Chapitres Maths en MPSI, PCSI, MP2I, PTSI
Chapitres Maths en MPSI, PCSI, MP2I, PTSI
Probabilités en Maths Sup, exercices et corrigés
Résumé de cours Exercices et corrigés
Cours en ligne de Maths en Maths Sup
Les probabilités sont connues des étudiants en Maths Sup puisque c’est un chapitre qui revient régulièrement depuis les programmes du lycée. Cela n’empêche pas les étudiants de rencontrer des difficultés. En effet, d’année en année, ce chapitre se complexifie, des cours particuliers de maths peuvent alors être la solution pour garder le bon rythme.
Exercice sur des problèmes de dénombrement en Maths Sup
Soit un entier naturel non nul. On organise un tournoi de football entre équipes : de première division, de deuxième division.
Question 1 :
On note la probabilité que chaque match fasse s’opposer une équipe de première division avec une de seconde. Calculer , en donner un équivalent.
On utilisera la formule de Stirling :
.
Question 2 :
On note la probabilité qu’aucun match ne fasse s’opposer une équipe de première division avec une de seconde.
Calculer , en donner un équivalent.
Exercice sur les probabilités de tirages en Maths Sup
On effectue tirages avec remise dans une urne contenant jetons numérotés de à .
Question 1 :
Calculer la probabilité d’avoir au moins l’un des trois chiffres 1, 2 ou 3.
Question 2 :
Calculer la probabilité d’avoir au moins une fois le chiffre 1 et 2 fois le chiffre 2.
Exercice sur les probabilités conditionnelles en Maths Sup
On dispose d’un sac contenant des dés dont une proportion est formée de dés pipés.
Pour chaque dé pipé, la probabilité d’obtenir le chiffre 6 lors d’un lancer vaut .
Question 1 :
On tire un dé au hasard. On lance ce dé et on obtient le chiffre 6.
Quelle est la probabilité que ce dé soit pipé ?
Question 2 :
On tire un dé au hasard du sac. On lance ce dé fois et on obtient fois le chiffre .
Quelle est la probabilité que ce dé soit pipé ?
Comment interpréter la valeur de ?
Exercice de probabilités avec deux urnes en Maths Sup
On dispose de deux urnes et .
L’urne contient deux boules blanches et deux boules noires.
L’urne contient quatre boules blanches et trois boules noires.
On effectue des tirages successifs dans les conditions suivantes.
Pour le premier tirage, on choisit une urne au hasard et on tire une boule dans l’urne choisie. On note sa couleur et on la remet dans l’urne d’où elle provient.
Pour chaque tirage suivant, on tire dans l’urne si l’on vient d’obtenir une boule blanche et dans si l’on vient d’obtenir une boule noire. On remet la boule dans l’urne à l’issue de chaque tirage.
Pour tout , on note l’événement » la boule tirée au -ième tirage est blanche » et on pose .
Question 1 :
Si , exprimer en fonction de .
Question 2 :
Déterminer la probabilité d’avoir choisi l’urne si l’on a obtenu une boule blanche aux rangs 1 et 3.
Valeur (a/b) ?
Exercice de probabilités sur l’ajout de boules après tirage
Soit une urne contenant initialement boules blanches et boules rouges.
On note .
À la suite de chaque tirage, on remet dans l’urne la boule tirée ainsi que boules de la même couleur ().
La probabilité d’obtenir une boule blanche au deuxième tirage si l’on a obtenu blanc au premier et troisième tirage est égale à
a)
b)
c) .
Exercice sur le tirages de parties de en Maths Sup
Soient et un ensemble de cardinal .
On se donne une partie de , de cardinal où .
On tire au hasard une partie de .
On suppose que toutes les parties de ont la même probabilité d’être tirées.
Question 1 :
Calculer la probabilité de tirer la partie .
Question 2 :
Calculer la probabilité de l’événement : « la partie tirée contient « .
Question 3 :
On note l’événement « la partie tirée est incluse dans « . Les événements et sont-ils indépendants ?
COURS DE MATHS
Les meilleurs professeurs particuliers
Pour progresser et réussir
Avis Google France ★★★★★ 4,9 sur 5
Correction de l’exercice sur des problèmes de dénombrement
Question 1 :
Relation de récurrence
On calcule le nombre de tournois que l’on peut organiser avec les équipes.
On note les équipes de première division et celles de seconde division.
Pour , , les deux équipes s’affrontent.
