Chapitres Maths en MPSI, PCSI, MP2I, PTSI
Chapitres Maths en MPSI, PCSI, MP2I, PTSI
Cours : Développements limités en Maths Sup MPSI, MP2I, PCSI, PTSI
Résumé de cours Exercices et corrigés
Cours en ligne de Maths en Maths Sup
Résumé de cours et méthodes – Maths Sup Développements limités
Plan :
1. Définitions
2. Pour démontrer que a un développement limité à l’ordre
en
3. Opérations sur les DL
3.1. Somme de deux DL en 0
3.2. Produit de deux DL en 0.
3.3. Utilisation du DL en de
3.4. Composition de deux DL en 0
3.5. DL d’un quotient à l’ordre au voisinage de 0
3.6. Intégration d’un DL
3.7. D.L. et dérivées
3.8. Recherche d’un DL au voisinage de
3.9. D.L d’une fonction réciproque
4. Les développements limités à connaître
5. Utilisation des DL
5.1. Recherche d’un équivalent
5.2. Caractère local
5.3. Recherche de la limite d’un quotient
5.4. Étude d’une courbe au voisinage de
5.5. Utilisation des DL dans l’étude des asymptotes obliques.
On note ou
.
Ce chapitre de mathématiques du programme de MPSI, MP2I, PCSI et PTSI est généralement traité au début du second semestre. Il introduit des notions très importantes de maths sup. Ces notions serviront en maths spé pour les concours. Il est primordial de bien savoir calculer les DL et de maitriser les différentes techniques introduites. Si vous en ressentez le besoin, n’hésitez pas à faire appel à un cours particulier de maths à domicile pour maitriser complètement ces fondamentaux.
1. Définitions des DL en MPSI, MP2I, PCSI et PTSI
1.1. Développement limité en et en
Soient
un intervalle et
un point de
, ou une borne de
et
.
est une fonction définie sur
(ou sur
) à valeurs dans
.
On dit que
admet un développe- ment limité d’ordre
en
s’il existe
tels que
La fonction polynôme
est unique et appelée la partie régulière du DL de
en
à l’ordre
.
La fonction
admet un développement limité à d’ordre
en
ssi la fonction
admet un développement limité en
d’ordre
et dans ce cas
ssi
.
1.2. Unicité du DL
Il est important de retenir qu’il y a unicité du DL lorsqu’il existe.
Soit définie dans un intervalle
centré en
et admettant un DL d’ordre
en
.
si
est paire, pour tout
tel que
,
.
(la partie régulière du DL ne contient que des puissances paires)
si
est paire, pour tout
tel que
,
.
(la partie régulière du DL ne contient que des puissances impaires).
1.3. Troncature
Si admet un DL d’ordre
en
:
pour tout
,
admet un développement limité en
donné par
On dit qu’il est obtenu par troncature du DL à l’ordre .
Si admet un développement limité en
, d’ordre
, elle admet un DL d’ordre
donné par
si
est définie en
,
sinon
est prolongeable par continuité en
par
.
1.4. Forme normalisée d’un DL
Si
admet un développement limité d’ordre
en
dont la partie régulière est non nulle, on peut écrire le DL sous la forme dite normalisée :
si
En particulier : .
si
,
En particulier : .
L’entier est appelé valuation de la partie régulière du DL de
en
.
1.5. Développement asymptotique en
Soit
définie sur un intervalle de la forme
à valeurs dans
, si
,
On dit que admet un développement asymptotique à la précision
au voisinage de
.
Soit
définie sur un intervalle de la forme
à valeurs dans
, si
,
On dit que admet un développement asymptotique à la précision
au voisinage de
.
On peut se ramener au voisinage de et posant
soit en utilisant
.
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2. Pour démontrer que
A UN DÉVELOPPENT LIMITÉ
M1. Par utilisation de la formule de Taylor-Young :
Si est de classe
sur un intervalle contenant
,
admet un développement limité à l’ordre
en
donné par
.
