Chapitres Maths en MPSI, PCSI, MP2I, PTSI
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Exercices et corrigés sur l’espace préhilbertien en Maths Sup
Résumé de cours Exercices et corrigés
Cours en ligne de Maths en Maths Sup
Pour réussir les concours d’écoles d’ingénieurs, il est primordial de travailler sérieusement dès les premiers mois de Maths Sup. Les maths ont un coefficient en MP, PC et PSI aux concours, si élevé, que la moindre impasse peut coûter cher. Le simulateur d’admissibilité aux concours CPGE peut en témoigner.
Exercice sur un produit scalaire en Maths Sup
Déterminer l’ensemble des réels tels que sur , si
et ,
définisse un produit scalaire sur .
Exercice l’inégalité de Cauchy-Schwarz et intégration
Soient et deux réels.
On note l’ensemble des fonctions de classe sur dans vérifiant et .
Déterminer et l’ensemble des fonctions réalisant ce minimum.
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Exercice sur les raisonnements dans
Soit .
Question :
Calculer la distance de à .
Exercice sur un problème de distance
On note l’espace vectoriel des applications continues sur et à valeurs réelles.
Question :
On note , et . Déterminer une base orthonormale de .
Exercice sur l’orthogonal d’un sous-espace vectoriel
Soit l’espace vectoriel des fonctions de classe sur .
Si , on définit
Question :
définit un produit scalaire sur .
Vrai ou Faux ?
Correction d’exercice sur un produit scalaire
On fixe .
Soient et ,
on démontre que :
.
Il est évident que .
Si , on cherche le signe de en faisant apparaître des identités remarquables.
On écrit que est le début d’un carré
On écrit que est le début d’un carré :
Si , avec
donc n’est pas un produit scalaire.
Si , comme somme de réels positifs ou nuls,
On suppose toujours et on garde les notations précédentes, si , comme somme de carrés de réels, on obtient le système
ce qui donne soit .
On a prouvé que l’on a défini un produit scalaire sur .
On écrit comme combinaison linéaire de carrés en utilisant les termes pour faire apparaître des débuts de carrés.
Si tous les coefficients de ces carrés sont strictement positifs, on étudie le caractère défini en résolvant un système de trois équations à trois inconnues.
Si l’un au moins des coefficients est négatif ou nul, on choisit un particulier annulant les autres carrés sans annuler le carré du coefficient strictement négatif considéré.
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Correction d’exercice sur l’inégalité de Cauchy-Schwarz et intégration
On utilise le produit scalaire usuel dans l’espace vectoriel .
L’inégalité de Cauchy Schwarz appliquée aux fonctions et donne
ce qui donne
soit .
Lorsque ,
et .
On a donc prouvé que l’ensemble introduit admet un minimum égal à .
Le cas où est le cas d’égalité de l’inégalité de Cauchy-Schwarz, donc le cas où les fonctions et sont colinéaires.
Ce sont les fonctions avec et ssi et soit pour la fonction .
Correction de l’exercice sur les raisonnements dans
Comme on connaît une base orthonormale de ,
.
.
.
Comme est une base orthonormale,
et
.
.
Correction de l’exercice sur un problème de distance
On pourrait utiliser les formules de Schmidt. Cependant, il est immédiat que et il suffit de normer les vecteurs pour obtenir une base orthonormale.
et .
est une b.o.n. de .
Correction de l’exercice sur l’orthogonal d’un sous-espace vectoriel
Vrai,
Soit , par linéarité de , de et de l’intégrale sur , est linéaire.
Par commutativité de la multiplication dans , est symétrique.
Si , .
Si , comme somme nulle de deux réels positifs ou nuls, et .
La fonction est continue, positive ou nulle et d’intégrale nulle sur , donc elle est nulle.
La fonction est constante égale à , donc .
On a prouvé que est un produit scalaire sur .
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