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Les Polynômes en Maths Sup : Exercices corrigés

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Résumé de cours Exercices et corrigés

Cours en ligne de Maths en Maths Sup

Plan des exercices : Racines, Polynomes

1. Racines et décompositions 2. Division euclidienne 3. Racines multiples 4. Décomposition de polynômes 5. Polynômes vérifiant une condition 6. Polynômes scindés 7. Polynômes et limite de suites 8. Fonction

$\Delta$ 9. Divers

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1. Racines et factorisations

Exercice 1 Soit $P = \displaystyle \prod _{k = 1} ^n \left ( \textrm{X} - r_k \right) \in \mathbb{K}[\textrm{X}]$ . Il existe $Q \in \mathbb{K}[\textrm{X}]$ tel que $\quad \quad Q(\textrm{X}^2) = P(\textrm{X}) \, P(- \textrm{X})$ Quelles sont les racines de $Q$ ?

Correction :

$P(\textrm{X}) \, P(- \textrm{X}) =$ $\quad \quad \displaystyle \prod _{k = 1} ^n \left ( \textrm{X} - r_k \right)\times (-1) ^n \prod _{k = 1} ^n \left ( \textrm{X} + r_k \right)$ $P(\textrm{X}) \, P(- \textrm{X}) = \displaystyle (-1)^n \, \prod _{k = 1} ^n \left ( \textrm{X}^2 - r_k^2 \right)$ Donc $Q = \displaystyle (-1)^n \, \prod _{k = 1} ^n \left ( \textrm{X} - r_k^2 \right)$ a pour racines $r_1^2 \, , \, r_2^2 \, , \, \cdots \, , r_n^2\,$ .

Exercice 2 Trouver les racines de $P = \textrm{X} ^4 - 5 \textrm{X} ^3 + 9 \textrm{X} ^2 - 15 \textrm{X} + 18$ sachant que le produit de deux d’entre elles vaut 6.

Correction :

On note $x_1\, ,\, x_2 \, ,\, x_3$ et $x_4$ les racines de $P$ dans $\mathbb{C}$ . On sait que $x_1 \, x_2 = 6$ et que $x_1\, x_2\, x_3\, x_4 = 18$ , donc $x_3\, x_4 = 3$ . On écrit $P = (\textrm{X} - s \, \textrm{X} + 6)(\textrm{X} ^2 - s' \, \textrm{X} + 3)$ $P = \textrm{X}^4 - (s + s')\textrm{X}^3 +(6 + 3 + s\, s') \textrm{X}^2$ $\quad \quad \quad +\, (- 6 \,s' - 3 \, s) \textrm{X} + 18$ on obtient les CNS : $\left \{ \begin{matrix} s+s' = 5\\9 + s \, s' = 9 \\ 3 \,s + 6 \,s' = 15\end{matrix} \right.$ ssi $s + s' = 5, \, s\, s' = 0\,,\, s + 2\, s' = 5$ ssi $s = 5$ et $s' = 0$ . $P = (\textrm{X} - 5 \, \textrm{X} + 6)(\textrm{X} ^2 + 3)$ $P = (\textrm{X} - 2) (\textrm{X} - 3) (\textrm{X} - \textrm{i} \, \sqrt{3}) (\textrm{X} + \textrm{i} \, \sqrt{3})$ . Exercice 3 Factoriser, dans

$\mathbb{R} [\textrm{X}],$ le polynôme

$P = (1 + \textrm{X} ^2 ) ^4 - 9\, \textrm{X} ^4$ , sans chercher les racines de

$P$ . Correction : La factorisation repose sur la relation fondamentale vérifiée dans $\mathbb{R} [\textrm{X}]$ : $A^2 - B^2 = (A - B) (A + B)$ . On obtient une première factorisation de $P$ : $\left ((1 + \textrm{X}^2)^2 + 3\, \textrm{X} ^2\right ) \, \left ((1 + \textrm{X}^2)^2 - 3 \, \textrm{X} ^2\right )$ $\ast$ $(1 + \textrm{X}^2)^2 - 3 \textrm{X} ^2 =$ $\quad (\textrm{X}^2 - \sqrt{3} \, \textrm{X}^2 + 1) (\textrm{X}^2 + \sqrt{3} \, \textrm{X}^2 + 1)$ $\ast$ $(1 + \textrm{X}^2)^2 + 3 \textrm{X} ^2 = \textrm{X} ^4 + 5 \, \textrm{X} ^2 + 1$ $(1 + \textrm{X}^2)^2 + 3 \textrm{X} ^2 = \displaystyle \left (\textrm{X} ^2 + \frac 5 2 \right ) ^2 - \frac {21} 4 =$ $\displaystyle \left ( \textrm{X} ^2 + \frac 5 2 \, \textrm{X} - \frac {\sqrt{21}} 2 \right ) \, \left ( \textrm{X} ^2 + \frac 5 2 \, \textrm{X} + \frac {\sqrt{21}} 2 \right )$ $P = \displaystyle (\textrm{X}^2 - \sqrt{3} \, \textrm{X}^2 + 1) (\textrm{X}^2 + \sqrt{3} \, \textrm{X}^2 + 1)$ $\displaystyle . \left ( \textrm{X} ^2 + \frac 5 2 \, \textrm{X} - \frac {\sqrt{21}} 2 \right ) \, \left ( \textrm{X} ^2 + \frac 5 2 \, \textrm{X} + \frac {\sqrt{21}} 2 \right )$ Exercice 4 Soit

$P \in \mathbb{K} [ \textrm{X}]$ Question 1 Pour tout

$i \in \mathbb{N} ,\, P( \textrm{X}) - \textrm{X}$ divise

$P( \textrm{X})^i - \textrm{X} ^i$ . Vrai ou Faux ? Correction : Si $i \in \mathbb{N}^*$ , $\displaystyle P( \textrm{X})^i - \textrm{X} ^i = \left ( P( \textrm{X}) - \textrm{X} \right ) Q_i$ avec $Q_i = \displaystyle \sum _ {k = 0} ^{i - 1} P( \textrm{X})^k \, \textrm{X} ^{i - 1 - k}$ . Pour $i = 0$ , on écrit $P( \textrm{X})^i - \textrm{X} ^i = (P( \textrm{X}) - \textrm{X}) Q_0$ avec $Q_0 = 0$ . Exercice 4 (fin) Question 2