Pour cela, il suffit bien sûr que soit de classe
au voisinage de
.
M2. Montrer que
est une somme de fonctions ayant un DL à l’ordre
en
.
M3. Montrer que
où
et
ont des DL d’ordre
en
.
M4. Si
, montrer que
, où
a un DL d’ordre
en
et
a un DL d’ordre
en
avec
de limite nulle en 0.
M5. Montrer que
où
et
ont des DL d’ordre
au voisinage de
, le terme constant du DL de
étant non nul.
M6. Montrer que
est dérivable au voisinage de
et que
a un DL d’ordre
en
.
M7. Si l’on connaît le DL de
en
à l’ordre
, le DL de
à l’ordre
est obtenu par troncature.
M8. Toute fonction polynôme
de degré inférieur ou égal à
admet un DL d’ordre
au voisinage de
dont la partie régulière est égale à
.
Pour que admette un DL en
, il est nécessaire que
ait une limite finie en
. Si
est définie en
, il est nécessaire que
soit continue en
.
Si une fonction est paire (resp. impaire) et a un DL d’ordre en
, son DL ne contient que des puissances paires (resp impaires).
Mais un DL ne contenant que des puissances paires (resp. impaires) n’est pas nécessairement le DL d’une fonction paire (resp impaire).
M9. Pour obtenir un DL d’ordre
de
au voisinage de
(resp. de
), chercher un DL d’ordre
au voisnage de
(resp
) de
.
3. Opérations sur les DL
Il est conseillé de se ramener au voisinage de en posant
lorsque
.
Toutes les opérations doivent se faire avec des DL de même ordre.
3.1. Somme de deux DL en 0
On écrit les deux DL à l’ordre . On additionne les parties régulières.
3.2. Produit de deux DL en 0.
On écrit les deux DL à l’ordre . On fait le produit des parties régulières en ne conservant que les termes de degré inférieur ou égal à
.
Si
et ,
En notant
et
,
alors
où avec
.
Si l’on élève le DLde à l’ordre
au carré, on obtient le DL de
à l’ordre
(et non à l’ordre
).
Ne jamais faire le produit d’un DL en par une expression contenant des puissances négatives de
.
3.3. Utilisation du DL de
On rappelle que si
Même si la formule est utilisable pour , il est indispensable de connaître par coeur :
.
Lorsque , il suffit d’utiliser le binôme de Newton (tronqué si
) et d’écrire
Exemple :
Trouver le développement limité de à l’ordre 4 en
.
Correction : On utilise la formule pour
et on évalue pour
.
.
Exemple 2 :
Trouver le développement limite de à l’ordre
en
.
En exprimer les coefficients à l’aide de coefficients binomiaux.
Correction :
On utilise la formule
Pour et on simplifie la valeur de
.
On calcule la valeur de
en multipliant et divisant par
donc
.
Cette formule donne si
, on peut donc écrire :
Bien sûr si l’on demande le développement limité à un ordre simple, on effectue uniquement les calculs indis- pensables et on obtient par exemple :
3.4. Composition de deux DL en 0
Avant de calculer le DL de au voisinage de
, lorsque l’on connaît les DL de
et
à l’ordre
au voisinage de 0, bien vérifier que
tend vers 0 en 0 (c’est à dire que le terme constant du DL de
est nul).
Méthode pratique
a) on écrit le DL de
quand
tend vers
à l’ordre
b) on écrit le DL de
quand
tend vers 0 à l’ordre
, en vérifiant que la partie régulière
de ce DL ne contient pas de terme constant
c) dans la partie régulière
du DL de
, on remplace
par
. On élève
) aux différentes puissances, en ne conservant que les termes de degré inférieur ou égal à
.
d) on remplace
par
.
Exemple 1 :
Développement limité à l’ordre 5 en de
.
Correction :
On rappelle les DL utilisés ici :
Il n’y a pas de problème de composition puisque tend vers
en
.
On pose donc .
