \right )$

$\ast$ On a obtenu :
$\cos(4 \, a) = \sin(a) =\displaystyle \cos\left ( \frac {\pi} 2 - a \right )$
donc $\exists\, k \in \mathbb{Z}, \, 4\, a = \displaystyle \frac {\pi} 2 - a + 2 \, k \, \pi$
ou $\exists \, p \in \mathbb{Z}, \, 4\, a = \displaystyle a - \frac {\pi} 2 + 2 \, p \, \pi$ ,
ce qui donne
$\; \; \exists\, k \in \mathbb{Z}, \, a = \displaystyle \frac {\pi} {10} + \frac {2 \, k \, \pi} 5$
ou $\exists\, p \in \mathbb{Z}, \, a = \displaystyle - \frac {\pi} {6} + \frac {2 \, p \, \pi} 3$

$\displaystyle - \frac {\pi} {6} + \frac {2 \, \pi} 3 = \frac {3 \, \pi} 6$ et $\displaystyle - \frac {\pi} {6} + \frac {4 \, \pi} 3 = \frac {7 \, \pi} 6$
Il n’y a aucune valeur de $p$ donnant une valeur de la forme $a = \displaystyle - \frac {\pi} {6} + \frac {2 \, p \, \pi} 3$ dans $]\pi/2 \, , \, \pi[$ .

La seule valeur de la forme $\displaystyle \frac {\pi} {10} + \frac {2 \, k \, \pi} 5$ dans $]\pi/2 \, , \, \pi[$ est obtenue pour $k = 2$
Donc $a = \displaystyle \frac {9 \, \pi} {10}$ .

Exercice 2
Soient $x$ et $y$ dans $]0 \, , \, \pi /2[$ vérifiant $\displaystyle \tan x = \frac 1 7$ et $\tan y = 2$ .
a) En utilisant $\tan(x + 2\, y)$ , calculer $x + 2 \, y$ .

Correction : $\displaystyle \tan(2 \, y) = \frac {2 \, \tan(y)} {1 - \tan^2(y)} = - \frac 4 3$
$u = \tan(x + 2\, y) = \displaystyle \frac {\tan(x) + \tan(2 \, y) } {1 - \tan(x) \, \tan(2\, y)}$
$u = \displaystyle \frac {1/7 - 4/3} {1 + 1/7 . 4/3} = \frac { - 25} {25} = - 1$ .
On en déduit qu’il existe $k \in \mathbb{Z}$ tel que $x + 2\, y = \displaystyle \frac {3 \, \pi} 4 + k \, \pi$ .
On remarque que $0 < x + 2\, y < \displaystyle \frac {3 \pi } 2$ et $\tan(x + 2 \, y) < 0$ donc $\displaystyle \frac {\pi} 2 < x + 2\, y < \displaystyle \frac {3 \pi } 2$ .
$\displaystyle \frac {7\, \pi } 4$ est la seule valeur de la forme $\displaystyle \frac {3 \, \pi} 4 + k \, \pi$ dans l’intervalle $\displaystyle \left] \frac {\pi} 2 , \, \frac {3 \, \pi} 2 \right [$ , donc $x + 2 \, y = \displaystyle \frac {7\, \pi } 4$ .

b) Calculer $\cos(2 \, y)$ .
Soit $a \in\displaystyle \left ]0 , \, \frac { \pi} 2 \right [$ tel que $\cos(a) = \displaystyle \frac 3 5$ . Exprimer $x$ et $y$ en fonction de $a$ .

Correction : On a vu que $\tan(2\, y) =\displaystyle - \frac 4 3 < 0$ avec $2 \, y \in \; ]0 \, , \, \pi[$ donc $2 \, y \in\; ]\pi/2\, , \, \pi[$ .
$\cos^2(2 \, y) = \displaystyle \frac 1 {1 + \tan^2(2 y) } = \frac 1 {1 + 16/9}$
$\cos^2(2 \, y) = \displaystyle \frac 9 {25 }$ .
Comme $\cos(2 \, y) < 0$ car $2 \, y \in\; ]\pi/2\, ,\, \pi[$ .
$\cos(2 \, y) = \displaystyle - \frac 3 {5 } = \cos (\pi - a)$
avec $\pi - a \in \; ]\pi / 2\, ,\, \pi[$ , donc $2\, y = \pi - a$
Comme $x + 2\, y = \displaystyle \frac { 3 \, \pi} 4$ , $x = \displaystyle \frac { - \, \pi} 4 + a$ .

On a prouvé que $\displaystyle y = \frac {\pi - a} 2$ et $\displaystyle \frac {- \pi} 4 + a$ .

Exercice 3
Soit $S = \displaystyle \frac 1 2 + \cos \frac {2 \pi } 5 + \cos \frac {4 \pi} 5$ .
Calculer $S \, \displaystyle \sin \frac \pi 5$ .
En déduire la valeur de $\displaystyle \cos \frac {2 \pi } 5$ .

Correction : On utilise $\sin p \, \cos q = \displaystyle \frac 1 2 \left ( \sin \frac {p + q} 2 - \sin \frac {p - q} 2 \right )$
$2 \, S = \displaystyle \sin \frac \pi 5 + \left ( \sin \frac {3\pi} 5 - \sin \frac \pi 5 \right )$ $\quad \quad \quad \quad \displaystyle + \, \left ( \sin \frac {5\pi} 5 - \sin \frac {3 \pi} 5 \right )$
donc $S = 0$ .

