Chapitres Maths en MPSI, PCSI, MP2I, PTSI

Corrigés : Nombres complexes en MPSI, PCSI, PTSI

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Résumé de cours Exercices Corrigés

Cours en ligne de Maths en Maths Sup

Corrigés- nombres complexes en MPSI, PCSI, PTSI

1. Modules et arguments

Question 1 (Vrai/faux)
Le complexe non nul $a(\cos b + \textrm{i} \, \sin b)$ a pour argument $b$

Corrigé :

Faux. $\ast$ Si $a > 0$ , $z$ a un module égal à $a$ et un argument congru à $b$ ,
$\ast$ Si $a < 0$ , le module de $z$ est égal à $- a$ , et son argument est congru à $\pi + b$ modulo $2 \pi$ car on écrit
$\quad \quad \quad z = ( - a) \, \textrm{e} ^{ \textrm{i} \, \pi} \, \textrm{e} ^{ \textrm{i} \, b}$ .

à ne pas répondre trop vite en oubliant la discussion sur le signe de $a$ .

Question 2
a/ Si $z$ et $z'$ sont des complexes, $\quad \quad \quad \vert \, \vert z \vert - \vert z'\vert \, \vert \leq \vert z - z' \vert$

Corrigé :

Vrai. $\ast$ En appliquant l’inégalité triangulaire : $\vert z\vert = \vert z - z' + z'\vert$
$\vert z\vert \leq \vert z - z'\vert + \vert z'\vert$
donc $\vert z\vert - \vert z'\vert \leq \vert z - z'\vert$ .
$\ast$ En échangeant $z$ et $z'$ , $\vert z'\vert - \vert z\vert \leq \vert z' - z\vert$
et comme $\vert z' - z\vert = \vert z - z'\vert$ , $\vert z'\vert - \vert z\vert \leq \vert z - z'\vert$
En utilisant si $a \leq b$ et $- a \leq b$ , $\vert a \vert \leq b$ , on a donc prouvé l’inégalité.

b/ Pour tout $(a , b) \in \mathbb{C}^2$ , montrer que $\quad \quad \vert a \vert + \vert b \vert \leq \vert a + b \vert + \vert a - b \vert$ .
Préciser les cas d’égalité

Corrigé :

$\bullet$ Démonstration de l’inégalité.
$\ast$ On écrit $\vert 2\, a\vert = \vert (a + b) + (a - b)\vert$ ,
donc $2 \, \vert a \vert \leq \vert a + b \vert + \vert a - b\vert \quad (1)$

$\ast$ En échangeant $a$ et $b$ et en utilisant $\vert b - a \vert = \vert a- b \vert$ , on obtient
$\quad 2 \, \vert b \vert \leq \vert a + b\vert + \vert a - b\vert \quad (2)$ .

$\ast$ Par demi-somme des inégalités (1) et (2), on obtient :
$\quad\quad \vert a \vert + \vert b \vert \leq \vert a + b \vert + \vert a - b \vert$ .

$\bullet$ Il y a égalité ssi (1) et (2) sont des égalités ssi
( $a + b = 0$ ou $a - b = \lambda (a + b)$ avec $\lambda \geq 0$ )
ou ( $a + b = 0$ ou $b - a =\mu (a + b)$ avec $\mu \geq 0$ )
ssi $b = - a$ ou $b - a = 0$ ssi $b = \pm a$ .
I y a donc deux cas d’égalité si $a \neq b$ et un seul si $a = b$ .

Question 3
$z$ est un imaginaire pur si, et seulement si,
a. $\displaystyle \textrm{Arg} z \equiv \frac {\pi} 2 \quad [2\, \pi]$ .
b. $z^2$ est un réel négatif ou nul.

Corrigé :

Seule l’affirmation b) est juste car

$0$ est un imaginaire pur qui n’a pas d’argument.

Question 4
Si $z \in \mathbb{C}^*$ , $z$ et $\displaystyle \frac 1 z$ ont même partie réelle ssi $\vert z \vert = 1$ .

Corrigé :

Faux car si $z = 2\, \textrm{i}$ , les parties réelles de $z$ et $\displaystyle \frac 1 z$ sont nulles et $\vert z \vert = 2$ .
Si $z = x + \textrm{i} \, y$ , $\displaystyle\frac 1 z = \frac {\overline{z}} {\vert z \vert ^2} = \frac {x } {x ^2 + y ^2} - \textrm{i} \frac y {x^2 + y^2}$
$z$ et $\displaystyle \frac 1 z$ ont même partie réelle ssi $x(x^2 + y ^2 - 1) = 0$ ssi $x = 0$ ou $\vert z \vert = 1$ .

Question 5
Si $a, b$ et $c$ sont trois complexes de module $1$ , $\vert a b + a c + b c \vert = \vert a + b + c \vert$ .

Corrigé :

Vrai. Les 3 complexes ont pour module 1 donc $\overline {a} = \displaystyle \frac 1 a$ , $\overline {b} = \displaystyle \frac 1 b$ et $\overline {c} = \displaystyle \frac 1 c$ .
$\displaystyle \vert a + b + c \vert = \left \vert \; \overline {a + b + c} \; \right \vert$
$\vert a + b + c \vert = \displaystyle \left \vert \frac 1 a + \frac 1 b + \frac 1 c \right \vert$
en réduisant au même dénominateur
$\vert a + b + c \vert = \displaystyle \frac {\vert b\, c + a \, c + a\, b \vert } {\vert a\, b\, c \vert }$ $\vert a + b + c \vert = \vert b \,c + a\, c + a\, b \vert$
car le module de $a\, b\, c$ est égal à 1.

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2. Sur la fonction exponentielle

Question 1
Si $x$ est réel, $\overline {e ^{\textrm{i} \, x} } = e ^{ - \textrm{i} \, x}$

Corrigé :

Vrai. $e ^{ \textrm{i} \, x}= \cos(x) + \textrm{i} \, \sin(x)$
$e ^{ - \textrm{i} \, x}= \cos(- x) + \textrm{i} \, \sin(-x)$
$e ^{ - \textrm{i} \, x}= \cos(x) - \textrm{i} \, \sin(x)$ est le conjugué de $e ^{ \textrm{i} \, x}$ .

Question 2
Si $z$ est complexe, $\vert \textrm{e} ^{z} \vert = \textrm{e} ^{ \vert z \vert }$ .

Corrigé :

Faux. Prendre $z = \textrm{i}$ .
$\vert \textrm{e} ^{z} \vert = 1$ et $\textrm{e} ^{ \vert z \vert } = \textrm{e}^1$
donc $\vert \textrm{e} ^{z} \vert \neq \textrm{e} ^{ \vert z \vert }$ .

Question 3
Si $z$ est complexe, $\vert \textrm{e} ^{z} \vert \leq \textrm{e} ^{ \vert z \vert }$ .

Corrigé :

Vrai. On écrit $z = x + \, \textrm{i} \, y$ , $\vert \textrm{e} ^{z} \vert = \textrm{e} ^{x}$ .
Puis on utilise $x \leq \vert x \vert \leq \vert z \vert$ et la croissance de la fonction exponentielle sur $\mathbb{R}$ : $\textrm{e} ^{x} \leq \textrm{e} ^{ \vert z \vert }$ .

Question 4
Si $Z$ est un complexe non nul, les images des solutions de l’équation $\textrm{e}^z = Z$ sont alignées.

Corrigé :

Vrai. On note $Z = \rho \, \textrm{e}^{\textrm{i} \, t}$ où $\rho > 0$ et $t \in \mathbb{R}$ .
On écrit $z = x + \textrm{i} \, y$ avec $(x , y) \in \mathbb{R}^2$ .
$\textrm{e}^z = Z$ ssi $\textrm{e} ^x \, \textrm{e}^{\textrm{i} \, y} = \rho \, \textrm{e}^{\textrm{i} \, t}$
ssi $\textrm{e} ^x = \rho$ et $\exists \, n \in \mathbb{Z}\, , \, y = t + 2\, n \, \pi$
ssi $x = \ln(\rho)$ et $\exists \, n \in \mathbb{Z}\, , \, y = t +2 \, n \, \pi\,$ .

