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Exercices corrigés de Trigonométrie en Maths Sup

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Résumé de cours Exercices et corrigés

Cours en ligne de Maths en Maths Sup

Plan des exercices : Equation, Inéquations, Linéarisation

1. Des calculs 2. Des équations 3. Des inéquations 4. Systèmes d’équations 5. Linéarisation

1. Des calculs de trigonométrie en maths sup

Exercice 1 Trouver

$a \in \, ] \pi/2\, , \, \pi [$ tel que

$\sin(a) = \displaystyle \frac {\sqrt{5} - 1} 4$ . On utilisera

$\cos(4 \, a)$ . On obtient

$a = \displaystyle \frac {\alpha\, \pi} {10}$ avec

$\alpha =$ Correction :

$\ast$

$\cos(2 \,a) = 1 - 2 \sin ^2(a)$

$\cos(2 \, a) = \displaystyle 1 - \frac 1 8 \left ( 6 - 2 \sqrt{5} \right )$

$\cos(2 \, a) = \displaystyle \frac 1 4 + \frac{\sqrt{5} } 4$ .

$\ast$

$\cos(4 \, a) = 2 \, \cos^2(2\, a) - 1$

$\cos(4 \, a) = \displaystyle \frac 1 8 \left (6 + 2 \sqrt{5} \right ) - 1$

$\cos(4 \, a) = \displaystyle \frac 1 4 \left ( - 1 + \sqrt{5} \right )$

$\ast$ On a obtenu :

$\cos(4 \, a) = \sin(a) =\displaystyle \cos\left ( \frac {\pi} 2 - a \right )$ donc

$\exists\, k \in \mathbb{Z}, \, 4\, a = \displaystyle \frac {\pi} 2 - a + 2 \, k \, \pi$ ou

$\exists \, p \in \mathbb{Z}, \, 4\, a = \displaystyle a - \frac {\pi} 2 + 2 \, p \, \pi$ , ce qui donne

$\; \; \exists\, k \in \mathbb{Z}, \, a = \displaystyle \frac {\pi} {10} + \frac {2 \, k \, \pi} 5$ ou

$\exists\, p \in \mathbb{Z}, \, a = \displaystyle - \frac {\pi} {6} + \frac {2 \, p \, \pi} 3$

$\displaystyle - \frac {\pi} {6} + \frac {2 \, \pi} 3 = \frac {3 \, \pi} 6$ et

$\displaystyle - \frac {\pi} {6} + \frac {4 \, \pi} 3 = \frac {7 \, \pi} 6$ Il n’y a aucune valeur de

$p$ donnant une valeur de la forme

$a = \displaystyle - \frac {\pi} {6} + \frac {2 \, p \, \pi} 3$ dans

$]\pi/2 \, , \, \pi[$ . La seule valeur de la forme

$\displaystyle \frac {\pi} {10} + \frac {2 \, k \, \pi} 5$ dans

$]\pi/2 \, , \, \pi[$ est obtenue pour

$k = 2$ Donc

$a = \displaystyle \frac {9 \, \pi} {10}$ . Exercice 2 Soient

$x$ et

$y$ dans

$]0 \, , \, \pi /2[$ vérifiant

$\displaystyle \tan x = \frac 1 7$ et

$\tan y = 2$ . a) En utilisant

$\tan(x + 2\, y)$ , calculer

$x + 2 \, y$ . Correction :

$\displaystyle \tan(2 \, y) = \frac {2 \, \tan(y)} {1 - \tan^2(y)} = - \frac 4 3$

$u = \tan(x + 2\, y) = \displaystyle \frac {\tan(x) + \tan(2 \, y) } {1 - \tan(x) \, \tan(2\, y)}$

$u = \displaystyle \frac {1/7 - 4/3} {1 + 1/7 . 4/3} = \frac { - 25} {25} = - 1$ . On en déduit qu’il existe

$k \in \mathbb{Z}$ tel que

$x + 2\, y = \displaystyle \frac {3 \, \pi} 4 + k \, \pi$ . On remarque que

$0 < x + 2\, y < \displaystyle \frac {3 \pi } 2$ et

$\tan(x + 2 \, y) < 0$ donc

$\displaystyle \frac {\pi} 2 < x + 2\, y < \displaystyle \frac {3 \pi } 2$ .

$\displaystyle \frac {7\, \pi } 4$ est la seule valeur de la forme

$\displaystyle \frac {3 \, \pi} 4 + k \, \pi$ dans l’intervalle

$\displaystyle \left] \frac {\pi} 2 , \, \frac {3 \, \pi} 2 \right [$ , donc

$x + 2 \, y = \displaystyle \frac {7\, \pi } 4$ . b) Calculer

$\cos(2 \, y)$ . Soit

$a \in\displaystyle \left ]0 , \, \frac { \pi} 2 \right [$ tel que

$\cos(a) = \displaystyle \frac 3 5$ . Exprimer

$x$ et

$y$ en fonction de

$a$ . Correction : On a vu que

$\tan(2\, y) =\displaystyle - \frac 4 3 < 0$ avec

$2 \, y \in \; ]0 \, , \, \pi[$ donc

$2 \, y \in\; ]\pi/2\, , \, \pi[$ .

$\cos^2(2 \, y) = \displaystyle \frac 1 {1 + \tan^2(2 y) } = \frac 1 {1 + 16/9}$

$\cos^2(2 \, y) = \displaystyle \frac 9 {25 }$ . Comme

$\cos(2 \, y) < 0$ car

$2 \, y \in\; ]\pi/2\, ,\, \pi[$ .

