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Les Polynômes en Maths Sup : Exercices corrigés
Résumé de cours Exercices et corrigés
Cours en ligne de Maths en Maths Sup
Plan des exercices : Racines, Polynomes
1. Racines et décompositions
2. Division euclidienne
3. Racines multiples
4. Décomposition de polynômes
5. Polynômes vérifiant une condition
6. Polynômes scindés
7. Polynômes et limite de suites
8. Fonction
9. Divers
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1. Racines et factorisations
Exercice 1
Soit .
Il existe tel que
Quelles sont les racines de ?
Correction :
Donc
a pour racines .
Exercice 2
Trouver les racines de sachant que le produit de deux d’entre elles vaut 6.
Correction :
On note et les racines de dans . On sait que et que , donc .
On écrit
on obtient les CNS :
ssi ssi et .
.
Exercice 3
Factoriser, dans le polynôme , sans chercher les racines de .
Correction : La factorisation repose sur la relation fondamentale vérifiée dans : .
On obtient une première factorisation de :
Exercice 4
Soit
Question 1
Pour tout divise . Vrai ou Faux ?
Correction : Si ,
avec
.
Pour , on écrit avec .
Exercice 4 (fin)
Question 2
est divisible par . Vrai ou Faux ?
Correction : On note , donc
et
en utilisant la question précédente
Donc est divisible par .
Exercice 5
Si , on note
Question 1.
Les racines de sont simples. Vrai ou faux ?
Correction : Soit . On remarque que
et
.
Si avait une racine multiple , alors .
Donc
Comme , on aboutit à une contradiction.
Les racines de sont simples.
Exercice 5 (fin)
Question 2
Déterminer le nombre de racines réelles de .
Correction : Il est évident que si ,.
n’a pas de racine sur .
Si , : et s’annule une seule fois sur .
et donc est vraie.
On suppose que est vérifiée.
Comme et s’annule en une seule fois en .
et .
Comme deux fonctions équivalentes en ont même signe au voisinage de , on en déduit que si et si .
est une fonction strictement décroissante sur et strictement croissante sur .
, donc si .
, donc est une fonction strictement croissante sur telle que et , définit une bijection de sur , donc s’annule une seule fois sur .
Ce qui prouve .
La propriété est démontrée par récurrence.
Exercice 7
Soit un polynôme de degré ayant racines distinctes réelles. Montrer que n’a pas deux coefficients consécutifs nuls, autrement dit : .
2. Division euclidienne
Exercice 1
Soit et .
On pose . Déterminer le reste de la division euclidienne de par puis par .
Correction : Première question
D’après le théorème de division euclidienne, il existe et deux réels et tels que .
En particulier
or
en égalant parties réelles et parties imaginaires : et .
Le reste est égal à .
Deuxième question
D’après le théorème de division euclidienne, il existe tels que et .
.
On traduit que est divisible par ce qui impose
soit
ssi
et en égalant les parties réelles et imaginaires :
ssi
On obtient
Par :
Le reste est égal à
.
Exercice 2 CENTRALE 2004-
Déterminer les polynômes tels que divise .
Correction : Si et divise ssi .
si , on écrit alors , donc divise
Si et si divise , il existe tel que
en comparant les termes de plus haut degré, .
Par la formule de Leibniz avec les polynômes et sachant que si ,
donc divise avec donc divise .
On obtient donc : (*)
divise , qui divise , …. , qui divise , qui divise
Comme , il existe tel que soit la seule racine de .
Par , , et bien sûr .
est racine d’ordre de .
On peut écrire avec .
Réciproquement si avec et
divise .
En remarquant que si , on peut aussi écrire sous cette forme, et que le cas est obtenu pour
divise ssi il existe et tel que .
Exercice 3
Trouver tous les polynômes de degré inférieur ou égal à
puis tous les polynômes tels que divise et divise .
Correction : Première question
est un multiple de ssi
ssi divise et .
est un multiple de ssi et
ssi divise et .
Comme , divise et , on en déduit qu’il existe
ssi Il existe , .
On termine en utilisant
ssi
et
ssi et
ssi et .
Le premier problème a une seule solution .
Deuxième partie
Si est solution et le polynôme précédent, est divisible par et .
Soit il existe tel que .
