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Exercices corrigés sur les Développements limités en Maths Sup

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Résumé de cours Exercices et corrigés

Cours en ligne de Maths en Maths Sup

Exercices corrigés : Développement asymptotique

Plan des exercices sur le développement asymptotique :

1. Déduction d’une somme d’un calcul de DL
2. Démonstration d’une équivalence
3. Développement asymptotique d’une suite
4. Développement asymptotique d’une suite implicite, exemple 1
5. Développement asymptotique d’une suite implicite, exemple 2
6. Sur le DL de la fonction th

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1. Déduction d’une somme à l’aide des DL en MPSI, PCSI, MP2I et PTSI

Si $n$ et $k$ sont deux entiers naturels, on note $S(n , k) = \displaystyle \sum _ {p = 0 } ^n \binom n p ( - 1) ^p p ^k$ .

Calculer $S(n,k)$ en distinguant les cas $k\leq n - 1$ , $k = n$ et $k = n + 1$ et $k = n + 2$ .

Indication : dériver la fonction $f : x \mapsto (1 - \textrm {e} ^x)^n$ .

Correction :

$\bullet$ En utilisant le binôme de Newton :

$\displaystyle f(x) = \sum_ {p = 0} ^n \binom {n} p (- 1) ^p \textrm{e} ^{p \, x}$

puis en dérivant $k$ fois :

$\displaystyle f^{k} (x) = \sum_ {p = 0} ^n \binom {n} p (- 1) ^p p ^k \textrm{e} ^{p \, x}$

et en prenant la valeur en $0$ :

$\displaystyle f^{k} (0) = \sum_ {p = 0} ^n \binom {n} p (- 1) ^p p ^k = S(n , k)$ .

$\bullet$ On calcule ensuite le DL de $f$ à l’ordre $n + 2$

Pas de panique, il doit y avoir une astuce

$\displaystyle 1 - \textrm {e} ^{x} \underset {x \to 0} = - x - \frac {x ^2} 2 + \frac {x^3} 6 + \textrm{o}(x ^3 )$

$f(x) \displaystyle \underset {x \to 0} = (- x) ^n \left ( 1 + \frac x 2 + \frac {x ^2 } 6 + \textrm{o} (x ^2) \right ) ^n$

grâce à la multiplication par $x ^n$ , le calcul du DL de $\displaystyle u(x) \underset {x \to 0} =\left ( 1 + \frac x 2 + \frac {x ^2 } 6 + \textrm{o} (x ^2) \right ) ^n$ à l’ordre 2 suffit à donner le DL de $f$ à l’ordre $n + 2$

$\displaystyle u(x) \underset {x \to 0} = 1 + n \left ( \frac x 2 + \frac {x ^2 } 6 \right )$ $\quad \quad \quad _displaystyle + \frac {n (n - 1)} 2 \frac {x^ 2 } 4 + \textrm{o} (x ^2)$

$\displaystyle u(x) \underset {x \to 0} = 1 + \frac {n \, x} 2 + \frac {n(3 \, n + 1) } {24 } \, x ^2 + \textrm{o} (x ^2)$
donc

$\displaystyle f(x) \underset {x \to 0} = (- 1) ^n \left ( x ^n + \frac {n } 2 \, x^{n + 1 } + \frac {n(3 \, n + 1) } {24 } \, x ^{n + 2} + \textrm{o} (x ^{n + 2})\right )$

$\bullet$ Grâce à a formule de Taylor Young, on obtient par unicité du DL

$f ^{(k)} (0) = 0$ si $k \leq n - 1$ soit $S(n , k) = 0$

$\ast$ $\displaystyle \frac {f ^{(n)}(0)} {n !} = (- 1) ^n$ $\Rightarrow S(n , n) = n!\, (- 1) ^n$

$\ast$ $\displaystyle \frac {f ^{(n + 1 )}(0)} {(n + 1) !} = (- 1) ^n \frac {n } 2$

soit $\quad \quad \displaystyle S(n , n + 1 ) = \frac {(- 1) ^n n \, (n + 1)!} 2$ .

