Chapitres Maths en MPSI, PCSI, MP2I, PTSI
Chapitres Maths en MPSI, PCSI, MP2I, PTSI
Cours sur l’intégration en Maths Sup MPSI, MP2I, PCSI, PTSI
Résumé de cours Exercices et corrigés
Cours en ligne de Maths en Maths Sup
Le simulateur d’admissibilité en prépa scientifique est un bon indicateur pour se rendre compte de l’importance des mathématiques dans les concours post-prépa. Les impasses en maths sont donc interdites dans le programme de Maths en MPSI, MP2I mais aussi en PCSI, ou PTSI. Progresser en maths à l’aide des cours de soutien en maths pour ne plus faire aucune impasse en maths sup.
A. Compléments sur la continuité et l’intégration en Maths Sup
1. Continuité uniforme en Maths Sup
Une fonction définie sur l’intervalle à valeurs dans est uniformément continue sur lorsque
,
.
Toute fonction uniformément continue sur l’intervalle est continue sur l’intervalle .
Théorème de Heine.
Si est continue sur le segment à valeurs dans , elle est uniformément continue.
2. Fonction continue par morceaux sur un segment
Soit est dite continue par morceaux sur s’il existe une subdivision de telle que pour tout , la restriction de à admet un prolongement par continuité défini sur .
Une telle subdivision est dite adaptée à .
Propriétés :
L’ensemble des fonctions continues par morceaux sur à valeurs dans est un – espace vectoriel stable pour le produit des applications. On le note .
Si est continue par morceaux sur , est continue par morceaux sur .
Toute fonction continue par morceaux sur est bornée sur .
Toute fonction en escalier (resp. continue) sur est continue par morceaux sur .
3. Intégrale d’une fonction continue par morceaux en Maths Sup
Soit continue par morceaux sur et une subdivision adaptée à .
Pour tout , on note le prolongement par continuité à de la restriction de à .
Le réel ne dépend pas de la subdivision adaptée choisie.
On l’appelle intégrale de sur et on le note .
Propriétés :
L’application , est linéaire.
Si sont égales sauf en un nombre fini de points,
.
Si vérifient sauf en un nombre fini de points ,
.
4. Intégrale d’une fonction continue en Maths Sup
Propriété :
Si est continue sur à valeurs dans
ssi .
Propriété :
Si est continue sur l’intervalle et si , la fonction est la primitive de sur vérifiant .
B. Fonction en Maths Sup
On se place dans le cas où est définie par , étant continue.
1.Domaine de définition en Maths Sup
On cherche le domaine de définition de . On suppose dans la suite que est continue sur .
Puis on détermine l’ensemble des tels que et soient définis et tels que le segment d’extrémités et soit inclus dans un intervalle sur lequel est continue.
On note le domaine de définition de .
2. Calcul de la dérivée en Maths Sup
Introduire une primitive de sur un intervalle à préciser et écrire ; dériver alors les fonctions composées ainsi obtenues.
3. Comment trouver la limite de , lorsque et ont même limite et où ?
Hypothèses :
et , étant un réel.
M1 : On cherche un équivalent simple noté de lorsque tend vers . On note .
On démontre que est prolongeable par continuité en .
On détermine un intervalle conte- nant sur lequel est continue et on introduit une primitive de sur .
On vérifie que lorsque tend vers et en écrivant ,
on obtient
Il reste à trouver pour trouver la limite de en .
M2 : On peut aussi chercher à encadrer et en déduire un encadrement de par deux fonctions ayant même limite.
4. Comment trouver la limite de en lorsque et tendent vers ?
Hypothèses :
où .
M1 : Lorsque la fonction est monotone, on encadre entre et (il faut faire attention à la position relative des réels ) et ), puis on intègre entre ) et (toujours en faisant attention à la position relative de et ), de façon à obtenir un encadrement de .
On saura trouver la limite de
lorsque les deux fonctions encadrant ont même limite,
ou lorsqu’on a minoré par une fonction admettant pour limite en ,
ou lorsqu’on a majoré par une fonction admettant pour limite en .
M2 : Lorsqu’il existe tel que admette une limite finie en , en écrivant ,
on obtient .
C. Comment intégrer une inégalité en Maths Sup ?
1 : Vérifier que l’inégalité est valable sur tout l’intervalle d’intégration,
si : on peut alors écrire
si : il faut écrire .
2 : Quand on intègre une inégalité stricte, elle devient large sauf si l’on peut appliquer le résultat suivant :
si et sont continues sur où ,
si
et s’il existe de tel que ,
.
Dans ce cas, il est indispensable de justifier soigneusement le résultat :
est continue, positive et différente de la fonction nulle, donc son intégrale est strictement positive.
Dans de nombreux cas, on doit intégrer une inégalité obtenue en écrivant qu’une fonction est continue en , ou en écrivant la limite d’une suite :
1er cas :
Si cette inégalité est valable sur tout l’intervalle d’intégration : il n’y a pas de difficulté (sauf celle de faire attention à la position respective de et , bornes de l’intervalle d’intégration).
2ème cas :
On peut choisir les bornes de l’intervalle d’intégration telles que l’inégalité soit valable sur tout l’intervalle.
3ème cas :
On doit utiliser la relation de Chasles, de façon à se placer sur un segment sur lequel on puisse appliquer l’inégalité.
D. Comment déterminer la limite d’une suite d’intégrales ?
Il y a deux résultats à savoir justifier.
En deuxième année, vous aurez d’autres méthodes pour trouver la limite d’une suite d’intégrales.
Si est continue par morceaux sur , la suite
où converge vers 0.
Lemme de Lebesque
Si est une fonction de classe sur , .
De même, on démontre que :
.
et .
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E. Utilisation de la formule de Taylor avec reste intégral
Le seul problème est de la retenir correctement.
Dans le doute, vérifiez qu’elle est correcte pour
Si est de classe sur l’intervalle à valeurs dans ,
.
Elle peut être utilisée pour démontrer des inégalités comme dans le cas suivant.
On rappelle l’inégalité de Taylor-Lagrange :
Si est de classe sur l’intervalle à valeurs dans , lorsque est bornée sur , en notant
,
pour tout ,
.
F. Sommes de Riemann
Si est continue par morceaux sur à valeurs dans ou ,
en notant
et
alors .
On dit que est limite des sommes de Riemann de associées aux subdivisions régulières de .
Les mathématiques sont une des matières les plus difficiles mais aussi une des matières les plus importantes en prépa scientifique. Cependant, parfois les élèves peuvent être confrontés à de grandes difficultés au cours de l’année, dans ce cas les cours particuliers en maths sont indispensables. De plus, entre deux cours particuliers, les étudiants peuvent continuer à réviser et s’entraîner de façon autonome grâce aux cours en ligne de Maths de MPSI, PCSI et PTSI :