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Cours : Dénombrements en Maths Sup

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Résumé de cours Exercices et corrigés

Cours en ligne de Maths en Maths Sup

Résumé de cours et méthodes – Dénombrements en Maths Sup

Plan :

1. Démontrer qu’un ensemble est fini
2. Utiliser des ensembles finis dans des raisonnements
3. Récapitulatif des résultats
4. Quelle méthode utiliser ?

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1. Pour démontrer qu’un ensemble est fini

$\bullet$ Si $E$ est non vide, démontrer qu’il existe un entier $n \in\mathbb{N}^*$ et une bijection de $[\![1,\, n]\!]$ sur $E$ .
Alors $n$ est unique et appelé cardinal de $E$ et noté $\# E = \textrm{Card }E = \vert E \vert$ .

$\bullet$ $\# \varnothing = 0$ .

$\bullet$ Démontrer qu’il existe une bijection $\varphi$ d’un ensemble fini $F$ sur $E$ .
Alors $E$ est fini et $\# E = \# F$ .

$\bullet$ Démontrer que $E$ est une partie d’un ensemble fini $F$ .
Alors $\# E \leq \# F$ .

$\bullet$ Démontrer que $E$ est la réunion de deux ensembles finis $A$ et $B$
$\ast$ Si $A \cap B = \varnothing,$ $\quad \quad \quad \# (A \cup B) = \# A + \# B$ .
$\ast$ Si $A \cap B \neq \varnothing$ ,
$\# (A \cup B) = \# A + \# B - \# (A \cap B)$ .

$\bullet$ Démontrer que $E = A \times B$ avec $A$ et $B$ finis :
$\quad \quad \# (A \times B) = \# A \, \times \, \# B$ .

$\bullet$ Plus généralement si $n \in \mathbb{N}, n\geq 3$ et si $E = \displaystyle \prod _{i = 1} ^n A_i$ où $\forall\, i \in [\![1 ,\, n]\!],\, A _ i$ est fini, $E$ est fini et $\quad \quad \displaystyle \# \left ( \prod _{i = 1} ^n A_i \right ) = \prod _{i = 1} ^n \left ( \# A_i \right)$ .

Exercice
Si $A,\, B,\, C$ sont trois parties de l’ensemble fini $E$ , calculer $\quad \quad \quad \# (A \cup B \cup C)$ .

Démo : On utilise le cardinal d’une réunion de deux ensembles avec $A \cup B$ et $C$ et
$(A \cup B) \cap C = (A \cap C) \cup (B \cap C)$ .

$\# (A \cup B \cup C) = \# ((A \cup B) \cup C)$
$= \# (A \cup B) + \# C - \# ((A \cup B) \cap C)$
$= \# (A \cup B) + \# C - \# ((A \cap C) \cup (B \cap C))$
On réutilise la formule donnant le cardinal de la réunion de deux ensembles et la relation :
$\quad \; (A \cap C) \cap (B \cap C) = A \cap B \cap C$ .

$\# (A \cup B \cup C) = \# A + \# B - \# (A \cap B)$
$\quad +\, \# C - \# (A \cap C) - \# (B \cap C)$ $\quad \quad \quad \quad +\, \# ( A \cap B \cap C)$
et en réordonnant :
$\# (A \cup B \cup C)= \#A + \#B + \# C$ $\quad - \, \# (A \cap B) - \# (A \cap C) - \# (B \cap C)$ $\quad \quad \quad \quad + \, \# (A \cap B \cap C)$ .

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2. Utiliser des ensembles finis dans des raisonnements

$\bullet$ Si $E$ et $F$ sont deux ensembles finis de même cardinal et $\varphi$ est une application de $E$ dans $F$ ,
$\varphi$ est bijective ssi $\varphi$ est injective ssi $\varphi$ est surjective.

$\bullet$ Si $E$ et $F$ sont deux ensembles finis, pour démontrer que $E$ = $F$ , il suffit de prouver une inclusion et que $E$ et $F$ ont même cardinal.

$\bullet$ Si $A$ est une partie de l’ensemble fini $E$ , son complémentaire $\overline{A} = C_E A$ est fini et $\# \overline{A} = \# E - \# A$ .

3. Récapitulatif des résultats

Dans la suite, $n$ et $p$ sont des entiers non nuls et $E_n$ est un ensemble de cardinal $n$ .

$\bullet$ $n^p$ est le nombre
$\ast$ de choix successifs avec remise de $p$ éléments de $E_n$
$\ast$ de listes avec répétition de $p$ éléments de $E_n$
$\ast$ d’applications de $E_p$ dans $E_n\,$ .
⚠️ l’ordre des éléments a de l’importance !

