Chapitres Maths en MPSI, PCSI, MP2I, PTSI
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Exercices corrigés sur dénombrement en Maths Sup
Résumé de cours Exercices et corrigés
Cours en ligne de Maths en Maths Sup
Plan des exercices de dénombrements
1. Application directe des résultats de cours
2. Un peu plus élaborés, mais pas trop
3. Sans urne et sans carte
4. Des couples de parties de
5. Des formules obtenues par dénombrement
6. Équations entières et suites croissantes
7. Mots de lettres à partir de et
8. Un exercice sur les surjections
9. Dénombrement des involutions
10. Mots de Dyck
⚠️ Dans tous les exercices ne vous contentez pas d’une valeur numérique. Il faut justifier vos résultats.
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1. Des dénombrements simples
1. Quel est le nombre de codes d’un antivol à 4 chiffres choisis entre 1 et 5 ?
Même question si les chiffres doivent être distincts .
Correction :
Le nombre de codes d’un antivol à 4 chiffres est le nombre d’applications de dans l’ensemble donc est égal à .
Dans le deuxième cas, c’est le nombre de 4-listes sans répétition des 6 chiffres de 1 à 5 soit
2. Quel est le nombre de mots de passe de 4 lettres formés uniquement de consonnes ?
Même question si les consonnes doivent être distinctes.
Correction :
Le nombre de mots de passe de 4 lettres est le nombre d’applications de dans l’ensemble des 20 consonnes donc est égal à .
Dans le deuxième cas, c’est le nombre de 4-listes sans répétition des 20 consonnes soit .
3. Quel est le nombre de tiercés (dans l’ordre) que l’on peut jouer dans une course de 20 chevaux ?
Correction : Le nombre de tiercés (dans l’ordre) que l’on peut jouer dans une course de 20 chevaux est le nombre de 3-listes sans répétition des 20 chevaux soit .
4. Quel est le nombre de façons de choisir un groupes de élèves dans une classe de élèves pour faire un exposé ?
a) b) c)
Correction : Le nombre de façons de choisir un groupe de élèves dans une classe de élèves pour faire un exposé est le nombre de parties à éléments parmi soit .
5. Quel est le nombre de grilles au loto (5 numéros de 1 à 49 et 1 numéro chance de 1 à 10) ?
6. Quel est le nombre de façons de ranger les éléments d’un ensemble
7. Quel est le nombre de façons de ranger les éléments de de façon à ce que les éléments 1 à soient côte à côte.
8. Quel est le nombre d’entiers de chiffres contenant un seul et un seul ?
9. Quel est le nombre d’anagrammes du mot « ENTENTE »
10. Combien de mots peut on écrire avec le mot « TOULOUSE » si les consonnes doivent être placées en 1-ère, 4-ème et 7-ème position ?
11. Il y a façons de placer personnes autour d’une table ronde
12. Il y a manières de placer couples autour d’une table ronde en alternant un homme et une femme
13. Quel est le nombre de dominos (2 chiffres de à qui peuvent être répétés) ?
Quel est le nombre de triominos (3 chiffres de à qui peuvent être répétés aux sommets d’un triangle équilatéral) ?
2. D’autres dénombrements
Exercice 1
Dans cet exercice, on effectue 3 tirages successifs et sans remise dans un ensemble contenant boules blanches, rouges et vertes.
a) Quel est le nombre de tirages tricolores ?
Correction : Le nombre de façons d’obtenir une boule blanche puis une rouge puis une verte est égal à .
Le nombre de façons d’obtenir un tirage tricolore est égal à (car on a façons de choisir l’ordre de tirage des trois couleurs).
b) Quel est le nombre de tirages bicolores ?
Correction : Le nombre de tirages monocolores est égal au nombre de tirages blancs plus le nombre de tirages rouges plus le nombre de tirages verts soit
.
Le nombre de tirages est égal à où .
Le nombre de tirages bicolores est égal à .
Exercice 2
On tire 5 cartes d’un jeu de 32 cartes. Quel est le nombre de mains contenant 2 as ?
Correction : On choisit 2 as parmi 4 de façons.
Puis on choisit 3 cartes parmi les cartes sans as de façons.
Le nombre de mains contenant deux as est égal à .
Exercice 3
Quel est le nombre de mains de 4 cartes d’un jeu de 32 cartes contenant 2 rois ou 3 dames ?
Correction :
On ne peut pas avoir deux rois et trois dames en même temps dans une main de 4 cartes.