$P(P( \textrm{X})) - P( \textrm{X})$ est divisible par

$P( \textrm{X}) - \textrm{X}$ . Vrai ou Faux ? Correction : On note $P(\textrm{X}) = \displaystyle \sum _ {i = 0} ^n a_i \, \textrm{X}^i$ , donc $P(P(\textrm{X})) = \displaystyle \sum _ {i = 0} ^n a_i\, P(\textrm{X})^i$ et $P(P(\textrm{X})) -P(\textrm{X})= \displaystyle \sum _ {i = 0} ^n a_i \left ( P(\textrm{X})^i -\textrm{X}^i \right )$ en utilisant la question précédente $P(P(\textrm{X})) -P(\textrm{X})= \displaystyle (P(\textrm{X}) - \textrm{X})\, \sum _ {i = 0} ^n a_i \, Q_i$ Donc $P(P( \textrm{X})) - P( \textrm{X})$ est divisible par $P( \textrm{X}) - \textrm{X}$ . Exercice 5 Si

$n \in \mathbb{N}^*$ , on note

$P_n = \displaystyle \sum _ {k = 0} ^n \frac 1 {k!} \textrm{X}^k$ Question 1. Les racines de

$P_n$ sont simples. Vrai ou faux ? Correction : Soit $n \in \mathbb {N}^*$ . On remarque que $P_n= P_{n - 1} + \displaystyle \frac {\textrm{X}^n} {n!}$ et $P'_n = \displaystyle \sum _ {k = 1} ^n \frac 1 {(k - 1) !} \textrm{X}^{k - 1}$ $P'_{n } = \displaystyle \sum _ {p = 0} ^{n - 1} \frac 1 {p!} \textrm{X}^p = P_{n - 1} \,$ . Si $P_n$ avait une racine multiple $a$ , alors $P_n(a) = P_n'(a) = 0$ . Donc $P_n(a) = P_{n - 1} (a) = 0 \Rightarrow a = 0$ Comme $P_n(0) = 1$ , on aboutit à une contradiction. Les racines de $P_n$ sont simples. Exercice 5 (fin) Question 2 Déterminer le nombre de racines réelles de

$P_n\,$ . Correction : Il est évident que si $x \geq 0$ , $\, Pn(x) \geq 1$ . $P_n$ n’a pas de racine sur $\mathbb{R} ^+$ . Si $n \in \mathbb{N}$ , $H_n$ : $\forall\, x \in \mathbb{R}^-, P_{2n}(x) > 0$ et $P_{2n+1}$ s’annule une seule fois sur $]- \infty , 0[$ . $\bullet$ $P_0 = 1$ et $P_1 = 1 + \textrm{X}$ donc $H_0$ est vraie. $\bullet$ On suppose que $H_n$ est vérifiée. $\ast$ Comme $P'_{2 n + 2} = P_{2n+1}$ et $P_{2n+1}$ s’annule en une seule fois en $\alpha < 0$ . $P_{2 n+1}(0) = 1 > 0$ et $\displaystyle \lim_{x \to - \infty} P_{2 n + 1} (x) = - \infty$ . Comme deux fonctions équivalentes en $a$ ont même signe au voisinage de $a$ , on en déduit que si $x < \alpha,\, P_{2n+1}(x) < 0$ et $P_{2n+1}(x) > 0$ si $x \in \; ]\alpha , \, 0[$ . $P_{2n+2}$ est une fonction strictement décroissante sur $]-\infty , \, \alpha]$ et strictement croissante sur $[\alpha , \, 0]$ . $P_{2n+2}(\alpha ) = P_{2n+1}(\alpha ) + \displaystyle \frac {\alpha ^{2 n + 2} } {(2\,n+2)! }$ $P_{2n + 2} (\alpha) \displaystyle = \frac {\alpha ^{2 n + 2} } {(2\,n+2)! } > 0$ , donc si $x \in ]-\infty, 0],\, P_{2n+2}(x) > 0$ . $\ast$ $P'_{2n + 3} = P_{2n+2}\,$ , donc $P_{2n+3}$ est une fonction strictement croissante sur $\mathbb{R} ^{-}$ telle que $\displaystyle \lim_{x \to - \infty} P_{2n+3}(x) = - \infty$ et $P_{2n+3}(0)= 1$ , $P_{2n+3}$ définit une bijection de $]- \infty , 0]$ sur $]-\infty , 1]$ , donc $P_{2n+3}$ s’annule une seule fois sur $]- \infty , \, 0]$ . Ce qui prouve $H_{n+1}\,$ . La propriété est démontrée par récurrence. Exercice 7 Soit

$P\in \mathbb{R}[\textrm{X}]$ un polynôme de degré

$n > 1$ ayant

$n$ racines distinctes réelles. Montrer que

$P$ n’a pas deux coefficients consécutifs nuls, autrement dit :

$\forall\, k \in [\![0 , \, n - 1]\!],\, (a_k \, , \, a_{k + 1})\neq (0,0)$ .

2. Division euclidienne

Exercice 1 Soit

$t \in \mathbb{R}$ et

$n \in \mathbb{N}^*$ . On pose

$P_n = (\sin(t) \, \textrm{X} + \cos(t))^n$ . Déterminer le reste de la division euclidienne de