Les images des solutions sont alignées sur la droite d’équation $x = \ln(\rho)$ .

2. Sur les racines $n$ -ièmes

Question 1
Les racines $2n$ – ièmes de $1$ sont les complexes $\textrm{e}^{\textrm {i} \, k \, \pi/n}$ où
a) $k \in [\![0 , \, n - 1]\!]$
b) $k \in [\![0 , \, 2 \, n]\!]$
c) $k \in [\![- n + 1 , \, n]\!]$

Corrigé :

La bonne réponse est c. On calcule les racines $2\, n$ – ièmes d’un complexe non nul en utilisant $2\, n$ valeurs consécutives entières de $k$ .
Seule la réponse c) donne $2\, n$ valeurs entières consécutives de $k$ .

Remarque : en général, on choisit les valeurs de $k$ entre $0$ et $2\, n - 1$ . Mais il est possible de choisir comme ici $k$ entre $-(n - 1)$ et $n$ , ce qui permet alors de remarquer que si l’on note $z_ k = \textrm{e}^{\textrm {i} \, k \, \pi/n}$ , $z_0 = 1$ , $z_n = - 1$ et si $k \in [\![1 , \, n - 1]\!]$ $z_{ - k}$ et $z_k$ sont conjugués.

Question 2
Si $\vert \omega \vert = 1$ , il existe $n \in \mathbb{N}^*$ , $\omega \in \mathbb{U}_n\,$ .

Corrigé :

Faux. On note $\omega = \textrm{e} ^{\textrm{i} \, \sqrt{2}\, \pi}$ ; $\vert \omega \vert = 1$
S’il existait $n \in \mathbb{N}^*$ tel que $\omega \in \mathbb{U}_n\,$ , on aurait $\omega ^n = 1$ donc $\textrm{e} ^{\textrm{i} \, n\, \sqrt{2}\, \pi} = 1$ .
Il existerait $k \in \mathbb{Z}$ tel que $n\, \sqrt{2}\, \pi = 2 \, k \, \pi$ alors $\displaystyle\sqrt{2} = \frac {2 k} {n}$ donc $\sqrt{2} \in \mathbb{Q}$ ce qui est absurde.
On rappelle la démonstration de $\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}$ .
Si l’on avait $\sqrt{2} \in \mathbb{Q}$ , il existerait $p$ et $q$ dans $\mathbb{N}^*$ tels que $\displaystyle\sqrt{2} = \frac {p} {q}$ .
En écrivant $p = 2 ^{p'}\, (2\, p'' + 1)$ et $q = 2 ^{q'}\, (2 \, q'' + 1)$ et en simplifiant par $2 ^{\min (p' ,\, q')}$ , on peut se ramener au cas où $p$ et $q$ ne sont pas tous les deux pairs ce que l’on suppose dans la suite.
Alors $\displaystyle 2 = \frac {p^2 } {q^2}$ , donc $2 \, q^2 = p ^2$
$p$ est pair (car $p$ impair implique $p ^2$ impair).
On écrit $p = 2 \, p'$ et on simplifie par 2 :
$2\, q^2 = 4\, {p'} ^2 \Rightarrow q^2 = 2\, {p'} ^2$ , donc $q$ est pair, ce qui contredit l’hypothèse sur $p$ et $q$ .
On a prouvé que $\sqrt{2}$ est irrationnel.

Question 3
Soit $n \in \mathbb{N}^*$ et $\omega \in \mathbb{U}_n\,$ .
$\{ \omega ^k \, , \, k \in [\![0 \, ,\, n - 1]\!] \} = \mathbb{U}_n \,$ .

Corrigé :

Faux. $V = \{ \omega ^k \, , \, k \in [\![0 \, ,\, n - 1]\!] \}$
La propriété est fausse : par exemple, en prenant $\omega = 1$ , $V$ ne contient qu’un élément ou pour $n = 2 \, p$ avec $p > 2$ , $\omega = - 1$ , $V$ ne contient que 2 éléments.

Pour aller plus loin en MPSI (nécessite le cours d’arithmétique) :
$\bullet$ Dans le cas où $\omega = \textrm{e} ^{2 \, \textrm{i} \, p \, \pi/ n }$ avec $p$ et $n$ premiers entre eux, alors $V = \mathbb{U}_n\,$ .
Il est évident que $V \subset \mathbb{U}_n \,$ .
Pour prouver l’égalité, on démontre que $V$ a $n$ éléments.

Soient $( k , k ') \in [\![0 \, ,\, n - 1]\!] ^2\;$ tels que $\omega ^k = \omega ^{k'}$ , $\omega ^{k - k'} =1$
On peut supposer par symétrie que $k \geq k'$ .
Donc il existe $q \in \mathbb{Z}$ tel que $\displaystyle \frac {2 \, p \, (k - k')\pi} n = 2 \, q \, \pi$ $\Rightarrow \displaystyle \frac { p \, (k - k')} n = q \,$

donc $p(k - k') = q \, n$ .
$n$ divise $p(k - k')$ et est premier avec $p$ , donc $n$ divise $k - k'$ par le lemme de Gauss.
Comme $0 \leq k \leq n - 1$ , $0 \leq k' \leq n - 1$ et $k \geq k'$ , $0 \leq k - k' < n$ et est un multiple de $n$ .
On en déduit que $k - k' = 0$ .
On a donc prouvé que $V$ contient $n$ éléments donc $V = \mathbb{U}_n\,$ .

$\bullet$ Réciproquement si $V = \mathbb{U}_n\,$ avec $\omega = \textrm{e} ^{2 \, \textrm{i} \, p \, \pi/ n }$ , alors $p$ et $n$ sont premiers entre eux.
En effet si $V = \mathbb{U}_n\,$ , $1 \in V$ , donc il existe $k \in [\![0 \, ,\, n - 1]\!]$ tel que $\omega ^k = \textrm{e} ^{2 \, \textrm{i} \, \pi/ n }$ soit $\textrm{e} ^{2 \, \textrm{i} \, p \, k \, \pi/ n } = \textrm{e} ^{2 \, \textrm{i} \, \pi/ n }$ .
Il existe $q \in \mathbb{Z}$ tel que $\quad \quad \quad \displaystyle \frac {2 \, p \, k \, \pi} n = \frac {2 \, \pi} n + 2 \, q \, \pi$
ce qui donne $p \, k - q \, n= 1$ , donc par la relation de Bezout, $n$ et $p$ sont premiers entre eux.

Conclusion
Soit $n \in \mathbb{N}^*$ et $\omega = \textrm{e} ^{2 \, \textrm{i} \, p \, \pi/ n }$ .
$\{ \omega ^k \, , \, k \in [\![0 \, ,\, n - 1]\!] \} = \mathbb{U}_n \;$ ssi $p$ et $n$ sont premiers.

Question 4
Soit $n \in \mathbb{N}^* \,$ , $\mathbb{U}_n = \{ \overline {z} \, , \, z \in \mathbb{U}_n \}$ .

Corrigé :

Vrai. Soit $V = \{ \overline {z} \, , \, z \in \mathbb{U}_n \}$
$\bullet$ Il est évident que $V \subset \mathbb{U}_n\,$ .
$\bullet$ On note $\omega = \textrm{e} ^{2 \, \textrm{i} \, \pi/ n }$ .
On sait que $\mathbb{U}_n = \{ \omega ^k \, , \, k \in [\![0 \, ,\, n - 1]\!] \}$ .
$V$ contient $\{ \omega ^{- k} \, , \, k \in [\![0 \, ,\, n - 1]\!] \}$
qui est l’ensemble des racines $n$ -ièmes de 1, car $-k$ prend $n$ valeurs consécutives entières.
Donc $\mathbb{U}_n \subset V$ .
Par double inclusion, $\mathbb{U}_n = V$ .

Question 5
Soient $(m , n) \in \mathbb{N}^*$ .
$\mathbb{U}_m \subset \mathbb{U}_n$ ssi $m$ divise $n$ .

