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Cours sur les espaces vectoriels en Maths Sup

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Résumé de cours Exercices et corrigés

Cours en ligne de Maths en Maths Sup

Bénéficiez de cours en ligne sur le chapitre des espaces vectoriels au programme de maths sup en maths. Un cours de maths qui viendra compléter les cours dispensés par les professeurs de prépa mais aussi les cours particuliers de maths tout au long de l’année.

*Dans tout le chapitre, $\mathbb{K}$ désigne le corps des réels ou des complexes.*

A. Espaces vectoriels de dimension finie en Maths Sup

1. Définition des espaces vectoriels de dimension fini en maths sup

D1 : Un $\mathbb{K}$ -espace vectoriel $E$ est de dimension finie lorsqu’il admet une famille génératrice finie.

Théorème de la base extraite :
Si $E$ est un espace vectoriel de dimension finie distinct de $\{0\}$ , de toute famille génératrice finie, on peut extraire une base de $E$ .

Théorème de la base incomplète :
Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie. Toute famille libre de $E$ peut être complétée en une base de $E$ .

2. Dimension des espaces vectoriels

T1 : Dans un espace vectoriel engendré par une famille de $n$ vecteurs, toute famille de $n + 1$ vecteurs est liée.

T2 : Si $E$ est un espace vectoriel de dimension finie distinct de $\{0\}$ , toutes les bases de $E$ ont même cardinal, que l’on appelle dimension de $E$ et que l’on note $\textrm{dim} \, E$ .

On pose par convention $\textrm{dim} \{0\} = 0$ .

3. Produit d’un nombre fini d’espaces vectoriels de dimension finie

Soit $n \in \mathbb{N}$ et $n \geqslant 2$ .

On suppose que pour tout $i \in [\![1 , n]\!]$ ,

$E_i$ est un $\mathbb{K}$ -espace vectoriel de dimension finie. $E = \displaystyle \prod_{i=1}^{n} E_i$ est un $\mathbb{K}$ -espace vectoriel de dimension finie et

$\dim(E)=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\dim(E_i)$ .

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B. Propriétés des espaces vectoriels de dimension finie en Maths Sup

1. Caractérisation d’une base d’un espace vectoriel

P1 : Soit $E$ un $\mathds{K}$ -espace vectoriel de dimension $n > 0$ et $(a_1 \, , \,a_2\, ,... , \, a_n)$ une famille de $n$ vecteurs de $E$ .
$(a_1 \, , \,a_2\, ,\; ... \; ,\, a_n)$ est une base de $E$

$\Leftrightarrow$ $(a_1\, , \,a_2 \, ,\; ... \; ,\, a_n)$ est une famille libre de $E$

$\Leftrightarrow$ $(a_1 \, , \,a_2\ ,\; ... \; ,\, a_n)$ est une famille génératrice de $E$ .

2. Sous-espace vectoriel d’un espace vectoriel de dimension finie

P2 : Si $E$ est un $\mathds{K}$ -espace vectoriel de dimension finie et $F$ est un s.e.v. de $E$ ,

$\bullet$ $F$ est de dimension finie et $\dim F \leqslant \dim E.$

$\bullet$ $F = E$ ssi $\dim F = \dim E.$

P3 : Formule de Grassmann

Soient $F$ et $G$ deux sous-espaces vectoriels de dimension finie du $\mathbb{K}$ -espace vectoriel $E$ , $F + G$ est de dimension finie et

$\dim (F + G) = \dim F + \dim G$

$- \dim (F \cap G).$

3. Rang d’une famille de vecteurs en Maths Sup

D : Le rang de la famille de vecteurs $(a_1 \, ,\, a_2 \, ,\;...\; ,\, a_n)$ du $\mathbb{K}$ -espace vectoriel $E$ est égal à $\quad \quad \textrm{dim Vect} (a_1\, ,\, a_2\, ,\;...\; ,\, a_n)$ .

On le note $\textrm{rg}(a_1\, ,\, a_2 \, ,\;...\; ,\, a_n)$ .

P4 : Le rang de la famille $(a_1\, ,\, a_2\, ,\;...\; ,\, a_n)$ est inchangé

$\bullet$ si l’on permute les vecteurs,

$\bullet$ si l’on multiplie un vecteur par un scalaire non nul

$\bullet$ si l’on ajoute à l’un des vecteurs une combinaison linéaire des autres vecteurs.