$\bullet$ Si $p \leq n$ , $\displaystyle A_n^p = \frac {n!} {(n - p)!}$ est le nombre
$\ast$ de choix successifs sans remise de $p$ éléments de $E_n$
$\ast$ de listes de $p$ éléments distincts de $E_n$
$\ast$ d’applications injectives de $E_p$ dans $E_n\,$ .
⚠️ les éléments sont choisis les uns après les autres et les $p$ éléments choisis sont distincts.

$\bullet$ Si $p \leq n$ , $\displaystyle {\binom {n} {p}} = \displaystyle \frac{n!} {p! \, (n - p)!}$ est le nombre
$\ast$ de choix simultanés sans remise de $p$ éléments de $E_n$
$\ast$ de listes strictement croissantes de $p$ éléments de $[\![1 , n]\!]$ (h.p. voir dem plus bas )
$\ast$ de parties à $p$ éléments de $E_n$ (ou $p-$ combinaisons).
⚠️ Les éléments sont choisis en même temps. Les $p$ éléments choisis n’ont pas d’ordre.

Exercice Nombre de listes strictement croissantes de $p$ éléments de $[\![1 , n]\!]$ .

Correction : On suppose $p \leq n$ et on note $\mathcal{S}_{p,n}$ l’ensemble $\{(i_1\, ,\, \cdots \, , \, i_p) \in\mathbb{N}^{*p}\, / \, i_1 < \, \cdots \, < i_p \leq n \}$ et $\mathcal{P}_p(n)$ l’ensemble des parties de $[[1 , n]]$ à $p$ éléments.
L’application $\mathcal{S}_{p,n} \to \mathcal{P}_p(n)$ $\quad \quad (i_1 \, ,\, \cdots \, , \, i_p ) \mapsto \{i_1 ,\, \cdots \, , \, i_p \}$
est une bijection (toute partie finie peut être rangée d’une unique façon sous forme strictement croissante), donc $\quad \quad \# \mathcal{S}_{p,n} = \# \mathcal{P}_p(n) = \displaystyle {\binom {n} {p} }$ .

Résultats à savoir démontrer :
si $n \in \mathbb{N}$ et $n \geq 2$ ,
$\# \{ (i , \, j) \in \mathbb{N}^2 \, / \, 1 \leq i < j \leq n \}$ $\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad = \displaystyle \frac {n(n - 1)} 2$ .
$\# \{ (i , \, j) \in \mathbb{N}^2 \, / \, 1 \leq i \leq j \leq n \}$ $\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad = \displaystyle \frac {n(n + 1)} 2$ .

Correction :

Soit $\mathcal{P}_2(n)$ l’ensemble des parties de $[[1 , n]]$ à $2$ éléments.

$\ast$ $S = \{ (i , \, j) \in \mathbb{N}^2 \, / \, 1 \leq i \leq j \leq n \}$ .
L’application $\mathcal{S} \to \mathcal{P}_2(n)$ $\quad \quad \quad \quad \quad (i \, ,\, j ) \mapsto \{i ,\,j\}$
est une bijection (toute partie finie peut être rangée d’une unique façon sous forme strictement croissante), donc $\quad \# \mathcal{S} = \# \mathcal{P}_2(n) = \displaystyle {\binom {n} {2} } = \frac {n(n - 1)}2$ .

$\ast$ $C = \{ (i , \, j) \in \mathbb{N}^2 \, / \, 1 \leq i \leq j \leq n \}$
On écrit $C = S \cup E$ avec $\quad \quad \quad E = \{ (i , \, i) \, / \, 1 \leq i \leq n \}$

Comme $S \cap E = \varnothing$ , $\# C = \# S + \# E = \displaystyle \frac {n(n - 1)} 2 + n$
$\# C = \displaystyle \frac {n(n + 1)} 2$

$\bullet$ Si $E$ est un ensemble fini de cardinal $n$ , $\mathcal{P}(E)$ est fini de cardinal $2^n$ .

En connaître 2 démonstrations :

$\bullet$ Première démonstration.
Soit $E$ un ensemble fini à $n$ éléments.
On écrit $\mathcal{P}(E) = \displaystyle \bigcup_{k = 0} ^n \mathcal {P} _ k(E)$
en notant $\mathcal {P} _ k(E)$ l’ensemble des parties de $E$ à $k$ éléments.
On introduit ainsi une partition de $\mathcal{P}(E)$
donc $\# \mathcal{P}(E) = \displaystyle \sum _{k = 0} ^n \# \mathcal{P}_k(E)$
$\# \mathcal{P}(E) = \displaystyle \sum _ {k = 0} ^n \binom {n} k$
$\# \mathcal{P}(E) = \displaystyle \sum _ {k = 0} ^n \binom {n} k \, 1 ^k \, 1^ {n - k} = (1 + 1) ^n$
par le binôme de Newton.

$\bullet$ Deuxième démonstration.
Si $\# E_n = n$ , on note $p_n = \# \mathcal{P}(E_n)$ .
$\ast$ $p_0 = 1$ car $\mathcal{P} (\varnothing) = \{ \varnothing \}$ .