Corrigé :

Vrai. $\bullet$ Si $m$ divise $n$ , on écrit $n = p \, m$ avec $p \in \mathbb{N}^*$ .
Si $z \in \mathbb{U}_m$ , $z ^m = 1$ , donc $z ^n = (z ^m) ^p = 1 ^p = 1 \Rightarrow z \in \mathbb{U}_n\,$ .
On a prouvé que $\mathbb{U}_m \subset \mathbb{U}_n\,$ .

$\bullet$ On suppose que $\mathbb{U}_m \subset \mathbb{U}_n\,$ .
On note $\omega = \textrm{e} ^{2 \, \textrm{i} \, \pi/ m } \in \mathbb{U}_m \,$
alors $\omega ^n = 1$ donc $\textrm{e} ^{2 \, \textrm{i} \, n \, \pi/ m } = 1$ , il existe $p \in \mathbb{Z}$ tel que $\displaystyle \frac {2 \, \pi \, n } m = 2 \, \pi\, p$ donc $n = m \, p$ et $m$ divise $p$ .

Question 6
Soit $n \in \mathbb{N}^*$ . Il existe une bijection de $\mathbb{U}_n$ sur l’ensemble $V_n$ des racines $n$ -ièmes de $- 1$ .

Corrigé :

Vrai. On note $a = \textrm{e} ^{ \textrm{i} \, \pi / n}$
il est évident que $a ^n = - 1$ .
Alors $V_n = \{ a \, \omega ^k \,, \, k \, \in \, [\![0 \, ,\, n - 1]\!]\}$ ,
où $\omega = \textrm{e} ^{ 2 \, \textrm{i} \, \pi / n}$
et $U_n = \{\omega ^k \,, \, k \, \in \, [\![0 \, ,\, n - 1]\!]\}\,$ .

L’application $\varphi : \mathbb{U}_n \to V_n$ , $\omega _ k \mapsto a \, \omega ^k$ est une bijection.

Question 7
Si $n$ est impair, $\mathbb{U}_n = \{ z ^2 \, , \, z \in \mathbb{U}_n \}$ .

Corrigé :

Vrai. On note $V = \{ z ^2 \, , \, z \in \mathbb{U}_n \}$
Comme $z ^n = 1$ , $(z^2) ^n = 1$ , donc $V \subset \mathbb{U}_n\,$ .
On note $\omega = \textrm{e} ^{2 \, \textrm{i} \, \pi / n}$ .
On sait que $U_n = \{ \omega ^k \, , \, k \in [\![0 \, ,\, n - 1]\!]\}$ .
Alors $V= \{ \omega ^{2 \, k} \, , \, k \in [\![0 \, ,\, n - 1]\!]\}\,$ .
Soient $0 \leq k' \leq k \leq n - 1$ ,
$\omega ^{2 k} = \omega ^{2 k'}$ ssi $\omega ^{2 k - 2 k'} = 1$
ssi $\exists\, q \in \mathbb{Z}, \, \displaystyle \frac {4 (k - k') \pi } {n} = 2 \, q \, \pi$
ssi $\exists \,q \in \mathbb{Z}, \, \displaystyle \frac {2 (k - k') } {n} = \, q$ .

Comme $0 \leq k' \leq k < n$ , $\quad \quad \quad \displaystyle 0 \leq \frac {2 (k - k') } {n} < 2$ ,
on en déduit que $q = 0$ ou $q = 1$ .
Si l’on avait $q = 1$ , alors $2 (k - k') = n$ , donc $n$ est pair ce qui est exclu.
On en déduit que $q= 0$ et donc $k = k'$ .

$V$ contient donc $n$ éléments distincts et est inclus dans $\mathbb{U}_n$ qui a aussi $n$ éléments, alors $V = \mathbb{U}_n\,$ .

Question 8
Les images $M_k$ des racines $n$ -ièmes de 1 sont les sommets d’un polygone régulier à $n$ côtés inscrit dans le cercle unité.

Corrigé :

Vrai. On note $z_k = \textrm{e} ^{2 \textrm{i} \, k \pi / n}$ où $k \in [\![0 , \, n - 1] \!]$ l’affixe de $M_k\,$ .
On remarque que $z_n = z_0$ et $z_{k + 1} = \omega \, z_k$ où $\omega = \textrm{e} ^{2 \, \textrm{i} \, \pi/n}$ .
Si $k \in [\![0 , \, n - 1] \!]$ , $\quad \vert z_{k + 1} - z_k \vert = \vert z_k \vert \, \vert \omega - 1 \vert = \vert \omega - 1 \vert$
Comme $M_k\, M_{k + 1}= \vert \omega - 1\vert$ , les côtés du polygone ont même longueur égale à $2 \sin ( \pi / n)$ , on obtient un polygone régulier et les sommets sont sur le cercle de centre $O$ et de rayon $1$ .

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3. Manipulation de complexes en maths sup

Exercice 1
Calculer les racines cubiques de $\displaystyle \frac {1 + \textrm{i} } {\sqrt{2}}$ . Les écrire sous forme cartésienne et en déduire la valeur de $\cos(\pi/12)$ et $\sin(\pi/12)$ .

Corrigé :

$u = \displaystyle \frac {1 + \textrm{i} } {\sqrt{2}} = \textrm{e} ^{\textrm{i} \, \pi/4}$ admet comme racines cubiques les complexes :
$v_1 = \textrm{e} ^{\textrm{i} \, \pi/12}$
$v_2 = \textrm{j}\, v_1 = \textrm{e} ^{3\, \textrm{i} \, \pi/4}$
et $v_3 = \textrm{j} ^2 \, v_1 = \textrm{e} ^{11 \, \textrm{i} \, \pi/12}$ .

Comme $v_2 = \displaystyle \frac {- 1 + \textrm{i} } {\sqrt{2}}$ , $v_1 = \textrm{j} ^2 \, v_2 \,$ .
$v_1 = \displaystyle \left ( \frac {- 1 + \textrm{i} } {\sqrt{2}} \right ) \left ( \frac {- 1 - \textrm{i} \, \sqrt{3} } {2}\right )$
en égalant les parties réelles et imaginaires :
$\quad \quad \quad \displaystyle \cos \left ( \frac {\pi} {12} \right ) = \frac {1 + \sqrt {3}} {2 \, \sqrt{2}}$ $\quad \quad \textrm{et } \displaystyle \sin \left ( \frac {\pi} {12} \right ) = \frac {\sqrt {3} - 1 } {2 \, \sqrt{2}}$ .

Exercice 2
Si $a$ et $b$ sont deux complexes distincts de module 1,
$u = \displaystyle \frac {z + a\, b \, \, \overline {z} - a - b } {b - a}$ vérifie $u ^2 \leq 0$

Corrigé :

On introduit des réels $\alpha$ et $\beta$ tels que $a = \textrm{e} ^{ 2 \, \textrm{i} \, \alpha}$ et $b = \textrm{e} ^{ 2 \, \textrm{i} \, \beta}$ (le coefficient 2 permet de simplifier les calculs qui suivent en évitant les facteurs $1/2$ ) :
$b - a = \textrm{e} ^{ 2 \, \textrm{i} \, \beta} - \textrm{e} ^{ 2 \, \textrm{i} \, \alpha}$
$b - a = \textrm{e} ^{ \textrm{i} \, (\beta + \alpha) } \left ( \textrm{e} ^{ \textrm{i} \, (\beta - \alpha) } - \textrm{e} ^{ -\textrm{i} \, (\beta - \alpha) } \right )$
$b - a = 2\, \textrm{i} \, \sin(\beta - \alpha)\, \textrm{e} ^{ \textrm{i} \, (\beta + \alpha) }$
et $b + a = \textrm{e} ^{ 2 \, \textrm{i} \, \beta} + \, \textrm{e} ^{ 2 \, \textrm{i} \, \alpha}$
$b + a = \textrm{e} ^{ \, \textrm{i} \, (\beta + \alpha) } \left ( \textrm{e} ^{ \, \textrm{i} \, (\beta - \alpha) } + \,\textrm{e} ^{- \, \textrm{i} \, (\beta - \alpha) } \right )$
$b + a = 2 \, \cos(\beta - \alpha)\, \textrm{e} ^{ \textrm{i} \, (\beta + \alpha) }$ .
On note $\gamma = \alpha + \beta$ .