$\ast$ $\displaystyle \frac {f ^{(n + 2 )}(0)} {(n + 2) !} = (- 1) ^n \frac {n(3 \, n + 1) } {24 } </em> <em>$ soit $\displaystyle S(n , n + 2 ) = \frac {(- 1) ^n \, n (3 \, n + 1) \, (n + 2) !} {24}$

Question 2

Écrire un développement asymptotique en $\displaystyle \frac 1 {n ^3}$ de $u_n$

2. Pour démontrer une équivalence avec les développements limités en sup

Question 1

Soit $f : x \mapsto \ln(1 + x) - x$ .

Montrer que $f$ définit une bijection de $\mathbb{R} ^{+}$ sur $] - \infty, \, 0]$ .

Trouver un équivalent simple de $f$ en $0$ .

Correction de la question 1 :

$f$ est continue sur $[0 , \, + \infty[$ , $f '(x) = \displaystyle \frac 1 {1 + x} - 1 = \frac {- x} {1 + x} < 0$ si

$x > 0$ , donc $f$ est strictement décroissante sur $[0 , +\infty[$ .

$f(0) = 0$ et $\displaystyle \lim_{x \to + \infty} f(x) =- \infty$

$f$ définit une bijection de $[0 , +\infty[$ sur $]- \infty ,\, 0]$ .

$\displaystyle f(x) \underset {x \to 0} = x - \frac {x ^2} 2 + x + \textrm{o}(x ^2)$

$\displaystyle f(x) \underset {x \to 0}\sim - \frac {x ^2} 2$ .

Question 2

Soit $(x_n)_n$ une suite de réels telle que

$\displaystyle f(x_n) \underset {n \to + \infty} = \textrm{o} \left ( \frac 1 n \right )$ .

Montrer que $\displaystyle \lim_{n \to + \infty} n \, x_n ^2 = 0$ .

Correction de la question 2 :

La suite $(x_n)_n$ est une suite de réels strictement positifs à partir d’un certain rang $N$ car elle est équivalente à une suite à valeurs strictement positives.

$\displaystyle f(x_n) \underset {n \to + \infty} = \textrm{o} \left ( \frac 1 n \right )$

alors $x _n = f ^{- 1} (f(x _n))$ admet $0$ pour limite car la suite $(f(x_n))_n$ converge vers 0 et en utilisant la continuité de $f ^ {- 1}$

$\displaystyle x_n ^2 \underset {n \to + \infty} \sim - 2 f(x _n)$ $\displaystyle x_n ^2 \underset {n \to + \infty} = \textrm{o} \left (\frac 1 n \right )$

ce qui donne $n \, x_n ^2 \underset {n \to + \infty} = \textrm{o} \left (1 \right )$

donc $\displaystyle \lim_{n \to + \infty} n \, x_n ^2 = 0$ .

Question 3

Soit $(a_n)_n$ une suite de réels. Montrer que les deux propriétés suivantes sont équivalentes :

$\ast$ 1) $a_n \underset {n \to + \infty} = \textrm{o} (\sqrt{n } )$

$\ast$ 2) $\displaystyle \left ( 1 + \frac {a_n} n \right ) ^n \underset {n \to + \infty} \sim \textrm{e} ^{- a_n}$

Correction de la question 3 :

$\bullet$ On suppose que $a_n \underset {n \to + \infty} = \textrm{o} (\sqrt{n } )$ ,

alors $\displaystyle \frac {a_n} n \underset {n \to + \infty} = \textrm{o} \left ( \frac 1 {\sqrt{n }}\right )$ donc

$\displaystyle u _n \underset {n \to + \infty} = \left ( 1 + \frac {a_n} n \right ) ^n$ donne

$\displaystyle u _n \underset {n \to + \infty} = \exp \left ( n \ln \left ( 1 + \frac {a_n} n \right )\right )$

$\displaystyle u _n \underset {n \to + \infty} = \exp \left( n \left ( \frac {a_n} n - \frac {a_n^2 } {2 \, n^2 } + \textrm{o} \left ( \frac {a_n^2 } { n^2 } \right ) \right ) \right )$