$\cos(2 \, y) = \displaystyle - \frac 3 {5 } = \cos (\pi - a)$ avec

$\pi - a \in \; ]\pi / 2\, ,\, \pi[$ , donc

$2\, y = \pi - a$ Comme

$x + 2\, y = \displaystyle \frac { 3 \, \pi} 4$ ,

$x = \displaystyle \frac { - \, \pi} 4 + a$ . On a prouvé que

$\displaystyle y = \frac {\pi - a} 2$ et

$\displaystyle \frac {- \pi} 4 + a$ . Exercice 3 Soit

$S = \displaystyle \frac 1 2 + \cos \frac {2 \pi } 5 + \cos \frac {4 \pi} 5$ . Calculer

$S \, \displaystyle \sin \frac \pi 5$ . En déduire la valeur de

$\displaystyle \cos \frac {2 \pi } 5$ . Correction : On utilise

$\sin p \, \cos q = \displaystyle \frac 1 2 \left ( \sin \frac {p + q} 2 - \sin \frac {p - q} 2 \right )$

$2 \, S = \displaystyle \sin \frac \pi 5 + \left ( \sin \frac {3\pi} 5 - \sin \frac \pi 5 \right )$

$\quad \quad \quad \quad \displaystyle + \, \left ( \sin \frac {5\pi} 5 - \sin \frac {3 \pi} 5 \right )$ donc

$S = 0$ . Donc en posant

$x = \displaystyle \cos \frac {2 \pi } 5$ ,

$S = 0$ donne

$\displaystyle \frac 1 2 + x + 2 x ^2 - 1 = 0$ soit

$4 \, x^2 + 2 \,x - 1 = 0$ . Cette équation admet deux racines dont une seule est positive : on en déduit que

$\displaystyle \cos \frac { 2\, \pi } 5 = \frac {\sqrt{5} - 1} 4$ . Exercice 4 Calculer

$\tan \displaystyle \frac {\pi} {12}$ puis

$\tan \displaystyle \frac {\pi} {24}$ . Correction : On utilise la formule

$\tan(2\, x) = \displaystyle \frac {2 \, \tan(x)} {1 - \tan^2(x)}$ d’abord pour

$x = \displaystyle \frac {\pi} {12}$ et on pose

$t = \displaystyle \tan \frac {\pi} {12}$

$\displaystyle \tan \frac {\pi} 6 = \frac {2 \, t } {1 - t ^2} = \frac 1 {\sqrt{3}}$ ce qui donne

$1 - t ^2 = 2 \, \sqrt{3}\, t$ soit

$t ^2 + 2 \, \sqrt{3}\, t - 1 = 0$ . cette équation a deux racines :

$2 - \sqrt{3}$ et

$- 2 - \sqrt{3} < 0$ , donc

$\displaystyle \tan \frac {\pi} {12} = 2 - \sqrt{3}$ . On réutilise la même méthode en posant

$u = \tan \displaystyle \frac {\pi} {24}$ . On obtient l’équation

$2 - \sqrt{3} = \displaystyle \frac {2 \, u } {1 - u ^2}$ soit

$\left ( 2 - \sqrt{3} \right ) u ^2 + 2 \, u - 2 + \sqrt{3} = 0$ admet un discriminant

$\Delta = 16 ( 2 - \sqrt{3} )$ Une seule des racines est positive :

$u = \displaystyle \frac {- 1 }{2 - \sqrt{3} } + \frac {2 \, \sqrt{2 - \sqrt3}} {2 - \sqrt{3} }$ puis

$\displaystyle \frac { 1 }{2 - \sqrt{3} } = \frac {2 + \sqrt{3} } {4 - 3} = 2 + \sqrt{3}$

$u = -2 - \sqrt{3} + 2 \sqrt{2 + \sqrt{3}}$ .

$\tan\displaystyle \frac {\pi} {24} = -2 - \sqrt{3} + 2 \sqrt{2 + \sqrt{3}}$ .

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2. Équations

Exercice 1 Résoudre

$\displaystyle \cos \left ( \frac {3 \, x} 4 \right ) = \sin \left ( x + \frac {3 \pi} 4 \right )$ Correction :

$\displaystyle \cos \left ( \frac {3 \, x} 4 \right ) = \cos \left ( \frac {\pi} 2 - x - \displaystyle \frac {3 \pi} 4 \right )$ ssi

$\displaystyle \cos \left ( \frac {3 \, x} 4 \right ) = \cos \left ( - \frac {\pi} 4 - x \right ) = \cos \left ( \frac {\pi} 4 + x \right )$ ssi

$\exists \, k \in \mathbb{Z} \, , \, \displaystyle \frac {3 \, x} 4 = \frac {\pi} 4 + x + 2 \, k \, \pi$ ou

$\exists \, p \in \mathbb{Z} \, , \, \displaystyle \frac {3 \, x} 4 = - \frac {\pi} 4 - x + 2 \, p \, \pi$ ssi

$\exists \, k \in \mathbb{Z} \, , \, \displaystyle \frac { x} 4 = - \frac {\pi} 4 - 2 \, k \, \pi$ ou

$\exists \, p \in \mathbb{Z} \, , \, \displaystyle \frac {7 \, x} 4 = - \frac {\pi} 4 + 2 \, p \, \pi$ ssi