$v = z + a\, b \, \, \overline {z} - a - b$
$v = z + \textrm{e} ^{ 2 \, \textrm{i} \, \gamma} \, \overline {z} - 2 \cos(\beta - \alpha)\, \textrm{e} ^{ \textrm{i} \,\gamma }$
$v = \textrm{e} ^{ \textrm{i} \, \gamma } \left ( z \;\textrm{e} ^{ - \textrm{i} \, \gamma } + \textrm{e} ^{ \textrm{i} \, \gamma } \; \overline {z} - 2\, \cos(\beta - \alpha) \right )$

On note $A = z \; \textrm{e} ^{ - \textrm{i} \, \gamma }$ . Alors
$v = \textrm{e} ^{ \textrm{i} \,\gamma } \left ( A + \overline {A } - 2 \, \cos(\beta - \alpha) \right )$
$v = \textrm{e} ^{ \textrm{i} \, \gamma }\, r$ où $r \in \mathbb{R}$ .

Donc $u = \displaystyle \frac {r} {2 \, \textrm{i} \sin(\beta - \alpha)}$ est un imaginaire pur, son carré est négatif ou nul.

Exercice 3
Résoudre le système $\vert z - 1 \vert = \vert z - 2\vert$ et $\textrm{Arg} (z + \textrm{i}) \equiv \textrm{Arg} (z - 1) \; \; [2 \pi]$ .

Corrigé :

$\bullet$ Résolution de la première équation
en notant $z = x + \textrm{i} \, y$ :
$\vert z - 1 \vert = \vert z - 2 \vert \Leftrightarrow \vert z - 1 \vert^2 = \vert z - 2 \vert ^2$
$\Leftrightarrow (x - 1) ^2 + y ^2 = (x - 2) ^2 + y ^2$
$\Leftrightarrow -2\, x + 1 = - 4 \, x + 4 \Leftrightarrow 2\, x = 3$

$\bullet$ Résolution de la deuxième équation
en notant $z = x + \textrm{i} \, y$ ,
$\textrm{Arg} (z + \textrm{i}) \equiv \textrm{Arg} (z - 1) \; \; [2 \pi]$
$\Leftrightarrow Z = \displaystyle \frac {z + \textrm{i}} {z - 1} \in \mathbb{R}^{+*}$
$\displaystyle \Leftrightarrow Z = \frac {x + \textrm{i}\, (y - 1) } {x - 1 +\, \textrm{i}\, y } \in \mathbb{R}^{+*}$
en multipliant par la quantité conjuguée
$\Leftrightarrow (x + \textrm{i}\, (y + 1) )(x - 1 - \,\textrm{i}\, y) \in \mathbb{R}^{+*}$
$\Leftrightarrow (x (x - 1) + y(y + 1) > 0$ $\; \; \textrm{et } (x - 1) (y + 1) - x\, y = 0$
$\Leftrightarrow x (x - 1) + y(y + 1) > 0$ $\; \; \textrm{et } x - y - 1 = 0$ .

La première équation donnait $x = 3/2$ .
La relation sur les arguments devient alors
$\displaystyle \frac 3 4 + y(y - 1) > 0$ et $y = \displaystyle \frac 1 2$ $\Leftrightarrow y = \displaystyle \frac 1 2$
Le système admet une seule solution égale à $\displaystyle \frac {3 + \, \textrm{i}} 2$ .

Exercice 4
Question 1
Soient deux complexes $z$ et $z'$ .
$\vert z + z' \vert ^2 + \vert z - z' \vert ^2 = a \left ( \vert z \vert ^2 + \vert z' \vert ^2 \right )$

Corrigé :

$a = \vert z + z' \vert ^2 + \vert z - z' \vert ^2$

$a = (z + z') (\overline{z} + \overline {z'}) + (z - z') (\overline{z} - \overline {z'})$

$a = 2 \, z \, \overline {z} + 2 \, z' \, \overline {z'}$
les termes

$z \, \overline {z'}$ et

$z' \, \overline {z}$ s’éliminant

$a = 2 \, \vert z \vert ^2 + 2 \, \vert z' \vert ^2$
ce qui justifie la relation.

Question 2
Interprétation géométrique du résultat de la question 1 lorsque $z$ et $z'$ sont non nuls.

Corrigé :

On note $A$ (resp. $B$ ) le point d’affixe $z$ (resp. $z'$ ).
Le point $C$ d’affixe $z + z'$ est tel que $O\, A \,C \, B$ soit un parallélogramme.
Le point $D$ d’affixe $z - z'$ est tel que $\overrightarrow{OD}= \overrightarrow{BA}$ .
On a établi que $\quad \quad OC^2 + A B^2 = 2 \, OA^2 + 2 \, OB^2$
Dans un parallélogramme, la somme des carrés des longueurs des 4 côtés est égale à la somme des carrés des longueurs des deux diagonales.

Question 3
On suppose que $z\, z ' \neq 0$ et on note $u$ une racine carrée de $z\, z'$ .
$\displaystyle \left \vert \frac {z + z'} 2 + u \right \vert + \left \vert \frac {z + z'} 2 - u \right \vert$ $\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad = a \left ( \vert z \vert + \vert z' \vert \right )$

Corrigé :

On note $Z$ et $Z'$ deux réels tels que $Z ^2 = z$ et $Z'^2 = z'$ , alors $(Z \, Z') ^2 = u ^2$ .
On peut supposer grâce à la symétrie du problème que $Z \, Z' = u$ .
$\displaystyle A = \left \vert \frac {z + z'} 2 + u \right \vert + \left \vert \frac {z + z'} 2 - u \right \vert$
$2 A = \vert Z ^2 + {Z'} ^2 + 2 \, Z \, Z' \vert$ $\quad \quad \quad \quad \quad \quad + \, \vert Z ^2 + {Z'} ^2 - 2\, Z \, Z' \vert$
$2 A = \vert (Z + Z')^2 \vert + \vert (Z - Z')^2 \vert$
$2 A = \vert Z + Z' \vert ^2 + \vert Z - Z' \vert ^2$
$2 A = 2 \, \vert Z \vert ^2 + 2\, \vert {Z'} \vert ^2$
d’après la question 1.
$A = \vert Z^2 \vert + \vert {Z'} ^2 \vert$
$A = \vert z \vert + \vert {z'}\vert$ .
La relation est vérifiée pour $a = 1$ .

5. Modules et arguments

Exercice 1
a) Trouver la forme trigonométrique du complexe :
$\quad \displaystyle Z = \left ( \frac {1 + \sqrt{2} + \textrm{i}} {1 - \sqrt{2} - \textrm{i}} \right ) ^n$ où $n \in \mathbb{N}^*$ .

Corrigé :

$\ast$ $1 + \textrm{i} = \sqrt{2} \; \textrm{e} ^{ \textrm{i} \, \pi / 4}$
donc $Z _1 = 1 + \sqrt{2} + \textrm{i} = \sqrt{2} \left ( 1 + \textrm{e} ^{ \textrm{i} \, \pi / 4} \right )$
On rappelle que $\quad \quad \displaystyle 1 + \textrm{e} ^{\textrm{i} \, t} = 2\, \cos \left (\frac t 2 \right )\, \textrm{e} ^{\textrm{i} \, t/ 2 }$ .
$Z _1 = \displaystyle 2 \, \sqrt{2}\, \cos \left ( \frac {\pi} 8 \right ) \, \textrm{e} ^{\textrm{i} \, \pi / 8}$ .

$\ast$ $1 - \textrm{i} = \sqrt{2} \; \textrm{e} ^{ - \textrm{i} \, \pi / 4}$
donc $Z _2 = 1 - \sqrt{2} - \textrm{i} = \sqrt{2} \left ( 1 - \textrm{e} ^{ - \textrm{i} \, \pi / 4} \right )$
On rappelle que $\quad \quad \displaystyle 1 - \textrm{e} ^{\textrm{i} \, t} = - 2\textrm{i} \sin\left (\frac t 2 \right ) \textrm{e} ^{\textrm{i} \, t/ 2 }$ .
$Z _2 = \displaystyle 2 \, \sqrt{2}\, \sin \left ( \frac {\pi} 8 \right ) \, \textrm{e} ^{- \textrm{i} \, \pi / 8}$ .

