Chapitres Maths en MPSI, PCSI, MP2I, PTSI
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Corrigés : Nombres complexes en MPSI, PCSI, PTSI
Résumé de cours Exercices Corrigés
Cours en ligne de Maths en Maths Sup
Corrigés- nombres complexes en MPSI, PCSI, PTSI
1. Modules et arguments
Question 1 (Vrai/faux)
Le complexe non nul a pour argument
Corrigé :
Faux. Si , a un module égal à et un argument congru à ,
Si , le module de est égal à , et son argument est congru à modulo car on écrit
.
⚠️ à ne pas répondre trop vite en oubliant la discussion sur le signe de .
Question 2
a/ Si et sont des complexes,
Corrigé :
Vrai. En appliquant l’inégalité triangulaire :
donc .
En échangeant et ,
et comme ,
En utilisant si et , , on a donc prouvé l’inégalité.
b/ Pour tout , montrer que .
Préciser les cas d’égalité
Corrigé :
Démonstration de l’inégalité.
On écrit ,
donc
En échangeant et et en utilisant , on obtient
.
Par demi-somme des inégalités (1) et (2), on obtient :
.
Il y a égalité ssi (1) et (2) sont des égalités ssi
( ou avec )
ou ( ou avec )
ssi ou ssi .
I y a donc deux cas d’égalité si et un seul si .
Question 3
est un imaginaire pur si, et seulement si,
a. .
b. est un réel négatif ou nul.
Corrigé :
Question 4
Si , et ont même partie réelle ssi .
Corrigé :
Faux car si , les parties réelles de et sont nulles et .
Si ,
et ont même partie réelle ssi ssi ou .
Question 5
Si et sont trois complexes de module , .
Corrigé :
Vrai. Les 3 complexes ont pour module 1 donc , et .
en réduisant au même dénominateur
car le module de est égal à 1.
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2. Sur la fonction exponentielle
Question 1
Si est réel,
Corrigé :
Vrai.
est le conjugué de .
Question 2
Si est complexe, .
Corrigé :
Faux. Prendre .
et
donc .
Question 3
Si est complexe, .
Corrigé :
Vrai. On écrit , .
Puis on utilise et la croissance de la fonction exponentielle sur : .
Question 4
Si est un complexe non nul, les images des solutions de l’équation sont alignées.
Corrigé :
Vrai. On note où et .
On écrit avec .
ssi
ssi et
ssi et .
Les images des solutions sont alignées sur la droite d’équation .
2. Sur les racines -ièmes
Question 1
Les racines – ièmes de sont les complexes où
a)
b)
c)
Corrigé :
La bonne réponse est c. On calcule les racines – ièmes d’un complexe non nul en utilisant valeurs consécutives entières de .
Seule la réponse c) donne valeurs entières consécutives de .
👍 Remarque : en général, on choisit les valeurs de entre et . Mais il est possible de choisir comme ici entre et , ce qui permet alors de remarquer que si l’on note , , et si et sont conjugués.
Question 2
Si , il existe , .
Corrigé :
Faux. On note ;
S’il existait tel que , on aurait donc .
Il existerait tel que alors donc ce qui est absurde.
👍 On rappelle la démonstration de .
Si l’on avait , il existerait et dans tels que .
En écrivant et et en simplifiant par , on peut se ramener au cas où et ne sont pas tous les deux pairs ce que l’on suppose dans la suite.
Alors , donc
est pair (car impair implique impair).
On écrit et on simplifie par 2 :
, donc est pair, ce qui contredit l’hypothèse sur et .
On a prouvé que est irrationnel.
Question 3
Soit et .
.
Corrigé :
Faux.
La propriété est fausse : par exemple, en prenant , ne contient qu’un élément ou pour avec , , ne contient que 2 éléments.
👍 Pour aller plus loin en MPSI (nécessite le cours d’arithmétique) :
Dans le cas où avec et premiers entre eux, alors .
Il est évident que .
Pour prouver l’égalité, on démontre que a éléments.
Soient tels que ,
On peut supposer par symétrie que .
Donc il existe tel que
donc .
divise et est premier avec , donc divise par le lemme de Gauss.
Comme , et , et est un multiple de .
On en déduit que .
On a donc prouvé que contient éléments donc .
Réciproquement si avec , alors et sont premiers entre eux.
En effet si , , donc il existe tel que soit .
Il existe tel que
ce qui donne , donc par la relation de Bezout, et sont premiers entre eux.
Conclusion
Soit et .
ssi et sont premiers.
Question 4
Soit , .
Corrigé :
Vrai. Soit
Il est évident que .
On note .