$\exists \, k \in \mathbb{Z} \, , \, \displaystyle x = {\pi} - 8 \, k \, \pi$ ou

$\exists \, p \in \mathbb{Z} \, , \, \displaystyle x = - \frac {\pi} 7 + \frac {8 \,p \, \pi} 7$ . Exercice 2 Ensemble des réels

$m$ tels que l’équation

$m \cos(x) + \sqrt{1 - m ^2} \, \sin(x)$

$\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad + \,3\, m - 4 \, m ^3 = 0$ . ait des solutions. Les déterminer. Correction : Pour que l’équation ait un sens, il est nécessaire que

$m \in [- 1\, , \, 1]$ . Comme

$m ^2 +\left ( \sqrt{1 - m ^2} \right ) ^2 = 1$ , il existe

$\varphi \in \mathbb{R}$ tel que

$\quad \quad m = \cos(\varphi)$ et

$\sqrt{1 - m ^2} = \sin(\varphi)$ . L’équation s’écrit alors

$\quad \quad \cos(x - \varphi) = 4\, m ^3 - 3 \, m$ . Elle admet des solution ssi

$- 1 \leq 4\, m ^3 - 3 \, m \leq 1$ ssi

$4\, m ^3 - 3 \, m + 1 \geq 0$

$4\, m ^3 - 3 \, m - 1 \leq 0$ .

$\ast$

$- 1$ est racine évidente de

$4\, m ^3 - 3 \, m + 1$ et on peut écrire :

$4\, m ^3 - 3 \, m + 1 = (m + 1)(4 \, m ^2 - 4 \, m + 1)$

$4\, m ^3 - 3 \, m + 1 =(m + 1)(2 \, m - 1)^2$ donc

$4\, m ^3 - 3 \, m + 1 \geq 0$ ssi

$m + 1 \geq 0$ .

$\ast$

$1$ est racine évidente de

$4\, m ^3 - 3 \, m - 1$ et on peut écrire :

$4\, m ^3 - 3 \, m - 1 = (m - 1)(4 \, m ^2 + 4 \, m + 1)$

$4\, m ^3 - 3 \, m - 1 =(m - 1)(2 \, m + 1)^2$ donc

$4\, m ^3 - 3 \, m - 1 \leq 0$ ssi

$m - 1 \leq 0$ . L’équation a toujours des solutions lorsque

$m \in [ - 1 \, , \, 1]$ . On transforme

$4\, m ^3 - 3 \, m = 4 \, \cos^3(\varphi) - 3 \cos(\varphi)$

$\displaystyle = \frac 1 2 \left ( \textrm{e} ^{\textrm{i} \, \varphi} + \textrm{e} ^{ - \textrm{i} \, \varphi} \right ) ^3 - \frac 3 2 \left ( \textrm{e} ^{\textrm{i} \, \varphi} + \textrm{e} ^{\textrm{i} \, \varphi} \right )$

$\displaystyle = \frac 1 2 \left ( \textrm{e} ^{3\, \textrm{i} \, \varphi} + \textrm{e} ^{- 3 \, \textrm{i} \, \varphi} \right )$

$4\, m ^3 - 3 \, m = 4 \, \cos(3\, \varphi)$ L’équation est donc équivalente à

$\cos(x - \varphi) = \cos(3 \, \varphi)$ ssi

$\exists \, k \in \mathbb{Z}, \, x - \varphi =3 \, \varphi + 2 \, k \, \pi$ ou

$\exists \, p \in \mathbb{Z}, \, x - \varphi = - 3 \, \varphi + 2 \, p \, \pi$ ssi

$\exists \, k \in \mathbb{Z}, \, x =4 \, \varphi + 2 \, k \, \pi$ ou

$\exists \, p \in \mathbb{Z}, \, x = - 2 \, \varphi + 2 \, p \, \pi$ .

Exercice 3 Résoudre

$\cos^4 (x) + \sin ^4 (x) = \displaystyle \frac {6 + \sqrt{3} } 8$ Correction :

$\cos^4 (x) + \sin ^4 (x) =$

$(\cos^2(x) + \sin ^2(x) ) ^2 - 2 \sin^2 (x) \, \cos^2(x)$

$= 1 - \displaystyle \frac 1 2 \sin ^2(2 \, x)$

$= 1 - \displaystyle \frac 1 4 \left ( 1 - \cos(4 \, x) \right )$

$= \displaystyle \frac 3 4 + \frac { \cos(4 \, x)} 4$ l’équation est équivalente à

$\displaystyle \cos(4 \, x) = \frac {\sqrt{3}} 2$ ssi

$\displaystyle \exists \, k \in \mathbb{Z}, \, 4 \, x = \frac {\pi } 6 + 2 \,k \, \pi$ ou

$\displaystyle \exists \, p \in \mathbb{Z}, \, 4 \, x = - \frac {\pi } 6 + 2 \,k \, \pi$ ssi

$\displaystyle \exists \, k \in \mathbb{Z}, x = \frac {\pi } {24} + \frac {k \, \pi} 2$ ou

$\displaystyle \exists \, p \in \mathbb{Z}, \, x = - \frac {\pi } {24} + \frac {p \, \pi} 2$ . Exercice 4 Résoudre

$\tan(2 x) - \tan(x) = \sin(2 x)$ Correction :