$\ast$ On note $\displaystyle \textrm{cotan} \left (\frac {\pi} 8 \right ) = \displaystyle \frac 1 {\tan {(\pi/8)}}$
$\displaystyle \frac {Z_1} {Z_2} = \textrm{cotan}\left (\frac {\pi} 8 \right ) \, \textrm{i} \; \textrm{e} ^{\textrm{i} \, \pi/4}$ $\displaystyle \frac {Z_1} {Z_2} = \textrm{cotan}\left (\frac {\pi} 8 \right ) \, \textrm{e} ^{3 \, \textrm{i} \, \pi/4}$
$\displaystyle \left ( \frac {Z_1} {Z_2} \right ) ^n = \textrm{cotan}^n \left (\frac {\pi} 8 \right ) \, \textrm{e} ^{3 \, \textrm{i} \, n \, \pi/4}$

$Z$ a pour module : $\displaystyle \textrm{cotan}^n \left (\frac {\pi} 8 \right )$ et pour argument $\displaystyle \frac {3 \, n \pi} 8$ .

$\ast$ On calcule $\displaystyle \textrm{cotan} \left (\frac {\pi} 8 \right )$ .
$\displaystyle \frac {Z_1} {Z_2} = \frac {(1 + \sqrt{2} + \textrm{i})(1 - \sqrt{2} + \textrm{i})} {(1 - \sqrt{2})^2 + 1}$
$\displaystyle \frac {Z_1} {Z_2} = \frac {1 - 2 - 1 + 2\, \, \textrm{i}} {1 + 2 - 2 \, \sqrt{2} + 1 }$
$\displaystyle \frac {Z_1} {Z_2} = \frac { - 1 + \, \textrm{i}} {2 - \, \sqrt{2} }$
$\displaystyle \left \vert \frac {Z_1} {Z_2} \right \vert = \frac { \sqrt{2}} {2 - \, \sqrt{2} } =\frac { 1} {\sqrt{2} - 1 }$
donc $\displaystyle \textrm{cotan} \left (\frac {\pi} 8 \right ) = {\sqrt{2} + 1 }$ en utilisant la quantité conjuguée.

$\ast$ Autre méthode :
On peut montrer que $\displaystyle \tan \left (\frac {\pi} 8 \right ) = \sqrt{2} - 1$ .
En notant $t = \displaystyle \tan \left (\frac {\pi} 8 \right )$ et en utilisant $\quad \quad \tan (2 \, x) = \displaystyle \frac {2 \, \tan(x)} {1 - \tan^2(x)}$ ,
on obtient $1 = \displaystyle \frac {2 \, t} {1 - t ^2}$ donc $1 - t ^2 = 2 \, t$ .
L’équation $t ^2 + 2 \, t - 1 = 0$ admet deux racines dont une seule est positive : $\sqrt{2 } - 1$ .
$\displaystyle \textrm {cotan} \left (\frac {\pi} 8 \right ) = \frac 1{\sqrt{2 } - 1} = \sqrt{2} + 1$ .

b/ Trouver la forme trigonométrique du complexe
$\quad \quad Z' = ( 1 + \cos t - \textrm{i} \, \sin t ) ^n$
si $n \in \mathbb{N}^*$ et $t \in [0 , 2 \pi[$ .

Corrigé :

$1 + \cos t - \textrm{i} \, \sin t = 1 + \textrm{e} ^{ - \textrm{i} \, t}$

$1 + \cos t - \textrm{i} \, \sin t = \displaystyle 2 \, \cos \left ( \frac t 2 \right ) \, \textrm{e} ^{ - \textrm{i} \, t/2 }$
donc $Z' = \displaystyle 2^n\, \cos^n \left ( \frac t 2 \right )\, \, \textrm{e} ^{ - n \, \textrm{i} \, t/2 }$

$\ast$ si $\displaystyle \cos \left ( \frac t 2 \right ) = 0$ soit si $t = \pi$ , $Z' = 0$ n’a pas d’argument.

$\ast$ si $t \in\, [0 , \, \pi[$ , $\displaystyle \cos \left ( \frac t 2 \right ) > 0$ ,
$Z'$ admet $\displaystyle 2^n \cos^n \left ( \frac t 2 \right )$ pour module et $\displaystyle \frac { - n \, t} 2$ pour argument.

$\ast$ si $t \in\; ]\pi , \, 2 \, \pi[$ , $\displaystyle \cos \left ( \frac t 2 \right ) < 0$ ,
… si $n$ est pair, $Z'$ admet $\displaystyle 2^n \cos^n \left ( \frac t 2 \right )$
pour module et $\displaystyle \frac { - n \, t} 2$ pour argument.
… si $n$ est impair, le module de $Z'$ est $\displaystyle - 2^n \cos^n \left ( \frac t 2 \right )$ et son argument est $\displaystyle \pi - \frac { n \, t} 2$ .

Exercice 2
Soit $a$ un réel.
On note $p = \sin(a) + \textrm{i} \, \cos(a)$ .
On note $Z_1$ et $Z_2$ les racines de l’équation $Z ^2 - 2 \, p \, Z + 1 = 0$ .

Question 1
Sans calculer explicitement $Z_1$ et $Z_2$ , comparer leurs modules et leurs arguments.

Corrigé :

Comme $Z_1 \, Z_2 = 1$ , alors $\vert Z _ 1 \vert \; \vert Z_2 \vert = 1$ donc les modules sont inverses l’un de l’autre
puis $\textrm{Arg} (Z _ 1) + \textrm{Arg} (Z_2) \equiv 0 \; \; [2 \pi]$ , les arguments sont opposés.

Question 2
Déterminer $a$ pour que $Z_1$ et $Z_2$ soient réels, puis pour qu’ils soient imaginai- res purs.

Corrigé :

$\bullet$ Si $Z_1$ et $Z_2$ sont réels, $Z_1 + Z_2 = 2 \, p$ est réel, donc $\cos (a) = 0$ , donc $p = \pm 1$
Réciproquement si $p = 1$ , l’équation $Z ^2 - 2\, p \, Z + 1 = 0$ admet une racine double égale à 1, et si $p = - 1$ , elle a dune racine double égale à $- 1$ .
Conclusion :
Les racines sont réelles ssi $\cos(a) = 0$ .

$\bullet$ Si $Z_1$ et $Z_2$ sont imaginaires purs , $Z_1 + Z_2 = 2 \, p$ est imaginaire pur, donc $\sin(a) = 0$ , donc $p = \pm\, \textrm{i}$ .
Réciproquement
$\ast$ si $p = \textrm{i}$ , les racines de l’équation $\quad Z ^2 - 2\, p \, Z + 1 = (Z - \textrm{i} ) ^2 + 2 = 0$
sont $\textrm{i}(\sqrt{2} + 1)$ et $\textrm{i}(1 - \sqrt{2})$ et sont imaginaires pures
$\ast$ si $p = - \textrm{i}$ , les racines de l’équation $\quad Z ^2 - 2 \, p\, Z + 1 = (Z + \textrm{i} ) ^2 + 2 = 0$ sont $\textrm{i}(\sqrt{2} - 1)$ et $- \textrm{i}(1 + \sqrt{2})$ et sont imaginaires pures
Conclusion :
Les racines sont imaginaires pures ssi $p = \pm \,\textrm{i}$ .

Question 3
Calculer les modules et arguments de $Z _ 1 - p$ et $Z_2 - p$ .

Corrigé :

On écrit $(Z - p) ^2 = p ^2 - 1$ .
$p = - \textrm{i} \; \textrm{e}^{ - \textrm{i} \, a}$
$p ^2 - 1 = - \textrm{e}^{ -2 \, \textrm{i} \, a} - 1$
$p ^2 - 1 = - 2 \, \cos(a) \; \textrm{e}^{ - \, \textrm{i} \, a}$ .
On est donc amené à discuter selon le signe de $- \cos a$ .

$\bullet$ Si $\cos(a) = 0$ , on a une racine double égale à $p$ car $p ^2 = \sin^2 a = 1$ ,
donc de module égal à 1 et d’argument nul (resp . égal à $\pi$ ) si $p = 1$ (resp. $p = - 1$ ).