On sait que .
contient
qui est l’ensemble des racines -ièmes de 1, car prend valeurs consécutives entières.
Donc .
Par double inclusion, .
Question 5
Soient .
ssi divise .
Corrigé :
Vrai. Si divise , on écrit avec .
Si , , donc .
On a prouvé que .
On suppose que .
On note
alors donc , il existe tel que donc et divise .
Question 6
Soit . Il existe une bijection de sur l’ensemble des racines -ièmes de .
Corrigé :
Vrai. On note
il est évident que .
Alors ,
où
et .
L’application , est une bijection.
Question 7
Si est impair, .
Corrigé :
Vrai. On note
Comme , , donc .
On note .
On sait que .
Alors .
Soient ,
ssi
ssi
ssi .
Comme , ,
on en déduit que ou .
Si l’on avait , alors , donc est pair ce qui est exclu.
On en déduit que et donc .
contient donc éléments distincts et est inclus dans qui a aussi éléments, alors .
Question 8
Les images des racines -ièmes de 1 sont les sommets d’un polygone régulier à côtés inscrit dans le cercle unité.
Corrigé :
Vrai. On note où l’affixe de .
On remarque que et où .
Si ,
Comme , les côtés du polygone ont même longueur égale à , on obtient un polygone régulier et les sommets sont sur le cercle de centre et de rayon .
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3. Manipulation de complexes en maths sup
Exercice 1
Calculer les racines cubiques de . Les écrire sous forme cartésienne et en déduire la valeur de et .
Corrigé :
admet comme racines cubiques les complexes :
et .
Comme , .
en égalant les parties réelles et imaginaires :
.
Exercice 2
Si et sont deux complexes distincts de module 1,
vérifie
Corrigé :
On introduit des réels et tels que et (le coefficient 2 permet de simplifier les calculs qui suivent en évitant les facteurs ) :
et
.
On note .
On note . Alors
où .
Donc est un imaginaire pur, son carré est négatif ou nul.
Exercice 3
Résoudre le système et .
Corrigé :
Résolution de la première équation
en notant :
Résolution de la deuxième équation
en notant ,
en multipliant par la quantité conjuguée
.
La première équation donnait .
La relation sur les arguments devient alors
et
Le système admet une seule solution égale à .
Exercice 4
Question 1
Soient deux complexes et .
Corrigé :
les termes et s’éliminant
ce qui justifie la relation.
Question 2
Interprétation géométrique du résultat de la question 1 lorsque et sont non nuls.
Corrigé :
On note (resp. ) le point d’affixe (resp. ).
Le point d’affixe est tel que soit un parallélogramme.
Le point d’affixe est tel que .
On a établi que
Dans un parallélogramme, la somme des carrés des longueurs des 4 côtés est égale à la somme des carrés des longueurs des deux diagonales.
Question 3
On suppose que et on note une racine carrée de .
Corrigé :
On note et deux réels tels que et , alors .
On peut supposer grâce à la symétrie du problème que .
d’après la question 1.
.
La relation est vérifiée pour .
5. Modules et arguments
Exercice 1
a) Trouver la forme trigonométrique du complexe :
où .
Corrigé :
donc
On rappelle que .
.
donc
On rappelle que .
.
On note
a pour module : et pour argument .
On calcule .
donc en utilisant la quantité conjuguée.
Autre méthode :
On peut montrer que .
En notant et en utilisant ,
on obtient donc .
L’équation admet deux racines dont une seule est positive : .
.
b/ Trouver la forme trigonométrique du complexe
si et .
Corrigé :
donc
si soit si , n’a pas d’argument.
si , ,
admet pour module et pour argument.
si , ,
… si est pair, admet
pour module et pour argument.
… si est impair, le module de est et son argument est .
Exercice 2
Soit un réel.
On note .
On note et les racines de l’équation .
Question 1
Sans calculer explicitement et , comparer leurs modules et leurs arguments.
Corrigé :
Comme , alors donc les modules sont inverses l’un de l’autre
puis , les arguments sont opposés.
Question 2
Déterminer pour que et soient réels, puis pour qu’ils soient imaginai- res purs.
Corrigé :
Si et sont réels, est réel, donc , donc
Réciproquement si , l’équation admet une racine double égale à 1, et si , elle a dune racine double égale à .
Conclusion :
Les racines sont réelles ssi .
Si et sont imaginaires purs , est imaginaire pur, donc , donc .
Réciproquement
si , les racines de l’équation
sont et et sont imaginaires pures
si , les racines de l’équation sont et et sont imaginaires pures
Conclusion :
Les racines sont imaginaires pures ssi .