$\bullet$ Première méthode On pose

$t = \tan(x)$

$\displaystyle \frac {2\, t} {1 - t ^2} - t = \frac {2\, t} {1 + t ^2}$ ssi

$2\, t(1 + t ^2) - t( 1 - t ^4) = 2 \, t(1 - t ^2)$ ssi

$t (t ^4 + 4 \, t ^2 - 1) = 0$ L’équation

$x ^2 + 4 \,x - 1 = 0$ admet une seule racine positive

$x_1 = \sqrt{5} - 2$

$t (t ^4 + 4 t ^2 - 1) = 0$ ssi

$t = 0$ ou

$t = \sqrt{\sqrt{5} - 2 }$ ou

$t = - \sqrt{\sqrt{5} - 2 }$ . On introduit

$\varphi$ tel que

$\tan(\varphi) = \sqrt{\sqrt{5} - 2 }$ Les solutions sont les réels

$k \, \pi$ ,

$\varphi + k \, \pi$ et

$- \varphi + k \, \pi$ lorsque

$k\in \mathbb{Z }$

$\bullet$ Autre méthode

$\tan( 2 x) - \tan(x) =$

$\displaystyle \frac {\sin(2 \, x) \, \cos(x) - \cos(2 \, x) \, \sin(x) } { \cos(2 \, x) \, \cos(x)}$

$\tan( 2 x) - \tan(x) = \displaystyle \frac {\sin(x) } { \cos(2 \, x) \, \cos(x)}$ et comme

$\sin(2 \, x) = 2\, \sin(x) \, \cos(x)$ , l’équation est équivalente à

$\quad \sin(x) = 0$ ou

$2 \, \cos^2(x) \, \cos(2 x) = 1$

$2 \, \cos^2(x) \, \cos(2 x) = (\cos(2\, x) + 1) \, \cos(2 \, x)$ La deuxième équation s’écrit

$\quad \cos^2 (2 \, x) + \cos(2 \, x) - 1 = 0$ L’équation

$u ^2 + u - 1 = 0$ admet une seule racine dans

$[- 1 \,, \, 1]$ :

$\displaystyle \frac {\sqrt{5} - 1} 2$ On note

$a$ tel que

$\cos(a) = \displaystyle \frac {\sqrt{5} - 1} 2$ . L’ensemble des solutions est formé par les réels

$\ast$

$k \, \pi$ où

$k\in \mathbb{Z}$

$\ast$

$\displaystyle \frac a 2 + k\, \pi$ où

$k\in \mathbb{Z}$

$\ast$

$\displaystyle - \frac a 2 + k \, \pi$ où

$k\in \mathbb{Z}$ . On pourra choisir

$a = \textrm{Arccos} \displaystyle \frac {\sqrt{5} - 1} 2$ .

3. Inéquations

Exercice 1 Résoudre l’inéquation

$\quad \displaystyle \sqrt{3} \, \cos ( x) + \sin(x) - \sqrt{2} \leq 0$ . Correction : On cherche la forme trigonométrique de

$\sqrt{3 } + \, \textrm {i} = \displaystyle 2 \left ( \frac {\sqrt{3} } 2 + \, \textrm{i } \, \frac 1 2 \right ) = 2 \, \textrm{e} ^{\textrm{i} \, \pi / 6}$ .

$\displaystyle \sqrt{3} \, \cos ( x) + \sin(x) =$

$\quad \quad \quad \displaystyle 2 \left ( \cos \frac {\pi} 6 \, \cos(x) + \sin \frac {\pi} 6 \, \sin(x) \right )$

$\displaystyle \sqrt{3} \, \cos ( x) + \sin(x) = 2 \cos \left (x - \frac {\pi} 6 \right )$ On doit donc résoudre :

$\quad \displaystyle \cos \left (x - \frac {\pi} 6 \right ) \leq \frac {\sqrt{2}} 2$ ssi

$\displaystyle \cos \left (x - \frac {\pi} 6 \right ) \leq \cos \left ( \frac {\pi} 4 \right )$ ssi

$\displaystyle \exists \, k \in \mathbb{Z} \, , \, x - \frac {\pi} 6 \in \left [ \frac {\pi} 4 + 2 \, k\, \pi \, , \, \frac {5 \, \pi} 4 + 2 \, k\, \pi \right]$ ssi

$\displaystyle \exists \, k \in \mathbb{Z} \, , \, x \in \left [ \frac {5 \pi} {12} + 2 \, k\, \pi \, , \, \frac {17 \, \pi} {12} + 2 \, k\, \pi \right]$ Exercice 2 Résoudre

$2 \, \sin^2(x) + 3 \sin(x) - 2 \leq 0$ Correction : Les racines de l’équation

$\quad \quad 2 \, t ^2 + 3\, t - 2 = 0$ sont

$- 2$ et

$1/2$ donc

$2 \, t ^2 + 3\, t - 2 = (2\, t - 1) (t + 2)$ et on doit résoudre :

$\quad (2 \, \sin(x) - 1) (\sin(x) + 2) \geq 0$ ssi

$2 \, \sin(x) - 1 \geq 0$ ssi

$\displaystyle \sin(x) \geq \frac 1 2$ ssi

$\displaystyle \exists \, k \in \mathbb{Z} \, , \, x \in \left [ \frac {2\, \pi} 3 + 2 \, k \, \pi \, , \, \frac {7\, \pi} 3 + 2 \, k \, \pi \right ]$ Exercice 3 Résoudre si

$x \in [0 \, , \, \pi]$ ,

$\sin(x) + \sin(2 \, x) + \sin(5 \, x)$

$\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad +\, \sin(6 \, x) \leq 0$ . Correction : On note