Donc en posant $x = \displaystyle \cos \frac {2 \pi } 5$ , $S = 0$ donne $\displaystyle \frac 1 2 + x + 2 x ^2 - 1 = 0$ soit $4 \, x^2 + 2 \,x - 1 = 0$ .

Cette équation admet deux racines dont une seule est positive :
on en déduit que $\displaystyle \cos \frac { 2\, \pi } 5 = \frac {\sqrt{5} - 1} 4$ .

Exercice 4
Calculer $\tan \displaystyle \frac {\pi} {12}$ puis $\tan \displaystyle \frac {\pi} {24}$ .

Correction : On utilise la formule $\tan(2\, x) = \displaystyle \frac {2 \, \tan(x)} {1 - \tan^2(x)}$ d’abord pour $x = \displaystyle \frac {\pi} {12}$ et on pose $t = \displaystyle \tan \frac {\pi} {12}$
$\displaystyle \tan \frac {\pi} 6 = \frac {2 \, t } {1 - t ^2} = \frac 1 {\sqrt{3}}$
ce qui donne $1 - t ^2 = 2 \, \sqrt{3}\, t$
soit $t ^2 + 2 \, \sqrt{3}\, t - 1 = 0$ .
cette équation a deux racines : $2 - \sqrt{3}$ et $- 2 - \sqrt{3} < 0$ ,
donc $\displaystyle \tan \frac {\pi} {12} = 2 - \sqrt{3}$ .

On réutilise la même méthode en posant $u = \tan \displaystyle \frac {\pi} {24}$ .
On obtient l’équation $2 - \sqrt{3} = \displaystyle \frac {2 \, u } {1 - u ^2}$
soit $\left ( 2 - \sqrt{3} \right ) u ^2 + 2 \, u - 2 + \sqrt{3} = 0$
admet un discriminant $\Delta = 16 ( 2 - \sqrt{3} )$

Une seule des racines est positive :
$u = \displaystyle \frac {- 1 }{2 - \sqrt{3} } + \frac {2 \, \sqrt{2 - \sqrt3}} {2 - \sqrt{3} }$
puis $\displaystyle \frac { 1 }{2 - \sqrt{3} } = \frac {2 + \sqrt{3} } {4 - 3} = 2 + \sqrt{3}$
$u = -2 - \sqrt{3} + 2 \sqrt{2 + \sqrt{3}}$ .
$\tan\displaystyle \frac {\pi} {24} = -2 - \sqrt{3} + 2 \sqrt{2 + \sqrt{3}}$ .

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2. Équations

Exercice 1
Résoudre $\displaystyle \cos \left ( \frac {3 \, x} 4 \right ) = \sin \left ( x + \frac {3 \pi} 4 \right )$

Correction : $\displaystyle \cos \left ( \frac {3 \, x} 4 \right ) = \cos \left ( \frac {\pi} 2 - x - \displaystyle \frac {3 \pi} 4 \right )$
ssi $\displaystyle \cos \left ( \frac {3 \, x} 4 \right ) = \cos \left ( - \frac {\pi} 4 - x \right ) = \cos \left ( \frac {\pi} 4 + x \right )$
ssi $\exists \, k \in \mathbb{Z} \, , \, \displaystyle \frac {3 \, x} 4 = \frac {\pi} 4 + x + 2 \, k \, \pi$
ou $\exists \, p \in \mathbb{Z} \, , \, \displaystyle \frac {3 \, x} 4 = - \frac {\pi} 4 - x + 2 \, p \, \pi$
ssi $\exists \, k \in \mathbb{Z} \, , \, \displaystyle \frac { x} 4 = - \frac {\pi} 4 - 2 \, k \, \pi$
ou $\exists \, p \in \mathbb{Z} \, , \, \displaystyle \frac {7 \, x} 4 = - \frac {\pi} 4 + 2 \, p \, \pi$
ssi $\exists \, k \in \mathbb{Z} \, , \, \displaystyle x = {\pi} - 8 \, k \, \pi$
ou $\exists \, p \in \mathbb{Z} \, , \, \displaystyle x = - \frac {\pi} 7 + \frac {8 \,p \, \pi} 7$ .

Exercice 2
Ensemble des réels $m$ tels que l’équation
$m \cos(x) + \sqrt{1 - m ^2} \, \sin(x)$ $\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad + \,3\, m - 4 \, m ^3 = 0$ .
ait des solutions.
Les déterminer.

Correction : Pour que l’équation ait un sens, il est nécessaire que $m \in [- 1\, , \, 1]$ .
Comme $m ^2 +\left ( \sqrt{1 - m ^2} \right ) ^2 = 1$ , il existe $\varphi \in \mathbb{R}$ tel que
$\quad \quad m = \cos(\varphi)$ et $\sqrt{1 - m ^2} = \sin(\varphi)$ .
L’équation s’écrit alors
$\quad \quad \cos(x - \varphi) = 4\, m ^3 - 3 \, m$ .

