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Exercices et corrigés sur l’espace préhilbertien en Maths Sup

Name: Groupe Réussite: Cours particuliers, stages intensifs de révision
Brand: Groupe Réussite
SKU: Cours Particuliers
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Résumé de cours Exercices et corrigés

Cours en ligne de Maths en Maths Sup

Pour réussir les concours d’écoles d’ingénieurs, il est primordial de travailler sérieusement dès les premiers mois de Maths Sup. Les maths ont un coefficient en MP, PC et PSI aux concours, si élevé, que la moindre impasse peut coûter cher. Le simulateur d’admissibilité aux concours CPGE peut en témoigner.

Exercice sur un produit scalaire en Maths Sup

Déterminer l’ensemble des réels $a$ tels que sur $E = \mathbb{R}^3$ , si

$x = (x_1\, ,\, x_2\, ,\, x_3 )$ et $y = (y_1\, ,\, y_2\, , \, y_3 )$ ,

$(x \mid y) = x_1 \, y_1 + x_2 \, y_2 + a\, x _ 3 \, y_3$ $\quad - \, 3\, x_1\, y_3 - 3\, y_1\, x_3 + 2\, x_2\, y_3 + 2 \, x_3 \, y_2 \,$

définisse un produit scalaire sur $E$ .

Exercice l’inégalité de Cauchy-Schwarz et intégration

Soient $a$ et $b$ deux réels.

On note $F$ l’ensemble des fonctions de classe $C^1$ sur $[0 ,\, 1]$ dans $\mathbb{R}$ vérifiant $f(0) =a$ et $f(1) = b$ .

Déterminer $\displaystyle \min _{f \in F} \int_0^1 f'^2(t) \, \textrm{d} \, t$ et l’ensemble des fonctions $f$ réalisant ce minimum.

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Exercice sur les raisonnements dans $\mathbb{R} [\textrm{X}]$

Soit $E = \mathbb{R} [\textrm{X}]$ .

Question :

Calculer la distance de $\textrm{X}^3$ à $F$ .

Exercice sur un problème de distance

On note $E$ l’espace vectoriel des applications continues sur $[-1,\,1]$ et à valeurs réelles.

Question :

On note $u\ :\ t\mapsto 1$ , $v\ :\ t\mapsto t$ et $F=\textrm{Vect}(u,\, v)$ . Déterminer une base orthonormale de $F$ .

Exercice sur l’orthogonal d’un sous-espace vectoriel

Soit $E$ l’espace vectoriel des fonctions de classe $C ^1$ sur $[0,\, 1]$ .

Si $(f ,\, g) \in E^2$ , on définit $\varphi(f , \,g) = f(0) \, g(0) + \int_0 ^1 f'(t) \, g'(t) \, \textrm{d} \, t$

Question :

$\varphi$ définit un produit scalaire sur $E$ .

Vrai ou Faux ?

Correction d’exercice sur un produit scalaire

$\bullet$ On fixe $y \in E$ .

Soient $(x,\, z) \in E^2$ et $\lambda \in \mathbb{R}$ ,

on démontre que :

$\quad (\lambda \, x + z \mid y)= \lambda\, ( x \mid y)+ ( z \mid y)$ .

$\bullet$ Il est évident que $(x \mid y) = (y \mid x)$ .

$\bullet$ Si $x \in E$ , on cherche le signe de $(x \mid x)$ en faisant apparaître des identités remarquables.