$f(x) =$

$\quad \sin(x) + \sin(2 \,x) + \sin(5 \,x) + \sin(6\, x)$ et en utilisant

$\sin p + \sin q = \displaystyle 2 \sin\left ( \frac {p + q} 2 \right ) \, \cos \left ( \frac {p - q} 2 \right )$ pour transformer

$\sin(x) + \sin(6\, x)$ et

$\sin(2 \, x) + \sin(3\, x)$ ,

$\sin(x) + \sin(6\, x) = \displaystyle 2 \, \sin \left ( \frac {7\, x} 2 \right ) \, \cos \left ( \frac {5\, x} 2 \right )$

$\sin(2 \,x) + \sin(5 \,x) = \displaystyle 2 \, \sin \left ( \frac {7\, x} 2 \right ) \, \cos \left ( \frac {3\, x} 2 \right )$ donc

$f(x)$ s’écrit

$\quad \displaystyle 2 \, \sin \left ( \frac {7\, x} 2 \right ) \left ( \cos \left ( \frac {5\, x} 2 \right ) + \cos \left ( \frac {3\, x} 2 \right ) \right )$ en utilisant ensuite

$\cos p + \cos q = \displaystyle 2 \cos\left ( \frac {p + q} 2 \right ) \, \cos \left ( \frac {p - q} 2 \right )$

$f(x) = \displaystyle 4 \, \sin \left ( \frac {7\, x} 2 \right ) \, \cos ( 2 \, x)\, \cos \left ( \frac { x} 2 \right )$ . On cherche les

$x\in [0 \, , \, \pi]$ qui vérifient

$f(x) = 0$ .

$\ast$

$\displaystyle \sin \left ( \frac {7\, x} 2 \right ) = 0$ ssi

$x = \displaystyle \frac {2\, k \, \pi} 7$ où

$k = 0 , 1, 2 , 3$ .

$\displaystyle \sin \left ( \frac {7\, x} 2 \right )$ s’annule et change de signe en ces 4 points et est strictement positif sur

$\displaystyle \left ] 0 , \, \, \frac {2\, \pi} 7 \right [$ .

$\ast$

$\cos(2 x) = 0$ ssi

$x = \displaystyle \frac {\pi} 4$ ou

$\displaystyle \frac{3\, \pi} 4$ .

$\cos(2 \, x)$ s’annule et change de signe en ces 2 points et est strictement positif sur

$\displaystyle \left [ 0 , \, \, \frac {3\, \pi} 4 \right [$ .

$\ast$

$\displaystyle \cos \left ( \frac { x} 2 \right ) = 0$ ssi

$x = \pi$ . ce dernier facteur est strictement positif sur

$[0 \, , \, \pi [$ . On utilise le tableau de signes qui suit pour donner l’ensemble des solutions lorsque

$x \in [0 , \pi]$ . Dans ce tableau, on fait apparaître les valeurs annulant

$f(x)$ et on écrit trois lignes résumant les signes des trois facteurs étudiés ci-dessus. L’ensemble des solutions est défini par

$\quad \displaystyle \left [0 , \frac {\pi} 4 \right ] \cup \left [\frac {2 \pi} 7 , \frac {4 \pi} 7 \right ] \cup \left [\frac {3 \pi} 4 , \frac {6 \pi} 7 \right ]$ .

4. Système d’équations

Exercice 1 Si

$a$ est un réel donné, résoudre le système

$\mathcal {S}$ :

$\left \{\begin{matrix} \cos(a) + \cos(x + a ) + \cos(y + a )=0\\ \sin(a) + \sin(x+ a) + \sin(y+ a) =0\end{matrix} \right.$ Correction :

$\bullet$

$\mathcal {S}$ est équivalent à l’équation obtenue en prenant la somme de la première équation et de

$\textrm{i}$ fois la deuxième soit à

$\textrm{e} ^{\textrm{i} \, a} + \textrm{e} ^{\textrm{i} \, (x + a)}+ \textrm{e} ^{\textrm{i} \, (y + a)} = 0$ soit en multipliant par

$\textrm{e} ^{-\textrm{i} \, a}$ :

$1 + \textrm{e} ^{\textrm{i} \, x}+ \textrm{e} ^{\textrm{i} \, y} = 0$

$\Leftrightarrow 1 + 2 \displaystyle \cos \left ( \frac {x - y} 2 \right ) \, \textrm{e} ^{\textrm{i} \, (x + y) / 2} = 0$ en égalant les parties réelles et imaginaires, on obtient le système :

$1 + \displaystyle 2 \, \cos \left ( \frac {x - y} 2 \right )\, \cos \left ( \frac {x + y} 2 \right ) = 0$ (1)

$\displaystyle 2 \cos \left ( \frac {x - y} 2 \right )\, \sin \left ( \frac {x + y} 2 \right ) = 0$ (2)

$\bullet$

$\displaystyle \cos \left ( \frac {x - y} 2 \right ) = 0$ est impossible car l’équation (1) donnerait

$1 = 0$ donc (2) est équivalent à

$\quad \displaystyle \sin \left ( \frac {x + y} 2 \right ) = 0$ ssi

$\exists \, k \in \mathbb{Z}, \, x + y = 2\, k \, \pi$ .

