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Cours : Polynômes en Maths Sup MPSI, PTSI, MP2I, PCSI

Résumé de cours Exercices et corrigés

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Résumé de cours et méthodes – Polynômes en Maths Sup

Plan :

1. Un problème de notation et de vocabulaire
2. Opérations sur les polynômes et degrés
3. Polynôme dérivé
4. Racines multiples
5. Comment démontrer qu’un polynôme divise un autre polynôme ?
6. Comment trouver le reste de la division de $A$ par $B$ ?
7. Nombre de racines d’un polynôme.
8. Comment factoriser un polynôme en produit de facteurs irréductibles ?
9. Polynômes scindés
10. Utiliser la notion d’espace vectoriel

On suppose dans tout ce chapitre sauf indication contraire que $\mathbb{K}= \mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ .

1. Un problème de notation et de vocabulaire

1. Un polynôme $P \in \mathbb{K} [\textrm{X}]$ peut être noté $P =\displaystyle \sum_{n = 0} ^{+\infty} a_n \,\textrm{X}^n$ , en convenant que $a_n = 0$ si $n > \textrm{deg } P$ , mais lorsqu’il est de degré $p$ , il peut aussi être noté $\quad \quad P = \displaystyle \sum_{n = 0} ^{p} a_n \,\textrm{X}^n$ avec $a_p \neq 0$ .
L’égalité $P =\displaystyle \sum_{n = 0} ^{p} a_n \,\textrm{X}^n = 0$ signifie que $\forall \, i \in [\![0 , \, p]\!], \, a_i = 0$ .
$\textrm{X}$ est l‘indéterminée du polynôme $P$ , ce n’est ni un réel ni un complexe.
On ne peut donc égaler $\textrm{X}$ à un réel ou un complexe (puisqu’un polynôme de degré $1$ n’est pas égal à une constante qui est un polynôme de degré inférieur ou égal à 0).

⚠️ Si l’on veut trouver les racines de $P$ dans le corps $\mathbb{K}$ , il ne faut pas écrire $P = 0$ , mais il faut prendre $x\in \mathbb{K}$ et résoudre l’équation algébrique $\quad \quad \quad \quad \quad \quad P(x) = 0$ .

2. Le polynôme $P = \displaystyle \sum_{n = 0} ^{+\infty} a_n \,\textrm{X}^n$ peut aussi être noté $P = P(\textrm{X})$ .
La fonction polynôme associée au polynôme $P$ est la fonction notée $\widetilde{P}$ , ou encore $P$ , définie par $\quad \forall\, x \in \mathbb{K}, \, P(x) = \displaystyle \sum_{n = 0} ^{+\infty} a_n \,x^n$ .
Il y a une bijection entre $\mathbb{K} [\textrm{X}]$ et l’ensemble des fonctions polynômes définies sur $\mathbb{K}$ ce qui permet si nécessaire d’identifier le polynôme $P$ et sa fonction polynôme.

2. Opérations sur les polynômes et degrés

Dans ce paragraphe, $\mathbb{K}$ peut aussi être égal à $\mathbb{Z}$ ou $\mathbb{Q}$ .

Rappel
$\textrm{deg}( 0 ) = - \infty$ et sinon $\textrm{deg} (P) \in \mathbb{N}$ .
Si $P\neq 0$ , $\textrm{deg }P = n$ ssi $n$ est le plus grand entier $k$ tel que $a_k\neq 0$ .
On convient que $\quad \quad ( - \infty) + ( - \infty) = - \infty$
et si $n \in \mathbb{N} , \, - \infty + n = - \infty$
$\quad \quad \quad \quad \quad \max(n , - \infty) = n$ .

On note
$\quad P = \displaystyle \sum _{k = 0} ^{+\infty} a_k \, \textrm{X}^k$ et $Q = \displaystyle \sum _{k = 0} ^{+\infty} b_k \, \textrm{X}^k$ .

$\bullet$ M1. Somme
$\textrm{deg} (P + Q) \leq \max (\textrm{deg} (P) \, , \, \textrm{deg} (Q))$
$\ast$ si $\textrm{deg} (P) \neq \textrm{deg} (Q)$ ,
$\textrm{deg} (P + Q) = \max (\textrm{deg} (P) \, , \, \textrm{deg} (Q) )$
$\ast$ si $\textrm{deg} (P ) = \textrm{deg} (Q) = n$ et $P + Q \neq 0$
… si $a_n + b_n \neq 0$ , $\textrm{deg} (P + Q)= n$
… sinon, trouver le plus grand entier $p < n$ tel que $a_p + b_p \neq 0$ .