On note l’ensemble des mains contenant 2 Rois et l’ensemble des mains contenant 3 dames.
car on choisit 2 rois parmi 4 de façons puis 2 cartes parmi les 28 qui restent de façons.
car on choisit 3 dames parmi 4 de façons puis 1 carte parmi les 28 qui restent de façons.
car .
⚠️ Aviez -vous pensé à écrire que les deux ensembles sont disjoints ?
Exercice 4
Quel est le nombre de mains de 4 cartes issues d’un jeu de 32 cartes contenant 2 rois ou 3 trèfles ?
Correction :
On peut obtenir une main contenant le roi de trèfle.
Soit l’ensemble des mains de 4 cartes contenant rois et l’ensemble des mains de 4 cartes contenant trèfles.
car on choisit rois parmi de façons puis cartes parmi les qui restent de façons.
car on choisit trèfles parmi de façons puis carte parmi les qui restent de façons.
C’est l’ensemble des mains contenant le roi de trèfle, un autre roi et autres trèfles.
On choisit un roi qui n’est pas de trèfle ( choix), deux trèfles différents du roi de façons.
.
⚠️ Aviez-vous vu que les ensembles ne sont pas disjoints ?
Exercice 5
Quel est le nombre de mains de 5 cartes issues d’un jeu de 32 cartes contenant au moins un as ?
Exercice 6
Quel est le nombre de mains de 5 cartes d’un jeu de 32 contenant au moins 2 trèfles ?
Exercice 7
Quel est le nombre de mains de 5 cartes d’un jeu de 32 cartes contenant 1 roi et au moins un pique.
Exercice 8
On souhaite ranger sur une étagère 4 livres de mathématiques (distincts), 6 livres de physique, et 3 de chimie.
Question 1
De combien de façons peut-on effectuer ce rangement, si les livres doivent être groupés par matières ?
Question 2
De combien de façons peut-on effectuer ce rangement, si seuls les livres de mathématiques doivent être groupés ?
Exercice 9
Quel est le nombre de matrices symétriques d’ordre dont tous les éléments sont dans ?
Exercice 10
On dispose de 2 jeux de jetons numérotés de 1 à , l’un blanc, l’autre noir, on les place dans une urne.
Question 1
On prend au hasard () jetons en même temps.
Nombre de tirages donnant des jetons ayant des numéros tous distincts.
Question 2
Avec les hypothèses de la question 1, nombre de façons d’avoir obtenu deux jetons portant le même numéro.
Question 3
On tire maintenant les jetons 2 par 2 sans remise. Nombre de tirages possibles.
Question 4
Dans cette question, on tire les jetons l’un après l’autre.
Quel est le nombre de tirages donnant une alternance de couleurs ?
3. Sans urne et sans carte
Exercice 1
Soit .
Le nombre de solutions dans de l’équation est égal à ?
Correction : C’est l’ensemble .
Il a éléments.
Question 2
Le nombre de solutions dans de l’équation est égal à . Vrai ou Faux ?
Correction : On note l’ensemble des solutions entières de cette équation
et si l’ensemble des solutions entières telles que .
On écrit .
Les ensembles sont2 à 2 disjoints.
est en bijection avec
par la question 1.
On écrit
en posant ,
.
Exercice 2.
Soit .
Question 1
Quel est le nombre de façons de régler au café une somme de euros en n’utilisant que des pièces de 1 et 2 euros ?
Correction :
Si ,
donc .
Question 2
Nombre de façons de payer dans un distributeur une somme de euros en n’utilisant que des pièces de 1 et 2 euros
Correction : On note l’ensemble des paiements dans le distributeur pour une somme de euros.
Soit . Si , on introduit l’ensemble des paiements au distributeur où l’on a rentré pièces de 2 euros et pièces de 1 euro.
.
Ces ensembles étant deux à deux disjoints, .
car on choisit les moments parmi où l’on rentre les pièces de euros.
donc .
Exercice 3
Soit un ensemble de cardinal .
La somme des cardinaux des parties de est égale à
Correction :
Si , on note l’ensemble des parties de ayant éléments.
.
On a introduit une partition, donc
.
Puis
et par dérivation,
Si , .
Exercice 4
Soit un ensemble de cardinal .
Le nombre de partitions de en 2 parties est égal à
Correction : On remarque que la donnée d’une partie non vide et différente de définit une partition
et que .
Il y a parties de non vides et différentes de .
La même partition étant obtenue 2 fois, le nombre de partitions est égal à .
4. Couples de parties de
Soit un ensemble de cardinal .