$\bullet$ Alors (1) s’écrit

$\quad 1 + \displaystyle 2 \,\cos \left ( \frac {x - y} 2 \right )\, \cos ( k \, \pi) = 0$ (1) ssi

$\displaystyle \cos \left ( \frac {x - y} 2 \right ) = \frac {(-1) ^{k + 1} } 2$

$\ast$ cas

$k = 2 \, q$

$\displaystyle \cos \left ( \frac {x - y} 2 \right ) = \frac { - 1 } 2$ ssi

$\exists \, p \in \mathbb {Z}, \, \displaystyle \frac {x - y} 2 = \frac {2 \pi } 3 + 2 \, p \, \pi$ (a) ou

$\exists \, p \in \mathbb {Z}, \, \displaystyle \frac {x - y} 2 = \frac {-2 \pi } 3 + 2\, p \, \pi$ (b) avec

$\displaystyle \frac {x + y} 2 = 2 \, q\, \pi$ (c) par somme et différence de (c) et (a), on obtient :

$x = \displaystyle \frac {2 \pi } 3 + 2 (p + q) \pi$ et

$y = \displaystyle \frac {-2 \pi } 3 + 2 (q - p) \pi$ puis avec (c) et (b) :

$x = \displaystyle \frac {-2 \pi } 3 + 2 (p + q) \pi$ et

$y = \displaystyle \frac {2 \pi } 3 + 2 (q - p) \pi$

$\ast$ cas

$k = 2 \,q + 1$

$\displaystyle \cos \left ( \frac {x - y} 2 \right ) = \frac { 1 } 2$ ssi

$\exists\, p \in \mathbb {Z} , \, \displaystyle \frac {x - y} 2 = \frac {\pi } 3 + 2 \,p \,\pi$ (a) ou

$\exists \, p \in \mathbb {Z} , \, \displaystyle \frac {x - y} 2 = \frac {-\pi } 3 + 2 \,p\, \pi$ (b) avec

$\displaystyle \frac {x + y} 2 = (2 \,q + 1) \pi$ (c) Par somme et différence de (c) et (a), on obtient :

$x = \displaystyle \frac {\pi } 3 + (2 p + 2 q + 1) \pi$ et

$y = \displaystyle \frac {-\pi } 3 + (2 q + 1 - 2p) \pi$ soit

$x = \displaystyle \frac {4 \pi } 3 + 2 (p + q) \pi$ et

$y = \displaystyle \frac {2 \pi } 3 + 2 (q - p) \pi$ puis avec (c) et (b),

$x = \displaystyle \frac {- \pi } 3 + (2 p + 2 q + 1 ) \pi$ et

$y = \displaystyle \frac {\pi } 3 + (2 q + 1 - 2p) \pi$ . soit

$x = \displaystyle \frac {2 \pi } 3 + 2 (p + q ) \pi$ et

$y = \displaystyle \frac {4 \pi } 3 + 2( q - p) \pi$ . Les couples solutions sont les couples

$\displaystyle \left ( \frac {2 \pi } 3 + 2 (p + q) \pi\, , \, \frac {- 2 \pi } 3 + 2 (q - p) \pi \right )$

$\displaystyle \left ( \frac {- 2 \pi } 3 + 2 (p + q) \pi\, , \, \frac {2 \pi } 3 + 2 (q - p) \pi \right )$

$\displaystyle \left ( \frac {4 \pi } 3 + 2 (p + q) \pi\, , \, \frac { 2 \pi } 3 + 2 (q - p) \pi \right )$

$\displaystyle \left ( \frac {2 \pi } 3 + 2 (p + q) \pi\, , \, \frac {4 \pi } 3 + 2 (q - p) \pi \right )$ où

$(p, q) \in \mathbb{Z}^2$ . ⚠️ N’oubliez pas de faire la synthèse des différents cas ! ⚠️ Il ne faut surtout pas raisonner avec les modulos dans un problème faisant intervenir des sommes ou des différences d’équations valables modulo

$\pi$ ou

$2 \pi$ . Par exemple, en notant

$\alpha = \displaystyle \frac {2\, \pi} 3$ , si l’on écrivait le premier groupe de solutions sous la forme :

$\quad \quad x \equiv \alpha \; \; [2\, \pi]$ et

$y \equiv - \alpha \; \; [2\, \pi]$ , le couple

$(\alpha + 2 \pi\, , \, \alpha )$ serait solution alors qu’il est impossible de l’écrire sous la forme

$\quad \quad (\alpha + 2 (p + q) \pi\, ,\, \alpha + 2(q - p) \pi )$ puisque

$p + q = 1$ et

$q - p = 0$ n’admet pas de solution entière. Exercice 2 Résoudre si

$a$ est un réel donné le système

$\mathcal {S}$ :

$\left \{\begin{matrix} \cos(x ) + \cos(y )&=&1 - \sin(a) \\ \sin(x) - \sin(y) &=&\cos(a) \end{matrix} \right.$

Correction :

$\mathcal {S}$ est équivalent à l’équation obtenue en prenant la somme de la première équation et de

$\textrm{i}$ fois la deuxième soit à

$\textrm{e} ^{\textrm{i} \, x }+ \textrm{e} ^{ -\textrm{i} \, y } = 1 + \textrm{i} \, \textrm{e} ^{\textrm{i} \, a }$

$\textrm{e} ^{\textrm{i} \, x }+ \textrm{e} ^{ -\textrm{i} \, y } = 1 + \, \textrm{e} ^{\textrm{i} \,( a+ \pi/2) }$ ssi

$\displaystyle 2 \cos \left ( \frac {x + y} 2 \right ) \,\textrm{e} ^{\textrm{i} \, (x - y)/2 } =$