$P_n$ par

$\textrm{X} ^2 + 1$ puis par

$(\textrm{X} ^2 + 1)^2$ . Correction : $\bullet$ Première question D’après le théorème de division euclidienne, il existe $Q \in \mathbb{R} [\textrm{X}]$ et deux réels $a$ et $b$ tels que $\quad \quad P_n = (\textrm{X}^2 + 1)\, Q + a \, \textrm{X}+ b$ . En particulier $P_n(\textrm{i}) = b + \textrm{i}\, a$ or $P_n(\textrm{i})= (\cos t + \textrm{i} \, \sin t )^n$ $P_n(\textrm{i}) = \cos (n \, t) + \textrm{i} \, \sin (n \, t)$ en égalant parties réelles et parties imaginaires : $a = \sin(n \, t)$ et $b = \cos(n \, t)$ . Le reste est égal à $\sin(n \, t) \, \textrm{X} + \cos(n \, t)$ . $\bullet$ Deuxième question D’après le théorème de division euclidienne, il existe $(Q , \, R) \in \mathbb{R} [\textrm{X}]^2$ tels que $P_n = (\textrm{X}^2 + 1)^2 \, Q + R$ et $\textrm{deg } R < 4$ . $R = a \, \textrm{X} ^3 + b\, \textrm{X}^2 + c \, \textrm{X} + d$ . On traduit que $P_n - R$ est divisible par $(\textrm{X}^2 + 1)^2$ ce qui impose $\quad (P_n - R)(\textrm{i}) = (P_n - R)'(\textrm{i}) = 0$ soit $\left \{ \begin {matrix} R(\textrm{i}) &=& P_n(\textrm{i})\\ R'(\textrm{i}) &=& P_n'(\textrm{i}) \end{matrix} \right.$ ssi $\left \{ \begin {matrix} - a \, \textrm{i} - b + c \, \textrm{i} + d &=& \textrm{e} ^{\textrm{i} \, n \, t}\\ -3 \, a + 2 \, b \, \,\textrm{i} + c &=& \,n \, \sin(t) \, \textrm{e} ^{\textrm{i} \, (n - 1) \, t} \end{matrix} \right.$ et en égalant les parties réelles et imaginaires : ssi $\left \{ \begin {matrix} - a + c &=& \sin(n t) \\- b + d &=& \cos (n\, t) \\ 2 \, b \ &=& \,n \, \sin(t) \, \sin((n - 1)t) \\ - 3 a + c &=& \,n \, \sin(t) \, \cos((n - 1)t) \end{matrix} \right.$ On obtient $b = \displaystyle \frac n 2 \, \sin(t) \, \sin((n - 1)t)$ $b = \displaystyle \frac { n } 4 (\cos((n - 2) t) - \cos(n \, t))$ $d = \cos(n \, t) + b$ $d= \displaystyle \frac { 4 - n } 4 \cos(n t) + \frac {n } 4 \cos((n - 2) t)$ Par $L_1 - L_4$ : $2 \, a = -n \, \sin(t) \cos(n - 1)t) + \sin(n \, t)$ $2 \, a = \displaystyle \sin(n \, t) - \frac n 2 (\sin(n \, t) - \sin((n - 2)t)$ $2 \, a = \displaystyle \frac {2 - n} 2 \, \sin(n \, t) + \frac n 2 \, \sin((n - 2)t)$ $c = a + \sin(n t)$ $c = \displaystyle \frac {6 - n} 4 \, \sin(n \, t) + \frac n 4 \, \sin((n - 2)t)$ Le reste est égal à $\displaystyle \left ( \frac {2 - n} 4 \, \sin(n \, t) + \frac n 4 \, \sin((n - 2)t) \right ) \, \textrm{X} ^3$ $\quad \displaystyle + \frac { n } 4 (\cos((n - 2) t) - \cos(n \, t)) \textrm{X}^2$ $\quad \displaystyle + \, \left ( \frac {6 - n} 4 \sin(n \, t) + \frac n 4 \sin((n - 2)t)\right ) \textrm{X}$ $\quad \displaystyle + \, \frac { 4 - n } 4 \, \cos(n \, t) + \frac {n } 4\, \cos((n - 2) t)$ . Exercice 2 CENTRALE 2004- Déterminer les polynômes

$P \in \mathbb{K} [ \textrm{X} ]$ tels que

$P'$ divise

$P$ . Correction : $\bullet$ Si $P = \lambda \in \mathbb{K}, \, P' = 0$ et $P'$ divise $P$ ssi $P = 0$ . $\ast$ si $\textrm{deg }(P) = 1$ , on écrit $P = \lambda \, \textrm{X} + \mu$ alors $P' = \lambda \neq 0$ , donc $P'$ divise $P$ $\ast$ Si $\textrm{deg }(P) = n \geq 2$ et si $P'$ divise $P$ , il existe $(\lambda , \mu ) \in \mathbb{K}$ tel que $\quad \quad \quad P = (\lambda \, \textrm{X} + \mu) P'$ en comparant les termes de plus haut degré, $\lambda = 1/n$ . Par la formule de Leibniz avec les polynômes $Q = \lambda \, \textrm{X} + \mu$ et $P'$ sachant que $Q ^{(i)} = 0$ si $i \geq 2$ , $P^{k } = \lambda P ^{k } + \displaystyle \binom k 1 (\lambda \, \textrm{X} + \mu) P ^{(k + 1)}$ $\Leftrightarrow$ $(1 - \lambda) P ^{(k)} = k(\lambda \, \textrm{X} + \mu)P ^{(k + 1)}$ donc $P ^{(k + 1)}$ divise $(1 - \lambda) P^ {(k)}$ avec $1 - \lambda \neq 0$ donc divise $P^{(k)}$ . On obtient donc : (*) $(\ast) \quad$ $P^{(n - 1)}$ divise $P ^{(n - 2)}$ , qui divise $P ^{(n -3)}$ , …. , qui divise $P'$ , qui divise $P$ Comme $\textrm{deg } P^{(n - 1)} = 1$ , il existe $a \in \mathbb{K}$ tel que $a$ soit la seule racine de $P ^{(n - 1)}$ . Par $(\ast)$ , $\forall \, k \in [[0 , n - 1]]$ , $P ^{(k)}(a) = 0$ et bien sûr $P ^{(n)} (a) \neq 0$ . $a$ est racine d’ordre $n$ de $P$ . On peut écrire $P = \alpha (\textrm{X} - a) ^n$ avec $\alpha \neq 0$ . Réciproquement si $P = \alpha (\textrm{X} - a) ^n$ avec $\alpha \neq 0$ et $n \in \mathbb{N} ^*$ $P' = n \, \alpha (\textrm{X} - a) ^{n - 1}$ divise $P$ . En remarquant que si $\textrm{deg } P = 1$ , on peut aussi écrire $P$ sous cette forme, et que le cas $P = 0$ est obtenu pour $\alpha = 0$ $P'$ divise $P$ ssi il existe $(a , \alpha ) \in \mathbb{K} ^2$ et $n \in \mathbb{N}^*$ tel que $P = \displaystyle \alpha (\textrm{X} - a) ^n$ . Exercice 3 Trouver tous les polynômes