Question 3
Calculer les modules et arguments de et .
Corrigé :
On écrit .
.
On est donc amené à discuter selon le signe de .
Si , on a une racine double égale à car ,
donc de module égal à 1 et d’argument nul (resp . égal à ) si (resp. ).
Si , on se ramène au cas où
.
Leur module commun est , les arguments respectifs et .
Si , on se ramène au cas où
.
Leur module commun est , les arguments respectifs et .
Question 4
Si , et ont même module à exprimer en fonction de .
Corrigé :
Dans le cas où ,
et
or
et
donc
.
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4. Équations
Exercice 1
Résoudre dans :
.
Corrigé :
On calcule le discriminant de l’équation
.
Puis l’on détermine les racines carrées de en cherchant des réels et tels que , pour cela on égale les parties réelles et imaginaires de cette relation, et en écrivant que le module de (soit le carré du module de ) est égal au module de , on obtient le système:
On obtient
donc avec
Les racines de l’équation sont
et .
Exercice 2
Résoudre .
Corrigé :
On pose et on résout l’équation du second degré (1)
.
Son discriminant réduit est égal à
on cherche les racines carrées de soit avec tel que
donc on résout le système :
ssi et
alors
et vérifie
Les solutions de l’équation (1) sont
et
On résout .
En posant , on résout le système
ssi et .
On obtient les deux premières racines et .
On résout .
En posant , on résout le système
ssi et .
On obtient les deux dernières racines et .
Les 4 racines de l’équation sont
et .
Exercice 3
Résoudre lorsque est un complexe, l’équation
.
Corrigé :
On pose et on résout l’équation
dont on a une factorisation évidente :
ssi ou .
Les racines cubiques de sont donc , et .
Il reste 4 équations à résoudre
où .
où .
où .
où .
Les solutions sont les complexes
,
,
,
,
où .
Exercice 4
Résoudre dans l’équation
,
où et .
Corrigé :
On pose et on commence par résoudre l’équation ainsi obtenue :
(E’)
.
L’équation (E’) a deux racines (éventuellement confondues) :
et
Il reste à calculer les racines nièmes de et en utilisant le résultat de cours.
Les racines de l’équation sont donc et où .
Exercice 5
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Résoudre l’équation sachant qu’elle a une racine réelle.
Que dire du triangle formé par les images des trois racines ?
Corrigé :
On cherche une solution réelle en séparant partie réelle et partie imaginaire de l’équation, on obtient les CNS :
,
3 n’est pas racine de la première équation, mais , donc est racine réelle de l’équation.
On cherche des complexes et tels que
s’écrive
par égalité de deux fonctions polynômes, on obtient les CNS :
ce qui donne et .
On résout .
On calcule le discriminant :
.
On cherche et réels tels que
ce qui donne le système :
on obtient , et .
Donc .
Les deux autres racines de l’équation sont
et .
On note , et
donc soit
donc .
Le triangle est rectangle isocèle en .
Exercice 6
Question 1
Quel est l’ensemble des nombres complexes tels que ?
Corrigé :
ssi
ssi
ssi
ssi
ssi est imaginaire pur.
Question 2
Pour tout , l’équation n’a pas de solution.
Corrigé :
Si est solution de alors
donc
et alors est imaginaire pur.
L’équation s’écrit
où et
ssi
ssi
Si est pair, et tout est solution.
Donc l’ensemble des solutions est l’ensemble des imaginaires purs.
Si est impair, l’équation est équivalente à ssi ssi ce qui est impossible si
L’équation n’admet pas de solution si est impair.
Exercice 7
Soit , et
Résoudre l’équation : .
Corrigé :
1 n’est pas racine de l’équation , est donc équivalente par quotient à
soit à est une racine ième de c’est à dire égal à l’un des complexes où avec .
Il reste donc à résoudre lorsque , l’équation qui est équivalente à soit à .
On examine ensuite s’il existe un entier tel que (dans ce cas, l’équation précédente est impossible) :
.
On détermine la valeur de en remarquant que et , donc .
Le seul multiple impair de dans cet intervalle est , donc et
.
On discute ensuite cette équation :
si , cette relation n’est pas vérifiée, donc et toute valeur de convient.
si et si est impair, il est impossible d’avoir et donc pour tout .
si et si est pair (), lorsque et cette valeur de doit être écartée.
si et si est pair, il est impossible d’avoir et donc pour tout .
si et si est impair (on écrit ), lorsque et cette valeur de doit être écartée.
En résumé, Si
on note
Dans la suite, on suppose que .
On rappelle que où
et que
et
donc .
Conclusion :
Les racines de sont les complexes
où .
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