$\displaystyle \quad \quad \quad \quad 2 \cos \left ( \frac {2 a + \pi} 4 \right ) \, \textrm{e} ^{\textrm{i} \, (a /2 + \pi / 4) }$ On distingue alors deux cas

$\bullet$ Cas 1

$\displaystyle \cos \left ( \frac {x + y} 2 \right ) = \cos \left ( \frac {2 a + \pi} 4 \right ) \quad (1)$ et

$\displaystyle\textrm{e} ^{\textrm{i} \, (x - y)/2 } = \textrm{e} ^{\textrm{i} \, (a /2 + \pi / 4) } \quad (2)$

$(2)$ donne

$\exists \, k \in \mathbb{Z},\, \displaystyle \frac {x - y} 2 = \frac {2 a + \pi} 4 + 2\, k \, \pi$ et (1) donne l’existence de

$p \in \mathbb{Z}$ tel que (1 a)

$\displaystyle \frac {x + y} 2 = \frac {2 \,a + \pi} 4 + 2 \, p\, \pi$ ou (1 b)

$\displaystyle \frac {x + y} 2 = - \frac {2 \,a + \pi} 4 + 2\, p\, \pi$

$\ast$ en formant la somme et la différence de (1a) et (2), on obtient :

$x =\displaystyle a + \frac {\pi} 2 + 2(k + p) \pi$

$y = 2(p - k) \pi$

$\ast$ en formant la somme et la différence de (1b) et (2), on obtient :

$x = 2(p + k) \pi$

$y =\displaystyle - a - \frac {\pi} 2 + 2(p - k) \pi$

$\bullet$ Cas 2

$\displaystyle \cos \left ( \frac {x + y} 2 \right ) = - \cos \left ( \frac {2 a + \pi} 4 \right ) \quad (3)$ et

$\displaystyle\textrm{e} ^{\textrm{i} \, (x - y)/2 } = - \textrm{e} ^{\textrm{i} \, (a /2 + \pi / 4) } \quad (4)$

$(4)$ donne

$\exists \, k \in \mathbb{Z},\, \displaystyle \frac {x - y} 2 = \frac {2 a + \pi} 4 + \pi + 2\, k \,\pi$ et (3) donne l’existence de

$p \in \mathbb{Z}$ tel que (3 a)

$\displaystyle \frac {x + y} 2 = \pi - \frac {2 a + \pi} 4 + 2 \, p\, \pi$ ou (3 b)

$\displaystyle \frac {x + y} 2 = \pi + \frac {2 a + \pi} 4 + 2\, p \, \pi$

$\ast$ en formant la somme et la différence de (3a) et (4), on obtient

$x = 2(p + k +1 ) \pi$

$y =\displaystyle a + \frac {\pi} 2 + 2(p - k) \pi$

$\ast$ en formant la somme et la différence de (3b) et (4), on obtient

$x =\displaystyle a +\frac {\pi} 2 + 2(p + k +1 ) \pi$

$y = 2(p - k) \pi$ Les couples solutions sont les couples

$\displaystyle \left ( \frac {\pi } 2 + a+ 2 (k + p) \pi\, , \, 2 (p - k) \pi \right )$

$\displaystyle \left ( 2 (p + k) \pi\, , \, - \frac { \pi } 2 - a + 2 (p - k) \pi \right )$

$\displaystyle \left ( 2 (p + k + 1) \pi\, , \, \frac { \pi } 2 + a + 2 (p - k) \pi \right )$

$\displaystyle \left ( \frac {\pi } 2 + a + 2 (p + k + 1) \pi\, , \, 2 (p - k) \pi \right )$ où

$(p, k) \in \mathbb{Z}^2$ .

⚠️ Les remarques faites à la fin de l’exercice 1 restent valables ici. Exercice 3 Résoudre le système :

$\mathcal{S} \; \; \left \{ \begin{matrix} x + y &=& \pi/3 \\ \sin x + \sin y &=& 1/2 \end{matrix} \right.$ . Correction :

$\bullet$ On utilise

$\sin x + \sin y = 2\, \displaystyle \sin \frac {x + y} 2 \, \cos \frac {x- y} 2$

$\mathcal{S} \; \; \left \{ \begin{matrix} x + y &=& \pi/3 \\ \cos ((x -y)/2)& =& 1/2 \end{matrix} \right.$

$\bullet$

$\displaystyle \cos \frac {x- y} 2 = \frac 1 {2}$

$\displaystyle \Leftrightarrow \exists \, k \in \mathbb{Z} , \frac {x - y} 2 = \frac {\pm \, \pi} 3 + 2 \, k \, \pi$

$\bullet$ Le système

$\mathcal{S} \; \; \left \{ \begin{matrix} x + y &= &\pi/3 \\ x - y &=& 2 \,\pi/3 + 4 \, k\, \pi \end{matrix} \right.$ donne

$\displaystyle x = \frac {\pi } 2 +2\, k \, \pi$ et

$\displaystyle y =- \frac {\pi} 6 - 2\, k \, \pi$

$\bullet$ Le système

$\mathcal{S} \; \; \left \{ \begin{matrix} x + y &=& \pi/3 \\ x - y &=& - 2 \, \pi/3 + 4\, k \, \pi \end{matrix} \right.$ donne

$\displaystyle x = - \frac {\pi} 6 + 2\, k \, \pi$ et

$\displaystyle y = \frac {\pi } 2 - 2\, k \, \pi$

$\bullet$ Les couples solutions sont

$\quad \quad \quad \displaystyle \left ( \frac {\pi } 2 +2\, k \, \pi \, , \, - \frac {\pi}6 - 2\, k \, \pi \right )$

$\quad \quad \textrm{ et} \displaystyle \left ( - \frac {\pi} 6 +2\, k \, \pi \, , \, \frac {\pi } 2 - 2\, k \, \pi \right )$ où

$k \in \mathbb{Z}$ ⚠️ Il ne faut surtout pas raisonner avec les modulos dans un tel problème car on perdrait la condition

$x + y = \pi /3$ . 👍 La méthode utilisée ici est plus simple que l’utilisation de la première équation pour écrire la deuxième équation sous la forme

$\sin(x) + \sin(\pi/3 - y) = 1/2$ .