Elle admet des solution ssi $- 1 \leq 4\, m ^3 - 3 \, m \leq 1$
ssi $4\, m ^3 - 3 \, m + 1 \geq 0$

et $4\, m ^3 - 3 \, m - 1 \leq 0$ .
$\ast$ $- 1$ est racine évidente de $4\, m ^3 - 3 \, m + 1$ et on peut écrire :
$4\, m ^3 - 3 \, m + 1 = (m + 1)(4 \, m ^2 - 4 \, m + 1)$ $4\, m ^3 - 3 \, m + 1 =(m + 1)(2 \, m - 1)^2$
donc $4\, m ^3 - 3 \, m + 1 \geq 0$ ssi $m + 1 \geq 0$ .

$\ast$ $1$ est racine évidente de $4\, m ^3 - 3 \, m - 1$ et on peut écrire :
$4\, m ^3 - 3 \, m - 1 = (m - 1)(4 \, m ^2 + 4 \, m + 1)$ $4\, m ^3 - 3 \, m - 1 =(m - 1)(2 \, m + 1)^2$
donc $4\, m ^3 - 3 \, m - 1 \leq 0$ ssi $m - 1 \leq 0$ .

L’équation a toujours des solutions lorsque $m \in [ - 1 \, , \, 1]$ .

On transforme
$4\, m ^3 - 3 \, m = 4 \, \cos^3(\varphi) - 3 \cos(\varphi)$
$\displaystyle = \frac 1 2 \left ( \textrm{e} ^{\textrm{i} \, \varphi} + \textrm{e} ^{ - \textrm{i} \, \varphi} \right ) ^3 - \frac 3 2 \left ( \textrm{e} ^{\textrm{i} \, \varphi} + \textrm{e} ^{\textrm{i} \, \varphi} \right )$
$\displaystyle = \frac 1 2 \left ( \textrm{e} ^{3\, \textrm{i} \, \varphi} + \textrm{e} ^{- 3 \, \textrm{i} \, \varphi} \right )$
$4\, m ^3 - 3 \, m = 4 \, \cos(3\, \varphi)$

L’équation est donc équivalente à
$\cos(x - \varphi) = \cos(3 \, \varphi)$
ssi $\exists \, k \in \mathbb{Z}, \, x - \varphi =3 \, \varphi + 2 \, k \, \pi$
ou $\exists \, p \in \mathbb{Z}, \, x - \varphi = - 3 \, \varphi + 2 \, p \, \pi$
ssi $\exists \, k \in \mathbb{Z}, \, x =4 \, \varphi + 2 \, k \, \pi$
ou $\exists \, p \in \mathbb{Z}, \, x = - 2 \, \varphi + 2 \, p \, \pi$ .

Exercice 3
Résoudre $\cos^4 (x) + \sin ^4 (x) = \displaystyle \frac {6 + \sqrt{3} } 8$

Correction : $\cos^4 (x) + \sin ^4 (x) =$ $(\cos^2(x) + \sin ^2(x) ) ^2 - 2 \sin^2 (x) \, \cos^2(x)$
$= 1 - \displaystyle \frac 1 2 \sin ^2(2 \, x)$
$= 1 - \displaystyle \frac 1 4 \left ( 1 - \cos(4 \, x) \right )$
$= \displaystyle \frac 3 4 + \frac { \cos(4 \, x)} 4$
l’équation est équivalente à
$\displaystyle \cos(4 \, x) = \frac {\sqrt{3}} 2$
ssi $\displaystyle \exists \, k \in \mathbb{Z}, \, 4 \, x = \frac {\pi } 6 + 2 \,k \, \pi$
ou $\displaystyle \exists \, p \in \mathbb{Z}, \, 4 \, x = - \frac {\pi } 6 + 2 \,k \, \pi$
ssi $\displaystyle \exists \, k \in \mathbb{Z}, x = \frac {\pi } {24} + \frac {k \, \pi} 2$
ou $\displaystyle \exists \, p \in \mathbb{Z}, \, x = - \frac {\pi } {24} + \frac {p \, \pi} 2$ .

Exercice 4
Résoudre $\tan(2 x) - \tan(x) = \sin(2 x)$

Correction : $\bullet$ Première méthode
On pose $t = \tan(x)$
$\displaystyle \frac {2\, t} {1 - t ^2} - t = \frac {2\, t} {1 + t ^2}$
ssi $2\, t(1 + t ^2) - t( 1 - t ^4) = 2 \, t(1 - t ^2)$
ssi $t (t ^4 + 4 \, t ^2 - 1) = 0$

L’équation $x ^2 + 4 \,x - 1 = 0$ admet une seule racine positive $x_1 = \sqrt{5} - 2$

$t (t ^4 + 4 t ^2 - 1) = 0$ ssi $t = 0$ ou $t = \sqrt{\sqrt{5} - 2 }$ ou $t = - \sqrt{\sqrt{5} - 2 }$ .
On introduit $\varphi$ tel que $\tan(\varphi) = \sqrt{\sqrt{5} - 2 }$
Les solutions sont les réels $k \, \pi$ , $\varphi + k \, \pi$ et $- \varphi + k \, \pi$ lorsque $k\in \mathbb{Z }$