$\displaystyle u _n \underset {n \to + \infty} = \exp \left( {a_n} - \frac {a_n^2 } {2 \, n} + \textrm{o} \left ( \frac {a_n^2 } { n} \right ) \right )$

$\displaystyle u _n\underset {n \to + \infty} = \exp (a_n) \, \exp\left ( - \frac {a_n^2 } {2 \, n} + \textrm{o} \left ( \frac {a_n^2 } { n} \right ) \right )$

et comme $\displaystyle \lim _{n \to + _infty} \exp\left ( - \frac {a_n^2 } {2 \, n} + \textrm{o} \left ( \frac {a_n^2 } { n} \right ) \right ) = 1$

on a prouvé que $\quad \quad \displaystyle \left ( 1 + \frac {a_n} n \right ) ^n \underset {n \to + \infty} \sim \textrm{e} ^{ a_n}$

$\bullet$ On suppose que $\quad \quad \displaystyle \left ( 1 + \frac {a_n} n \right ) ^n \underset {n \to + \infty} \sim \textrm{e} ^{- a_n}$

soit $\displaystyle \lim_{n \to + \infty } \textrm{e} ^{- a_n } \, \left ( 1 + \frac {a_n} n \right ) ^n = 1$

par continuité de la fonction $\ln$ :

$\displaystyle \lim_{n \to + \infty } - a_n + n \ln \left ( 1 + \frac {a_n} n \right ) = 0$

donc $\displaystyle - a_n + n \ln \left ( 1 + \frac {a_n} n \right ) \underset {n \to + \infty} = \textrm{o} (1)$

et par division par $n$

$\displaystyle - \frac{a_n} n + \ln \left ( 1 + \frac {a_n} n \right ) \underset {n \to + \infty} = \textrm{o} \left ( \frac 1 n \right )$

soit $\displaystyle f(a_n) \underset {n \to + \infty} = \textrm{o} \left ( \frac 1 n \right )$ .

en utilisant la question 2 , $\displaystyle \lim_{n \to + \infty} n \, \frac {a_n ^2} {n ^2} = 0$

ou $\displaystyle \lim_{n \to + \infty} \frac {a_n ^2} {n} = 0$

puis par continuité de la fonction racine carrée et la positivité de $a_n$ ,

$\displaystyle \lim_{n \to + \infty} \frac {a_n} {\sqrt{n}} = 0$

$\Rightarrow a_n \underset {n \to + \infty} = \textrm{o} (\sqrt{n } )$ .

On a établi l’équivalence des propriétés 1) et 2).

Exercice 3

On note $f : x \mapsto x^3 + 3 \, x + 2$ .

Question 1

$f$ admet une fonction réciproque $g$ définie sur $\mathbb{R}$ . Vrai ou Faux ?

Correction de l’exercice 3 :

$f$ est continue sur $\mathbb{R}$ , strictement croissante car $\forall \, x \in \mathbb{R} , \; f'(x) > 0$ .

$\displaystyle \lim_{x \to + \infty} f(x) = + \infty$ , $\displaystyle \lim_{x \to - \infty} f(x) = - \infty$

$f$ définit une bijection de $\mathbb {R}$ sur $\mathbb {R}$ .

Elle admet une fonction réciproque $g$ strictement croissante et définie sur $\mathbb {R}$ .

3. Développement asymptotique d’une suite

On note si $n \in \mathbb{N}, \, u_n = \displaystyle \lim_{n \to + \infty} \frac 1 {n!} \sum _ {k = 0} ^n {k!}$

Question 1

La suite $(u_n)_n$ converge vers

Correction de la question 1 :

On écrit $\displaystyle u_n = 1 + \frac {(n - 1)!} {n!} + w_n$

avec $\displaystyle w _ n = \frac 1 {n! } \sum _ {k = 0} ^ {n - 2} {k!}$

$\displaystyle \sum _ {k = 0} ^ {n - 2} {k!}$ est la somme de $n - 1$ termes positifs et inférieurs à $(n - 2)!$

donc $\displaystyle 0 \leq \sum _ {k = 0} ^ {n - 2} {k!} \leq (n - 1) \, (n - 2)!$

et $0 \leq w_n \leq \displaystyle \frac 1 n$ $\Rightarrow \displaystyle \lim_ {n \to + \infty} w_n = 0$ ,

ce qui donne $\displaystyle \lim_{n \to + \infty} u_n = 1$ .

