Chapitres Maths en MPSI, PCSI, MP2I, PTSI

Cours sur l’espace préhilbertiens de Maths Sup

Le chapitre sur l’espace préhilbertien est un des chapitres les plus importants dans le programme de MPSI en Maths. Profitez de ce cours en ligne et nos cours de maths particulier pour revoir les notions de cours fondamentales ainsi que les méthodes et propriétés à connaître par cœur. Vous pourrez ainsi augmenter vos résultats et votre moyenne.

A. Démontrer que l’on a défini un produit scalaire en Maths Sup

$\bullet$ M1 : Si $E$ est un $\mathbb{R}$ -espace vectoriel,

$\ast$ vérifier que $\qquad E^2 \to \mathbb{R}, \, (x , \,y) \mapsto \varphi (x , \,y)$

est une forme bilinéaire symétrique en démontrant les deux propriétés :

… $\forall \, y \in E, \; x \mapsto \varphi(x , \,y)$ est linéaire
… et $\forall\, (x , \,y) \in E^2, \; \varphi(x , \,y) = \varphi(y ,\, x)$ .

$\ast$ puis montrer que $\varphi$ est positive non dégénérée en prouvant que :
… $\forall \, x \in E, \; \varphi(x , \,x) \geqslant 0$
… $\varphi(x , \,x) = 0 \Rightarrow x = 0$

ce qui est plus simple en général que de prouver que : $\quad \quad \forall \, x \in E \setminus \{0\},\; \varphi(x ,\, x) > 0$ .

$\bullet$ M2 : Connaître les produits scalaires au programme.

$\ast$ Sur $\mathbb{R}^n$ , le produit scalaire canonique défini pour $x = (x_1\, , \, \cdots \, , \, x_n)$

et $y = (y_1\, , \, \cdots \, , \, y_n)$

par

$\qquad \qquad \displaystyle (x\, | \, y) = \sum_{i = 1} ^n x_i \, y_i\,$ .

$\ast$ Sur $\mathcal{M} _{n , 1} (\mathbb{R})$ , le produit scalaire canonique :

si $X = (x_i) _{1 \leqslant i \leqslant n}$ et $Y = (y_i) _{1 \leqslant i \leqslant n}$

$\quad \quad \displaystyle (X\, | \, Y) = X^{\textrm{T}}\, Y = \sum_{i = 1} ^n x_i \, y_i\,$ .

$\ast$ Sur l’espace vectoriel $E$ des fonctions continues sur $[a ,\, b]$ à valeurs dans $\mathbb{R}$ ,

$\quad (f \, | \, g) = \displaystyle \int_a ^b f(t) \, g(t) \, \textrm{d} \, t$ .

$\ast$ le résultat classique à savoir démontrer : Soit $E = \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ .

$\quad \quad E \times E \to \mathbb{R},\; (A , B) \mapsto \textrm{Tr}(A^{\textrm{T}} \, B)$ définit un produit scalaire sur $E$ .

$\bullet$ Si $\varphi$ est un produit scalaire sur l’espace vectoriel réel $E$ , on dit que $(E \,,\, \varphi)$ est un espace préhilbertien réel.

Si de plus $E$ est de dimension finie, on dit que $(E\, ,\, \varphi)$ est un espace euclidien.

$\bullet$ Savoir utiliser la bilinéarité du produit scalaire :

On suppose que $\left (E , \, ( \cdot \mid \cdot) \right )$ est un préhilbertien,

$\ast$ Si $(x , y , z , t) \in E^4$ et $\qquad \quad (\alpha \, ,\, \beta \, ,\, \gamma \, ,\, \delta) \in \mathbb{R}^4$ ,
$(\alpha \, x + \beta \, y \mid \gamma z + \delta t) = \alpha \, \gamma \, (x \mid z)$ $+ \, \alpha \,\delta \, (x \mid t) + \beta \, \gamma \, (y \mid z) + \beta \,\delta\, (y \mid t)$

$\ast$ Plus généralement, si $(p \,,\, q) \in \mathbb{N}^2$ vérifient $p \geq 2, q \geq 2$ ,

$\forall \left ( (x_i)_{1\leqslant i \leqslant p }\, , \, (y_j)_{1\leqslant j \leqslant q } \right ) \in E ^{p + q}$

et $\forall \left ( (\alpha_i)_{1\leqslant i \leqslant p }\,, \, (\beta_j)_{1\leqslant j \leqslant q } \right ) \in \mathbb{R } ^{p + q}$

$\displaystyle \left ( \sum _ {i = 1} ^p \alpha_i \, x_i \; \Bigg \vert \; \sum _ {j = 1} ^q \beta _j \, y_j \right )$

$= \qquad \displaystyle \sum _ {i = 1} ^p \sum _{ j = 1} ^q \alpha_i \, \beta _ j \, \left ( x_i \mid y_j \right )$ .