$\bullet$ Autre méthode
$\tan( 2 x) - \tan(x) =$ $\displaystyle \frac {\sin(2 \, x) \, \cos(x) - \cos(2 \, x) \, \sin(x) } { \cos(2 \, x) \, \cos(x)}$
$\tan( 2 x) - \tan(x) = \displaystyle \frac {\sin(x) } { \cos(2 \, x) \, \cos(x)}$
et comme $\sin(2 \, x) = 2\, \sin(x) \, \cos(x)$ , l’équation est équivalente à
$\quad \sin(x) = 0$ ou $2 \, \cos^2(x) \, \cos(2 x) = 1$
$2 \, \cos^2(x) \, \cos(2 x) = (\cos(2\, x) + 1) \, \cos(2 \, x)$
La deuxième équation s’écrit
$\quad \cos^2 (2 \, x) + \cos(2 \, x) - 1 = 0$
L’équation $u ^2 + u - 1 = 0$ admet une seule racine dans $[- 1 \,, \, 1]$ : $\displaystyle \frac {\sqrt{5} - 1} 2$
On note $a$ tel que $\cos(a) = \displaystyle \frac {\sqrt{5} - 1} 2$ .

L’ensemble des solutions est formé par les réels
$\ast$ $k \, \pi$ où $k\in \mathbb{Z}$
$\ast$ $\displaystyle \frac a 2 + k\, \pi$ où $k\in \mathbb{Z}$
$\ast$ $\displaystyle - \frac a 2 + k \, \pi$ où $k\in \mathbb{Z}$ .

On pourra choisir $a = \textrm{Arccos} \displaystyle \frac {\sqrt{5} - 1} 2$ .

3. Inéquations

Exercice 1
Résoudre l’inéquation
$\quad \displaystyle \sqrt{3} \, \cos ( x) + \sin(x) - \sqrt{2} \leq 0$ .

Correction : On cherche la forme trigonométrique de $\sqrt{3 } + \, \textrm {i} = \displaystyle 2 \left ( \frac {\sqrt{3} } 2 + \, \textrm{i } \, \frac 1 2 \right ) = 2 \, \textrm{e} ^{\textrm{i} \, \pi / 6}$ .
$\displaystyle \sqrt{3} \, \cos ( x) + \sin(x) =$ $\quad \quad \quad \displaystyle 2 \left ( \cos \frac {\pi} 6 \, \cos(x) + \sin \frac {\pi} 6 \, \sin(x) \right )$
$\displaystyle \sqrt{3} \, \cos ( x) + \sin(x) = 2 \cos \left (x - \frac {\pi} 6 \right )$

On doit donc résoudre :
$\quad \displaystyle \cos \left (x - \frac {\pi} 6 \right ) \leq \frac {\sqrt{2}} 2$
ssi $\displaystyle \cos \left (x - \frac {\pi} 6 \right ) \leq \cos \left ( \frac {\pi} 4 \right )$
ssi $\displaystyle \exists \, k \in \mathbb{Z} \, , \, x - \frac {\pi} 6 \in \left [ \frac {\pi} 4 + 2 \, k\, \pi \, , \, \frac {5 \, \pi} 4 + 2 \, k\, \pi \right]$
ssi $\displaystyle \exists \, k \in \mathbb{Z} \, , \, x \in \left [ \frac {5 \pi} {12} + 2 \, k\, \pi \, , \, \frac {17 \, \pi} {12} + 2 \, k\, \pi \right]$

Exercice 2
Résoudre $2 \, \sin^2(x) + 3 \sin(x) - 2 \leq 0$

Correction : Les racines de l’équation $\quad \quad 2 \, t ^2 + 3\, t - 2 = 0$
sont $- 2$ et $1/2$
donc $2 \, t ^2 + 3\, t - 2 = (2\, t - 1) (t + 2)$
et on doit résoudre :
$\quad (2 \, \sin(x) - 1) (\sin(x) + 2) \geq 0$
ssi $2 \, \sin(x) - 1 \geq 0$
ssi $\displaystyle \sin(x) \geq \frac 1 2$
ssi $\displaystyle \exists \, k \in \mathbb{Z} \, , \, x \in \left [ \frac {2\, \pi} 3 + 2 \, k \, \pi \, , \, \frac {7\, \pi} 3 + 2 \, k \, \pi \right ]$

Exercice 3
Résoudre si $x \in [0 \, , \, \pi]$ ,
$\sin(x) + \sin(2 \, x) + \sin(5 \, x)$ $\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad +\, \sin(6 \, x) \leq 0$ .

Correction : On note $f(x) =$ $\quad \sin(x) + \sin(2 \,x) + \sin(5 \,x) + \sin(6\, x)$
et en utilisant $\sin p + \sin q = \displaystyle 2 \sin\left ( \frac {p + q} 2 \right ) \, \cos \left ( \frac {p - q} 2 \right )$ pour transformer $\sin(x) + \sin(6\, x)$ et $\sin(2 \, x) + \sin(3\, x)$ ,
$\sin(x) + \sin(6\, x) = \displaystyle 2 \, \sin \left ( \frac {7\, x} 2 \right ) \, \cos \left ( \frac {5\, x} 2 \right )$
$\sin(2 \,x) + \sin(5 \,x) = \displaystyle 2 \, \sin \left ( \frac {7\, x} 2 \right ) \, \cos \left ( \frac {3\, x} 2 \right )$

donc $f(x)$ s’écrit $\quad \displaystyle 2 \, \sin \left ( \frac {7\, x} 2 \right ) \left ( \cos \left ( \frac {5\, x} 2 \right ) + \cos \left ( \frac {3\, x} 2 \right ) \right )$
en utilisant ensuite
$\cos p + \cos q = \displaystyle 2 \cos\left ( \frac {p + q} 2 \right ) \, \cos \left ( \frac {p - q} 2 \right )$
$f(x) = \displaystyle 4 \, \sin \left ( \frac {7\, x} 2 \right ) \, \cos ( 2 \, x)\, \cos \left ( \frac { x} 2 \right )$ .