Vous préférerez peut être faire les calculs suivants à part (on multiplie chaque ligne par en ne conservant que les monômes de degré inférieur ou égal à
) :
Pour obtenir
Puis on réordonne suivant les puissances croissantes de .
.
Dans le cas où , suivant la situation :
On utilise les propriétés de
pour exprimer
en fonction de
(
) dont on peut écrire le développement limité en suivant la méthode décrite ci- dessus.
Sinon il faut écrire le développement limité de
à l’ordre
en
sous la forme
Et remplacer par
.
Exemple 2
DL à l’ordre 5 en de
.
Correction :
Avant de faire les calculs, on rappelle que la fonction étant paire, si l’on connaît le DL de
à l’ordre
en
, on le connaît à l’ordre 5.
On rappelle les DL utilisés ici :
.
Puis on fait attention au fait que admet
pour limite en
, on écrit donc
avec
Puis comme le DL de commence par
, seuls les calculs de
,
sont utiles pour trouver le DL de
.
Avec ces remarques, les calculs sont simplifiés :
Ce qui donne le DL à l’ordre 4 :
Soit
On termine en utilisant la remarque indiquant que le DL à l’ordre 4 d’une fonction paire donne le DL à l’ordre 5 et
Exemple 3
DL à l’ordre 2 en de
.
Correction : On sait que .
On écrit le DL de en
à l’ordre 2 à l’aide de la formule de Taylor-Young.
,
,
.
et on utilise
donc
.
3.5. DL d’un quotient à l’ordre au voisinage de 0
Soit à calculer le DL de à l’ordre
.
1 er cas : le DL de
a un terme constant non nul.
On écrit les DL de et
à l’ordre
en
:
et
.
En divisant par le terme constant non nul de
les quantités
et
, on se ramène à une expression de la forme
,
La fonction admettant
pour limite en
. On utilise le DL de
pour obtenir celui de
puis on fait un produit de 2 développements limités.
Exemple 1 :
DL de en
à l’ordre 3.
Correction :
en
à l’ordre 2.
Comme le dénominateur admet
pour limite en
, on écrit les développements limités du numérateur
et du dénominateur
à l’ordre 2.
avec
et en factorisant
En utilisant
pour
.
Il reste à faire un produit de deux DL à l’ordre 2 :
.
2 ème cas : le DL de
a un terme constant nul et
(la valuation de la partie régulière du DL de
est égale à
).
si la valuation de
est supérieure ou égale à
, on écrit les DL de
et
à l’ordre
. On simplifie par
et on se ramène au premier cas.
si la valuation
de
vérifie
, on introduit
.
Les valuations des nouvelles parties régulières et
sont alors égales à
, ce qui permet d’appliquer la méthode décrite dans le deuxième cas à
.
Il est alors indispensable de réfléchir aux ordres des différents DL si l’on veut une expression de en
Il faut écrire celui de à l’ordre
(pour simplifier à la fin par
).
Les valuations des parties régulières du numérateur et du dénominateur étant égales à , il faut écrire ces développements limites de
et de
à l’ordre
, les simplifier par
, utiliser la méthode décrite dans le 1er cas au quotient de deux DL à l’ordre
dont la valuation du dénominateur est nulle et ainsi obtenir le DL de
à l’ordre
comme souhaité.
Si l’on a écrit le développement limité de sous la forme :
on obtient
.
On remarquera que la partie est formée de termes élevés à une puissance strictement négative.
exemple 2
Développement limité à l’ordre 4 de .
Correction :
La valuation du DL de en
étant égale à 1, il faut diviser par
, donc écrire le DL de
à l’ordre 5
.
En utilisant
avec
.
Les termes et
ne contiennent pas de termes de degré inférieur ou égal à 4,
donc
.
3.6. Intégration
Si au voisinage de , la fonction continue
vérifie :
une primitive de
admet pour DL au voisinage de
:
Il n’y a aucune difficulté si l’on n’oublie pas .