$P \in \mathbb{R} [\textrm{X}]$ de degré inférieur ou égal à

$7$ puis tous les polynômes tels que

$(\textrm{X} - 1)^4$ divise

$P - 1$ et

$(\textrm{X} + 1)^4$ divise

$P + 1$ . Correction : Première question $\ast$ $P - 1$ est un multiple de $(\textrm{X} - 1)^4$ ssi $P(1) = 1, \, P'(1) = P''(1) = P^{(3)}(1) = 0$ ssi $(\textrm {X} - 1)^3$ divise $P\, '$ et $P(1) = 1$ . $\ast$ $P + 1$ est un multiple de $(\textrm {X} + 1)^4$ ssi $P(-1) = -1$ et $\quad \quad \, P'(-1) = P''(-1) = P^{(3)}(-1) = 0$ ssi $(\textrm {X} + 1)^3$ divise $P\, '$ et $P(-1) = -1$ . Comme $P\, ' \in \mathbb{R} [\textrm{X}]$ , $(\textrm{X} ^2 - 1)^3$ divise $P'$ et $\textrm{deg} \, P' = 6$ , on en déduit qu’il existe $a \in \mathbb{R}, \, P' = a(\textrm{X}^2 - 1)^3$ $P' = a \, (\textrm{X}^6 - 3 \, \textrm{X}^4 + 3 \, \textrm{X} ^2 - 1)$ ssi Il existe $b \in \mathbb{R}$ , $\displaystyle P = a \left ( \frac 1 7 \textrm{X}^7 - \frac 3 5 \textrm{X}^5 + \textrm{X}^3 - \textrm{X}\right ) + b$ . On termine en utilisant $P(1) = - 1 , \, P(-1) = 1$ ssi $\displaystyle a \left ( \frac 1 7 - \frac 3 5 \right ) + b = -1$ et $\displaystyle a \left (- \frac 1 7 + \frac 3 5 \right ) + b = 1$ ssi $b = 0$ et $\displaystyle a \frac { 16} {35} = 1$ ssi $\displaystyle a = \frac {35 } {16}$ et $b= 0$ . Le premier problème a une seule solution $\quad P = \displaystyle \frac {35 } {16} \, \left ( \frac 1 7 \textrm{X}^7 - \frac 3 5 \textrm{X}^5 + \textrm{X}^3 - \textrm{X} \right )$ . Deuxième partie $\bullet$ Si $Q$ est solution et $P$ le polynôme précédent, $Q - P$ est divisible par $(\textrm{X} + 1)^4$ et $(\textrm{X} - 1)^4$ . Soit il existe $R \in \mathbb{R} [\textrm{X}]$ tel que $Q - P = R \, (\textrm{X} + 1)^4\, (\textrm{X} - 1)^4$ . $\bullet$ Réciproquement s’il existe $R \in \mathbb{R} [\textrm{X}]$ tel que $Q = P + R \, (\textrm{X} + 1)^4\, (\textrm{X} - 1)^4$ . alors $Q + 1 = (P + 1) + R \, (\textrm{X} + 1)^4\, (\textrm{X} - 1)^4$ est divisible par $(\textrm{X} - 1)^4$ . De même $Q - 1$ est divisible par $(\textrm{X} + 1)^4$ . L’ensemble des solutions est l’ensemble des polynômes $\quad \quad P + R \, (\textrm{X} ^2 - 1)^4$ où $R \in \mathbb{R} [\textrm{X}]$ $\quad$ et $P = \displaystyle \frac {35 } {16} \, \left ( \frac 1 7 \textrm{X}^7 - \frac 3 5 \textrm{X}^5 + \textrm{X}^3 - \textrm{X} \right )$ . Exercice 4 Soit pour

$n\in \mathbb{N}^*$ , le polynôme :

$P_n = 1 + \textrm{X} ^n + \textrm{X} ^{2 n} + \textrm{X} ^{3 n} + \textrm{X} ^{4 n}$ Question 1 Déterminer les racines de

$P_1\,$ . Question 2 Déterminer l’ensemble des

$n$ tels que

$P_1$ divise

$P_n$ .

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3. Racines multiples

Exercice 1 Soient

$a \neq b$ dans

$\mathbb{C}$ et

$n \in \mathbb{N}^*$ . Soit

$A = (\textrm{X} - a) ^{2 \,n } + (\textrm{X} - b) ^{2 \,n }$ . Déterminer le reste de la division de

$A$ par

$B = (\textrm{X} - a) ^{2} \, (\textrm{X} - b) ^{2}$ . Correction : Par le théorème de division euclidienne, on peut trouver $Q , R \in \mathbb{C}[\textrm{X}]$ tels que $A = B \, Q + R$ et $\textrm{deg } R < \textrm{deg } B$ . . On traduit que $B$ divise $A - R$ par les conditions : $A(a) = R(a) ,\, A'(a) = R'(a)$ $A(b) = R(b) , \, A'(b) = R'(b)$ . $R(a) = R(b) = (a - b) ^{2 n}$ . Donc $R - (a - b) ^{2\,n}$ est nul en $a$ et $b$ , il est donc divisible par $(\textrm{X} - a)(\textrm{X} - b)$ et de degré inférieur ou égal à 3. On écrit $R_1 = R - (a - b) ^{2\,n}$ $R_ 1 = (\textrm{X} - a)(\textrm{X} - b)(\alpha \, X + \beta )$ $R_1' = R' = (\textrm{X} - b)(\alpha \, X + \beta )$ $\quad + \, (\textrm{X} - a)(\alpha \, X + \beta ) + \alpha \,(\textrm{X} - a)(\textrm{X} - b)$ $A'(a) = R'(a) = (a - b) (\alpha \, a + \beta)$ donne $2 \, n(a - b) ^{2 n - 1} = (a - b) (\alpha \, a + \beta)$ ssi $2 \, n(a - b) ^{2 n - 2} = \alpha \, a + \beta$ (1) $A'(b) = R'(b) = (b - a) (\alpha \, b + \beta)$ donne $2 \, n\, (b - a) ^{2 n - 1} = (b - a) (\alpha \, b + \beta)$ ssi $2\, n\, (a - b) ^{2 n - 2} = \alpha \, b + \beta$ (2) On résout le système $\left \{ \begin{matrix} \alpha \, a + \beta = 2\, n\, (a - b) ^{2 n - 2}\\ \alpha \, b + \beta = 2\, n\, (a - b) ^{2 n - 2} \end{matrix} \right.$ ssi $\alpha = 0$ et $\beta = 2 \, n (a - b) ^{2 n - 2}$ donc le reste est égal à $(a - b) ^{2 n - 2} \left ( (a - b) ^2 + 2 n (\textrm{X} - a)(\textrm{X} - b)\right )$ Exercice 2 Soient

$P \,, \, Q \in \mathbb{C}[\textrm{X}]$ , sans racine commune. On suppose que

$a$ est une racine multiple de

$P ^2 + Q^2$ , alors

$a$ est racine de

${P'}^2 +{Q'}^2$ . Vrai ou Faux ? Correction :

On écrit $R = P ^2 + Q ^2= R_1 . R_2$ avec $R_1 = P + \textrm{i} \, Q$ et $R_2 = P - \textrm{i} \, Q$ $R(a) = 0$ ssi $R_1(a) \, R_2(a) = 0$ . Si l’on avait $R_1(a) = R_2(a) = 0$ , par somme et différence, on aurait $P(a) = 0$ et $Q(a) = 0$ ce qui est exclu par hypothèse. Donc $a$ est racine d’un seul des deux polynômes $R_1$ , $R_2\,$ . On peut supposer (en remplaçant si nécessaire $Q$ par $-Q$ ) que $R_1(a) = 0$ et $R_2(a) \neq 0$ . Puis comme $a$ est racine d’ordre au moins égal à 2 de $R_1 \, R_2$ $(R_1 \, R_2)'(a) = 0$ soit $R_1(a) \, R'_2(a) + R'_1(a) \, R_2(a)= 0$ donc $R'_1(a) \, R_2(a)= 0$ avec $R_2(a) \neq 0$ alors $R'_1(a) = 0$ . En utilisant ${P'}^2 + {Q'}^2 = R'_1 \, R'_2$ , on a prouvé que $a$ est racine de ${P'}^2 + {Q'} ^2$ .