$\bullet$ M2. Produit
$\textrm{deg} (P \,Q) = \textrm{deg} (P) \, +\, \textrm{deg} (Q)$
On rappelle que
$\ast$ si $P = \displaystyle \sum _{k = 0}^{+\infty} a_k\, \textrm{X} ^k$ et $Q = \displaystyle \sum _{k = 0}^{+\infty} b_k\, \textrm{X} ^k$ ,
$\quad \quad \quad \quad P \, Q = \displaystyle \sum _{k = 0} ^{+\infty} c_k \, \textrm{X}^k$
où $\forall\, k \in \mathbb{N}, \, c_k = \displaystyle \sum _{i + j = k} a_i \, b_j$ .
$\ast$ dans le cas où l’on écrit
$\quad P = \displaystyle \sum _{k = 0} ^{p} a_k \, \textrm{X}^k$ et $Q = \displaystyle \sum _{k = 0} ^{q} b_k \, \textrm{X}^k$
$P \, Q = \displaystyle \sum _{k = 0} ^{p + q} c_k \, \textrm{X}^k$ où si $k\in [\![0, p + q]\!]$ ,
$c_k = \displaystyle \sum _{i + j = k,\, 0\leq i \leq p, \, 0\leq j \leq q } a_i \, b_j\,$ .

$\bullet$ M3. Dérivées
$\ast$ Si $\textrm{deg} (P)\geq 1$ , $\quad \quad \textrm{deg} (P') = \textrm{deg} (P) - 1$
$\ast$ Si $\textrm{deg} (P)\geq n$ et $k \leq n$ , $\quad \quad \textrm{deg} (P^{(k)}) = \textrm{deg} (P) - k$ .

$\bullet$ M4. Si $k \in \mathbb{N}^*$ et $P \neq 0$ , $\quad \quad \textrm{deg} (P(\textrm{X}^k)) = k \; \textrm{deg} (P)$ .

$\bullet$ M5. Si $P \neq 0$ et $Q \neq 0$ ,
$\quad \textrm{deg} (P(Q (\textrm{X}))) = \textrm{deg} (P)\, \textrm{deg} (Q)$ .
On rappelle que $\quad \quad P(Q (\textrm{X})) = \displaystyle \sum _{k = 0} ^{+\infty} a_k \, Q^k (\textrm{X})$ .

⚠️ Si $a \in \mathbb{K}$ , on fera attention à ne pas confondre $P(\textrm{X} + a) = \displaystyle \sum _{k = 0} ^{\infty} a_k (\textrm{X} + a)^k$ et le produit des polynômes $\textrm{X} + a$ et $P$ .

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3. Polynôme dérivé

3.1. Polynôme dérivé
$\bullet$ Définition Si $P = \displaystyle \sum _{k = 0} ^{+\infty} a_k \, \textrm{X}^k$ , $P' = \displaystyle \sum _{k = 1} ^{+\infty} k \, a_k \, \textrm{X}^{k - 1}$ $\displaystyle P' =\sum _{p = 0} ^{+\infty} (p+1) \, a_{p + 1} \, \textrm{X}^{p}$

$\bullet$ Opérations Si $(P ,\, Q) \in \mathbb{K} [\textrm{X}]$ et $\alpha , \, \beta \in \mathbb{K}$ ,
$\ast$ $(\alpha P + \beta \, Q)' = \alpha P' + \beta \, Q'$
$\ast$ $(P \, Q)' = P' \, Q + P \, Q'$ .

3.2. Dérivations successives
$\bullet$ Si $P\in \mathbb{K} [\textrm{X}]$ , on définit par récurrence :
$P ^{(0)} = P$ et si $n \in \mathbb{N}, P ^{(n + 1)} = \left ( P ^{n } \right ) '$

$\bullet$ Si $P = \displaystyle \sum _{k = 0} ^{n} a_k \, \textrm{X}^k$ , $P^{(n)} = n! \, a_n\,$ .
Si $k > \textrm{deg } (P),\, P ^{(k)} = 0$ .

$\bullet$ Si $n\in \mathbb{N}$ , $a \in \mathbb{K}$ et $P = (\textrm{X} - a) ^n$
lorsque $0 \leq k \leq n$ $\quad \quad \displaystyle P ^{(k)} = \frac {n!} {(n - k)! } (\textrm{X} - a) ^{n - k}$
et si $k > n,\, P^{(k)} = 0$ .

$\bullet$ Formule de Leibniz
Si $(P,\, Q) \in \mathbb{K} [\textrm{X}]^2$ et $n \in \mathbb{N}$ ,
$\quad (P \, Q) ^{(n)} = \displaystyle \sum _ {k = 0} ^n \binom {n} k \, P ^{(k)} \, Q^{(n - k)}$ .