$\bullet$ Si $\cos a < 0$ , on se ramène au cas où
$\quad \quad Z_1 - p = \sqrt{-\cos a} \; \textrm{e}^{- \, \textrm{i} \, a/2}$
$\quad \textrm{et } Z_2 - p = - \sqrt{-\cos a} \; \textrm{e}^{- \, \textrm{i} \, a/2}$ .
Leur module commun est $\sqrt{-\cos a}$ , les arguments respectifs $- \displaystyle \frac a 2$ et $\pi - \displaystyle \frac a 2$ .

$\bullet$ Si $\cos a > 0$ , on se ramène au cas où
$\quad \quad Z_1 - p = \sqrt{\cos a} \; \textrm{e}^{- \, \textrm{i} \,( a/2+\pi/2)}$
$\quad \textrm{et } Z_2 - p = - \sqrt{\cos a} \; \textrm{e}^{- \, \textrm{i} \,( a/2+\pi/2)}$ .
Leur module commun est $\sqrt{\cos a}\,$ , les arguments respectifs $\displaystyle \frac {- a - \pi} 2$ et $\displaystyle \frac { \pi - a } 2$ .

Question 4
Si $\cos a < 0$ , $Z_1 + \textrm{i}$ et $Z_2 + \textrm{i}$ ont même module à exprimer en fonction de $a$ .

Corrigé :

Dans le cas où $\cos a < 0$ ,
$Z_1 = p + \sqrt{-\cos a} \; \textrm{e}^{- \, \textrm{i} \, a/2}$
et $Z_2 = p - \sqrt{-\cos a} \; \textrm{e}^{- \, \textrm{i} \, a/2}$

$Z_1 + \textrm{i} = p + \textrm{i} + \sqrt{-\cos a} \; \textrm{e}^{- \, \textrm{i} \, a/2}$

or $p + \textrm{i} = \textrm{i} (1 + \textrm{e} ^{ - \textrm{i} \, a})$
$p + \textrm{i} = 2 \, \textrm{i} \, \cos(a/2) \, \textrm{e} ^{ - \textrm{i} \, a/ 2 }$

$Z_1 + \textrm{i} = \left ( \sqrt{-\cos a} + 2 \textrm{i} \cos(a/2) \right ) \textrm{e} ^{ - \textrm{i} \, a/ 2 }$
et $Z_2 + \textrm{i} = \left ( - \sqrt{-\cos a} + 2 \textrm{i} \cos(a/2) \right ) \textrm{e} ^{ - \textrm{i} \, a/ 2 }$
donc $\vert Z_1 + \textrm{i}\vert ^2 = \vert Z_2 + \textrm{i}\vert ^2$
$\vert Z_1 + \textrm{i}\vert ^2 = - \cos(a) + 4 \cos^2(a / 2)$
$\vert Z_1 + \textrm{i}\vert ^2 = - \cos(a) + 2 \cos(a) + 2$ $\vert Z_1 + \textrm{i}\vert ^2 = \cos(a) + 2$
$\vert Z_1 + \textrm{i}\vert = \sqrt{\cos(a) + 2}$ .

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4. Équations

Exercice 1
Résoudre dans $\mathbb{C}$ :
$\quad 2 \, z^2 - 2(2 +\, \textrm{i} ) z + 22 \, \textrm{i} - 3 = 0$ .

Corrigé :

$\bullet$ On calcule le discriminant de l’équation
$\Delta = 4(2 + \, \textrm{i} )^2 - 8( 22 \, \textrm{i} - 3)$
$\Delta = 4 (4 + 4 \, \textrm{i} - 1 - 44 \, \textrm{i} + 6)$
$\Delta = 4 (9 - 4 0\, \textrm{i})$ .

$\bullet$ Puis l’on détermine les racines carrées de $9 - 4 0\, \textrm{i}$ en cherchant des réels $x$ et $y$ tels que $9 - 4 0\, \textrm{i} = (x + \, \textrm{i} \, y)^2$ , pour cela on égale les parties réelles et imaginaires de cette relation, et en écrivant que le module de $(x + \, \textrm{i} \, y)^2$ (soit le carré du module de $x + \, \textrm{i}\, y$ ) est égal au module de $\Delta$ , on obtient le système:
$\quad \left \{ \begin{matrix} x^2 - y^2 &=&9 \\ 2 \, x \, y &=&- 40\\ x^2 + y ^2 &=& \sqrt{81 + 1600} \end{matrix} \right.$
$\Leftrightarrow \left \{ \begin{matrix} x^2 - y^2 &=&9 \\ 2 \, x \, y &=&- 40\\ x^2 + y ^2 &=& 41 \end{matrix} \right.$
$\Leftrightarrow \left \{ \begin{matrix} x^2 &=&25 \\ 2 \, x \, y &=&- 40\\y ^2 &=& 16 \end{matrix} \right.$
On obtient $(5 - 4 \, \textrm{i}) ^2 = 9 - 4 0\, \textrm{i}$
donc $\Delta = \delta^2$ avec $\delta = 2(5 - 4 \, \textrm{i})$

$\bullet$ Les racines de l’équation sont $\displaystyle z _ 1 = \frac {2 +\, \textrm{i} + 5 - 4 \, \textrm{i}} 2= \frac {7 - 3 \, \textrm{i}} 2$
et $\displaystyle z _ 2 = \frac {2 +\, \textrm{i} - 5 + 4 \, \textrm{i}} 2= \frac {-3 + 5 \, \textrm{i}} 2$ .

Exercice 2
Résoudre $\; \; z^4 + 2(1 - 4 \, \textrm{i}) z^2 +33 +56 \, \textrm{i} = 0$ .

Corrigé :

$\bullet$ On pose $Z = z^2$ et on résout l’équation du second degré (1)
$\quad 2\, Z^2 + 2(1 - 4 \, \textrm{i}) Z +33+56 \, \textrm{i} = 0$ .
Son discriminant réduit est égal à
$\Delta' = (1 - 4 \, \textrm{i})^2 - 33 - 56 \, \textrm{i}$
$\Delta' = - 48 - 64 \, \textrm{i} = 16 ( - 3 - 4 \, \textrm{i})$
on cherche les racines carrées de $\Delta'/ 16$ soit $u = x + \textrm {i} \, y$ avec $(x , \,y) \in \mathbb{R }^2$ tel que $u ^2 = - 3 - 4 \, \textrm{i}$
donc on résout le système :
$\left \{ \begin{matrix} x^2 - y^2 &=&- 3 \\ 2 \, x \, y &=&- 4 \\ x^2 + y ^2 &=& \sqrt{9+16} = 5 \end{matrix} \right.$
ssi $x^2 = 1, y ^2 = 4$ et $x \, y < 0$
alors $(1 - 2 \, \textrm{i}) ^2 = - 3 - 4 \, \textrm{i}$
et $\delta' = 4(1 - 2 \, \textrm{i})$ vérifie $\delta{ '} ^2 = \Delta'$

Les solutions de l’équation (1) sont
$u_1 = - 1 + 4 \, \textrm{i} + 4(1 - 2 \, \textrm{i}) = 3 - 4 \, \textrm{i}$
et $u_2 = - 1 + 4 \, \textrm{i} - 4(1 - 2 \, \textrm{i}) = -5 +12 \, \textrm{i}$

$\ast$ On résout $z ^2 = u_1 = 3 - 4 \, \textrm{i}$ .
En posant $z = x + \textrm{i} \, y$ , on résout le système
$\quad \left \{ \begin{matrix} x^2 - y^2 &=&3 \\ 2 \, x \, y &=& - 4 \\ x^2 + y ^2 &=& \sqrt{9 + 16} = 5 \end{matrix} \right.$
ssi $x^2 = 4 , y ^2 = 1$ et $x \, y <0$ .
On obtient les deux premières racines $2 - \textrm{i}$ et $- 2 + \, \textrm{i}$ .