Question 2

$\displaystyle u_n - L \underset {n \to + \infty} \sim \frac a n$

Correction de la question 2 :

$\displaystyle u_n = 1 + \frac {1} {n} + v_n$ donc $\displaystyle n(u_n - 1 ) = 1 + n \, v_n$

avec $n \, v_n = \displaystyle \frac {1} {(n - 1)!} \sum _ {k = 0} ^ {n - 1} {k!} = u_{n - 1}$

il suffit d’utiliser la question 1 avec $u_{n - 1}$ :

$\displaystyle \lim_{n \to + \infty} n(u_n - 1) = 1$

$\Rightarrow \displaystyle u_n - 1 \underset {n \to + \infty} \sim \frac 1 n$ .

Question 3

Écrire un développement asymptotique en $\displaystyle \frac 1 {n ^3}$ de $u_n\,$ .

Correction de la question 3 :

$\bullet$ On rappelle que $n (u_n - 1) = u_{n - 1}$

et $\displaystyle u_{n - 1} \underset {n\to + \infty} = 1 + \frac 1 {n - 1} + \textrm{o}\left ( \frac 1 {n - 1} \right )$

On utilise le résultat de la question 2 avec $u_ {n - 1}$ .

à passer de l’expression en $n - 1$ à une expression en $n$ !

On transforme l’expression en $\displaystyle \frac 1 {n - 1}$

et un expression en fonction de $\displaystyle \frac 1 n$ .

$\ast$ $\displaystyle \frac 1 {n - 1 } \underset {n \to + \infty} \sim \frac 1 {n }$ donc

$\displaystyle \textrm{o}\left ( \frac 1 {n - 1} \right ) \underset {n \to + \infty} = \textrm{o}\left ( \frac 1 {n } \right )$

$\ast$ $\displaystyle \frac 1 {n - 1} \underset {n \to + \infty} \sim \frac 1 n$

donc $\displaystyle \frac 1 {n - 1} \underset {n \to + \infty} = \frac 1 n + \textrm{o}\left ( \frac 1 {n } \right )$

alors $\displaystyle n( u_{n} - 1) \underset {n\to + \infty} = 1 + \frac 1 {n} + \textrm{o}\left ( \frac 1 {n} \right )$

donc $\displaystyle u_{n} \underset {n\to + \infty} = 1 + \frac 1 {n} + \frac 1 {n ^2} + \textrm{o}\left ( \frac 1 {n^2 } \right )$

$\bullet$ On réitère le raisonnement :

$\displaystyle u_{n - 1} \underset {n\to + \infty} = 1 + \frac 1 {n - 1}$

$\quad \quad \quad \quad \displaystyle + \, \frac 1 {(n - 1)^2 } + \textrm{o}\left ( \frac 1 {(n - 1) ^2} \right )$

$\ast$ $\displaystyle \frac 1 {(n - 1)^2 } \underset {n \to + \infty} \sim \frac 1 {n ^2 }$ donc

$\displaystyle \textrm{o}\left ( \frac 1 {(n - 1) ^2 } \right ) \underset {n \to + \infty} = \textrm{o}\left ( \frac 1 {n^2 } \right )$

$\ast$ $\displaystyle \frac 1 {(n - 1) ^2 } \underset {n \to + \infty} \sim \frac 1 {n ^2}$

donc $\displaystyle \frac 1 {(n - 1) ^2 } \underset {n \to + \infty} = \frac 1 {n ^2} + \textrm{o}\left ( \frac 1 {n^2 } \right )$

$\ast$ $\displaystyle \frac 1 {n - 1 } = \frac 1 n \, \frac 1 {1 - 1/n}$

$\displaystyle \frac 1 {n - 1 } \underset {n \to + \infty} = \frac 1 {n} + \frac 1 {n ^2} +\textrm{o}\left ( \frac 1 {n^2 } \right )$

$\ast$ en conclusion

$\displaystyle n(u _n - 1) \underset {n \to + \infty} = 1 + \frac 1 n + \frac 2 {n ^2} + \textrm{o}\left ( \frac 1 {n^2 } \right )$

puis

$\displaystyle u _n \underset {n \to + \infty} = 1 + \frac 1 n + \frac 1 {n ^2} + \frac 2 {n ^3} + \textrm{o}\left ( \frac 1 {n^3 } \right )$

On pourrait bien sûr pour suivre pour un développement asymptotique d’ordre plus élevé !