On cherche les $x\in [0 \, , \, \pi]$ qui vérifient $f(x) = 0$ .
$\ast$ $\displaystyle \sin \left ( \frac {7\, x} 2 \right ) = 0$ ssi $x = \displaystyle \frac {2\, k \, \pi} 7$ où $k = 0 , 1, 2 , 3$ .
$\displaystyle \sin \left ( \frac {7\, x} 2 \right )$ s’annule et change de signe en ces 4 points et est strictement positif sur $\displaystyle \left ] 0 , \, \, \frac {2\, \pi} 7 \right [$ .
$\ast$ $\cos(2 x) = 0$ ssi $x = \displaystyle \frac {\pi} 4$ ou $\displaystyle \frac{3\, \pi} 4$ .
$\cos(2 \, x)$ s’annule et change de signe en ces 2 points et est strictement positif sur $\displaystyle \left [ 0 , \, \, \frac {3\, \pi} 4 \right [$ .
$\ast$ $\displaystyle \cos \left ( \frac { x} 2 \right ) = 0$ ssi $x = \pi$ .
ce dernier facteur est strictement positif sur $[0 \, , \, \pi [$ .

On utilise le tableau de signes qui suit pour donner l’ensemble des solutions lorsque $x \in [0 , \pi]$ .
Dans ce tableau, on fait apparaître les valeurs annulant $f(x)$ et on écrit trois lignes résumant les signes des trois facteurs étudiés ci-dessus.
L’ensemble des solutions est défini par
$\quad \displaystyle \left [0 , \frac {\pi} 4 \right ] \cup \left [\frac {2 \pi} 7 , \frac {4 \pi} 7 \right ] \cup \left [\frac {3 \pi} 4 , \frac {6 \pi} 7 \right ]$ .

4. Système d’équations

Exercice 1
Si $a$ est un réel donné, résoudre le système $\mathcal {S}$ :
$\left \{\begin{matrix} \cos(a) + \cos(x + a ) + \cos(y + a )=0\\ \sin(a) + \sin(x+ a) + \sin(y+ a) =0\end{matrix} \right.$

Correction : $\bullet$ $\mathcal {S}$ est équivalent à l’équation obtenue en prenant la somme de la première équation et de $\textrm{i}$ fois la deuxième soit à
$\textrm{e} ^{\textrm{i} \, a} + \textrm{e} ^{\textrm{i} \, (x + a)}+ \textrm{e} ^{\textrm{i} \, (y + a)} = 0$
soit en multipliant par $\textrm{e} ^{-\textrm{i} \, a}$ :
$1 + \textrm{e} ^{\textrm{i} \, x}+ \textrm{e} ^{\textrm{i} \, y} = 0$
$\Leftrightarrow 1 + 2 \displaystyle \cos \left ( \frac {x - y} 2 \right ) \, \textrm{e} ^{\textrm{i} \, (x + y) / 2} = 0$
en égalant les parties réelles et imaginaires, on obtient le système :
$1 + \displaystyle 2 \, \cos \left ( \frac {x - y} 2 \right )\, \cos \left ( \frac {x + y} 2 \right ) = 0$ (1)
$\displaystyle 2 \cos \left ( \frac {x - y} 2 \right )\, \sin \left ( \frac {x + y} 2 \right ) = 0$ (2)

$\bullet$ $\displaystyle \cos \left ( \frac {x - y} 2 \right ) = 0$ est impossible car l’équation (1) donnerait $1 = 0$
donc (2) est équivalent à
$\quad \displaystyle \sin \left ( \frac {x + y} 2 \right ) = 0$
ssi $\exists \, k \in \mathbb{Z}, \, x + y = 2\, k \, \pi$ .

$\bullet$ Alors (1) s’écrit
$\quad 1 + \displaystyle 2 \,\cos \left ( \frac {x - y} 2 \right )\, \cos ( k \, \pi) = 0$ (1)
ssi $\displaystyle \cos \left ( \frac {x - y} 2 \right ) = \frac {(-1) ^{k + 1} } 2$