Réciproquement s’il existe tel que .
alors est divisible par .
De même est divisible par .
L’ensemble des solutions est l’ensemble des polynômes
où
et .
Exercice 4
Soit pour , le polynôme :
Question 1
Déterminer les racines de .
Question 2
Déterminer l’ensemble des tels que divise .
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3. Racines multiples
Exercice 1
Soient dans et .
Soit .
Déterminer le reste de la division de par .
Correction : Par le théorème de division euclidienne, on peut trouver tels que et . .
On traduit que divise par les conditions :
.
.
Donc est nul en et , il est donc divisible par et de degré inférieur ou égal à 3.
On écrit
donne
ssi (1)
donne
ssi (2)
On résout le système
ssi et
donc le reste est égal à
Exercice 2
Soient , sans racine commune.
On suppose que est une racine multiple de , alors est racine de . Vrai ou Faux ?
Correction :
On écrit avec et
ssi .
Si l’on avait , par somme et différence, on aurait
et ce qui est exclu par hypothèse.
Donc est racine d’un seul des deux polynômes , .
On peut supposer (en remplaçant si nécessaire par ) que et .
Puis comme est racine d’ordre au moins égal à 2 de
soit
donc avec alors .
En utilisant , on a prouvé que est racine de .
4. Décomposition de polynômes
Exercice 1
Soit tel que
On dit que est positif si .
Montrer que est positif ssi il existe deux polynômes et à coefficients dans n’ayant pas de racine réelle commune tels que .
Correction : Condition suffisante
Si , où , et n’ont pas de racine réelle commune.
car et sont réels.
Si , (comme somme nulle de deux réels positifs ou nuls), ce qui est exclu lorsque , donc pour tout réel .
Condition nécessaire
Si , n’a que des racines complexes non réelles, elles sont deux à deux conjuguées (car est à coefficients réels) et deux racines conjuguées ont même ordre de multiplicité.
La décomposition de dans est donc de la forme .
où .
On note , au voisinage de , .
Si l’on avait , on aurait , donc pour assez grand, , ce qui est absurde. On en déduit que .
On peut donc écrire , avec .
En introduisant la partie réelle et la partie imaginaire des coefficients de , on peut trouver et dans tels que .
Alors et .
et ne peuvent pas avoir une racine réelle commune , sinon P s’annulerait en .
Il existe donc et à coefficients réels tels que .
Exercice 2
Soit un entier strictement positif. On note où
Question 1
Décomposer dans puis dans .
Question 2
Si , .
Question 3
En déduire une expression simple de .
5. Polynômes vérifiant une condition
Exercice 1 ENSEA 2015
L’ensemble des polynômes de tels que est inclus dans est l’ensemble des polynômes égaux à une constante réelle. Vrai ou Faux ?
Correction : Si , est solution ssi
Si , soit , le polynôme est un polynôme de degré supérieur ou égal à 1, il admet au moins une racine dans , donc il existe tel que , donc n’est pas inclus dans
Les seules solutions sont les polynômes constants et réels.
Exercice 2 Télécom Sud Paris 2014
Il y a au moins deux polynômes tels que et . Vrai ou Faux ?
Correction : On note et si .
On définit ainsi une suite strictement croissante car (le discriminant de est strictement négatif).
On démontre que pour tout , .
La propriété est vraie pour .
Si elle est vraie au rang , , elle est vraie pour tout .
Le polynôme s’annule une infinité de fois, donc .
Il est évident que le polynôme vérifie les conditions.
Le problème admet une unique solutionle polynôme .
Exercice 3
Soit P un polynôme à coefficients réels de degré vérifiant : .
Calculer puis lorsque .
Exercice 4
Soit ,vérifiant la contdition (*)
.
Question 1
Déterminer les polynômes constants vérifiant (*).
Question 2.
On suppose que admet une racine , où n’est pas un entier naturel. Montrer que est racine de .
En déduire que toute racine de est élément de .
Question 3
On suppose que est une racine de . Montrer que est racine de . En déduire une contradiction.
Question 4.
Déduire des calculs précédents, l’ensemble des polynômes vérifiant (*).
6. Polynômes scindés
Exercice 1 CCP 2013
Soit tel que et unitaire.
Question 1
Soit . Montrer que pour tout , .