C’est une méthode classique.

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4. Développement asymptotique d’une suite implicite, exemple 1

Question 1

Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N }$ , l’équation $\textrm{e} ^x + x - n = 0$ admet une unique solution réelle $u_n\,$ .

Trouver $\displaystyle \lim_{n \to + \infty} u_n \,$ .

Correction de la question 1 :

Soit $f : x \mapsto \textrm{e} ^x + x$ est une fonction continue strictement croissante sur $\mathbb{R}$ admettant $- \infty$ pour limite en $- \infty$ et

$+ \infty$ pour limite en $+\infty$ .

Donc $f$ définit une bijection de $\mathbb{R}$ sur $\mathbb{R}$ .

L’équation $f(x) = n$ admet donc une unique solution $u_n = f ^{- 1}(n)$ .

Comme $\displaystyle \lim_{x \to + \infty} f ^{- 1}(x) = + \infty$ ,

alors $\displaystyle \lim_{n \to + \infty} u_n = + \infty$ .

Question 2

$u_n \underset {n \to + \infty} \sim a\, \ln(n)$

Correction de la question 2 :

$\textrm{e} ^{u_n} + u_n = n\,$ .

$\bullet$ On commence par déterminer $\displaystyle \lim_ {n \to + \infty} \frac {u_n} n$ .

La relation de définition donne

$\displaystyle \frac {\textrm{e} ^{u_n}} {u_n} + 1 = \frac {u_n} n$

avec $\displaystyle \lim_ {n \to + \infty} \frac {\textrm{e} ^{u_n}} {u_n} = +\infty$

donc $\displaystyle \lim_ {n \to + \infty} \frac {n}{u_n} = +\infty$

et alors $\displaystyle \lim_ {n \to + \infty} \frac {u_n} n = 0$ .

$\bullet$ On écrit la relation $\textrm{e} ^{u_n} = n - u_n$ sous la forme :

$\displaystyle u_n = \ln (n - u_n ) = \ln n + \ln \left ( 1 - \frac {n} {u_n} \right )$

comme $\displaystyle \lim_{n \to + \infty} \ln \left ( 1 - \frac {u_n} n \right )= 0$

$\displaystyle \ln \left ( 1 - \frac {u_n} n \right ) \underset {n \to + \infty} = \textrm{o} (1)$ .

Alors $\displaystyle u_n = \ln (n - u_n ) \underset {n \to + \infty} = \ln n + \textrm{o} (1)$

On a prouvé que : $\displaystyle u_n \underset {n \to + \infty} \sim \ln n$

Question 3

Trouver $b \in \mathbb{R}$ tel que

$\displaystyle u_n \underset {n \to + \infty} = \ln n + b \frac {\ln n } n + \textrm{o} \left ( \frac {\ln n} n \right )$

Correction de la question 3 :

$\bullet$ On avait trouvé

$\displaystyle u_n = \ln n + \ln \left ( 1 - \frac {u_n} n \right )$

donc $\displaystyle u_n - \ln n = \ln \left ( 1 - \frac {u_n} n \right )$

avec $\displaystyle \lim_ {n \to + \infty}\frac {u_n} n = 0$

En utilisant $\ln(1 - t) \underset {t \to 0} \sim - t$ ,

$\displaystyle u_n - \ln n \underset{n \to + \infty} \sim - \frac {u_n} n$

et par l’équivalent de la question précédente :

$\displaystyle u_n - \ln n \underset{n \to + \infty} \sim - \frac {\ln n } n$

ce qui s’écrit

$\displaystyle u_n \underset {n \to + \infty} = \ln n - \frac {\ln n} n + \textrm{o} \left ( \frac {\ln n} n \right )$ .

