Chapitres Maths en MPSI, PCSI, MP2I, PTSI
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Corrigés : Sommes et produits
Résumé de cours Exercices Corrigés
Cours en ligne de Maths en Maths Sup
Corrigés – sommes et produits MPSI, PCSI
1. QCM – Vrai/Faux
Les relations suivantes sont- elles vraies ? Les corriger lorsqu’elles sont fausses.
Question 1
Si , .
Corrigé :
L’affirmation est vraie si et fausse pour .
Par le binôme de Newton,
.
Le résultat est nul si et égal à 1 si .
Question 2
Si , .
Corrigé :
Vrai. Par le binôme de Newton,
.
Question 3
Soit . .
Corrigé :
Faux. La réponse correcte est
.
Par le binôme de Newton,
.
Par différence,
Il ne reste que les termes pour avec , donc
.
\$
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Question 4
Soit . .
Corrigé :
Vrai. On utilise si ,
Question 5
Si et , .
Corrigé :
Vrai. On utilise si ,
et .
Question 6
Soient et une famille de complexes.
.
Corrigé :
Vrai. En posant soit , lorsque varie de à , varie de à
.
Question 7
Soient et une suite réelle ou complexe.
.
Corrigé :
Faux. On pose .
On remarque que
puis on utilise un télescopage :
en posant ,
.
Question 8
Soient et une suite réelle ou complexe.
.
Corrigé :
Faux (sauf si les termes sont tous nuls).
On a ajouté dans la somme tous les termes d’indices avec .
👍 On retiendra qu’il est impossible d’utiliser un changement d’indice ou .
Question 9
Soit . .
Corrigé :
L’affirmation est vraie car
et .
Question 10
Si ,
Corrigé :
Faux.
On sépare les indices avec des indices avec ssi
Question 11
Soient et , deux familles réelles ou complexes
.
Corrigé :
Faux car il manque les termes si
👍 Pour éviter une telle erreur prendre la précaution d’utiliser des indices différents dans les deux sommes :
c’est à dire écrire
.
Question 12
Soit ,
Corrigé :
Vrai.
en posant qui varie de à si varie de à :
.
Question 13
Si
Corrigé :
en posant dans la première somme
.
Question 14
Soit .
Si .
a) Si , .
Corrigé :
Faux. ⚠️ Si l’expression est exprimée à l’aide d’un signe ou , pour calculer où est un entier, ne doit pas être l’indice de sommation ou de produit. Si nécessaire, changer le nom de l’indice de sommation ou de produit.
Il faut noter aussi que la relation proposée n’a pas de sens : dans , l’entier est fixé alors que dans la somme, il est variable !
On écrit donc
donc
en posant , .
b) .
Faux. La question précédente donne .
en posant , varie de à lorsque varie de à .
.
Question 15
Soient et une famille réelle ou complexe.
.
Corrigé :
Faux et n’a d’ailleurs pas de sens, la somme « extérieure » est impossible à calculer car n’est pas défini.
est écrite sous la forme d’une seule somme :
Puis étant fixé dans , doit alors varier de à :
.
Par contre, on peut intervertir les sommes dans le cas :
même si .
Question 16
Soient et et des complexes
.
Corrigé :
On utilise la formule de Bernoulli en remarquant que
avec et .
On obtient :
Question 17
Soient et des entiers tels que ,
Corrigé :
on a
car .
Question 18
Soient et des entiers tels que , et une famille de complexes.
.
Corrigé :
2. Des sommes et des coefficients du binôme
Exercice 1
Si , calculer
et .
Corrigé :
En dérivant telle que ,
on obtient
Puis par intégration,
et
donc .
Exercice 2
Appliquer la formule du triangle de Pascal pour calculer lorsque .
Corrigé :
.
Par la formule du triangle de Pascal (valable si ),
avec ,
Exercice 3
Démontrer par récurrence que si , .
Corrigé :
On note si
: .
Pour , la propriété est évidente car elle s’écrit .
On suppose qu’elle est vraie au rang . Par l’hypothèse de récurrence,
On termine par la formule du triangle de Pascal : .
La propriété est vraie au rang . Elle a été démontrée par récurrence.
Exercice 4
Utiliser pour calculer, et .
Corrigé :
En prenant , .
En prenant ,
On peut commencer la somme à car le terme est nul pour
On obtient après multiplication par 2 :
soit
.
En prenant ,
On commence la somme à car le terme est nul pour et .
On obtient après multiplication par 6 :
Après calculs :
.