4. Décomposition de polynômes

Exercice 1 Soit

$P \in \mathbb{R} [\textrm{X}]$ tel que

$\textrm{deg} \, P \geq 1$ On dit que

$P$ est positif si

$\quad \quad \quad \forall \, x \in \mathbb{R} , \, P(x) > 0$ . Montrer que

$P$ est positif ssi il existe deux polynômes

$R$ et

$S$ à coefficients dans

$\mathbb{R}$ n’ayant pas de racine réelle commune tels que

$P = R^2 + S^2$ . Correction : $\bullet$ Condition suffisante Si $P = R^2 + S^2$ , où $(R , S) \in \mathbb{R} [\textrm{X}]^2$ , $R$ et $S$ n’ont pas de racine réelle commune. $\forall \, x \in \mathbb{R}, \, P(x) = R^2(x) + S^2(x) \geq 0$ car $R(x)$ et $S(x)$ sont réels. Si $P(x) = 0$ , $R(x) = S(x) = 0$ (comme somme nulle de deux réels positifs ou nuls), ce qui est exclu lorsque $x \in \mathbb{R}$ , donc pour tout réel $x,\, P(x) > 0$ . $\bullet$ Condition nécessaire Si $\forall \, x \in \mathbb{R}, P(x) > 0$ , $P$ n’a que des racines complexes non réelles, elles sont deux à deux conjuguées (car $P$ est à coefficients réels) et deux racines conjuguées ont même ordre de multiplicité. La décomposition de $P$ dans $\mathbb{C} [\textrm{X}]$ est donc de la forme $\displaystyle P = \lambda \prod _{k = 1} ^p (\textrm{X} - z_k) ^{\alpha_k} (\textrm{X} - \overline {z_k}) ^{\alpha_k}$ . où $\forall \, k \in [[1 ,\, p]] , \, z_k \notin \mathbb{R}$ . On note $n = \textrm{deg} \, (P)$ , au voisinage de $+\infty$ , $P(x) \underset {x \to + \infty} \sim \lambda \, x^n$ . Si l’on avait $\lambda < 0$ , on aurait $\displaystyle \lim_{x \to + \infty} P(x) = - \infty$ , donc pour $x$ assez grand, $P(x) < 0$ , ce qui est absurde. On en déduit que $\lambda > 0$ . On peut donc écrire $P = Q \; \overline {Q}$ , avec $Q = \displaystyle \sqrt{\lambda} \,\prod _{k = 1} ^p (\textrm{X} - z_k) ^{\alpha_k}\,$ . En introduisant la partie réelle et la partie imaginaire des coefficients de $Q$ , on peut trouver $R$ et $S$ dans $\mathbb{R}[\textrm{X}]$ tels que $Q = R + \textrm{i} \, S$ . Alors $\overline{Q} = R - \, \textrm{i} \, S$ et $\quad \quad \quad P = Q \, \overline {Q} = R^2 + S^2$ . $R$ et $S$ ne peuvent pas avoir une racine réelle commune $a$ , sinon P s’annulerait en $a \in \mathbb{R}$ . Il existe donc $R$ et $S$ à coefficients réels tels que $P = R^2 + S^2$ . Exercice 2 Soit

$n$ un entier strictement positif. On note

$P_n = \textrm{X}^{2n } - 2\, \cos(na) \, \textrm{X} ^n + 1$ où

$0 < n\, a < \pi$ Question 1 Décomposer

$P_n$ dans

$\mathbb{C}[\textrm{X}]$ puis dans

$\mathbb{R}[\textrm{X}]$ . Question 2 Si

$t \in \mathbb{R}$ ,

$\displaystyle \prod _{k = 0} ^{n - 1} \left ( \cos (t) - \cos \left (a + \frac {2 \, k \, \pi} {n} \right ) \right )$

$\displaystyle \quad \quad \quad = \frac {\cos(n \, t) -\cos(n\, a)} {2 ^{n - 1}}$ . Question 3 En déduire une expression simple de

$\displaystyle \prod _{k = 1} ^{n - 1} \sin \frac {k \, \pi} n$ . 5. Polynômes vérifiant une condition

Exercice 1 ENSEA 2015 L’ensemble des polynômes

$P$ de

$\mathbb{C} [ \textrm{X} ]$ tels que

$P(\mathbb{C})$ est inclus dans

$\mathbb{R}$ est l’ensemble des polynômes égaux à une constante réelle. Vrai ou Faux ? Correction : $\bullet$ Si $P = \lambda \in \mathbb{C}$ , $P$ est solution ssi $\lambda \in \mathbb{R}$ $\bullet$ Si $\textrm{deg} \, P \geq 1$ , soit $\textrm{i} \in \mathbb{C}$ , le polynôme $Q = P - \textrm{i}$ est un polynôme de degré supérieur ou égal à 1, il admet au moins une racine dans $\mathbb{C}$ , donc il existe $z\in \mathbb{C}$ tel que $P(z) = \textrm{i}$ , donc $P( \mathbb{C})$ n’est pas inclus dans $\mathbb{R}$ Les seules solutions sont les polynômes constants et réels. Exercice 2 Télécom Sud Paris 2014 Il y a au moins deux polynômes

$P \in \mathbb{C} [ \textrm{X} ]$ tels que

$P(0) = 0$ et

$P(\textrm{X}^2 + 1) = P(\textrm{X})^2 + 1$ . Vrai ou Faux ? Correction : $\bullet$ On note $a_0 = 0$ et si $n _in \mathbb{N}, a_{n + 1} = 1+ a_n ^2$ . On définit ainsi une suite strictement croissante car $\forall\, n \in \mathbb{N},\, a_{n + 1} - a_ n = a_n ^2 - a_n + 1 > 0$ (le discriminant de $t^2 - t - 1$ est strictement négatif). $\bullet$ On démontre que pour tout $n \in \mathbb{N}$ , $P(a_n) = a_n \,$ . La propriété est vraie pour $n = 0$ . Si elle est vraie au rang $n$ , $P(a_{n + 1}) = P(a_n^2 + 1) = P(a_n)^2 + 1$ $P(a_{n + 1}) = a_n ^2 + 1 = a_{n + 1}$ , elle est vraie pour tout $n$ . $\bullet$ Le polynôme $P - \textrm{X}$ s’annule une infinité de fois, donc $P = \textrm{X}$ . Il est évident que le polynôme $\textrm{X}$ vérifie les conditions. Le problème admet une unique solutionle polynôme $\textrm{X}$ . Exercice 3 Soit P un polynôme à coefficients réels de degré