5. Développement asymptotique d’une suite implicite, exercice 2

Question 1

Soit $n \in \mathbb{N}^*$ , montrer que l’équation $\tan(t) = t$ admet une unique solution $u_n$ dans $I_n =\; ]n \, \pi , \, n \, \pi + \pi / 2 [$ .

Déterminer la limite de la suite $(u_n)_n$

Correction de la question 1 :

$\bullet$ $f : t \mapsto \tan(t) - t$ est continue sur $[n \, \pi , \, n \, \pi + \pi / 2 [$ , strictement croissante car $f'(t) = \tan^2(t) > 0$ sur $I_n$ , vérifie $f(n \, \pi) = - n \, \pi < 0$ et

$\displaystyle \lim_{x \to n\pi + \pi/2} f(x) = + \infty$ .

Par le théorème de la bijection, il existe un unique $u_n \in I_n$ tel que $f(u_n) = 0$ .

$\bullet$ Comme $n \, \pi < u_n < n\, \pi + \pi / 2$ , par minoration,

$\displaystyle \lim_{n \to + \infty} u_n = +\infty$ .

Puis en divisant par $n \, \pi > 0$ ,

$\quad \quad \quad \quad \displaystyle 1 < \frac {u_n} {n \, \pi} < 1 + \frac 1 {2 \, n}$ .

Par encadrement $\displaystyle \lim_{n \to + \infty} \frac {u_n} {n \, \pi} = 1$

ce qui se traduit par $\displaystyle u_n \underset{n \to + \infty} \sim n \, \pi$ .

Question 2

Montrer que la suite $(u_n - n \pi)_n$ converge et déterminer sa limite.

Correction de la question 2 :

On écrit la relation $\tan(u_n) = u_n$ sous la forme $\tan(u_n - n \, \pi) = u_n$

puis $\textrm{Arctan}( \tan(u_n - n \, \pi)) = \textrm{Arctan}( u_n)$

avec $u_n - n \pi \in \; ]0 , \, \pi/2[$ , ce qui permet de simplifier : $u_n - n \, \pi = \textrm{Arctan}( u_n)$

donc $\displaystyle \lim_{n \to + \infty} u_n - n \, \pi = \frac {\pi} 2$

car $\displaystyle \lim _ {x \to + \infty} \textrm{Arctan}(x) = \frac {\pi} 2$ .

Question 3

Trouver un développement asymptotique de $u_n$ en $\displaystyle \frac 1 {n ^3}$ de $u_n\,$ .

Correction de la question 3 :

$\bullet$ $u_n - n \, \pi = \textrm{Arctan}( u_n)$ .

On peut écrire puisque $u_n > 0$ ,

$\displaystyle u_n - n \, \pi = \textrm{Arctan}( u_n)$ $\displaystyle u_n - n \, \pi = \frac {\pi} 2 - \textrm{Arctan}\left ( \frac 1 { u_n} \right )$ .

$\bullet$ On note $\displaystyle v_n = u_n - n \, \pi - \frac {\pi} 2$ .

$\displaystyle v_n = - \textrm{Arctan}\left ( \frac 1 { u_n} \right )$ .

En utilisant $\textrm{Arctan}(x) \underset {x \to 0} \sim x$ ,

$\displaystyle v_n \underset {n \to +\infty} \sim - \frac 1 { u_n} \underset {n \to +\infty} \sim \frac {-1} { n \, \pi }$

ce qui permet d’écrire que

$\displaystyle u_n \underset {n \to +\infty} = n \, \pi + \frac {\pi} 2 - \frac {1} { n \, \pi } + \textrm{o} \left ( \frac 1 n \right )$ .

$\bullet$ On réitère le raisonnement en écrivant

$\displaystyle u_n \underset {n\to + \infty} = n \, \pi \left ( 1 + \frac {1 } {2 \, n} - \frac 1 {n ^2 \, \pi^2} + \textrm{o} \left ( \frac 1 {n ^2} \right ) \right )$

donc $\displaystyle \frac 1 {u_n} \underset {n\to + \infty} = \frac 1 {n \, \pi} \, \frac 1 {1 + t_n }$

avec $\displaystyle t_n = \frac {1 } {2 \, n} - \frac 1 {n ^2 \, \pi^2} + \textrm{o} \left ( \frac 1 {n ^2} \right )$
de limite nulle.