Il est bon de savoir que le DL de se calcule plus simplement en utilisant le DL de
qu’en faisant une composition de DL .
C’est en utilisant cette méthode que l’on retrouve facilement les DL de à l’ordre
ou de
à l’ordre
en
exemple 1
Déterminer le développement limité en à l’ordre
de
Correction :
est dérivable sur
et
.
On a vu en 3.3 que
Par intégration du DL sachant que ,
.
exemple 2
Retrouver le DL à l’ordre 2 en de
.
Correction :
On effectue le produit de deux DL à l’ordre 1 :
et comme ,
3.7. D.L. et dérivées
M1.
est définie dans un voisinage de
et a un DL d’ordre
en
tronqué à l’ordre 1 sous la forme :
alors et
est dérivable en
et
.
Si n’était pas définie en
, on la prolonge par continuité en
en posant
.
M2. Si
est de classe
au voisina- ge de
,
a un DL d’ordre
en
donné par la formule de Taylor-Young.
Conséquence : si est de classe
;
a un DL en
à l’ordre
pour tout
.
M3.Si
est
fois dérivable en
et si l’on a obtenu son DL à l’ordre
:
alors
.
admet un DL d’ordre
en
donné par :
M4. Si
est une fonction dérivable sur un intervalle
contenant
et si
et
admettent des DL d’ordre
et
respectivement au voisinage de
, alors la partie régulière du DL à l’ordre
en
de
est la dérivée de la partie régulière du DL à l’ordre
en
de
M5. Si
a un DL d’ordre
en
et si
est dérivable au voisinage de
, on ne peut pas dériver le DL de
sauf si l’on sait que
vérifie les conditions de Taylor Young (cf M3.) ou la condition du M4.
Il existe des fonctions ayant un DL d’ordre
en
et qui ne sont pas
fois dérivables en
si
.
exemple : et
,
, mais
n’existe pas.
Si et si
a un DL d’ordre
en
, on ne peut pas conclure que
est
fois dérivable en
, ni que
est de classe
au voisinage de
.
Démo :
Soit
,
,
, ce qui permet d’écrire
, donc
a un DL d’ordre 2 en
.
ayant un DL à l’ordre 1 en
,
est dérivable en
et
.
Si
,
.
Soit
.
En utilisant
, la suite
converge vers
.
, la suite
converge vers
.
, la suite
converge vers
.
, la suite
converge pas vers
,
La fonction n’admet pas de limite en
, donc
n’est pas dérivable en
.
3.8. Recherche d’un DL au voisinage de
lorsque
, par utilisation de la formule de Taylor Young, à condition que la fonction
soit de classe
au voisinage de
.
ou par changement d’inconnue (en posant
si
ou
si
), à condition d’obtenir un DL calculable en 0.
quand les calculs sont terminés, ne pas développer les puissances de obtenues.
3.9. D.L d’une fonction réciproque
rappels : si est une fonction continue sur l’intervalle
et strictement monoto- ne,
définit une bijection de
sur
.
Si l’on suppose de plus que est de classe
sur
et que pour tout
de
,
, la fonction réciproque
de
est de classe
sur
.
Conséquence : Si les hypothèses ci-dessus sont vérifiées et si est un intervalle contenant
,
est de classe
au voisinage de
donc admet un développement limité à l’ordre
au voisinage de
.
On écrit le DL de en
à l’ordre
et celui de
en
sous la forme
et en écrivant que et en calculant le DL de cette égalité à l’ordre
en
, par unicité du DL de la fonction
en
, on obtient un système d’équations permettant de calculer les
.
exemple :
Existence de la fonction réciproque de et détermination du DL de la fonction réciproque à l’ordre
en
.
Correction :
est de classe
sur
et
admet
pour limite à droite en
et
pour limite en
. Donc
définit une bijection de
sur
et sa fonction réciproque
est de classe
sur
.
De plus donc
admet un développement limité à l’ordre
en
donné par
.
