Chapitres Maths en MPSI, PCSI, MP2I, PTSI
Chapitres Maths en MPSI, PCSI, MP2I, PTSI
Espaces vectoriels exercices et corrigés en Maths Sup
Résumé de cours Exercices et corrigés
Cours en ligne de Maths en Maths Sup
S’entraîner sur des exercices ou sur des annales des concours des écoles d’ingénieurs est le meilleur moyen de réviser efficacement, mais aussi de se rendre compte de son niveau, de ses points forts et de ses axes d’amélioration. Les entraînements sur des cas concrets sont indispensables pour intégrer les meilleures écoles d’ingénieurs françaises.
Exercice sur les familles libres et liées en Maths Sup
Dans , les familles suivantes forment-elles une famille libre ou liée ?
Si elles forment une famille liée, donner une relation entre les applications.
Question 1 :
, , .
Question 2 :
, et .
Question 3 :
Soient et trois réels deux à deux distincts modulo .
,
et
Question 4 :
Si sont réels et non nuls,
Exercice sur les bases de sous-espaces vectoriels en Maths Sup
Question 1 :
Déterminer une base de .
?
Question 2 :
Donner une équation de dans la base canonique.
COURS DE MATHS
Les meilleurs professeurs particuliers
Pour progresser et réussir
Avis Google France ★★★★★ 4,9 sur 5
Exercice sur l’application linéaire d’un espace vectoriel
Soit .
Question 1 :
L’application définie sur par est un endomorphisme de .
Question 2 :
Déterminer une base de l’image et du noyau de .
Exercice sur l’existence d’un endomorphisme
Soit un espace vectoriel de dimension finie et et deux sous-espaces vectoriels de .
Donner une CNS pour qu’il existe un endomorphisme de tel que et .
Exercice sur le théorème du rang d’un espace vectoriel
Soient et deux -e.v. de dimension finie et .
Montrer que les 3 propriétés suivantes sont équivalentes
a)
b)
c) et .
Correction de l’exercice sur les familles libres et liées
Question 1 :
Soient tels que .
,
pour ,
pour , donc .
avec , .
Donc la famille est libre.
Question 2 :
C’est une famille liée car soit .
Question 3 :
C’est une famille liée car et sont combinaisons linéaires de la famille et .
On écrit et donc
soit
et
soit
On termine avec donc
en réordonnant et avec un peu de trigonométrie
.
Question 4 :
Soient et trois réels tels que .
Si , on obtient pour tout réel ,
en prenant la valeur en , en , en , on obtient
, et donc .
La famille est libre.
Si , on obtient pour tout réel ,
donc
La fonction est bornée.
On passe à la limite lorsque si et si , comme admet une limite nulle, on obtient en passant à la limite, .
Il reste alors .
En évaluant en puis en on obtient puis .
La famille est libre.
Correction sur les bases de sous-espaces vectoriels
Question 1 :
En utilisant la question précédente,
est un vecteur non nul de .
Par la formule de Grassmann, ,
on obtient , alors est une base de la droite .
Question 2 :
est un hyperplan de , donc il admet une équation de la forme .
On rappelle qu’une base de est donnée par , et .
En écrivant que ces trois vecteurs vérifient l’équation de l’hyperplan, on obtient le système
ssi
a pour équation dans la base canonique.
COURS PARTICULIERS EN LIGNE
Nous avons sélectionné pour vous les meilleurs professeurs particuliers.
POUR ACCÉLÉRER MA PROGRESSION
Avis Google France ★★★★★ 4,9 sur 5
Correction de l’exercice sur l’application linéaire en Maths Sup
Question 1 :
Si et ,
.
Si , comme est un polynôme de degré inférieur ou égal à 3, .
Donc est un endomorphisme de .
Question 2 :
. On détermine les images des vecteurs de la base canonique.
.
Il est évident que
donc car la famille est une famille de polynômes de degrés 2 à 2 distincts,
On a donc prouvé que est une base de
Par le théorème du rang, et on a trouvé un élément non nul de , donc une base du noyau est
Correction de l’exercice sur l’existence d’endomorphisme en Maths Sup
a) S’il existe tel que et ,
par le théorème du rang, ,
donc .
b) On étudie la réciproque.
On suppose que .
Première méthode : application du théorème de recollement des applications linéaires.
On note l’application linéaire nulle de dans .
Soit un supplémentaire de .
.
Il existe donc un isomorphisme de sur .
On note l’endomorphisme de obtenu par recollement des applications linéaires et .
i.e. si est écrit avec et , on définit .
Il est alors évident que et que .
L’hypothèse et le théorème du rang donnent :
.
Comme somme nulle de deux entiers naturels, et .
Par inclusion et égalité des dimensions, on a prouvé que
et .
Deuxième méthode : application du théorème de caractérisation des applications linéaires.
Si , alors et , l’application convient.
Si , alors et , l’application nulle convient.
Si , on note et .
On introduit une base de et une base de .
Par le théorème de la base incomplète, on peut déterminer une base de .
On note l’unique endomorphisme de tel que
si
et si .
Il est alors évident que et que .
On termine comme dans la première méthode.
Correction de l’exercice sur le théorème du rang
On suppose que .
Comme ,
.
On en déduit que .
Alors .
On peut donc écrire .
Alors
et donnent .
On suppose que .
On en déduit que .
En appliquant la relation (*) et plusieurs fois la formule du rang,
.
Ce que l’on écrit sous la forme (**)
.
L’inclusion simple à justifier
donne
et en utilisant (**) :
.
car est un sev de .
On a prouvé que .
et (*)
.
et en utilisant et la formule de Grassmann,
.
Comme est une inclusion toujours vérifiée, on a prouvé que .
On suppose que et .
En utilisant
En utilisant ,
en utilisant ,
soit .
On a prouvé l’équivalence des trois propriétés.
Pendant leur année de Maths Sup, les étudiants ont la possibilité de se faire accompagner pour améliorer leur moyenne et maximiser leurs chances de réussite aux concours, grâce à des cours particuliers ou stages intensifs en Maths Sup. En dehors de ces accompagnement, les étudiants peuvent aussi utiliser les cours en ligne pour s’entraîner sur divers chapitres du programme dont :