$\ast$ cas $k = 2 \, q$
$\displaystyle \cos \left ( \frac {x - y} 2 \right ) = \frac { - 1 } 2$
ssi $\exists \, p \in \mathbb {Z}, \, \displaystyle \frac {x - y} 2 = \frac {2 \pi } 3 + 2 \, p \, \pi$ (a)
ou $\exists \, p \in \mathbb {Z}, \, \displaystyle \frac {x - y} 2 = \frac {-2 \pi } 3 + 2\, p \, \pi$ (b)
avec $\displaystyle \frac {x + y} 2 = 2 \, q\, \pi$ (c)

par somme et différence de (c) et (a), on obtient :
$x = \displaystyle \frac {2 \pi } 3 + 2 (p + q) \pi$
et $y = \displaystyle \frac {-2 \pi } 3 + 2 (q - p) \pi$
puis avec (c) et (b) :
$x = \displaystyle \frac {-2 \pi } 3 + 2 (p + q) \pi$
et $y = \displaystyle \frac {2 \pi } 3 + 2 (q - p) \pi$

$\ast$ cas $k = 2 \,q + 1$
$\displaystyle \cos \left ( \frac {x - y} 2 \right ) = \frac { 1 } 2$
ssi $\exists\, p \in \mathbb {Z} , \, \displaystyle \frac {x - y} 2 = \frac {\pi } 3 + 2 \,p \,\pi$ (a)
ou $\exists \, p \in \mathbb {Z} , \, \displaystyle \frac {x - y} 2 = \frac {-\pi } 3 + 2 \,p\, \pi$ (b)
avec $\displaystyle \frac {x + y} 2 = (2 \,q + 1) \pi$ (c)

Par somme et différence de (c) et (a), on obtient : $x = \displaystyle \frac {\pi } 3 + (2 p + 2 q + 1) \pi$
et $y = \displaystyle \frac {-\pi } 3 + (2 q + 1 - 2p) \pi$
soit
$x = \displaystyle \frac {4 \pi } 3 + 2 (p + q) \pi$
et $y = \displaystyle \frac {2 \pi } 3 + 2 (q - p) \pi$

puis avec (c) et (b), $x = \displaystyle \frac {- \pi } 3 + (2 p + 2 q + 1 ) \pi$
et $y = \displaystyle \frac {\pi } 3 + (2 q + 1 - 2p) \pi$ .
soit
$x = \displaystyle \frac {2 \pi } 3 + 2 (p + q ) \pi$
et $y = \displaystyle \frac {4 \pi } 3 + 2( q - p) \pi$ .

Les couples solutions sont les couples
$\displaystyle \left ( \frac {2 \pi } 3 + 2 (p + q) \pi\, , \, \frac {- 2 \pi } 3 + 2 (q - p) \pi \right )$
$\displaystyle \left ( \frac {- 2 \pi } 3 + 2 (p + q) \pi\, , \, \frac {2 \pi } 3 + 2 (q - p) \pi \right )$
$\displaystyle \left ( \frac {4 \pi } 3 + 2 (p + q) \pi\, , \, \frac { 2 \pi } 3 + 2 (q - p) \pi \right )$
$\displaystyle \left ( \frac {2 \pi } 3 + 2 (p + q) \pi\, , \, \frac {4 \pi } 3 + 2 (q - p) \pi \right )$
où $(p, q) \in \mathbb{Z}^2$ .

⚠️ N’oubliez pas de faire la synthèse des différents cas !

⚠️ Il ne faut surtout pas raisonner avec les modulos dans un problème faisant intervenir des sommes ou des différences d’équations valables modulo $\pi$ ou $2 \pi$ .
Par exemple, en notant $\alpha = \displaystyle \frac {2\, \pi} 3$ , si l’on écrivait le premier groupe de solutions sous la forme :
$\quad \quad x \equiv \alpha \; \; [2\, \pi]$ et $y \equiv - \alpha \; \; [2\, \pi]$ ,
le couple $(\alpha + 2 \pi\, , \, \alpha )$ serait solution alors qu’il est impossible de l’écrire sous la forme $\quad \quad (\alpha + 2 (p + q) \pi\, ,\, \alpha + 2(q - p) \pi )$ puisque $p + q = 1$ et $q - p = 0$ n’admet pas de solution entière.

Exercice 2
Résoudre si $a$ est un réel donné le système $\mathcal {S}$ :
$\left \{\begin{matrix} \cos(x ) + \cos(y )&=&1 - \sin(a) \\ \sin(x) - \sin(y) &=&\cos(a) \end{matrix} \right.$

Correction : $\mathcal {S}$ est équivalent à l’équation obtenue en prenant la somme de la première équation et de $\textrm{i}$ fois la deuxième soit à
$\textrm{e} ^{\textrm{i} \, x }+ \textrm{e} ^{ -\textrm{i} \, y } = 1 + \textrm{i} \, \textrm{e} ^{\textrm{i} \, a }$
$\textrm{e} ^{\textrm{i} \, x }+ \textrm{e} ^{ -\textrm{i} \, y } = 1 + \, \textrm{e} ^{\textrm{i} \,( a+ \pi/2) }$
ssi
$\displaystyle 2 \cos \left ( \frac {x + y} 2 \right ) \,\textrm{e} ^{\textrm{i} \, (x - y)/2 } =$ $\displaystyle \quad \quad \quad \quad 2 \cos \left ( \frac {2 a + \pi} 4 \right ) \, \textrm{e} ^{\textrm{i} \, (a /2 + \pi / 4) }$