Question 1
Le nombre de couples de parties de est égal à
Correction : C’est .
Question 2
Le nombre de couples de parties de telles que est égal à ?
Correction : Soit
et
, les ensembles étant 2 à 2 disjoints, .
Pour déterminer ,
On choisit une partie de ayant éléments de façons.
On choisit : il y a façons de le faire.
Donc .
par le binôme de Newton.
Question 3
Le nombre de couples de parties de telles que et est égal à Vrai ou Faux ?
Correction : C’est le nombre de couples de tels que diminué du nombre de couples de qui est égal à .
On obtient donc
Question 4
Le nombre de couples de parties de telles que est égal à Vrai ou Faux ?
Correction : On note cet ensemble et si , l’ensemble des couples tels que et .
alors , les ensembles étant 2 à 2 disjoints,
Pour déterminer ,
on choisit une partie ayant éléments de façons.
on choisit : il y a façons de le faire
donc .
par le binôme de Newton.
⚠️ à ne pas confondre avec le nombre de couples de parties de telles que et qui est égal à car c’est le nombre de couples où .
Question 5
Le nombre de couples de parties de telles que est égal à ?
Correction : On note cet ensemble et si , l’ensemble des couples tels que et .
alors , les ensembles étant 2 à 2 disjoints, .
Pour déterminer ,
On choisit l’élément commun à et : choix
On choisit les autres éléments de de façons.
On choisit : il y a façons de le faire.
Donc .
en posant
.
Par le binôme de Newton,
.
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5. Des formules obtenues par des dénombrements
Exercice 1
Si , démontrer que
.
par un raisonnement de dénombrement
Correction : On note l’ensemble des parties de formées de éléments.
Pour tout , on note l’ensemble des parties de à éléments dont le maximum est égal à .
ssi .
L’ensemble des forme une partition de .
Se donner un élément de revient à choisir une partie de éléments dans ce qui se fait de façons et à lui ajouter .
.
avec .
👍 On peut aussi démontrer cette relation ainsi :
Par la formule du triangle de Pascal (valable si ),
avec ,
.
Exercice 2
Soient et trois entiers naturels non nuls avec .
En utilisant un raisonnement de dénombrement, démontrer la formule de Vandermonde :
.
Correction :
Soient et .
et sont disjoints et ont respective- ment et éléments. .
On note l’ensemble des parties de ayant éléments. .
On note l’ensemble des parties de formées de éléments dans et dans .
L’ensemble est non vide
ssi et
ssi .
Les ensembles
forment une partition de .
car on doit choisir éléments parmi et éléments parmi .
soit .
👍 L’utilisation la plus fréquente est dans le cas et on obtient
car .
Exercice 3
Soit .
Question 1
Soit .
Déterminer le nombre d’applications strictement croissantes de dans .
Correction : On note l’ensemble des applications strictement croissantes de dans .
Se donner une application strictement croissante de dans revient à choisir une partie de à éléments et à la ranger par ordre strictement croissant.
Il y a donc applications strictement croissantes de dans .
Exercice 3 (suite)
Question 2
Déterminer le nombre d’applications strictement croissantes de dans telles que .
Correction : Pour se donner une telle application, on définit une application strictement croissante de dans , il y a applications de ce type et on impose .
Question 3
Si et , déterminer le nombre d’applications strictement croissantes de dans telles que
Correction : On note l’ensemble des applica- tions vérifiant les conditions de l’énoncé.
Une telle application est entièrement définie par sa restriction à et sa restriction à .
On détermine d’abord le nombre d’applications strictement croissantes de dans telles que lorsque .
En utilisant la question 2, il y en a .
Puis on détermine le nombre d’applications strictement croissantes de dans .
Le problème a une solution ssi l’on peut choisir les images dans un ensemble de éléments donc ssi ssi .
Il y en a .
Donc si , .
Question 4
Si est dans , en déduire la valeur de
.
Correction : On écrit .
On a une réunion d’ensembles 2 à 2 disjoints, donc
soit .
6. Équations entières et suites croissantes
Exercice 1
Soit .
Question 1
Le nombre de solutions entières de l’équation est égal à . Vrai ou faux ?
Correction : On peut démontrer ce résultat en considérant le nombre de façons de répartir objets identiques dans tiroirs ( est alors le nombre d’objets dans le tiroir ).
On note les objets par un et les séparations entre les différents tiroirs par un | .
Il s’agit donc de placer les séparations sur places, ce qui se fait en choisissant places parmi donc il y a choix.