$(x \mid x) =$ $\quad x_1^2 + x_2 ^2 + a \, x_3 ^2 - 6\, x_1\, x_3 + 4 \, x_2\, x_ 3\,$

On écrit que $x _1 - 6\, x_1\, x_3$ est le début d’un carré

$(x \mid x) =$ $\;\; (x_1 - 3\, x_3) ^2 + x_2 ^2 + (a - 9) \, x_3 ^2$ $\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad + \,4 \, x_2\, x_ 3$

On écrit que $x _ 2^2 + 4 \, x_2\, x_ 3$ est le début d’un carré :

$(x \mid x) = (x_1 - 3\, x_3) ^2 + (x_2 + 2\, x_3)^2$ $\qquad \qquad \qquad \qquad \;\; +\, (a - 9 - 4 ) \, x_3 ^2$

$(x \mid x) = (x_1 - 3\, x_3) ^2 + (x_2 + 2\, x_3)^2$ $\qquad \qquad \qquad \qquad\;\; +\, (a - 13 ) \, x_3 ^2$

$\ast$ Si $a - 13 \leq 0$ , avec $x = (0 , 0 , 1) \neq 0$

$(x \mid x) = a - 13 \leqslant 0$

donc $(x , y) \mapsto (x \mid y)$ n’est pas un produit scalaire.

$\ast$ Si $a - 13 > 0$ , comme somme de réels positifs ou nuls, $(x \mid x) \geqslant 0$

$\bullet$ On suppose toujours $a > 13$ et on garde les notations précédentes, si $(x \mid x) = 0$ , comme somme de carrés de réels, on obtient le système

$\qquad \qquad \left \{ \begin{matrix} x_1 - 3\, x_3&=&0 \\ x_2 + 2\, x_3&=& 0 \\x_3 &=& 0 \end{matrix} \right.$

ce qui donne $x_3 = x_2 = x_1 = 0$ soit $x = 0$ .

On a prouvé que l’on a défini un produit scalaire sur $E$ .

On écrit $(x \mid x)$ comme combinaison linéaire de carrés en utilisant les termes $x_i \, x_j$ pour faire apparaître des débuts de carrés.

$\ast$ Si tous les coefficients de ces carrés sont strictement positifs, on étudie le caractère défini en résolvant un système de trois équations à trois inconnues.

$\ast$ Si l’un au moins des coefficients est négatif ou nul, on choisit un $x$ particulier annulant les autres carrés sans annuler le carré du coefficient strictement négatif considéré.

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Correction d’exercice sur l’inégalité de Cauchy-Schwarz et intégration

On utilise le produit scalaire usuel dans l’espace vectoriel $E = \mathcal{C}([0,\, 1],\, \mathbb{R})$ .

L’inégalité de Cauchy Schwarz appliquée aux fonctions $t \mapsto 1$ et $t \mapsto f'(t)$ donne

$\left ( \int_0 ^1 f'(t) \, \textrm{d} \, t \right ) ^2 \leqslant \int_0 ^1 1^2 \textrm{d}\,t \, . \,\int_0 ^1 f'(t) ^2 \textrm{d}\,t$

ce qui donne $(f(1) - f(0))^2 \leqslant 1 . \int_0 ^1 f'(t) ^2 \textrm{d}\,t$

soit $(b - a)^2 \leqslant \int_0 ^1 f'(t) ^2 \textrm{d}\,t$ .

Lorsque $g : t \mapsto (b - a)t + a$ , $g \in F$

et $\int_0 ^1 f'(t) ^2 \textrm{d}\,t = (b - a)^2$ .

On a donc prouvé que l’ensemble introduit admet un minimum égal à $(b - a)^2$ .

Le cas où $\int_0 ^1 f'(t) ^2 \textrm{d}(t) = (b - a)^2$ est le cas d’égalité de l’inégalité de Cauchy-Schwarz, donc le cas où les fonctions $f'$ et $t \mapsto 1$ sont colinéaires.

Ce sont les fonctions $f : t \mapsto \alpha \, t + \beta$ avec $f(0) = a$ et $f(1) = b$ ssi $\beta = a$ et $\alpha + \beta = b$ soit pour la fonction $\qquad \qquad f _0 : t \mapsto (b - a)t + a$ .

Correction de l’exercice sur les raisonnements dans $\mathbb{R} [\textrm{X}]$

Comme on connaît une base orthonormale de $F$ ,

$p_F( \textrm{X}^3) = \displaystyle \sum _{k = 0} ^2 (\textrm{X}^3\mid Q_k) \, Q_k \,$ .