Correction : On note avec et réels et .
, donc .
Question 2
Montrer que est scindé sur ssi pour tout .
Correction : On suppose que est scindé sur , il existe donc dans tels que pour tout .
Alors .
On suppose que .
Soit une racine complexe de .
Alors donc .
Toutes les racines complexes de sont réelles, donc qui est scindé sur est en fait scindé sur .
Exercice 2 ARTS2015
Soit un polynôme de scindé à racines réelles simples. On pose .
Montrer que est scindé à racines réelles simples.
Correction :
On note .
1er cas : on suppose que n’est pas racine de , donc le polynôme admet racines distinctes que l’on range par ordre strictement croissant sous la forme .
On applique le théorème de Rolle à sur l’intervalle où .
On en déduit qu’il existe tel que .
On a donc déterminé racines distinctes pour . Comme , , le polynôme est donc scindé à racines simples.
2ème cas : on suppose que est racine de . Le polynôme Q s’annule donc en réels que l’on range sous forme strictement croissante
et il existe tel que .
On applique le théorème de Rolle à sur l’intervalle où .
On en déduit qu’il existe tel que .
Puis comme est racine double de , et pour tout .
On a donc déterminé racines distinctes pour . Comme , le polynôme est donc scindé à racines simples.
Exercice 3 Centrale 2014 et 2018
Soient non constants. On suppose que et ont les mêmes racines avec pour ordres de multiplicités respectifs et dans .
On suppose que les polynômes et ont les mêmes racines avec pour ordres de multiplicités respectifs et dans .
Question 1
Montrer que pour tout , est racine de avec pour ordre de multiplicité .
Question 2
Montrer de même que pour tout , est racine de avec pour ordre de multiplicité .
Question 3
En déduire que .
Question 4
. Vrai ou Faux ?
7. Polynômes et limite de suites
Soit un entier strictement positif. On note .
Question 1
Montrer que est un polynôme à coefficients réels. Préciser son degré et son coefficient dominant.
Correction : On utilise le binôme de Newton :
si ,
si , et
On se limite aux indices avec .
et après simplification par
C’est un polynôme à coefficients réels, de degré , de coefficient dominant (obtenu pour ) égal à .
Question 2
Déterminer les racines de .
Correction :
n’étant pas solution de cette équation, on peut écrire en posant
ssi
ssi
On remarque qu’il est impossible d’avoir et qu’alors .
Il reste à simplifier cette expression lorsque est une racine -ème de différente de soit lorsque avec
On note dans la suite .
Les racines de sont les complexes
.
En utilisant les résultats classiques ;
.
admet racines où .
Question 3
Montrer qu’il existe un polynôme à coefficients réels tel que .
Correction : On a prouvé que
en posant .
est un polynôme à coefficients réels tels que .
On rappelle que est un polynôme de degré de coefficient dominant égal à et dont les racines sont les complexes :
donc
où
On écrit
On pose dans
donc
Puis comme ,
Les racines de sont pour .
Question 4
Calculer
Correction : C’est la somme des racines du polynômes .
Le coefficient dominant de est .
Le coefficient de dans donc celui de dans .
Les calculs de la première question donnent :
est la somme des racines de
.
Question 5
On note
Montrer que .
Question 6
Soit
Montrer que la suite converge et déterminer sa limite.
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8. Fonction
Question 1
et si
. Vrai ou Faux ?
Correction : La propriété est évidente si .
On suppose que .
si
si et .
si .
On écrit avec
La propriété a été prouvée par disjonction de cas.
Question 2
Soit si .
a) Quel est le degré de si ?
Correction : .
Si ,
alors si .
Question 2
b) Calculer .
Question 3
Calculer si , .
Question 4
Soit .
Il y a équivalence entre
1)
2) tel que . Vrai ou Faux ?
9. Divers
Exercice 1 MinesPonts 2015
Pour de degré écrit sous la forme ,
montrer que avec .
Exercice 2 Centrale PSI 2018
Question 1 Soit .
Si , .
Question 2
Trouver contenant un coefficient strictement négatif et tel que .
Question 3
On dit que est à valeurs positives lorsque
.
a) Soit à valeurs positives,
est à valeurs positives. Vrai ou Faux ?
b) La réciproque est vraie
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