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3. Des calculs de sommes
Exercice 1
Si , .
Corrigé :
Vrai.
La suite est strictement croissante.
.
Pour tout .
Exercice 2
Soit .
Corrigé :
Vrai. Si on note
Pour
la propriété est vraie.
On suppose que est vraie.
En utilisant : est égal à
ce qui justifie .
La propriété est démontrée par récurrence.
Exercice 3
Soit .
Corrigé :
Vrai. Si , on note
.
Pour ,
donc est démontrée.
On suppose que est vraie.
ce qui justifie .
La propriété est démontrée par récurrence.
Exercice 4
Soit . Calculer .
Corrigé :
donc
puis
donc
.
On note dans la suite .
par télescopage
.
Exercice 5 Formule de Vandermonde
Soit . .
Corrigé :
Cette démonstration nécessite de savoir faire le produit de deux polynômes.
On utilise
soit .
Puis on égale les coefficients de :
donc
ce qui s’écrit aussi
et on a obtenu la relation.
👍 On peut aussi démontrer que si et et :
ce qui peut s’écrire
Pour cela on utilise
et on détermine le coefficient de
On transforme la somme en choisissant
ssi
ce qui donne .
Exercice 6
Soit . Calculer
Corrigé :
On utilise
soit
et on calcule le coefficient de
par le produit des deux polynômes :
Si est impair, on en déduit que
et si où ,
.
Exercice 7
Soit et une famille de réels telle que
,
alors
Corrigé :
donc .
est nulle et c’est la somme de réels positifs ou nuls, donc
, soit .
Exercice 8
Si
Corrigé :
.
Si ,
La propriété reste vraie si car .
Puis
et en posant ,
.
Exercice 9
Si , calculer
Corrigé :
On écrit une partition de faisant intervenir les carrés des entiers entre 1 et
lorsque
donc
Donc
.
Exercice 10
Calculer si ,
.
Corrigé :
donc
On note
en posant ,
.
\$
4. Calcul de produits
Exercice 1
Si et , calculer
.
Corrigé :
avec
et .
avec
.
avec
.
D’où .
Exercice 2
Exprimer à l’aide factorielles
.
Corrigé :
.
On utilise ensuite pour obtenir :
et
.
C’est un calcul que vous allez souvent retrouver.
👍 Il faudra penser à écrire .
Exercice 3
Si et
.
Question 1
Exprimer en fonction de et lorsque .
Corrigé :
donc .
En posant ,
Puis on utilise
On remarque que
avec
et
donc
et alors
donc
.
Question 2
Exprimer si , à l’aide de coefficients du binôme.
Corrigé :
Si ,
avec
et
en posant , .
.
Exercice 4
Si , simplifier .
Corrigé :
Soit .
avec
donc et
soit .
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5. Sommes doubles
Exercice 1
Si , calculer .
Corrigé :
On note .
Transformation de : on introduit
,
et .
Par symétrie, .
Comme est réunion des trois ensembles 2 à 2 disjoints :
,
,
et ,
.
Calcul de .
.
Conclusion
.
et
.
Exercice 2
Si , calculer .
Corrigé :
.
Exercice 3
Si , calculer .
Corrigé :
.
On traduit d’abord si
dans la première somme, et dans la deuxième somme, ,
.
Conclusion
et .
Exercice 4
Si , calculer
.
Corrigé :
On traduit d’abord si ,
Dans la première somme, , et dans la deuxième somme, , ,
en posant ,
.
Conclusion
.
Exercice 5
Si et , calculer
.
Corrigé :
Pour intervertir les signes , on écrit la double somme avec un seul signe
si est fixé entre et , varie de 1 à :
on peut commencer la somme à car le terme est nul si
.
Fin du calcul
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6. Formule d’inversion de Pascal
Question 1
Soit .
Montrer que pour tout ,
on note si et 1 si .
Corrigé :
car on obtient si et si .
Question 2
Soit et et deux familles de réels ou complexes.
ssi .
Corrigé :
Condition nécessaire.
En utilisant la définition de :
Dans le but d’intervertir les sommes :
on utilise la première question :
seul le terme pour subsiste :
.
On a donc établi la condition nécessaire.
Condition suffisante.
On définit pour tout
et
La première partie donne puisque
soit après multiplication par
soit .
On a donc prouvé la réciproque.
👍 Cette formule peut être utilisée pour calculer le nombre de surjections d’un ensemble à éléments dans un ensemble à éléments ou le nombre de permutations d’un ensemble à éléments sans point fixe (telles que pour tout , ).
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