3.3. Formule de Taylor
Si $P \in \mathbb{K}[\textrm{X}]$ est non nul et $a \in \mathbb{K}$ ,
si $\, n = \textrm{deg}(P)$ , $\quad \quad \quad \displaystyle P = \sum _ {k = 0} ^n \frac {P^{(k)}(a)} {k \!} \, (\textrm{X} - a) ^k$ .

$\bullet$ M1. Si $P = \displaystyle \sum _{k = 0} ^{p} a_k \, \textrm{X}^k$ , $\quad \forall\, k \in [\![0,\, n]\!]\, , \displaystyle a_k = \frac {P^{(k)}(0)} {k \!}$ .

4. Racines multiples

$\bullet$ Si $P \in \mathbb{K}[\textrm{X}]$ , $a \in \mathbb{K}$ et $k \in \mathbb{N}^*$ , il y a équivalence entre
$\ast$ $a$ est racine d’ordre $k$ de $P$
$\ast$ $(\textrm{X} - a) ^k$ divise $P$ et $(\textrm{X} - a) ^{k + 1}$ ne divise pas $P$ .
$\ast$ Il existe $Q \in \mathbb{K}[\textrm{X}]$ tel que $\quad \quad P = (\textrm{X} - a) ^k \, Q$ avec $Q(a) \neq 0$
$\ast$ $P(a) = P'(a) = \cdots \, P^{(k - 1)} (a) = 0$ et $P^{(k )} (a) \neq 0$ .

$\bullet$ Si $a$ est racine d’ordre $k\geq 2$ de $P$ , $a$ est racine d’ordre $k - 1$ de $P'$ .

$\bullet$ Si $a \in \mathbb{C}$ est racine d’ordre $k$ de $P \in \mathbb{C}[\textrm{X}]$ , $\overline {a}$ est racine d’ordre $k$ de $\overline{P}$

$\bullet$ Si $a \in \mathbb{C} \setminus \mathbb{R}$ est racine d’ordre $k$ de $P \in \mathbb{R}[\textrm{X}]$ , $\overline {a}$ est racine d’ordre $k$ de $P$ .

$\bullet$ Si $a$ est racine de $P \in \mathbb{K}[\textrm{X}]\setminus \{0\}$ , $a$ admet un ordre de multiplicité inférieur ou égal au degré de $P$ .

5. Comment démontrer qu’un polynôme divise un autre polynôme ?

🧡 Théorème de division euclidienne
Si $(A , B) \in \mathbb{K} [\textrm{X}] ^2$ avec $B \neq 0$ , il existe un unique couple $(Q , R) \in \mathbb{K} [\textrm{X}] ^2$ tel que $A = B \, Q + R$
$\quad \quad$ où $\textrm{deg } (R) < \textrm{deg } (Q)$ .
$R$ est le reste de la division euclidienne de $A$ par $B$ .
$Q$ est le quotient de la division euclidienne de $A$ par $B$ .

Si $(A , B) \in \mathbb{K} [\textrm{X}]^2$ , $B$ divise $A$ s’il existe $Q\in \mathbb{K} [\textrm{X}]$ tel que $A = B \, Q$ .

$\bullet$ M1. Le polynôme $A$ est divisible par $X - a$ ssi $A(a) = 0$ .

$\bullet$ M2. Si $(a_i)_{1 \leq i \leq n}$ sont $n \geq 1$ éléments de $\mathbb{K}$ deux à deux distincts,
le polynôme $A$ est divisible par $\; \; B = (\textrm{X} - a_1)\, (\textrm{X} - a_2)\cdots \, (\textrm{X} - a_n)$ ssi $\forall \, i \in [\![1 , \, n]\!], A(a_i) = 0$ .

$\bullet$ M3. Soient $k \in \mathbb{N}^*$ et $a \in \mathbb{K}$ .
Le polynôme $A$ est divisible par $B = (\textrm{X} - a)^k$ ssi $\; \; A(a) = A'(a) = \cdots = A^{(k-1)}(a) = 0$ .

$\bullet$ M4. Si $p \leq n$ où $n = \textrm{deg}(P)$ , on note $B = (\textrm{X} - a) ^p$ .
En conséquence de la formule de Taylor,
$\ast$ $\displaystyle \sum _ {k = 0} ^{p - 1} \frac {P^{(k)}(a)} {k \!} \, (\textrm{X} - a) ^k$ est le reste de la division de $P$ par $B$
$\ast$ $\displaystyle \sum _ {k = p} ^{n} \frac {P^{(k)}(a)} {k \!} \, (\textrm{X} - a) ^{k - p}$ est le quotient de la division de $P$ par $B$ .