$\ast$ Relation entre $p_{n + 1}$ et $p_n\,$ .
Soit $a \in E_{n + 1}$ et $E_n = E_{n + 1} \setminus \{a \}$ .
On note $\mathcal{P}(E_{n + 1} ) = \mathcal{A} \cup \mathcal{B}$
en notant $\mathcal{A} = \{ X \subset E_{n + 1} \, / \, a \in X \}$
et $\mathcal{B} = \{ X \subset E_{n + 1} \, / \, a \notin X \}$
$\mathcal{A}$ et $\mathcal{B}$ sont disjoints.

$\mathcal{B} = \mathcal{P} (E_n)$ donc $\# \mathcal{B} = \# \mathcal{P}(E_n) = p_n\,$ .

$\varphi : \mathcal{P}(E_n) \to \mathcal{A}, X \mapsto X \cup \{a \}$ est une bijection, donc $\# \mathcal{P}(E_n)= \# \mathcal{A}$

alors $\# \mathcal{P}(E_{n + 1} ) = \# \mathcal{A} + \# \mathcal{B}$
donne $p_{n + 1} = 2 \, p_n$

$\ast$ $(p_n)_n$ est une suite géométrique de raison 2 et de premier terme $p_0 = 1$
alors $p_n = 2 ^n$ .
$\bullet$ Et une troisième démonstration.
On rappelle que l’on note $\textbf{1}_A$ la fonction indicatrice de l’ensemble $A$ .
L’application $\varphi : \mathcal{P} (E) \to \mathcal{F} ( E, \{ 0, 1 \} )$ , $A \mapsto \textbf{1}_A$ est une bijection, donc
$\quad \quad \# \mathcal{P} (E) = \# \mathcal{F} ( E, \{ 0, 1 \} ) = 2 ^n$ .

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4. Quelle méthode utiliser ?

4.1. Règle du produit
Si l’on doit choisir un premier élément de $n_1$ façons, un deuxième élément de $n_2$ façons , … , et le $p$ – ième élément de $n_p$ façons,
le nombre de choix possibles est égal à $n_1\, n_2\, \cdots \,n_p\,$ .
c’est en effet le nombre d’éléments de $A_1 \times A_2 \, \cdots \, A_p$ où $A_i$ est l’ensemble dans lequel on choisit le $i$ -ème élément.

4.2. Utilisation d’une réunion
Si l’on doit choisir un élément vérifiant une propriété $P_1$ ou un élément vérifiant une propriété $P_2$ :
On note $A$ (resp $B$ ) l’ensemble des éléments vérifiant $P_1$ (resp $P_2$ ).
$\ast$ Dans le cas où il n’y a aucun élément vérifiant les propriétés $P_1$ et $P_2$ en même temps :
$\quad \quad \# (A \cup B) = \# A + \# B$
car $A \cap B = \varnothing$ .
$\ast$ Dans le cas où il y a des éléments vérifiant les propriétés $P_1$ et $P_2$ en même temps :
$\# (A \cup B) = \# A + \# B - \# (A \cap B)$ .

4.3. Utilisation d’une partition
Pour justifier $\displaystyle \# A = \sum _{k = 0} ^n \# A_k\,$ , commencer par prouver que la famille $(A_k)_{0\leq k\leq n }$ est une partition de $A$ (parties non vides, deux à deux disjointes, de réunion égale à $A$ ).
Puis $\displaystyle \# \bigcup _{k = 0} ^n A_k = \sum _{k = 0} ^n \# A_k\,$ .

4.4. « avoir au moins un élément vérifiant une propriété $\mathcal{P}$ «
$\ast$ Pour dénombrer un problème contenant un « au moins », en général il est plus simple de dénombrer le complémentaire (c’est le cas lorsque le complémentaire se traduit par « sans »).
$\ast$ Lorsque le nombre maximum $M$ d’éléments vérifiant la propriété est faible, on peut envisager de noter $B _ k$ « avoir $k$ éléments vérifiant $\mathcal{P}$ » et écrire $A = \displaystyle \bigcup_{k = 1} ^{M} B_k$ , les ensembles étant deux à deux disjoints, $\#A = \displaystyle \sum _ {k = 1} ^M \# B_k \,$

4.5. Calculer $\# A \cap B$ où $A$ et $B$ sont deux parties de $E$ et $B$ définie par « avoir au moins un élément vérifiant $\mathcal{P}$ »
Utiliser $A = A \cap E = A \cap (B \cup \overline {B})$
$A = (A \cap B) \cup (A \cap \overline {B})$ .
Les deux ensembles étant disjoints :
$\quad \# A = \# (A \cap B) + \#(A \cap \overline {B})$
et utiliser $\quad \# (A \cap B) = \# A - \#(A \cap \overline {B})$
pour répondre à la question.

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