Et .
On peut effectuer la composition des DL pour trouver le DL de en
or , donc par unicité du DL, on obtient les CNS
ssi et
donc .
4. Les développements limités classiques à connaître
qui permet de trouver
et ceux à savoir retrouver
.
5. Utilisation des développements limités en MPSI, PTSI, MP2I et PCSI
5.1. Trouver un équivalent
On suppose que l’on a obtenu le DL de à l’ordre
au voisinage de
, de partie régulière non nulle :
si
,
si
,
.
On note le plus petit entier tel que
soit non nul, alors
si
si
.
Important : on ne conserve qu’un seul terme du DL lorsque l’on écrit un équivalent.
En général, il faut utiliser un DL quand on cherche un équivalent de , formée d’une somme ou d’une différence.
5.2. Caractère local
Un DL ne donne des renseignements qu’au voisinage du point considéré.
Il ne permet pas de donner le signe de pour tout
, mais si l’on peut en déduire qu’il existe
et
tels que
, il permet de dire que, pour
assez petit,
et
sont de même signe.
5.3. Recherche de la limite d’un quotient
Dans le cas d’une forme indéterminée 0/0, on cherche un équivalent du dénominateur et on écrit le DL du numérateur au même ordre.
Dans le cas d’une différence de quotients, réduire auparavant au même dénominateur.
5.4. Étude d’une courbe au voisinage de
Dans la plupart des cas, il suffit d’avoir le DL de à l’ordre 2 en
(à l’ordre 3 si
est impaire et si
).
Si l’on obtient
Si nécessaire, on prolonge
par continuité en
, en posant
. Alors
est dérivable en
et
.
Une équation de la tangente en
est
.
Pour étudier la position par rapport à la tangente, on étudie le signe de :
si
, le signe de
est le signe de
donc le signe de
pour
assez petit.
si
, il faut refaire le DL de
à un ordre plus élevé et dans le cas où l’on a obtenu
,
est alors du signe de
pour
assez petit.
Lorsque est impair,
change de signe en
: la courbe traverse sa tangente en
, on dit que le graphe
admet un point d’inflexion en
.
Étude des points critiques : (points tels que
).
Dans le cas où l’on peut trouver et
tels que
si
est pair,
admet un maximum local en
si
et un minimum local si
si
est impair,
change de signe en
, la courbe traverse sa tangente en
, on a un point d’inflexion à tangente horizontale.
(on trouve et
en utilisant un DL en
de
).
5.5. Utilisation des DL dans l’étude des asymptotes obliques
On pose et on calcule le DL de
à l’ordre
quand
tend vers 0.
On obtient une expression de la forme
soit
.
La courbe représentative de
admet une asymptote
d’équation
.
Pour , le signe de
est celui de
et il donne la position de la courbe par rapport à l’asymptote.
Dans le cas , il faut refaire le DL de
à un ordre plus élevé.
Exemple
Étude des branches infinies de où
.
Correction :
où
.
On note ,
.
Pour éviter un calcul supplémentaire qui serait dû à une valeur de annulant le coefficient de
, on prend la précaution de calculer le développement limité à l’ordre 3 et non 2.
donc
ce qui donne
La droite d’équation
est asymptote à la courbe
.
On étudie le signe de au voisinage de
.
si
,
au voisinage de ,
est du signe de
si
, la courbe est au dessus de l’asymptote si
et en dessous si
si
, la courbe est au dessus de l’asymptote si
et en dessous si
.
si
,
donc est négatif au voisinage de l’infini.
La courbe est située sous l’asymptote.
Les cours de maths dispensés en prépa ne sont évidemment pas suffisants pour espérer avoir une bonne moyenne. Par conséquent, ces cours en ligne au programme de Maths pour les Maths Sup vous offrent la possibilité de compléter chez vous, les enseignements reçus en cours. Tous les chapitres de maths de MPSI, PTSI et PCSI sont disponibles, dont les chapitres suivants :