$\displaystyle \frac 1 {1 + t_n } \underset {n\to + \infty} = 1 - t_n + t_n^2 + \textrm{o} (t_n^2)$

$\displaystyle \frac 1 {1 + t_n } \underset {n\to + \infty} = 1 - \frac {1 } {2 \, n} + \frac {1} { n ^2 \, \pi^2}$

$\displaystyle + \frac 1 {4 \, n ^2} + \textrm{o} \left ( \frac 1 {n ^2} \right )$

$\displaystyle \underset {n\to + \infty} = 1 - \frac {1 } {2 \, n} + \frac {\pi^2 + 4} {4 \, n ^2 \, \pi^2} + \textrm{o} \left ( \frac 1 {n ^2} \right )$

$\displaystyle \frac 1 {u_n } \underset {n\to + \infty} = \frac 1 {n \, \pi} - \frac {1 } {2 \, n^2 \, \pi } + \frac {\pi^2 + 4} {4 \, n ^3 \, \pi^3}$

$\displaystyle + \; \textrm{o} \left ( \frac 1 {n ^3} \right )$

Puis comme $\displaystyle \textrm{Arctan}(x) \underset {x \to 0} = x - \frac {x ^3}3 + \textrm{o} (x^3)$ ,

$\displaystyle \textrm{Arctan} \left ( \frac 1 {u_n } \right ) \underset {n\to + \infty} = \frac 1 {n \, \pi} - \frac {1 } {2 \, n^2 \, \pi }$ $\displaystyle \quad \quad \quad \quad + \, \frac {\pi^2 + 4} {4 \, n ^3 \, \pi^3} - \frac 1 {3 \, n ^3 \, \pi^3} + \textrm{o} \left ( \frac 1 {n ^3} \right )$

$\displaystyle \textrm{Arctan} \left ( \frac 1 {u_n } \right ) \underset {n\to + \infty} = \frac 1 {n \, \pi} - \frac {1 } {2 \, n^2 \, \pi}$ $\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \displaystyle + \frac {3 \pi^2 + 8} {12 \, n ^3 \, \pi^3} + \textrm{o} \left ( \frac 1 {n ^3} \right )$

$\displaystyle u _n \underset {n\to + \infty} = n \, \pi + \frac {\pi} 2 - \frac 1 {n \, \pi} + \frac {1 } {2 \, n^2 \, \pi}$ $\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \displaystyle - \frac {3 \pi^2 + 8} {12 \, n ^3 \, \pi^3} + \textrm{o} \left ( \frac 1 {n ^3} \right )$ .

6. Sur le DL de la fonction th en MPSI, PCSI, PTSI et MP2I

On rappelle que $\textrm{th}(x) = \displaystyle \frac {\textrm{sh}(x)} {\textrm{ch}(x)}$ .

Question 1

Justifier que l’on peut écrire $\displaystyle \textrm{th}(x) \underset {x \to 0} = \sum _{k = 0} ^n a _ k \, x^{2 k + 1} + \textrm{o}(x ^{2 n + 2})$

Correction de la question 1 :

La fonction th est de classe $C ^{\infty}$ sur $\mathbb{R}$ et impaire, elle admet donc un DL à tout ordre en $0$ ne contenant que des puissances impaires.

Question 2

En utilisant $\textrm{sh}(x) = \textrm{ch}(x)\, \textrm{th}(x)$ , exprimer si $n \geq 1$ , $a _n$ en fonction des $(a_k)_{0 \leq k \leq n - 1}\,$ et de factorielles.