Si l’on considère les nouvelles équipes et , on écrit l’ensemble des maths possibles sous la forme
où est l’ensemble des matchs où joue contre
et l’ensemble des matchs où ne joue pas contre .
… Se donner un élément de revient à se donner un élément de avec les premières équipes de 1 ère et de 2 ème division.
Donc .
… Se donner un élément de revient à se donner l’adversaire de parmi les premières équipes : il y a choix, et il reste équipes à répartir en matchs il y a alors répartitions de ces équipes.
Donc
.
Calcul de :
On multiplie et on divise par ,
.
Le nombre de tournois donnant un match d’une équipe de première division contre une équipe de deuxième division est le nombre de bijections de sur donc il y en a .
.
On utilise la formule de Stirling :
donc
.
Question 2 :
Pour que cet événement soit possible, il est nécessaire que , ce que l’on suppose dans la suite.
Le nombre de matchs possibles est égal à
Le nombre de matchs possibles entre équipes de première division est égal à , il est égal au nombre de matchs de deuxième division, donc
.
Avec la formule de Stirling,
.
.
Correction de l’exercice sur les probabilités de tirages en Maths Sup
Question 1 :
On note l’événement « en tirages, on a obtenu au moins une fois le chiffre «
On demande la probabilité de .
c’est l’événement : « on a tiré fois l’un des numéros de à « .
Donc .
.
Question 2 :
On note encore « avoir au moins une fois le chiffre 1 » et « avoir 2 fois le chiffre 2 « .
On écrit
ce sont des événements incompatibles,
donc
Pour déterminer , on réalise expériences de probabilité de succès égale à (obtenir un 2 en tirant entre 1 et ) et on veut avoir 2 succès sur :
.
Pour déterminer , on réalise expériences de probabilité de succès égale à (obtenir un 2 en tirant entre 2 et ) et on veut avoir 2 succès sur :
.
Donc .
COURS PARTICULIERS EN LIGNE
Nous avons sélectionné pour vous les meilleurs professeurs particuliers.
POUR ACCÉLÉRER MA PROGRESSION
Avis Google France ★★★★★ 4,9 sur 5
Correction de l’exercice sur les probabilités conditionnelles
Question 1 :
On note l’événement « le dé tiré est pipé » et « on obtient un six ».
L’énoncé donne , et .
On demande .
.
Par utilisation du système complet d’événements de probabilités non nulles et la formule des probabilités totales :
Il reste à effectuer les calculs :
et .
Question 2 :
On note cette fois-ci l’événement « on a obtenu fois le chiffre 6″.
On fera attention que l’on garde le même dé pendant les jets, on ne demande pas .
Mais on demande .
.
Par la formule des probabilités totales
Il reste à effectuer les calculs :
et .
.
Il est fortement probable d’avoir choisi un dé truqué si pour grand, on obtient fois un 6.
Correction d’exercice de probabilités avec deux urnes en Maths Sup
Question 1 :
Avec le système complet d’événements et la formule des probabilités totales,
.
.
Question 2 :
Valeur
On demande
.
On va utiliser pour renseigner le calcul sur le résultat du deuxième tirage.
On a une réunion de deux événements incompatibles :
On utilise la formule des probabilités composées pour les deux calculs suivants :
Par (1),
.
En écrivant ,
Ces deux événements incompatibles donnent la formule (2)
Dans les deux calculs qui suivent, on utilise la formule des probabilités composées,
.
.
Par (2),
.
On termine par .
Correction d’exercice de proba sur l’ajout de boules après tirage
c) .
On demande
Puis en écrivant ,
Ces deux événements étant incompatibles,
On en déduit que :
donc .
Correction d’exercice sur le tirages de parties de en Maths Sup
Question 1 :
L’univers des possibles est égal à .
La probabilité est uniforme sur .
On note l’événement : ‘ »on a tiré la partie « .
.
Question 2 :
Réaliser revient à tirer une partie telle que , cela revient à choisir une partie de et à lui joindre la partie .
.
.
.
Question 3 :
donc
.
( défini dans la question 1), donc .
donc .
et sont indépendants.
En Maths Sup, il est fondamental d’adopter un rythme de travail régulier pour pouvoir poursuivre son année de Maths Spé dans les meilleures conditions. Les maths doivent être particulièrement travaillées vu leur coefficient très élevé aux concours post-prépa. S’aider des cours en ligne et de leurs exercices corrigés sont de bons réflexes à adopter. Ainsi, les étudiants de PTSI, PCSI et MPSI pourront s’entraîner sur divers chapitres, comme :