$\ast$ $(\textrm{X}^3\mid Q_0) = \displaystyle \sqrt{2} \,\int_0 ^1 t ^4 \, \textrm{d} \, t = \frac {\sqrt{2}} 5$

$\ast$ $(\textrm{X}^3\mid Q_1) = \int_0 ^1 t ^4\, (6 \, t - 4) \, \textrm{d} \, t$

$(\textrm{X}^3\mid Q_1) = \displaystyle 1 - \frac 4 5 = \frac 1 5$ .

$\ast$ $(\textrm{X}^3\mid Q_2)$ $\qquad = \sqrt{6} \int_0 ^1 t ^4 (10\, t ^2 - 12 \, t + 3 ) \, \textrm{d} \, t$

$\qquad \qquad = \sqrt{6}\left ( \displaystyle \frac {10} 7 - 2 + \frac 3 5 \right ) = \displaystyle \frac {\sqrt{6} } {35}$ .

Comme $(Q_0\, ,\, Q_1\, , \,Q_2)$ est une base orthonormale,

$\left \Vert p_F(\textrm{X}^3) \right \Vert ^2 = \displaystyle \sum _ {k = 0} ^2 (\textrm{X}^3\mid Q_k)^2$

$\left \Vert p_F(\textrm{X}^3) \right \Vert ^2 = \displaystyle \frac 2 {25} + \frac 1 {25} + \frac 6 {35^2}= \frac {153} {1225}$

et $\left \Vert \textrm{X}^3 \right \Vert ^2 = \int_0 ^1 t ^7 \, \textrm{d} \, t = \displaystyle \frac 1 8$

$\textrm{d} ^2( \textrm{X}^3,\, F) = \left \Vert \textrm{X}^3 \right \Vert ^2 - \left \Vert p_F(\textrm{X}^3) \right \Vert ^2$

$\textrm{d} ^2( \textrm{X}^3,\, F) =\displaystyle \frac {1} {9800}$ .

$\textrm{d}( \textrm{X}^3,\, F) =\displaystyle \frac {1} {70 \, \sqrt{2}}$ .

Correction de l’exercice sur un problème de distance

On pourrait utiliser les formules de Schmidt. Cependant, il est immédiat que $(u\, |\, v) = 0$ et il suffit de normer les vecteurs pour obtenir une base orthonormale.

$(u \, | \, u) = 2$ et $(v \, | \, v) = \displaystyle \frac 2 3$ .

$\displaystyle \left(\frac{1}{\sqrt{2}}u\, , \, \sqrt{\frac{3}{2}}\; v\right )$ est une b.o.n. de $F$ .

Correction de l’exercice sur l’orthogonal d’un sous-espace vectoriel

Vrai,

$\bullet$ Soit $g \in E$ , par linéarité de $f \mapsto f(0) \, g(0)$ , de $f \mapsto f'$ et de l’intégrale sur $[0,\, 1]$ , $f \mapsto \varphi(f ,\, g)$ est linéaire.

$\bullet$ Par commutativité de la multiplication dans $\mathbb{R}$ , $\varphi$ est symétrique.

$\bullet$ Si $f \in E$ , $\varphi (f,\, f) = f^2(0) + \int_0 ^1 {f'} ^2(t) \, \textrm{d} \, t \geqslant 0$ .

$\bullet$ Si $\varphi(f ,\, f) = 0$ , comme somme nulle de deux réels positifs ou nuls, $f ^2(0) = 0$ et $\int_0 ^1 {f'} ^2(t) \, \textrm{d} \, t = 0$ .

La fonction ${f'} ^2$ est continue, positive ou nulle et d’intégrale nulle sur $[0,\, 1]$ , donc elle est nulle.

La fonction $f$ est constante égale à $f(0) = 0$ , donc $f = 0$ .

On a prouvé que $\varphi$ est un produit scalaire sur $E$ .

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