Correction de la question 2 :

On note $\displaystyle \textrm{ch}(x) \underset {x \to 0} = \sum _{k = 0} ^{n} b _ k \, x^{2 k} + \textrm{o}(x ^{2 n + 1})$

avec $b _ k = \displaystyle \frac 1 {(2 \, k)!}$

Et on rappelle que $\displaystyle \textrm{sh}(x) \underset {x \to 0} = \sum _{k = 0} ^{n + 1} \frac {x ^{2\, k + 1} }{(2 \, k + 1)!} + \textrm{o}(x ^{2 n + 2})$

Par produit de deux DL à l’ordre $2 n + 1$ dont l’un ne continent que des puissances paires et l’autre des puissances impaires, on obtient un DL ne contenant que des puissances impaires :

$\displaystyle \textrm{ch}(x) \; \textrm{th}(x)\underset {x \to 0} = \sum _{k = 0} ^{n } c _ k \, x^{2 k} + \textrm{o}(x ^{2 n + 1})$ avec $c _ k = \displaystyle \sum _{2 i + 1 + 2 j = 2 k + 1} b _{i} \, a _ j$

donc $c_n = \displaystyle \sum _{i + j =k } b _{i} \, a _ j$

puis en posant $i = b - j$ ,

$c_n = \displaystyle \sum _{j = 0} ^n b _{n - j} \, a _ j$

et par unicité du DL,

$\displaystyle \frac 1 {(2 \, n + 1)!} = \sum _{j = 0} ^n b _{n - j} \, a _ j$

$\displaystyle \frac 1 {(2 \, n + 1)!} = \sum _{j = 0} ^n \frac 1 {(2 \, n - 2 \, j + 1)!} \, a _ j$

donc

$\displaystyle \frac 1 {(2 \, n + 1)!} = \sum _{j = 0} ^{n - 1} \frac {a_j} {(2 \, n - 2 \, j + 1)!}+ a_n$

ce qui donne $a _n = \displaystyle \frac 1 {(2 \, n + 1)!} - \sum _{j = 0} ^{n - 1} \frac {a _ j} {(2 \, n - 2 \, j + 1)!}$

Question 3

En utilisant une équation différentielle d’ordre 1 vérifiée par th, trouver une autre expression de $a _n$ en fonction des $(a_k)_{0 \leq k \leq n - 1} \,$ .

Correction de la question 3 :

Pour tout réel $x$ , $f'(x) = 1 - f ^2(x)$ si l’on note $f : x \mapsto \textrm{th}(x)$ .

On rappelle que $\displaystyle f(x) \underset {x \to 0} = \sum _{k = 0} ^{n } a _ k \, x^{2 k + 1} + \textrm{o}(x ^{2 n + 1})$

Comme la fonction $f$ est de classe $C ^{\infty}$ , on obtient le DL de $f'$ à l’ordre $2 \, n$ en dérivant le DL de $f$

écrit à l’ordre $2\, n + 1$

$f'(x) \displaystyle \underset {x \to 0} = \sum _{k = 0} ^{n } (2 \, k + 1) \, a _ k \, x^{2 k } + \textrm{o}(x ^{2 n })$

Puis on écrit le D de $f ^2$ à l’ordre $2 \, n$ en faisant le produit de deux DL écrits à l’ordre $2 \, n$ , le résultat ne contient que des puissances paires :

$\displaystyle f ^2(x) \underset {x \to 0} = \sum _ {k = 0} ^n d_n \, x^{2 \, k} + \textrm{o} (x ^{2 \, n})$

avec si $n \geq 1$ , $d _ n = \displaystyle \sum _{2 i + 1 + 2 j + 1 = 2 n } a _{i} \, a _ j$

$d _ n = \displaystyle \sum _{ i + j = n - 1 } a _{i} \, a _ {j} = \sum _{ i = 0} ^{ n - 1 } a _{i} \, a _ {n - i - 1}$

En égalant si $n \geq 1$ les coefficients de $x ^{2\, n}$ dans l’écriture des DL de la relation $f'(x) = 1 - f ^2(x)$ ,

on obtient $(2\, n + 1) a_n = - \displaystyle \sum _{ i = 0 }^{ n - 1 } a _{i} \, a _ {n - i - 1}$

donc $a_n = \displaystyle -\frac {- 1} {2 \, n + 1} \sum _{ i = 0} ^{ n - 1 } a _{i} \, a _ {n - i - 1} \,$ .

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