Chapitres Maths en MPSI, PCSI, MP2I, PTSI
Chapitres Maths en MPSI, PCSI, MP2I, PTSI
Cours sur l’intégration en Maths Sup MPSI, MP2I, PCSI, PTSI
Résumé de cours Exercices et corrigés
Cours en ligne de Maths en Maths Sup
Le simulateur d’admissibilité en prépa scientifique est un bon indicateur pour se rendre compte de l’importance des mathématiques dans les concours post-prépa. Les impasses en maths sont donc interdites dans le programme de Maths en MPSI, MP2I mais aussi en PCSI, ou PTSI. Progresser en maths à l’aide des cours de soutien en maths pour ne plus faire aucune impasse en maths sup.
A. Compléments sur la continuité et l’intégration en Maths Sup
1. Continuité uniforme en Maths Sup
Une fonction
définie sur l’intervalle
à valeurs dans
est uniformément continue sur
lorsque
,
.
Toute fonction uniformément continue sur l’intervalle
est continue sur l’intervalle
.
Théorème de Heine.
Si est continue sur le segment
à valeurs dans
, elle est uniformément continue.
2. Fonction continue par morceaux sur un segment
Soit est dite continue par morceaux sur
s’il existe une subdivision
de
telle que pour tout
, la restriction de
à
admet un prolongement par continuité
défini sur
.
Une telle subdivision est dite adaptée à .
Propriétés :
L’ensemble des fonctions continues par morceaux sur
à valeurs dans
est un
– espace vectoriel stable pour le produit des applications. On le note
.
Si
est continue par morceaux sur
,
est continue par morceaux sur
.
Toute fonction continue par morceaux sur
est bornée sur
.
Toute fonction en escalier (resp. continue) sur
est continue par morceaux sur
.
3. Intégrale d’une fonction continue par morceaux en Maths Sup
Soit continue par morceaux sur
et
une subdivision adaptée à
.
Pour tout , on note
le prolongement par continuité à
de la restriction de
à
.
Le réel ne dépend pas de la subdivision adaptée choisie.
On l’appelle intégrale de sur
et on le note
.
Propriétés :
L’application
,
est linéaire.
Si
sont égales sauf en un nombre fini de points,
.
Si
vérifient sauf en un nombre fini de points
,
.
4. Intégrale d’une fonction continue en Maths Sup
Propriété :
Si est continue sur
à valeurs dans
ssi
.
Propriété :
Si est continue sur l’intervalle
et si
, la fonction
est la primitive
de
sur
vérifiant
.
B. Fonction
en Maths Sup
On se place dans le cas où est définie par
,
étant continue.
1.Domaine de définition en Maths Sup
On cherche le domaine de définition
de
. On suppose dans la suite que
est continue sur
.
Puis on détermine l’ensemble des
tels que
et
soient définis et tels que le segment d’extrémités
et
soit inclus dans un intervalle
sur lequel
est continue.
On note le domaine de définition de
.
2. Calcul de la dérivée en Maths Sup
Introduire une primitive de
sur un intervalle
à préciser et écrire
; dériver alors les fonctions composées ainsi obtenues.
3. Comment trouver la limite de
, lorsque
et
ont même limite
et où
?
Hypothèses :
et
,
étant un réel.
M1 : On cherche un équivalent simple noté
de
lorsque
tend vers
. On note
.
On démontre que
est prolongeable par continuité en
.
On détermine un intervalle
conte- nant
sur lequel
est continue et on introduit une primitive
de
sur
.
On vérifie que
lorsque
tend vers
et en écrivant
,
on obtient
Il reste à trouver
pour trouver la limite de
en
.
M2 : On peut aussi chercher à encadrer
et en déduire un encadrement de
par deux fonctions ayant même limite.
4. Comment trouver la limite de
en
lorsque
et
tendent vers
?
Hypothèses :
où
.
M1 : Lorsque la fonction
est monotone, on encadre
entre
et
(il faut faire attention à la position relative des réels
) et
), puis on intègre entre
) et
(toujours en faisant attention à la position relative de
et
), de façon à obtenir un encadrement de
.
On saura trouver la limite de
lorsque les deux fonctions encadrant
ont même limite,
ou lorsqu’on a minoré
par une fonction admettant
pour limite en
,
ou lorsqu’on a majoré
par une fonction admettant
pour limite en
.
M2 : Lorsqu’il existe
tel que
admette une limite finie
en
, en écrivant
,
on obtient .
C. Comment intégrer une inégalité en Maths Sup ?
1 : Vérifier que l’inégalité
est valable sur tout l’intervalle d’intégration,
si
: on peut alors écrire
si
: il faut écrire
.
2 : Quand on intègre une inégalité stricte, elle devient large sauf si l’on peut appliquer le résultat suivant :
si et
sont continues sur
où
,
si
et s’il existe de
tel que
,
.
Dans ce cas, il est indispensable de justifier soigneusement le résultat :
est continue, positive et différente de la fonction nulle, donc son intégrale est strictement positive.
Dans de nombreux cas, on doit intégrer une inégalité obtenue en écrivant qu’une fonction est continue en , ou en écrivant la limite d’une suite :
1er cas :
Si cette inégalité est valable sur tout l’intervalle d’intégration : il n’y a pas de difficulté (sauf celle de faire attention à la position respective de et
, bornes de l’intervalle d’intégration).
2ème cas :
On peut choisir les bornes de l’intervalle d’intégration telles que l’inégalité soit valable sur tout l’intervalle.
3ème cas :
On doit utiliser la relation de Chasles, de façon à se placer sur un segment sur lequel on puisse appliquer l’inégalité.
D. Comment déterminer la limite d’une suite d’intégrales ?
Il y a deux résultats à savoir justifier.
En deuxième année, vous aurez d’autres méthodes pour trouver la limite d’une suite d’intégrales.
Si
est continue par morceaux sur
, la suite
où converge vers 0.
Lemme de Lebesque
Si est une fonction de classe
sur
,
.
De même, on démontre que :
.
et .
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E. Utilisation de la formule de Taylor avec reste intégral
Le seul problème est de la retenir correctement.
Dans le doute, vérifiez qu’elle est correcte pour
Si est de classe
sur l’intervalle
à valeurs dans
,
.
Elle peut être utilisée pour démontrer des inégalités comme dans le cas suivant.
On rappelle l’inégalité de Taylor-Lagrange :
Si est de classe
sur l’intervalle
à valeurs dans
, lorsque
est bornée sur
, en notant
,
pour tout ,
.
F. Sommes de Riemann
Si est continue par morceaux sur
à valeurs dans
ou
,
en notant
et
alors
.
On dit que est limite des sommes de Riemann de
associées aux subdivisions régulières de
.
Les mathématiques sont une des matières les plus difficiles mais aussi une des matières les plus importantes en prépa scientifique. Cependant, parfois les élèves peuvent être confrontés à de grandes difficultés au cours de l’année, dans ce cas les cours particuliers en maths sont indispensables. De plus, entre deux cours particuliers, les étudiants peuvent continuer à réviser et s’entraîner de façon autonome grâce aux cours en ligne de Maths de MPSI, PCSI et PTSI :