$\ast$ On résout $z ^2 = u_2 = - 5 +12 \, \textrm{i}$ .
En posant $z = x + \textrm{i} \, y$ , on résout le système
$\quad \left \{ \begin{matrix} x^2 - y^2 &=&- 5 \\ 2 \, x \, y &=&12 \\ x^2 + y ^2 &=& \sqrt{25 + 144} = 13 \end{matrix} \right.$
ssi $x^2 = 4 , y ^2 = 9$ et $x \, y >0$ .
On obtient les deux dernières racines $2 + 3 \, \textrm{i}$ et $- 2 -3 \, \textrm{i}$ .

Les 4 racines de l’équation sont
$\quad 2 - \, \textrm{i}, - 2 + \, \textrm{i}, 2 + 3 \, \textrm{i}$ et $- 2 -3 \, \textrm{i}$ .

Exercice 3
Résoudre lorsque $z$ est un complexe, l’équation
$\quad \quad \textrm{e}^{ 4 z} + 3\, \textrm{e}^{ 3 z} + 8\, \textrm{e}^{ z} + 24 = 0$ .

Corrigé :

$\ast$ On pose $X = \textrm{e}^{ z}$ et on résout l’équation
$X^4 + 3 X + 8(X + 3) = 0$ dont on a une factorisation évidente :
$(X + 3) (X ^3 + 8) = 0$ ssi $X = - 3$ ou $X^3 = - 8 = ( - 2)^3$ .
Les racines cubiques de $(-2)^3$ sont donc $- 2$ , $- 2 \, \textrm{j}$ et $- 2 \, \, \textrm{j} ^2$ .

Il reste 4 équations à résoudre
$\ast$ $\textrm{e}^{ z} = - 3$ $\Leftrightarrow \textrm{e} ^x \, \textrm{e} ^{\textrm{i} \, y} = 3 \, \textrm{e} ^{\textrm{i} \, \pi}$
$\Leftrightarrow x = \ln(3) ,\, y = \pi + 2 \, k\, \pi$ où $k \in \mathbb{Z}$ .

$\ast$ $\textrm{e}^{ z} = - 2$ $\Leftrightarrow \textrm{e} ^x \, \textrm{e} ^{\textrm{i} \, y} = 2 \, \textrm{e} ^{\textrm{i} \, \pi}$
$\Leftrightarrow x = \ln(2) ,\, y = \pi + 2 \, k\, \pi$ où $k \in \mathbb{Z}$ .

$\ast$ $\textrm{e}^{ z} = - 2 \, \textrm{j}$ $\Leftrightarrow \textrm{e} ^x \, \textrm{e} ^{\textrm{i} \, y} = 2 \, \textrm{e} ^{- \textrm{i} \, \pi/3 }$
$\Leftrightarrow x = \ln(2) ,\, y = \displaystyle \frac { - \pi} 3 + 2 \, k\, \pi$ où $k \in \mathbb{Z}$ .

$\ast$ $\textrm{e}^{ z} = - 2 \, \textrm{j}^2$ $\Leftrightarrow \textrm{e} ^x \, \textrm{e} ^{\textrm{i} \, y} = 2 \, \textrm{e} ^{ \textrm{i} \, \pi/3 }$
$\Leftrightarrow x = \ln(2) ,\, y = \displaystyle \frac { \pi} 3 + 2 \, k\, \pi$ où $k \in \mathbb{Z}$ .

Les solutions sont les complexes
$\ln(3) + \textrm{i} \, (\pi + 2 \, k_1\, \pi)$ ,
$\ln(2) + \textrm{i} \, (\pi + 2 \, k_2\, \pi)$ ,
$\displaystyle \ln(2) + \textrm{i} \, \left (- \frac {\pi} 3 + 2 \, k_3\, \pi \right )$ ,
$\displaystyle \ln(2) + \textrm{i} \, \left ( \frac {\pi} 3 + 2 \, k_4\, \pi \right )$ ,
où $(k_1 \, , \, k_2 \, , \, k_3 \, , k _ 4) \in \mathbb{Z} ^4$ .

Exercice 4
Résoudre dans $\mathbb{C}$ l’équation
$\quad \quad Z^{2\, n} - 2\, Z^n \, \sin(t) + 1 = 0$ ,
où $n \in \mathbb{N}$ et $n \geq 2$ .

Corrigé :

On pose $Z^n = u$ et on commence par résoudre l’équation ainsi obtenue :
(E’) $u^2 - 2 \, u \, \sin(t) + 1 = 0$
$\Delta = 4 (\sin^2(t) - 1) = - 4 \cos^2(t)$ $\Delta = (2 \, \textrm{i} \, \cos(t)) ^ 2$ .

L’équation (E’) a deux racines (éventuellement confondues) :
$u_1 = \sin(t) + \textrm{i} \, \cos(t) = \textrm{i} (\cos(t) - \textrm{i} \, \sin(t))$
$u_1 = \textrm{e}^{ \textrm{i} \, (\pi/2 - t)}$
et $u_2 = \sin(t) - \textrm{i} \, \cos(t) = - \textrm{i} (\cos(t) + \textrm{i} \, \sin(t))$
$u_2 = \textrm{e}^{ \textrm{i} \, (- \pi/2 + t)}$

Il reste à calculer les racines nièmes de $u_1$ et $u_2$ en utilisant le résultat de cours.
Les racines de l’équation $(E)$ sont donc $Z_k = \textrm{e}^{ \textrm{i} \, (\pi/2 - t + 2 \, k \, \pi)/n }$ et $Z'_k =\textrm{e}^{ \textrm{i} \, (- \pi/2 + t + 2 \, k\, \pi)/n }$ où $k \in [\![0 , \, n - 1]\!]$ .

Exercice 5
Oral Mines Telecom MP 2018
Résoudre l’équation $z^3 + (1 + \textrm{i} ) z^2 + (4 - \, \textrm{i} ) z + 12 - 6 \, \textrm{i} = 0$ sachant qu’elle a une racine réelle.
Que dire du triangle formé par les images des trois racines ?

Corrigé :

$\bullet$ On cherche une solution réelle $a$ en séparant partie réelle et partie imaginaire de l’équation, on obtient les CNS :
$\quad \left \{\begin{matrix} a^3 + a^2 + 4\, a + 12 &=&0 \\a^2 - a - 6&=&0\end {matrix} \right.$
$a^2 - a - 6 = (a + 2)(a - 3)$ ,
3 n’est pas racine de la première équation, mais $-2^3 + 4 - 8 + 12 = 0$ , donc $- 2$ est racine réelle de l’équation.

$\bullet$ On cherche des complexes $b$ et $c$ tels que
$P(z) =$ $z^3 + (1 + \textrm{i} ) z^2 + (4 - \, \textrm{i} ) z + 12 - 6 \, \textrm{i}$
s’écrive $P(z) = (z + 2)(z ^2 + b\, z + c)$
$P(z) = z^3 + (2 + b)\, z^2 + (2\, b + c) + 2\, c$
par égalité de deux fonctions polynômes, on obtient les CNS :
$\quad \quad \left \{\begin{matrix} 2 + b &=&1 + \textrm{i} \\2\, b + c &=&4 - \, \textrm{i}\\ 2 \, c &=& 12 - 6\, \textrm{i}\end {matrix} \right.$
ce qui donne $c = 6 - 3\, \textrm{i}$ et $b = \textrm{i} - 1$ .

$\bullet$ On résout $z^2 + (\textrm{i} - 1) z + 6 - 3 \, \textrm{i} = 0$ .
On calcule le discriminant :
$\Delta = (\textrm{i} - 1) ^2 - 24 + 12 \, \textrm{i} = - 24 + 10 \, \textrm{i}$ .

On cherche $x$ et $y$ réels tels que $(x + \textrm{i} \, y) ^2 =\Delta = - 24 + 10 \, \textrm{i}$
ce qui donne le système :
$\quad \left \{ \begin{matrix} x^2 - y^2 &=&- 24 \\ 2 \, x \, y &=&10 \\ x^2 + y ^2 &=& 2 \sqrt{144 + 25 } = 26 \end{matrix} \right.$
on obtient $x ^2 = 1$ , $y^2 = 25$ et $x \, y > 0$ .
Donc $(1 + 5 \, \textrm{i}) ^2 = \Delta$ .