C. Somme de sous-espaces vectoriels en Maths Sup

1. Supplémentaires en dimension finie en Maths Sup

P1 : Soit $E$ un $\mathbb{K}$ -espace vectoriel de dimension finie et $F$ un sous-espace vectoriel strict (c’est-à-dire distinct de $E$ et de $\{0\}$ ) de $E$ .

Soit $(f_1\, ,\, f_2 \, ,\;...\; , \,f_p)$ une base de $F$ . Il est possible par le théorème de la base incomplète de la compléter en une base de $E$ notée $\quad (f_1\, ,\, f_2 \, ,\;...\; , \,f_p\, ,\, e_{p + 1}\, ,\;...\; ,\, e_n)$ .

Cette base est dite adaptée au sous-espace vectoriel $F$ .

Alors Vect $( e_{p + 1} \, ,\;...\; ,\, e_n)$ est un supplémentaire de $F$ .

P2 : Dans un $\mathbb{K}$ -espace vectoriel $E$ de dimension finie, tout s.e.v. admet un supplémentaire.

Pour tout supplémentaire $G$ de $F$ ,
$\quad \quad \textrm {dim} \, G = \textrm {dim} \, E - \textrm {dim} \, F$ .

P3 : Soient $E$ un $\mathbb{K}$ -espace vectoriel de dimension finie et $F$ et $G$ deux sous-espaces vectoriels de $E$ .

Les propriétés suivantes sont équivalentes:

1. $E = F \oplus G$

2. $F \cap G = \{0\}$ et
$\dim E = \dim F + \dim G$

3. $E = F + G$ et
$\dim E = \dim F + \dim G.$

2. Somme directe dans un espace vectoriel de dimension finie

T1 : Soit $E$ un $\mathbb{K}$ -espace vectoriel de dimension finie. Si $E_1\, ,\, E_2\, ,\,... \,,\, E_n$ sont des sous-espaces vectoriels dont la somme $F$ est directe et si pour tout $i \in[\![1 , n]\!]$ , $\mathcal{B}_i$ est une base de $E_i\,$ ,
la famille $\mathcal{B}$ obtenue par concaténation des bases $\mathcal{B}_1\, ,\; \mathcal{B}_2 \, ,...\, , \; \mathcal{B}_n$ est une base de $F$ .

On parlera de façon impropre de la « réunion » des bases $\mathcal{B}_i\,$ .

La base $\mathcal{B}$ est dite adaptée à la décomposition en somme directe $F = \displaystyle\bigoplus_{i=1}^nE_i\,$ .

T2 : Soient $E$ un $\mathbb{K}$ -espace vectoriel de dimension finie et $E_1 \, ,\, E_2\, , \,... \, ,\, E_n$ des sous-espaces vectoriels de $E$ .

Si la somme des sous-espaces vectoriels $E_i$ est directe,
$\dim \displaystyle\bigoplus_{i=1}^n E_i =\sum_{i=1}^{n}\dim E_i\,$ .

C : Soit $E$ un $\mathbb{K}$ -espace vectoriel de dimension finie.

On suppose que la somme des sous espaces vectoriels $E_1\,$ , $E_2\,$ , … , $E_n$ est directe.
$\displaystyle E=\bigoplus_{i=1}^nE_i \textrm{ ssi }\dim E=\sum_{i=1}^{n}\dim E_i\,$ .

T3 : Soit $E$ un $\mathbb{K}$ -espace vectoriel de dimension finie $n > 0$ de base $(e_i)_{1 \leqslant i \leqslant n}\,$ .

Soit $p\in \mathbb{N}^*$ et $(I_1\, , I_2\, ,... , I_p)$ une partition de $[\![1 , n]\!]$ . Pour tout $k \in [\![1 , p]\!]$ , on note $F_k =$ Vect $((e_i)_{i\in I_k} )$ ; alors
$\displaystyle E=\bigoplus_{k=1}^pF_k\,$ .

