Chapitres Maths en MPSI, PCSI, MP2I, PTSI
Chapitres Maths en MPSI, PCSI, MP2I, PTSI
Exercices corrigés sur les séries numériques de Maths Sup
Résumé de cours Exercices et corrigés
Cours en ligne de Maths en Maths Sup
S’entraîner sur des exercices constitue un moyen efficace pour vérifier son niveau de connaissances. Avoir acquis l’ensemble des notions du programme de maths en MPSI, PCSI, PTSI est plus qu’essentiel pour les étudiants s’ils souhaitent réussir en Maths Spé et par conséquent, obtenir les meilleurs résultats qu’ils soient aux concours post-prépa.
Exercice sur les études de convergence de séries en Maths Sup
Question 1 :
Nature de si
Série convergente ou divergente ?
Question 2 :
Nature de si
Série convergente ou divergente ?
Question 3 :
Nature de si
Série convergente ou divergente ?
Question 4 :
Ensemble des réels et tels que si
, soit convergente.
Question 5 :
La série de terme général est convergente ou divergente ?
Question 6 :
Soient et deux réels strictement positifs et .
Nature de .
Exercices sur les calculs de sommes de séries en Maths Sup
Exercice 1 sur les calculs de sommes de séries :
La somme est définie et égale à
avec ?
Exercice 2 sur les calculs de sommes de séries en Maths Sup :
Question 1 :
: , est continue sur ].
Vrai ou Faux ?
Question 2 :
Montrer que la série de terme général converge et exprimer sa somme à l’aide d’une intégrale.
Exercice sur la constante d’Euler et applications en Maths Sup
Il existe un réel (appelé constante d’Euler) tel que .
Exercice de suite décroissante de réels positifs & série convergente
Question 1 :
Si la suite est une suite décroissante de réels positifs ou nuls tels que la série de terme général converge, avec avec
Sous les hypothèses de la question 1, la suite converge vers 0.
Vrai ou Faux ?
Question 2 :
Il existe une série de terme général à termes positifs ou nuls et convergente telle que la suite ne converge pas vers 0.
Vrai ou Faux ?
Exercice sur la relation simple entre et en Maths Sup
On suppose que et sont deux réels strictement positifs.
On définit une suite par et pour tout , .
Question 1 :
La suite est bien définie et à valeurs strictement positives.
Vrai ou Faux ?
Question 2 :
a) Déterminer le réel tel que la série de terme général soit convergente.
?
b) En déduire un équivalent de .
Donner une CNS pour que converge.
COURS DE MATHS
Les meilleurs professeurs particuliers
Pour progresser et réussir
Avis Google France ★★★★★ 4,9 sur 5
Correction de l’exercice sur les études de convergence de séries
Question 1 :
Série divergente.
Pour donc .
Par minoration par une série de Riemann divergente, diverge.
Question 2 :
Série convergente.
Si
et est une série géométrique convergente car .
Par majoration par une série convergente, la série à termes positifs converge. Il n’est pas toujours utile d’utiliser l’astuce du .
C’est en particulier maladroit en présence d’une série proportionnelle à une série géométrique ce qui est le cas pour lorsque .
Question 3 :
Série divergente.
On étudie .
.
Par utilisation de la quantité conjuguée,
Soit , .
donc
et pour assez grand, donc .
Par minoration par une série de Riemann divergente, la série à termes positifs diverge.
Question 4 :
On écrit le développement limité de à l’ordre 2 en en utilisant les DL usuels.
Si , diverge grossièrement.
Si et , , par comparaison par équivalence à une série de Riemann de signe constant et divergente, diverge.
Si , , par comparaison par équivalence à une série de Riemann de signe constant et convergente, converge.
Question 5 :
Elle est convergente.
Par inégalité
Si
Par intégration, où .
.
Comme ,
par comparaison suite -série, converge.
Donc par domination, converge.
Question 6 :
Si , car
où ,
donc
Si , .
Par domination par une série géométrique convergente, converge et par équivalence de séries de réels positifs, converge.
Si , alors , donc par minoration par une série de Riemann divergente,
diverge et par équivalence de séries de réels positifs, diverge.
Si , car où
(croissance comparée), donc .
Par équivalence à une série géométrique positive, converge ssi .
En résumé , converge ssi
( et )
ou ( et ).
Correction des exercices sur les calculs de sommes de séries
Correction de l’exercice 1 sur les calculs de sommes de séries en Maths Sup
avec
Convergence
On utilise ,
.
Par équivalence d’une série de signe constant à une série de Riemann convergente, converge.
Calcul de la somme
avec où .
Comme
par télescopage,
Puis comme ,
.
La somme de la série est égale à .
Correction de l’exercice 2 sur les calculs de sommes de séries :
Question 1 :
Vrai
: est continue sur .
On utilise .
donc .
admet pour limite en , donc est continue en .
Question 2 :
est continue sur . On note un majorant de sur .
Si , .
La relation reste vraie en , car elle s’écrit .
Soit
avec , donc .
COURS PARTICULIERS EN LIGNE
Nous avons sélectionné pour vous les meilleurs professeurs particuliers.
POUR ACCÉLÉRER MA PROGRESSION
Avis Google France ★★★★★ 4,9 sur 5
Correction de l’exercice sur la constante d’Euler et applications
On note la limite de la suite .
Donc ,
soit
ce qui s’écrit :
.
De la relation précédente, on déduit que
donc .
Correction de suite décroissante de réels positifs & série convergente
Question 1 :
Vrai
Alors
Par encadrement par deux suites qui convergent vers 0,
Puis si , , donc par encadrement, .
Par propriété des suites extraites, .
Question 2 :
Vrai
La suite de terme général ne converge pas vers 0, car la suite extraite est une suite constante égale à 1.
On a vu que la série de terme général converge.
Correction de l’exercice sur la relation simple entre et
Question 1 :
Vrai
Si , on note
est défini et .
est vérifiée par hypothèse sur .
On suppose que est vérifiée, est défini car .
et , donc est vérifiée.
Par récurrence, on a établi que pour tout de .
Question 2 :
a)
DL de puis comparaison suite-série .
On étudie la convergence de la série de terme général .
.
Si , par équivalence à une série de Riemann de signe constant divergente, diverge.
Si , , par domination par une série de Riemann divergente, converge absolument.
En conclusion, pour , converge absolument.
Le raisonnement avec « O » évite de calculer le développement limité à l’ordre 2 et abrège les calculs.
b) Par comparaison suite-série, la suite de terme général converge vers une limite , donc par continuité de la fonction exponentielle,
donc .
On en déduit que converge ssi .
Participer à des stages intensifs de révision en Maths Sup est un moyen efficace pour progresser et faire grimper sa moyenne de maths rapidement. Cependant, entre deux périodes de stage, il ne faut pas relâcher ses efforts. Utiliser les cours en ligne pour réviser régulièrement permettra également d’améliorer son niveau et ses connaissances. Pour ce faire, les étudiants de Maths Sup peuvent s’entraîner sur différents chapitres, par exemple :