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B. Définir et manipuler une norme euclidienne en Maths Sup

Si $(x ,\, y) \mapsto (x \mid y)$ est un produit scalaire sur $E$ , on définit la norme euclidienne de $x \in E$

par $\qquad \quad \Vert x \Vert = \sqrt{ (x \mid x) }$ .

Alors $E \to \mathbb{R}^+ , \, x \mapsto \Vert x \Vert$ vérifie

$\ast$ $\Vert x \Vert = 0$ ssi $x = 0$

$\ast$ Si $\lambda \in \mathbb{R}$ et $x \in E$ , $\, \Vert \lambda \, x \Vert = \vert \lambda \Vert \; \Vert x \Vert$

$\ast$ Si $(x , y) \in E^2$ , $\Vert x + y \vert \leq \Vert x \Vert + \Vert y \Vert$ (inégalité triangulaire).

On dit que $x \mapsto \Vert x \Vert$ est une norme euclidienne sur $E$ .

On dit que $x \in E$ est unitaire lorsque $\Vert x \Vert = 1$ .

Cas particuliers :

$\ast$ La norme euclidienne sur $\mathbb{R}^n$ est définie si $u = (u_1\, ,\, \cdots \, , \, u_n)$ par :

$\qquad \qquad \displaystyle \Vert u \Vert = \sqrt{\sum _{i = 1} ^n u_i^2} \,$ .

$\ast$ La norme euclidienne de $f \in \mathcal{C} ([a, \, b] , \, \mathbb{R})$ , $\Vert f \Vert = \sqrt{\int_a ^b f ^2(t) \, \textrm{d} \, t}$ .

Connaître la formule de polarisation

Si $(x , y) \in E ^2 ,$

$\quad \, 2\, (x \mid y) = \Vert x + y \Vert ^2 - \Vert x \Vert ^2 - \Vert y \Vert ^2$ .

On peut aussi démontrer que

$\quad 4\, (x \mid y) = \Vert x + y \Vert ^2 - \Vert x - y \Vert ^2$ .

P : On note $(E , \, ( . \mid . ) \, )$ un préhilbertien réel.

Soient $n \in \mathbb{N}$ , $n \geq 2$ , $(x_i)_{\leqslant i \leqslant n} \in E^n$ et $(\alpha_ i)_{\leqslant i \leqslant n} \in \mathbb{R} ^n$ ,

$\displaystyle \left \Vert \sum _ {i = 1} ^n \alpha _ i \, x_ i \right \Vert ^2$

$=\qquad \displaystyle \sum _ {i = 1} ^n \alpha _ i^2 \,\Vert x_ i \Vert ^2+\sum _ {i \neq j} \alpha_i \, \alpha _ j\, (x _i \mid x_j)$ .

C. Manipuler l’inégalité de Cauchy-Schwarz en Maths Sup

$\bullet$ Le résultat général

Si $(E , ( .\, |\, . ))$ est un préhilbertien réel, on peut utiliser l’inégalité de Cauchy-Schwarz :

$\quad \forall \, (x , \,y) \in E^2, \; \vert (x \mid y)\vert \leq \Vert x \Vert \; \Vert y \Vert .$

Il y a égalité si, et seulement si, la famille $(x ,\, y)$ est liée.

$\bullet$ L’écriture dans $\mathbb {R}^n$

Si $(u_i)_{1\leqslant i \leqslant n}$ et $(v_i)_{1\leqslant i \leqslant n}$ sont deux familles de $n$ réels,

$\quad \displaystyle \left \vert \sum_{i = 1} ^n u _ i \, v _ i \right \vert \leq \sqrt {\sum _ {i = 1} ^n u_ i^2 } \; \sqrt{\sum _ {i = 1} ^n v_i^2 }$

ce qui est équivalent à

$\displaystyle \left ( \sum_{i = 1} ^n u _ i \, v _ i \right ) ^2 \leq \left ( \sum _ {i = 1} ^n u_ i^2 \right ) \, \left ( \sum _ {i = 1} ^n v_i^2 \right )$