$n$ vérifiant :

$\forall \, k \in [\![1 , \, n + 1]\!], \, P(k) = \displaystyle \frac 1 k$ . Calculer

$P(n + 2)$ puis

$P(n + j)$ lorsque

$j \geq 3$ . Exercice 4 Soit

$P \in \mathbb{R} [ \textrm{X} ]$ ,vérifiant la contdition (*)

$\textrm{X}^2 P(\textrm{X} + 1) P(\textrm{X} - 1) = (\textrm{X}^2 - 1)P$ . Question 1 Déterminer les polynômes constants vérifiant (*). Question 2. On suppose que

$P$ admet une racine

$a$ , où

$a$ n’est pas un entier naturel. Montrer que

$a - 1$ est racine de

$P$ . En déduire que toute racine

$a$ de

$P$ est élément de

$\mathbb{N}$ . Question 3 On suppose que

$b \in \mathbb{N}^*$ est une racine de

$P$ . Montrer que

$b + 1$ est racine de

$P$ . En déduire une contradiction. Question 4. Déduire des calculs précédents, l’ensemble des polynômes vérifiant (*).

6. Polynômes scindés

Exercice 1 CCP 2013 Soit

$P \in \mathbb{R}[\textrm{X}]$ tel que

$\textrm{deg} \, (P) = n \in \mathbb{N}^*$ et

$P$ unitaire. Question 1 Soit

$a \in \mathbb{R}$ . Montrer que pour tout

$z \in \mathbb{C}$ ,

$\vert z - a \vert \geq \vert \mathcal{I}m \, z \vert$ . Correction : On note $z = x + \textrm{i } \, y$ avec $x$ et $y$ réels et $y \neq 0$ . $\vert z - a\vert ^2 = (x - a)^2 + y^2 \geq y ^2$ , donc $\vert z - a \vert \geq \vert \mathcal{I}m \, z \vert$ . Question 2 Montrer que

$P$ est scindé sur

$\mathbb{R}$ ssi pour tout

$z \in \mathbb{C}, \, \vert P(z)\vert \geq \vert \mathcal{I}m z \vert ^n$ . Correction : $\bullet$ On suppose que $P$ est scindé sur $\mathbb{R}$ , il existe donc $a_ 1 \, , \, \cdots \, , \, a_n \,$ dans $\mathbb{R}$ tels que pour tout $z \in \mathbb{C}, \, P(z) = \displaystyle \prod_ {k = 1} ^n (z - a_k )$ . Alors $\vert P(z)\vert = \displaystyle \prod_ {k = 1} ^n \vert z - a_k \vert \geq \vert \mathcal{I}m \, z \vert ^n$ . $\bullet$ On suppose que $\quad \quad \forall\, z \in \mathbb{C}, \, \vert P(z)\vert \geq \vert \mathcal{I}m \, z \vert ^n$ . Soit $a$ une racine complexe de $P$ . Alors $\vert P(a) \vert = 0 \Rightarrow \vert \mathcal{I}m \, a \vert ^n = 0$ donc $a \in \mathbb{R}$ . Toutes les racines complexes de $P$ sont réelles, donc $P$ qui est scindé sur $\mathbb{C}$ est en fait scindé sur $\mathbb{R}$ . Exercice 2 ARTS2015 Soit

$P$ un polynôme de

$\mathbb{R} [ \textrm{X} ]$ scindé à racines réelles simples. On pose

$Q = \textrm{X} P(\textrm{X})$ . Montrer que

$Q'$ est scindé à racines réelles simples. Correction :

On note $n = \textrm{deg} P$ . $\bullet$ 1er cas : on suppose que $0$ n’est pas racine de $P$ , donc le polynôme $Q$ admet $n + 1$ racines distinctes que l’on range par ordre strictement croissant sous la forme $x_1 < x_2 <\cdots < x_{n + 1}$ . On applique le théorème de Rolle à $Q$ sur l’intervalle $[x_k , x_{k + 1}]$ où $k \in [[1 , \, n]]$ . On en déduit qu’il existe $y_k \in \; ]x_k ,\, x_{k + 1}[$ tel que $Q'(y_k) = 0$ . On a donc déterminé $n$ racines distinctes pour $Q'$ . Comme $\textrm{deg} \, Q = n + 1$ , $\textrm{deg} \,Q' = n$ , le polynôme $Q'$ est donc scindé à racines simples. $\bullet$ 2ème cas : on suppose que $0$ est racine de $P$ . Le polynôme Q s’annule donc en $n$ réels que l’on range sous forme strictement croissante $x_1 < x_2 <\cdots < x_{n }$ et il existe $i \in [[1 , \, n]]$ tel que $x_i = 0$ . On applique le théorème de Rolle à $Q$ sur l’intervalle $[x_k\, ,\, x_{k + 1}]$ où $k \in [[1 , \, n - 1]]$ . On en déduit qu’il existe $y_k \in \; ]x_k ,\, x_{k + 1}[$ tel que $Q'(y_k) = 0$ . Puis comme $0$ est racine double de $Q$ , $Q'(0) = 0$ et $0 \neq y_k$ pour tout $k$ . On a donc déterminé $n$ racines distinctes pour $Q'$ . Comme $\textrm{deg} \,Q' = n$ , le polynôme $Q'$ est donc scindé à racines simples.

Exercice 3 Centrale 2014 et 2018 Soient

$P, Q \in \mathbb{C} [ \textrm{X} ]$ non constants. On suppose que

$P$ et

$Q$ ont les mêmes racines

$\lambda _ 1 \, , \, \cdots \, , \, \lambda _ r$ avec pour ordres de multiplicités respectifs

$\alpha _ 1 \, , \, \cdots \, , \, \alpha _ r$ et

$\beta _ 1 \, , \, \cdots \, , \, \beta _ r$ dans

$\mathbb{N}^*$ . On suppose que les polynômes

$P - 1$ et

$Q - 1$ ont les mêmes racines

$\mu _ 1 \, , \, \cdots \, , \, \mu _ s$ avec pour ordres de multiplicités respectifs

$\gamma _ 1 \, , \, \cdots \, , \, \gamma _ s$ et

$\delta _ 1 \, , \, \cdots \, , \, \delta _ s$ dans

$\mathbb{N}^*$ . Question 1 Montrer que pour tout

$i \in [\![1 , \, r]\!]$ ,

$\alpha_ i$ est racine de

$P'$ avec pour ordre de multiplicité

$\alpha_i - 1$ . Question 2 Montrer de même que pour tout

$j \in [\![1 , \, s]\!]$ ,

$\mu_j$ est racine de

$P'$ avec pour ordre de multiplicité

$\gamma_ j - 1$ . Question 3 En déduire que

$\textrm{deg} \,P \leq r + s - 1$ . Question 4

$P = Q$ . Vrai ou Faux ?