On termine en utilisant :
.
Question 2
Le nombre de solutions entières de l’inéquation
est égal à . Vrai ou Faux ?
Correction : On note l’ensemble des solutions entières de
et l’ensemble des solutions entières de .
Si , il est évident que
et que les 2 ensembles sont disjoints.
si ,
par la première question,
et .
Première méthode : par télescopage
En posant ,
Par application de l’exercice 1 du § I
.
Deuxième méthode.
Si est fixé, on note
, .
.
On a prouvé .
On suppose que est vraie.
Par la formule
Par :
par le triangle de Pascal :
ce qui prouve .
La propriété est démontrée par récurrence.
Exercice 2
Soit ,
est le nombre de listes croissantes de éléments de .
Vrai ou Faux ?
Correction : Soit .
1ère méthode :
On note .
Soit
où si , est le -uplet tel que les premiers éléments soient des , les suivants soient des , … , et les derniers soient des
( est une suite croissante de entiers compris entre et ).
est une bijection de sur , l’antécédent de de est le -uplet égal à où est le nombre de dans , avec .
Alors , il suffit d’utiliser le résultat de la question 1 de l’exercice 1, .
2ème méthode : On note l’ensemble des tels que .
Si , on définit
avec par télescopage : .
Donc .
Il est simple de prouver que est injective.
Soit .
On définit le -uplet égal à
est une famille croissante de entiers strictement positifs vérifiant :
,
donc et .
L’application est surjective.
étant bijective :
d’après l’exercice 1.
7. Mots de lettres
Si , soit l’ensemble des mots formés de lettres ne contenant que les lettres et et tels qu’il n’y ait pas deux consécutifs.
On note .
Question 1.
Déterminer .
Correction :
et ,
donc .
Question 2
Si .
Vrai ou faux ?
Correction : On note l’ensemble des éléments de qui se terminent par donc qui se terminent par et l’ensemble des éléments de qui se terminent par .
, on a ainsi écrit une partition de donc
.
,
Il est évident que est une bijection donc .
,
Il est évident que est une bijection donc .
On a donc prouvé que .
Question 3
Calculer .
Correction : On a une suite récurrente linéaire d’ordre 2 d’équation caractéristique :
avec et .
Il existe donc deux réels et tels que si
👍 : il est plus simple d’utiliser des puissances que des puissances dans les calculs qui suivent car on utilise et pour déterminer et .
On résout donc le système
et .
Donc est égal à .
8. Sur les surjections
Si , on note .
Soient et deux entiers naturels non nuls. On note le nombre de surjections de dans .
Question 1
Donner les valeurs de et de si .
Question 2
Calculer .
Question 3
Calculer .
Question 4
Calculer .
Question 5
Si ,
.
Question 6
Montrer que
Question 7
Si ,
est égal à .
Question 8
Si ,
.
Question 9
Soit un ensemble de éléments. Déterminer le nombre de partitions de en parties.
9. Dénombrement des involutions
On dit que est une involution de lorsque vérifie .
Si , on note , l’ensemble des involutions de et .
Question 1
Toute involution est une bijection.
Question 2
Déterminer et donner la réponse sous la forme x,y,z.
Question 3
Si , exprimer en fonction de et .
Question 4
La relation de la question 3 est encore vraie si l’on convient que .
Question 5
Montrer que pour tout ,
et .
10. Mots de Dyck
On appelle » mot de Dyck » une chaîne de caractères, , formée de lettres et lettres , telle que, lorsque l’on dénombre les lettres de gauche à droite, en s’arrêtant à une lettre du mot, le nombre de soit toujours supérieur ou égal au nombre de . Ainsi, le seul mot de Dyck de longueur est : . Les mots de Dyck de longueur 4 sont : et .
et sont des mots de Dyck, alors que et n’en sont pas.
Pour tout entier , on désigne par le nombre de mots de Dyck de lettres.
Question 1
Calculer .
Question 2
Montrer que .
👍 est appelé le -ième nombre de Catalan.
Question 3 : Une application
Une particule se déplace sur une droite graduée en partant de l’origine et en se déplaçant à chaque minute d’une unité vers la droite ou vers la gauche.
Le nombre de façons de revenir pour la première fois à l’instant en est égal à
Les questions suivantes sont plus compliquées
Question 4.
Soit et l’ensemble des mots de Dyck des mots de Dyck de longueur tels que l’on obtienne autant de que de pour la première fois au rang .
Montrer que .
Question 5
On pose : . Montrer que, pour tout entier .
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