$\bullet$ L’écriture dans $E = \mathcal{C}([a , b ], \mathbb{R})$

si $f$ et $g$ sont éléments de $E$ ,

$\displaystyle \left \vert \int_a ^b f(t) \, g(t) \, \textrm{d} \, t \right \vert$

$\displaystyle \quad \leq \sqrt { \int_a ^b f^2 (t) \, \textrm{d} \, t} \; \sqrt { \int_a ^b g^2 (t) \, \textrm{d} \, t}$

ou encore

$\displaystyle \left ( \int_a ^b f(t) \, g(t) \, \textrm{d} \, t \right )^2$

$\leq \displaystyle \quad \int_a ^b f^2 (t) \, \textrm{d} \, t \times \int_a ^b g^2 (t) \, \textrm{d} \, t$

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D. Manipuler la notion d’orthogonalité en Maths Sup

$\bullet$ M1 : Deux vecteurs $x$ et $y$ de $E$ sont orthogonaux ssi $(x \mid y) = 0$ ssi $\Vert x + y \Vert ^2 = \Vert x \Vert ^2 + \Vert y \Vert ^2$ (théorème de Pythagore).

On écrit $x \perp y$ .

$\bullet$ M2 : Si $X$ est une partie non vide de $E$ , l’ensemble des vecteurs orthogonaux à tous les vecteurs de $X$ est un sous-espace vectoriel de $E$ qui est noté $X ^{\perp}$ et appelé orthogonal de $X$ .

$X ^{\perp} = \{ y \in E \, / \, \forall\, x \in X ,\, (x \mid y) = 0 \}$ .

$\bullet$ M3 : Pour démontrer qu’un vecteur $x$ de $E$ préhilbertien réel est nul, on peut

$\ast$ démontrer que $\Vert x \Vert = 0$

$\ast$ démontrer que $\forall \, y \in E,\; (x \,|\, y) = 0$ , c’est-à-dire que $x \in E^{\perp}$ .

$\bullet$ M4 : Si $F$ est un sous-espace vectoriel du préhilbertien réel $E$ ,

$\qquad \qquad F \cap F^{\perp} = \{0\}$ .

$\bullet$ M5 : Toute famille finie de vecteurs 2 à 2 orthogonaux et non nuls est libre.

E. Construire une famille orthonormale en Maths Sup

Dans ce paragraphe, $(E ,\, ( . \, | \, . ))$ est un préhilbertien réel.

$\bullet$ M1 : Connaître le résultat complet du principe d’orthonormalisation de Gram-Schmidt

Si $(e_1 \, ,\, e_2 \, ,\, \cdots \, ,\, e_n)$ est une famille libre du préhilbertien de $(E \, , ( .\; \mid \; .))$ , il existe une unique famille orthonormale $(\varepsilon_1\, , \,\cdots \, , \, \varepsilon_n)$ de $E$ telle que

pour tout $k \in [\![1 , \, n]\!]$ ,

$\textrm{Vect} (e_1\, , \, \cdots \, , \, e_k) = \textrm{Vect}(\varepsilon_1\, ,\, \cdots \, , \, \varepsilon_k)$ .

et $(e_k \, | \, \varepsilon_k) > 0$ .

$\bullet$ M2 : Application pratique du procédé d’orthonormalisation de Gram-Schmidt :

$\ast$ Introduire une famille libre $(e_1 \, ,\, e_2 \, ,\, \cdots \, ,\, e_n)$ de $E$ .

$\ast$ Poser $\varepsilon _1 = \displaystyle \frac {e_1} {\Vert e_1\Vert}$ .

Puis construire les vecteurs par récurrence

$\ast$ après avoir construit $(\varepsilon _1 \, , \, \cdots \, , \, \varepsilon _ k)$ , introduire si $k + 1 \leq n$

$\quad u_{k + 1} = e_{k + 1} - \displaystyle \sum _ {i = 1} ^k (e_{k + 1} \, | \, \varepsilon_i) \, \varepsilon_i$

puis calculer $\varepsilon _{k + 1} = \displaystyle\frac {u_{k + 1}} {\Vert u_{k + 1} \Vert }$ .

Théorème :

Dans le cas où $F$ est de dimension finie et où $(e_i)_{1 \leq i \leq n}$ est une base de $F$ , on construit ainsi une base orthonormale $(\varepsilon _k) _{1 \leq k \leq n}$ de $F$ .