7. Polynômes et limite de suites

Soit

$n\in \mathbb{N}^*$ un entier strictement positif. On note

$P_n = \displaystyle \frac 1 {2 \, \textrm{i} } \left ( (\textrm{X} + \textrm{i} )^{2n+1} - (\textrm{X} - \textrm{i} )^{2n+1} \right)$ . Question 1 Montrer que

$P_n$ est un polynôme à coefficients réels. Préciser son degré et son coefficient dominant. Correction : On utilise le binôme de Newton : $\displaystyle 2 \, \textrm{i} \, P_n =$ $\displaystyle \sum _{k = 0} ^{2 n + 1} \binom {2n + 1} k \textrm{i} ^{k} (1 - (- 1) ^k) \textrm{X} ^{2 n + 1 - k}$ si $k = 2p$ , $(1 - (- 1) ^k) = 0$ si $k = 2 p + 1$ , $(1 - (- 1) ^k) = 2$ et $\textrm{i}^k = \textrm{i} \, (-1) ^p$ On se limite aux indices $k = 2 p + 1$ avec $0 \leq p \leq n$ . $\displaystyle 2 \, \textrm{i} \, P_n = \sum _{p = 0} ^{ n } \binom {2n + 1} {2 p + 1} 2 \, \textrm{i} \, (- 1) ^{p} \, \textrm{X} ^{2 n - 2 p }$ et après simplification par $2 \, \textrm{i}$ $\displaystyle P_n = \sum _{p = 0} ^{ n } \binom {2n + 1} {2 p + 1} (- 1) ^{p} \textrm{X} ^{2 n - 2 p }$ C’est un polynôme à coefficients réels, de degré $2 n$ , de coefficient dominant (obtenu pour $p = 0$ ) égal à $\quad \quad \quad \displaystyle \binom {2 n + 1} {1} (- 1) ^0 = 2\, n + 1$ . Question 2 Déterminer les racines de

$P_n$ . Correction : $P_n(z) = 0 \Leftrightarrow (z + \textrm {i} )^{2n+1 } = (z - \textrm {i} )^{2n+1}$ $\textrm {i}$ n’étant pas solution de cette équation, on peut écrire en posant $Z = \displaystyle \frac {z + \textrm {i} } {z - \textrm {i} }$ $P_n(z) = 0 \Leftrightarrow Z^{2n+1} = 1$ $Z = \displaystyle \frac {z + \textrm {i} } {z - \textrm {i} }$ ssi $Z(z - \textrm {i} ) = z + \textrm {i}$ ssi $z(Z - 1) = \textrm {i} (1 + Z)$ On remarque qu’il est impossible d’avoir $Z = 1$ et qu’alors $z = \displaystyle \frac {\textrm {i} (1 + Z) } {Z - 1}$ . Il reste à simplifier cette expression lorsque $Z$ est une racine $(2 n + 1)$ -ème de $1$ différente de $1$ soit lorsque $Z = \textrm{e} ^{2 \, \textrm{i} \, k \pi / n}$ avec $k \in [\![1 , \, 2 n + 1]\! ]$ On note dans la suite $t_ k = \displaystyle \frac{\textrm{i} \, k \pi} n$ . Les racines de $P_n$ sont les complexes $z_k = \displaystyle \textrm {i} \frac {1 + \textrm{e}^{2 \, \textrm{i} \, t_k} } { \textrm{e}^{2 \, \textrm{i} \, t_k} - 1 }$ . En utilisant les résultats classiques ; $\quad 1 + \textrm{e}^{2 \, \textrm{i} \, t_k} = \displaystyle 2 \cos(t_k) \textrm{e}^{ \textrm{i} \, t_k}$ $\quad \textrm{e}^{2 \, \textrm{i} \, t_k} - 1 = \displaystyle 2 \, \textrm{i} \sin (t_k) \textrm{e}^{ \textrm{i} \, t_k}$ $z_k = \displaystyle \textrm {i} \frac {2 \cos( t_k) } { 2 \, \textrm{i} \sin( t_k) } = \textrm{cotan} (t_k)$ . $P_n$ admet $n$ racines $z_k = \displaystyle \textrm{cotan} \frac {k \, \pi} {2 n + 1}$ où $k \in [\![1 , 2 \,n ]\! ]$ . Question 3 Montrer qu’il existe un polynôme

$Q_n$ à coefficients réels tel que

$\quad \quad \quad P_n(\textrm{X}) = Q_n(\textrm{X}^2)$ . Correction : On a prouvé que $\displaystyle P_n = \sum _{p = 0} ^{ n } \binom {2n + 1} {2 p + 1} \, (- 1) ^{p} \, \textrm{X} ^{2 n - 2 p }$ en posant $\displaystyle Q_n = \sum _{p = 0} ^{ n } \binom {2n + 1} {2 p + 1} (- 1) ^{p} \, \textrm{X} ^{ n - p }$ . $Q_n$ est un polynôme à coefficients réels tels que $P_n(\textrm{X}) = Q_n( \textrm{X}^2)$ . On rappelle que $P_n$ est un polynôme de degré $2 n$ de coefficient dominant égal à $2 n + 1$ et dont les racines sont les complexes $z_k$ : donc $P_n =$ $\displaystyle (2 n + 1) \prod _{k = 1} ^{2 n } (\textrm{X} - z_k)$ $z_k = \displaystyle \textrm{cotan} \frac {k \, \pi} {2 n + 1}$ où $k \in [\![1 , 2 n ]\! ]$ $z_{2 n + 1 - k} = \displaystyle \textrm{cotan} \left ( \pi - \frac {k \, \pi} {2 n + 1} \right )$ $z_{2 n + 1 - k} = - z_{k}$ On écrit $P_n = \displaystyle (2 n + 1) \prod _{k = 1} ^{n } (\textrm{X} - z_k) \, \prod _{k = n + 1 } ^{2 n } (\textrm{X} - z_k)$ On pose $p = 2 n + 1 - k$ dans $A = \displaystyle \prod _{k = n + 1 } ^{2 n } (\textrm{X} - z_k)$ $A = \displaystyle \prod _{p = 1 } ^{n } (\textrm{X} - z_{2 n + 1 - p})$ $A = \displaystyle \prod _{p = 1 } ^{n } (\textrm{X} + z_{p})$ donc $P_n = \displaystyle (2 n + 1) \prod _{k = 1} ^{ n } (\textrm{X} - z_k) \, \prod _{p = 1 } ^{n } (\textrm{X} + z_{p})$ $P_n = \displaystyle (2 n + 1) \prod _{k = 1} ^{ n } (\textrm{X} ^2 - z_k^2 )$ Puis comme $P_n(\textrm{X}) = Q_n( \textrm{X}^2)$ , $Q_n = \displaystyle (2 n + 1) \prod _{k = 1} ^{ n } (\textrm{X} - z_k^2 )$ Les racines de $Q_n$ sont $\quad u_k = \textrm{cotan}^2 \displaystyle \frac {k \, \pi} {2 n + 1}$ pour $k \in [\![1 , \, n]\!]$ . Question 4 Calculer