Les deux autres racines de l’équation sont
$b = \displaystyle \frac {1 - \, \textrm{i} + 1 + 5 \, \textrm{i}} 2 = 1 + 2 \, \textrm{i}$
et $c = \displaystyle \frac {1 - \, \textrm{i} - 1 - 5 \, \textrm{i} } 2 = - 3 \, \textrm{i}$ .

$\bullet$ On note $a = - 2$ , $b - a= 3 + 2 \, \textrm{i}$ et $c - a = 2 - 3 \, \textrm{i}= - \, \textrm{i}( b - a)$
$\ast$ donc $\vert c - a \vert = \vert b - a \vert$ soit $A \,C = B\, A$
$\ast$ $\textrm{mes} ( \overrightarrow{AB } , \, \overrightarrow{A C}) \equiv \displaystyle \frac { - \pi} 2 \; \; [2 \pi]$
donc $(A \,C) \perp (A \, B)$ .
Le triangle $(A \, B \, C)$ est rectangle isocèle en $A$ .

Exercice 6
Question 1
Quel est l’ensemble des nombres complexes $z$ tels que $\quad \quad \quad \quad \vert z -1\vert = \vert \overline{z} +1\vert$ ?

Corrigé :

$\vert z - 1\vert = \vert \overline{z} + 1 \vert$
ssi $\vert z - 1\vert^2 = \vert \overline{z} + 1 \vert^2$
ssi $( z - 1)(\overline{z} - 1) = (\overline {z} + 1) (z +1)$
ssi $\vert z \vert ^2 - (z + \overline {z}) + 1 = \vert z \vert ^2 + ( z + \overline {z}) + 1$
ssi $z + \overline {z} = 0$
ssi $z$ est imaginaire pur.

Question 2
Pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ , l’équation $(z - 1) ^n = (\overline{z} + 1) ^n$ n’a pas de solution.

Corrigé :

Si $z$ est solution de $(z - 1) ^n = (\overline{z} + 1) ^n$ alors $\vert z - 1\vert ^n = \vert \overline{z} + 1 \vert ^n$
donc $\vert z - 1\vert = \vert \overline{z} + 1 \vert$
et alors $z$ est imaginaire pur.

L’équation s’écrit
$z = \textrm{i} \, x$ où $x \in \mathbb{R}$ et $(\textrm{i} \, x - 1) ^n = ( - \textrm{i} \, x + 1) ^n$
ssi $(\textrm{i} \, x - 1) ^n = (-1) ^n ( \textrm{i} \, x - 1) ^n$
ssi $(\textrm{i} \, x - 1) ^n \left ( 1 - (-1)^n \right ) = 0$

$\bullet$ Si $n$ est pair, $1 - (-1)^n = 0$ et tout $x$ est solution.
Donc l’ensemble des solutions est l’ensemble des imaginaires purs.

$\bullet$ Si $n$ est impair, l’équation est équivalente à $(\textrm{i} \, x - 1) ^n = 0$ ssi $\textrm{i} \, x = 1$ ssi $x = -\textrm{i}$ ce qui est impossible si $x\in \mathbb{R}$
L’équation n’admet pas de solution si $n$ est impair.

Exercice 7
Soit $n \in \mathbb{N}$ , $n \geq 2$ et $a \in [0 , \, 2 \pi[$
Résoudre l’équation $(E)$ : $\quad \quad (1 + z)^n = \textrm{e} ^{\textrm{i} \, a} (1 - z) ^n$ .

Corrigé :

$\bullet$ 1 n’est pas racine de l’équation $(E)$ , $(E)$ est donc équivalente par quotient à
$\displaystyle \left ( \frac {z + 1} {1 - z} \right ) ^n = \textrm{e} ^{\textrm{i} \, a}$ soit à $\displaystyle \frac {z + 1} {1 - z}$ est une racine $n$ ième de $\textrm{e} ^{\textrm{i} \, a}$ c’est à dire égal à l’un des complexes $u_k = \textrm{e} ^{\textrm{i} \, t_k}$ où $t_k = \displaystyle \frac {a + 2 k \pi} n$ avec $k \in [\! [ 0 ,\, n - 1]\!]$ .

$\bullet$ Il reste donc à résoudre lorsque $k \in [\! [ 0 ,\, n - 1]\!]$ , l’équation $\displaystyle \frac {z + 1} {1 - z} = u_k\,$ qui est équivalente à $z + 1 = u_k(1 - z)$ soit à $z(1 + u_k) = u_k - 1$ .

$\bullet$ On examine ensuite s’il existe un entier $k \in [\! [ 0 ,\, n - 1]\!]$ tel que $1 + u_k = 0$ (dans ce cas, l’équation précédente est impossible) :
$u_k = - 1$ $\quad \Leftrightarrow \exists\, p\, \in \mathbb{Z}, \, \displaystyle \frac {a + 2 \, k\, \pi} n = (1 + 2\, p) \pi$ .
On détermine la valeur de $p$ en remarquant que $0 \leq a < 2 \pi$ et $0 \leq k \leq n - 1$ , donc $0\leq a + 2\, k \,\pi < 2 \, \pi$ .
Le seul multiple impair de $\pi$ dans cet intervalle est $\pi$ , donc $p = 0$ et
$u_k= - 1 \Leftrightarrow a + 2\, k\, \pi = n\, \pi$
$u_k = - 1 \Leftrightarrow a = (n - 2 k) \pi$ .

On discute ensuite cette équation :
$\ast$ si $a \notin \{0 , \pi\}$ , cette relation n’est pas vérifiée, donc $u_k \neq - 1$ et toute valeur de $k$ convient.
$\ast$ si $a = 0$ et si $n$ est impair, il est impossible d’avoir $a = (n - 2 \, k) \pi$ et donc $u_k \neq -1$ pour tout $k$ .
$\ast$ si $a = 0$ et si $n$ est pair ( $n = 2 N$ ), lorsque $k = N, \, u_k = - 1$ et cette valeur de $k$ doit être écartée.
$\ast$ si $a = \pi$ et si $n$ est pair, il est impossible d’avoir $a = (n - 2 \, k) \pi$ et donc $u_k \neq -1$ pour tout $k$ .
$\ast$ si $a = \pi$ et si $n$ est impair (on écrit $n = 2 N + 1$ ), lorsque $k = N, \, u_k = - 1$ et cette valeur de $k$ doit être écartée.

En résumé, Si $I = [\![0 , \, N - 1]\!]$
on note
$\mathcal {C} = \left \{ \begin{matrix} I \textrm{ si } a \notin \{0 ,\pi \}\\ I \textrm{ si } a = 0 \textrm { et } n \textrm{ est impair} \\ I \setminus \{N\} \textrm{ si } a = 0 \textrm { et } n = 2 N \\ I \textrm{ si } a = \pi \textrm { et } n \textrm{ est pair} \\ I \setminus \{N\} \textrm{ si } a = \pi \textrm { et } n = 2 N+ 1 \end{matrix} \right.$

$\bullet$ Dans la suite, on suppose que $k \in \mathcal{C}$ .
$z(1 + u_k) = u_k - 1 \Leftrightarrow z = \displaystyle \frac {u_k - 1 } {u_k + 1}$
On rappelle que $u_k = \textrm{e} ^{\textrm{i} \, t_k}$ où $\quad \quad \quad \quad t_k = \displaystyle \frac {a + 2 \, k \, \pi} n$
et que $\textrm{e} ^{\textrm{i} \, t } + 1 = \displaystyle 2 \cos \frac t 2 \, \textrm{e} ^{\textrm{i} \, t/2 }$
et $\textrm{e} ^{\textrm{i} \, t } - 1 = \displaystyle 2 \, \textrm{i}\, \sin \frac t 2 \, \textrm{e} ^{\textrm{i} \, t/2 }$
donc $z = \displaystyle \textrm{i}\, \frac {\sin(t_k /2)} {\cos ( t_k\ 2)}$ .

Conclusion :
Les racines de $(E)$ sont les complexes
$\quad z_k = \displaystyle \textrm{i} \, \tan \left ( \frac {a + 2 k \pi} {2 n} \right)$ où $k \in \mathcal {C}$ .

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