On distingue alors deux cas
$\bullet$ Cas 1
$\displaystyle \cos \left ( \frac {x + y} 2 \right ) = \cos \left ( \frac {2 a + \pi} 4 \right ) \quad (1)$
et $\displaystyle\textrm{e} ^{\textrm{i} \, (x - y)/2 } = \textrm{e} ^{\textrm{i} \, (a /2 + \pi / 4) } \quad (2)$
$(2)$ donne
$\exists \, k \in \mathbb{Z},\, \displaystyle \frac {x - y} 2 = \frac {2 a + \pi} 4 + 2\, k \, \pi$
et (1) donne l’existence de $p \in \mathbb{Z}$ tel que
(1 a) $\displaystyle \frac {x + y} 2 = \frac {2 \,a + \pi} 4 + 2 \, p\, \pi$
ou
(1 b) $\displaystyle \frac {x + y} 2 = - \frac {2 \,a + \pi} 4 + 2\, p\, \pi$

$\ast$ en formant la somme et la différence de (1a) et (2), on obtient :
$x =\displaystyle a + \frac {\pi} 2 + 2(k + p) \pi$
$y = 2(p - k) \pi$

$\ast$ en formant la somme et la différence de (1b) et (2), on obtient :
$x = 2(p + k) \pi$
$y =\displaystyle - a - \frac {\pi} 2 + 2(p - k) \pi$

$\bullet$ Cas 2
$\displaystyle \cos \left ( \frac {x + y} 2 \right ) = - \cos \left ( \frac {2 a + \pi} 4 \right ) \quad (3)$
et $\displaystyle\textrm{e} ^{\textrm{i} \, (x - y)/2 } = - \textrm{e} ^{\textrm{i} \, (a /2 + \pi / 4) } \quad (4)$

$(4)$ donne $\exists \, k \in \mathbb{Z},\, \displaystyle \frac {x - y} 2 = \frac {2 a + \pi} 4 + \pi + 2\, k \,\pi$
et (3) donne l’existence de $p \in \mathbb{Z}$ tel que
(3 a) $\displaystyle \frac {x + y} 2 = \pi - \frac {2 a + \pi} 4 + 2 \, p\, \pi$
ou
(3 b) $\displaystyle \frac {x + y} 2 = \pi + \frac {2 a + \pi} 4 + 2\, p \, \pi$

$\ast$ en formant la somme et la différence de (3a) et (4), on obtient
$x = 2(p + k +1 ) \pi$
$y =\displaystyle a + \frac {\pi} 2 + 2(p - k) \pi$

$\ast$ en formant la somme et la différence de (3b) et (4), on obtient
$x =\displaystyle a +\frac {\pi} 2 + 2(p + k +1 ) \pi$
$y = 2(p - k) \pi$

Les couples solutions sont les couples
$\displaystyle \left ( \frac {\pi } 2 + a+ 2 (k + p) \pi\, , \, 2 (p - k) \pi \right )$
$\displaystyle \left ( 2 (p + k) \pi\, , \, - \frac { \pi } 2 - a + 2 (p - k) \pi \right )$
$\displaystyle \left ( 2 (p + k + 1) \pi\, , \, \frac { \pi } 2 + a + 2 (p - k) \pi \right )$
$\displaystyle \left ( \frac {\pi } 2 + a + 2 (p + k + 1) \pi\, , \, 2 (p - k) \pi \right )$
où $(p, k) \in \mathbb{Z}^2$ .

⚠️ Les remarques faites à la fin de l’exercice 1 restent valables ici.

Exercice 3
Résoudre le système :
$\mathcal{S} \; \; \left \{ \begin{matrix} x + y &=& \pi/3 \\ \sin x + \sin y &=& 1/2 \end{matrix} \right.$ .

Correction : $\bullet$ On utilise $\sin x + \sin y = 2\, \displaystyle \sin \frac {x + y} 2 \, \cos \frac {x- y} 2$
$\mathcal{S} \; \; \left \{ \begin{matrix} x + y &=& \pi/3 \\ \cos ((x -y)/2)& =& 1/2 \end{matrix} \right.$

$\bullet$ $\displaystyle \cos \frac {x- y} 2 = \frac 1 {2}$
$\displaystyle \Leftrightarrow \exists \, k \in \mathbb{Z} , \frac {x - y} 2 = \frac {\pm \, \pi} 3 + 2 \, k \, \pi$

$\bullet$ Le système
$\mathcal{S} \; \; \left \{ \begin{matrix} x + y &= &\pi/3 \\ x - y &=& 2 \,\pi/3 + 4 \, k\, \pi \end{matrix} \right.$
donne $\displaystyle x = \frac {\pi } 2 +2\, k \, \pi$ et $\displaystyle y =- \frac {\pi} 6 - 2\, k \, \pi$

$\bullet$ Le système
$\mathcal{S} \; \; \left \{ \begin{matrix} x + y &=& \pi/3 \\ x - y &=& - 2 \, \pi/3 + 4\, k \, \pi \end{matrix} \right.$
donne $\displaystyle x = - \frac {\pi} 6 + 2\, k \, \pi$ et $\displaystyle y = \frac {\pi } 2 - 2\, k \, \pi$

$\bullet$ Les couples solutions sont $\quad \quad \quad \displaystyle \left ( \frac {\pi } 2 +2\, k \, \pi \, , \, - \frac {\pi}6 - 2\, k \, \pi \right )$
$\quad \quad \textrm{ et} \displaystyle \left ( - \frac {\pi} 6 +2\, k \, \pi \, , \, \frac {\pi } 2 - 2\, k \, \pi \right )$
où $k \in \mathbb{Z}$

⚠️ Il ne faut surtout pas raisonner avec les modulos dans un tel problème car on perdrait la condition $x + y = \pi /3$ .