$\displaystyle S_n = \sum _ {k = 1} ^{n} \textrm{cotan}^2 \frac {k \, \pi} {2 n + 1}$ Correction : C’est la somme des racines du polynômes $Q_n\,$ . Le coefficient dominant de $Q_n$ est $a_n = {2 n + 1}$ . Le coefficient $a_{n - 1}$ de $\textrm{X} ^{n - 1}$ dans $Q_n$ donc celui de $\textrm{X} ^{2 n - 2}$ dans $P_n\,$ . Les calculs de la première question donnent : $a_{n - 1} = \displaystyle \binom {2n + 1} {3} (- 1) ^{1}$ $a_{n - 1} = \displaystyle - \frac {(2 n + 1)(2 n)(2 n - 1)} 6$ $S_n$ est la somme des $n$ racines de $Q_n$ $S_n = \displaystyle - \frac {a_{n - 1}} {a_n} = \frac {n(2 n - 1)} 3$ . Question 5 On note

$I = \displaystyle \left ]0 , \frac {\pi} 2 \right [$ Montrer que

$\forall\, x \in I, \, \displaystyle \textrm{cotan} (x) \leq \frac 1 x \leq \frac 1 {\sin(x)}$ . Question 6 Soit

$\displaystyle T_n = \sum _ {k = 1} ^n \frac 1 {k ^2}$ Montrer que la suite

$(T_n)_{n \geq 1}$ converge et déterminer sa limite.

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8. Fonction $\Delta$

Question 1

$A_0 = 1$ et si

$p \in \mathbb{N}^*,$

$A_p = \displaystyle \frac 1 {p!} \textrm{X} (\textrm{X}-1) \, \cdots \, (\textrm{X} - p + 1)$

$\forall\, x \in \mathbb{Z} \, , \, A_p(x) \in \mathbb{Z}$ . Vrai ou Faux ? Correction : La propriété est évidente si $p = 0$ . On suppose que $p \in \mathbb{N}^*$ . $\bullet$ si $x \in [\![0 \, , p - 1]\!],\, A_p(x) = 0 \in \mathbb{Z}$ $\bullet$ si $x \in \mathbb{N}$ et $x \geq p$ . $A_p(x) = \displaystyle \frac 1 {p!} x (x-1) \, \cdots \, (x - p + 1)$ $A_p(x) = \displaystyle \frac 1 {p!} \, \frac {x!} {(x - p)!} = \binom {x} p \in \mathbb{Z}$ $\bullet$ si $x \in \mathbb{Z} \setminus \mathbb{N}$ . On écrit $x = - k$ avec $k \in \mathbb{N}^*$ $A_p(x) = \displaystyle \frac 1 {p!} \, (-1) ^p \, k(k+1) \, \cdots \, (k + p - 1)$ $A_p(x) = \displaystyle \frac 1 {p!} \, (-1) ^p \, \frac {(k+p - 1)!} {(k - 1)! }$ $A_p(x) = \displaystyle (-1) ^p \, \binom{k+p - 1} {p!} \in \mathbb{Z}$ La propriété a été prouvée par disjonction de cas. Question 2 Soit si

$P \in \mathbb{R} [ \textrm{X} ]$

$\quad \quad \Delta (P) = P( \textrm{X} + 1) - P( \textrm{X})$ . a) Quel est le degré de

$\Delta (\textrm{X} ^k)$ si

$k \in \mathbb{N}^*$ ? Correction : $\ast$ $\Delta (\textrm{X} ^0) = 0$ . $\ast$ Si $k \in \mathbb{N}^*$ , $\Delta (\textrm{X} ^k) = (\textrm{X} + 1) ^k - \textrm{X}^k$ $\Delta (\textrm{X} ^k) = \displaystyle \sum _{i = 0} ^k \binom {k} i \textrm{X} ^i - \textrm{X}^k$ alors $\textrm{deg} \, \Delta (\textrm{X} ^k) = k - 1$ si $k\geq 1$ . Question 2 b) Calculer

$\textrm{deg} (\Delta (P))$ . Question 3 Calculer si

$p \in \mathbb{N}$ ,

$\Delta(A_p)$ . Question 4 Soit

$P \in \mathbb{R}_n [ \textrm{X}]$ . Il y a équivalence entre 1)

$\forall \, x \in \mathbb{Z},\, P(x) \in \mathbb{Z}$ 2)

$\exists \, (a_0 \, \cdots \, \, a_n) \in \mathbb{Z}^ {n + 1}$ tel que

$\quad \quad \quad P = \displaystyle \sum_{k = 0} ^n a_k \, A_k$ . Vrai ou Faux ?

9. Divers

Exercice 1 MinesPonts 2015 Pour $P \in \mathbb{R} [ \textrm{X} ]$ de degré $n \geq 1$ écrit sous la forme $P = \displaystyle \sum _ {k = 0} ^n a_k \, \textrm{X}^k$ , montrer que $\forall \, k \in [\![0 , \, n]\!], \vert a_k \vert \leq M$ avec $M = \displaystyle \sup_{\vert z \vert = 1} \vert P(z) \vert$ .

Exercice 2 Centrale PSI 2018 Question 1 Soit $P \in \mathbb{C}[\textrm{X}]$ . Si $\forall\, x \in \mathbb{R},\, P(x) \in \mathbb{R}$ , $P \in \mathbb{R}[\textrm{X}]$ .

Question 2 Trouver $P \in \mathbb{R}[\textrm{X}]$ contenant un coefficient strictement négatif et tel que $\forall\, x \in \mathbb{R}, \, P(x) \geq 0$ .

Question 3 On dit que $R \in \mathbb{R}[\textrm{X}]$ est à valeurs positives lorsque $\quad \quad \quad \forall\, x \in \mathbb{R}, \, R(x) \geq 0$ . a) Soit $P \in \mathbb{R}_n[\textrm{X} ]$ à valeurs positives, $Q = \displaystyle \sum _{k = 0}^n P ^{(k)}$ est à valeurs positives. Vrai ou Faux ? b) La réciproque est vraie

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