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5. Linéarisation

Question 1. Linéarisation de

$\cos^n t$ lorsque

$n \in \mathbb{N }^*$ et

$t \in \mathbb{R}$ .

Correction : On utilise les formules d’Euler :

$\cos^n t = \displaystyle \left ( \frac {\textrm{e} ^{\textrm{i} \, t} +\textrm{e} ^{-\textrm{i} \, t} } 2 \; \; \right ) ^n$ puis le binôme de Newton :

$\cos^n t = \displaystyle \frac 1 {2 ^{n} } \sum _{k = 0} ^n \binom {n} k (\textrm{e} ^{\textrm{i} \, t})^k \,( \textrm{e} ^{-\textrm{i} \, t}) ^{n - k}$

$\cos^n t = \displaystyle \frac 1 {2 ^{n} } \sum _{k = 0} ^n \binom {n} k \textrm{e} ^{\textrm{i} \, k \, t}\, \textrm{e} ^{\textrm{i} \,(k-n) \, t}$

$\cos^n t = \displaystyle \frac 1 {2 ^{n} } \sum _{k = 0} ^n \binom {n} k \textrm{e} ^{\textrm{i} \,(2 \, k - n) \, t}$ et en prenant la partie réelle

$\cos^n t = \displaystyle \frac 1 {2 ^{n} } \; \sum _{k = 0} ^n \binom {n} k \cos\left ( {(2 \,k - n) \, t} \right )$ 👍 Le principe est bien sûr le même pour obtenir par exemple

$\cos^3 t = \displaystyle \frac 1 4 \left ( \cos(3 \, t) + 3 \, \cos(t) \right )$ ou

$\cos^4 t = \displaystyle \frac 1 8 \left ( \cos(4 \, t) + 4\, \cos(2\, t) + 3 \right )$ .

Vérifiez que vous savez le faire !

Question 2 Simplifier le résultat précédent pour

$\cos^{2 n} (t)$

$\cos^{2n} t = \displaystyle \frac 1 {2 ^{2n} } \sum _{k = 0} ^{2n} \binom {2 n} k \cos \left ( {(2 k - 2n) \, t} \right )$ On transforme

$A_n = \displaystyle \sum _{k = n + 1 } ^{2n} \binom {2 n} k \cos\left ( {(2 k - 2n) \, t} \right )$ en posant

$j = 2 n - k$

$A_n = \displaystyle \sum _{j = 0} ^{n - 1} \binom {2 n} {2 n - j} \cos\left ( {(4 n - 2 j - 2n) \, t} \right )$ par propriété du coefficient du binôme

$A_n = \displaystyle \sum _{j = 0} ^{n - 1} \binom {2 n} {j} \cos \left ( {(2 n - 2 j) \, t} \right )$ et par parité de la fonction

$\cos$

$A_n = \displaystyle \sum _{j = 0} ^{n - 1} \binom {2 n} {j} \cos\left ( {(2 j - 2 n) \, t}\right )$ . Puis en considérant le terme pour

$k = n$ de la somme :

$\displaystyle \binom {2 n} {n} \cos \left ( {(2 n - 2 n) \, t} \right ) = \binom {2 n} {n}$

$\cos^{2n} t = \displaystyle \frac 1 {2 ^{2n} } \binom {2 n} {n}$

$\quad \quad \displaystyle + \, \frac 1 {2 ^{2n - 1} } \; \sum _{k = 0} ^{n - 1} \binom {2 n} k \cos \left ( {(2 k - 2n) \, t} \right )$ Question 3 Simplifier l’écriture de

$\cos^{2 n + 1} (t)$ . Correction : Valeur de

$\cos^{2n +1}(t)$

$\cos^{2n +1 } t =$

$\displaystyle \frac 1 {2 ^{2n +1 } } \sum _{k = 0} ^{2n+1 } \binom {2 n +1 } k \cos\left ( {(2 k - 2n - 1) \, t}\right )$ On transforme

$B_n = \displaystyle \sum _{k = n + 1 } ^{2n +1} \binom {2 n +1 } k \cos \left ( {(2 k - 2n - 1 ) \, t}\right )$ en posant

$j = 2 n +1 - k$ avec le même type de calculs que dans le cas pair :

$B_n = \displaystyle \sum _{j = 0 } ^{n } \binom {2 n +1 } {j} \cos \left ( {(2 j - 2n - 1 ) \, t}\right )$ donc

$\cos^{2n+1} t =$

$\quad \displaystyle \frac 1 {2 ^{2n} } \sum _{k = 0} ^{n} \binom {2 n +1 } k \cos \left ( {(2 k - 2n - 1 ) \, t}\right )$ Ne prenez pas de retard et découvrez dès maintenant les chapitres au programme de Maths à venir en MPSI, PTSI et PCSI :

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