👍 La méthode utilisée ici est plus simple que l’utilisation de la première équation pour écrire la deuxième équation sous la forme $\sin(x) + \sin(\pi/3 - y) = 1/2$ .

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5. Linéarisation

Question 1.
Linéarisation de $\cos^n t$ lorsque $n \in \mathbb{N }^*$ et $t \in \mathbb{R}$ .

Correction : On utilise les formules d’Euler :
$\cos^n t = \displaystyle \left ( \frac {\textrm{e} ^{\textrm{i} \, t} +\textrm{e} ^{-\textrm{i} \, t} } 2 \; \; \right ) ^n$
puis le binôme de Newton :
$\cos^n t = \displaystyle \frac 1 {2 ^{n} } \sum _{k = 0} ^n \binom {n} k (\textrm{e} ^{\textrm{i} \, t})^k \,( \textrm{e} ^{-\textrm{i} \, t}) ^{n - k}$
$\cos^n t = \displaystyle \frac 1 {2 ^{n} } \sum _{k = 0} ^n \binom {n} k \textrm{e} ^{\textrm{i} \, k \, t}\, \textrm{e} ^{\textrm{i} \,(k-n) \, t}$
$\cos^n t = \displaystyle \frac 1 {2 ^{n} } \sum _{k = 0} ^n \binom {n} k \textrm{e} ^{\textrm{i} \,(2 \, k - n) \, t}$
et en prenant la partie réelle
$\cos^n t = \displaystyle \frac 1 {2 ^{n} } \; \sum _{k = 0} ^n \binom {n} k \cos\left ( {(2 \,k - n) \, t} \right )$

👍 Le principe est bien sûr le même pour obtenir par exemple $\cos^3 t = \displaystyle \frac 1 4 \left ( \cos(3 \, t) + 3 \, \cos(t) \right )$ ou $\cos^4 t = \displaystyle \frac 1 8 \left ( \cos(4 \, t) + 4\, \cos(2\, t) + 3 \right )$ .

Vérifiez que vous savez le faire !

Question 2
Simplifier le résultat précédent pour

$\cos^{2 n} (t)$

$\cos^{2n} t = \displaystyle \frac 1 {2 ^{2n} } \sum _{k = 0} ^{2n} \binom {2 n} k \cos \left ( {(2 k - 2n) \, t} \right )$
On transforme
$A_n = \displaystyle \sum _{k = n + 1 } ^{2n} \binom {2 n} k \cos\left ( {(2 k - 2n) \, t} \right )$
en posant $j = 2 n - k$
$A_n = \displaystyle \sum _{j = 0} ^{n - 1} \binom {2 n} {2 n - j} \cos\left ( {(4 n - 2 j - 2n) \, t} \right )$
par propriété du coefficient du binôme
$A_n = \displaystyle \sum _{j = 0} ^{n - 1} \binom {2 n} {j} \cos \left ( {(2 n - 2 j) \, t} \right )$
et par parité de la fonction $\cos$
$A_n = \displaystyle \sum _{j = 0} ^{n - 1} \binom {2 n} {j} \cos\left ( {(2 j - 2 n) \, t}\right )$ .
Puis en considérant le terme pour $k = n$ de la somme :
$\displaystyle \binom {2 n} {n} \cos \left ( {(2 n - 2 n) \, t} \right ) = \binom {2 n} {n}$
$\cos^{2n} t = \displaystyle \frac 1 {2 ^{2n} } \binom {2 n} {n}$ $\quad \quad \displaystyle + \, \frac 1 {2 ^{2n - 1} } \; \sum _{k = 0} ^{n - 1} \binom {2 n} k \cos \left ( {(2 k - 2n) \, t} \right )$

Question 3
Simplifier l’écriture de $\cos^{2 n + 1} (t)$ .

Correction : Valeur de $\cos^{2n +1}(t)$
$\cos^{2n +1 } t =$ $\displaystyle \frac 1 {2 ^{2n +1 } } \sum _{k = 0} ^{2n+1 } \binom {2 n +1 } k \cos\left ( {(2 k - 2n - 1) \, t}\right )$
On transforme
$B_n = \displaystyle \sum _{k = n + 1 } ^{2n +1} \binom {2 n +1 } k \cos \left ( {(2 k - 2n - 1 ) \, t}\right )$
en posant $j = 2 n +1 - k$
avec le même type de calculs que dans le cas pair :
$B_n = \displaystyle \sum _{j = 0 } ^{n } \binom {2 n +1 } {j} \cos \left ( {(2 j - 2n - 1 ) \, t}\right )$
donc
$\cos^{2n+1} t =$ $\quad \displaystyle \frac 1 {2 ^{2n} } \sum _{k = 0} ^{n} \binom {2 n +1 } k \cos \left ( {(2 k - 2n - 1 ) \, t}\right )$