T4 : Soient $F_1\, ,\, ... \, ,\, F_n$ des sous-espaces vectoriels du $\mathbb{K}$ -espace vectoriel de dimension finie $E$ .

a) $\displaystyle\dim\left( \sum_{i=1}^{n}F_i\right)\leqslant \sum_{i=1}^{n} \dim (F_i)$

b) $\displaystyle\dim\left( \sum_{i=1}^{n}F_i\right)= \sum_{i=1}^{n} \dim (F_i) \Leftrightarrow$ la somme des sous-espaces vectoriels $F_1\, ,\,...\, , \,F_n$ est directe.

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D. Applications linéaires en dimension finie en Maths Sup

1. Compléments des applications linéaires en dimensions finies

Dans ce §, $E$ et $F$ sont deux $\mathbb{K}$ -e.v.

P1 : Si $E$ est de dimension finie, $E$ et $F$ sont isomorphes si, et seulement si, $\dim E = \dim F.$

P2 : Si $E$ et $F$ sont de dimension finie, $\dim \mathcal{L}(E , F) = \dim E \times \dim F.$

2. Rang d’une application linéaire en Maths Sup

D : Dans la suite, on suppose que $E$ et $F$ sont deux $\mathds{K}$ -espaces vectoriels.

On dit que $u \in \mathcal{L}(E , F)$ est de rang fini lorsque l’espace vectoriel $\textrm{Im } u$ est de dimension finie.
On appelle rang de $u$ la dimension de $\textrm{Im } u$ . On le note $\textrm{rg}(u)$ .

P3 : Lorsque $E$ est de dimension finie et $u \in \mathcal{L}(E , F)$ , $u$ est de rang fini.

Si $(e_1\, \, \cdots \, , e_n)$ est une base de $E$ , $\quad \textrm{rg}(u) = \textrm{rg} \left ( u(e_1)\, \, \cdots \, , u(e_n) \right)$ .

P4 : Soient $E, \, F, F$ 3 $\mathbb{K}$ – espaces vectoriels, $u\in \mathcal{L}(E,F)$ et $v\in \mathcal{L}(F,G)$

a) Si $u$ et $v$ sont de rang fini, $v \circ u$ est de rang fini et
$\quad \textrm{rg} (v \circ u) \leqslant \min( \textrm{rg} (v) , \textrm{rg}(u)).$

b) Si $v$ est de rang fini et si $u$ est un isomorphisme, $v \circ u$ est de rang fini et $\textrm{rg}(v \circ u) = \textrm{rg}(v)$ .

c) Si $u$ est de rang fini et si $v$ est un isomorphisme, $u \circ v$ est de rang fini et $\textrm{rg}(v\circ u) = \textrm{rg}(u)$ .

Théorème du rang :

Soient $E$ et $F$ , deux $\mathds{K}$ -e.v. , $E$ étant de dimension finie et $u \in \mathcal{L}(E , F).$

$\ast$ $\textrm{Im }u$ est isomorphe à tout supplémentaire $S$ de Ker $u$ .

$\ast$ $\textrm{Im } u$ est de dimension finie et

$\textrm{dim}\, E = \textrm{dim Ker } u + \textrm{dim Im }u$ .

T1 : Soient $E$ et $F$ deux $\mathds{K}$ -e.v. de même dimension $n > 0$ et $u\in \mathcal{L}(E , F)$ .

Il y a équivalence entre :

a) $u$ est un isomorphisme de $E$ sur $F$ ,

b) $u$ est injective,

c) $u$ est surjective,

d) $\textrm{rg}(u) = n$ .

T2 : Soient $E$ et $F$ deux $\mathds{K}$ -e.v. de même dimension $n > 0$ et $u\in \mathcal{L}(E , F)$ .

Il y a équivalence entre

a) $u$ est un isomorphisme de $E$ sur $F,$

b) $\exists \, v \in \mathcal{L}(F , E)$ , $u \circ v = \textrm { Id}_F$ ,

c) $\exists \, w \in \mathcal{L}(F , E)$ , $w \circ u = \textrm { Id}_E$ ,

Dans ce cas, $v = w = u^{- 1}$ .

Pour réussir en Maths Sup, les étudiants de prépa scientifique doivent s’organiser dans leurs révisions et s’obliger à travailler de façon régulière pendant leurs 2 années de prépa. Aussi, pour combler des lacunes ou tout simplement pour se remettre à niveau en maths, les stages intensifs en prépa scientifique sont très efficaces et les cours en ligne permettent également de maximiser cette progression. Les entraînements peuvent, par exemple, se faire sur les cours en ligne suivants :