Tout sous-espace vectoriel de dimension finie strictement positive de $E$ admet une base orthonormale.

F. Utiliser l’orthogonal d’un sev de dimension finie en Maths Sup

Dans ce paragraphe, $F$ est un sous-espace vectoriel (sev) de dimension finie du préhilbertien $(E\, , \, ( . \, \mid \, . ))$ .

$\bullet$ Si $\dim F > 0$ , $F$ admet une base orthonormale.

$\bullet$ $E = F \oplus F ^{\perp}$ .

$\bullet$ La projection de $E$ sur $F$ parallèle- ment à $F^{\perp}$ est appelée projection orthogonale sur $F$ et notée $p_F\,$ .

$\bullet$ Si $\dim F = n > 0$ et si $(u_1\, ,\, \cdots \, , \, u_n)$ est une base orthonormale de $F$ , la projection orthogonale sur $F$ est définie par

$\quad \displaystyle p_F : E \mapsto E , x \mapsto \sum _{i = 1} ^n (x \, | \, u_i) \, u_i\,$ .

$\bullet$ Si $p_F$ est la projection orthogonale sur $F$ , pour tout $x \in E$ ,

$\quad \Vert x \Vert ^2 = \Vert p_F(x) \Vert ^2 + \Vert x - p_F(x)\Vert ^2$ .

On en déduit que $\qquad \forall\, x \in E, \, \Vert p_F(x) \Vert \leq \Vert x \Vert$ .

$\bullet$ Si $a \in E$ , $\{ \Vert f - a \Vert \, / \, f \in F\}$ admet un plus petit élément appelé distance de $a$ à $F$ et noté $\textrm{d} (a , F)$ .

Ce mininum est atteint en un seul point $f = p_F(a)$ .

Donc $\textrm{d} (a , F) = \Vert a - p_F(a) \Vert$

et $\textrm{d} (a , F)^2 = \Vert a \Vert ^2 - \Vert p_F(a) \Vert ^2$ .

G. Reconnaître et résoudre un problème de distance à un sev

Dans ce paragraphe, $(E, ( . \, | \, . ))$ est un espace préhilbertien réel.

Soit $a \in E$ donné. Dans le cas où l’on demande de déterminer la borne inférieure de l’ensemble $\left \{f(a , x_1 \, , \, \cdots \, ,\, x_n) / (x_1 \, , \, \cdots \, , \, x_n ) \in \mathbb{R}^n \right \}\;$
$f$ étant à valeurs positives ou nulles, il y a de fortes chances de se trouver devant un problème de distance à un sous-espace vectoriel.

Pour cela, il faut :

$\ast$ 1. préciser l’espace vectoriel $E$ considéré, lorsqu’il n’est pas donné par l’énoncé.

$\ast$ 2. trouver le produit scalaire utilisé.

$\ast$ 3. trouver le sous-espace vectoriel $F$ de dimension $n$ , c’est-à-dire écrire

$F = \textrm{Vect} (u_1\, \, ,\, \cdots \, , \, u_n)$ et interpréter le problème sous l’une des deux formes :

$\displaystyle \inf_{(x_1 \, ,\, \cdots \, , \, x_n ) \in \mathbb{R}^n} \left \Vert a - \sum _{i = 1} ^n x_i \, u_i \right \Vert^2$

$\displaystyle \quad \quad = \inf_{y \in F} \Vert a - y \Vert ^2 = d(a , F) ^2$

$\displaystyle \inf_{(x_1 \, , \, \cdots \, ,\, \, x_n ) \in \mathbb{R}^n} \left \Vert a - \sum _{i = 1} ^n x_i \, u_i \right \Vert$

$\displaystyle \quad \quad = \inf_{y \in F} \Vert a - y \Vert = d(a , F)$ .

$\ast$ 4. définir le projeté orthogonal $p_F(a)$ de $a$ sur $F$ (cf § 6).

$\ast$ 5. calculer

$\qquad \quad d(a , F)^2 = \Vert a \Vert ^2 - \Vert p_F(a)\Vert ^2$

$\qquad$ ou $d(a , F)^2 = \Vert a - p_F(a)\Vert ^2$
(théorème de Pythagore).

N’hésitez pas à compléter vos révisions de cours en MPSI, PCSI et PTSI avec l’ensemble de nos autres cours en ligne de Maths pour les Maths Sup. Revoyez par exemple, les notions essentielles des chapitres qui suivent :