$\bullet$ M5. Si $(a_i)_{1 \leq i \leq n}$ sont $n \geq 1$ éléments de $\mathbb{K}$ deux à deux distincts, tels que $\forall \, i \in [\![1 , \, n]\!]$ , $(\textrm{X} - a_i)^{k_i}$ divise $A \in \mathbb{K} [\textrm{X}]$ , le produit $\displaystyle \prod_{i = 1} ^n (\textrm{X} - a_i)^{k_i}$
divise $A$ dans $\mathbb{K} [\textrm{X}]$ .

$\bullet$ M6. Le polynôme $A \in \mathbb{R} [\textrm{X}]$ est divisible par $B = \textrm{X} ^2 + p \, \textrm{X} + q$ où $p^2 - 4 \, q < 0$ ssi $A(z) = 0$ où $z$ est l’une des deux racines complexes de $B$ .

$\bullet$ M7. Soient $A \in \mathbb{R} [\textrm{X}]$ et $z \in \mathbb{C} \setminus \mathbb{R}$ .
Si $(\textrm{X} - z)^k$ divise $A$ , le polynôme $(\textrm{X} - z)^k \, (\textrm{X} - \overline{z} )^k$ divise $A$ .

exemple :
CNS pour que $B = \textrm{X}^2 + \textrm{X} + 1$ divise $A = \textrm{X} ^n + \textrm{X} + 1$ lorsque $n \in \mathbb{N}, n \geq 2$

Correction : $B = \textrm{X}^2 + \textrm{X} + 1$ a pour racines $\textrm{j}$ et $\textrm{j} ^2$ .
$B$ divise $A = \textrm{X} ^n + \textrm{X} + 1$ ssi $A(\textrm{j} ) = 0$
or $A(\textrm{j} ) = \textrm{j}^n + \textrm{j} + 1 = \textrm{j}^n - \textrm{j} ^2$
$A(\textrm{j} ) = 0 \Leftrightarrow \textrm{j}^n = \textrm{j} ^2$ $\quad \quad \quad \; \; \Leftrightarrow \exists \, k \in \mathbb{N}\,, \, n = 3\, k + 2$ .

6. Comment trouver le reste de la division de $A$ par $B$ ?

$\bullet$ M1. Le reste de la division de $A$ par $X - a$ est égal à $A(a)$ .

$\bullet$ M2. Si $(a_i)_{1 \leq i \leq n}$ sont $n \geq 1$ éléments de $\mathbb{K}$ deux à deux distincts, on détermi- ne le reste de la division de $A$ par $B = \displaystyle \prod _{i = 1} ^n (\textrm{X} - a_i)$ en écrivant que le reste $R$ est de degré strictement inférieur à $n$ donc de la forme $R = \displaystyle \sum _ {k = 0} ^{n - 1} r_k \, \textrm{X} ^k$ , que $A = B\, Q + R$ et en introduisant les $n$ équations : $\forall \, i \in [\![1 , \, n]\!]$ , $A(a_i) = B(a_i ) \, Q(a_i ) + R(a_i) = R(a_i)$ on obtient un système linéaire de $n$ équations à $n$ inconnues permettant de déterminer les $r_i\,$ .

exemple 1 : Reste de la division de $A = \textrm{X} ^n + 1$ par $B = \textrm{X} (\textrm{X} - 1)$ .
exemple 2 : Reste de la division de $A = \textrm{X} ^n + 1$ par $B = X^2 + 1$ .

Correction :

exemple 1
$A = \textrm{X} ^n + 1$ et $B = \textrm{X} (\textrm{X} - 1)$ .

Il existe $(Q , R) \in \mathbb{R} [\textrm{X}]^2$ tel que $A = B \, Q + R$ avec $\textrm{deg } R < \textrm{deg } B$ , donc $R = a \, \textrm{X} + b$ où $a$ et $b$ sont deux réels.
Comme $A(0) = R(0)$ et $A(1) = R(1)$ , on obtient $1 = b$ et $2 = a + b$ donc $b = 1$ et $a = 1$ . Le reste est égal à $\textrm{X} + 1$ .

exemple 2
$A = \textrm{X} ^n + 1$ et $B = X^2 + 1$ .
Il existe $(Q , R) \in \mathbb{R} [\textrm{X}]^2$ tel que $A = B\, Q + R$ avec $\textrm{deg } R < \textrm{deg } B$ , donc $R = a \, \textrm{X} + b$ où $a$ et $b$ sont deux réels.
Comme $A(\textrm{i}) = R(\textrm{i}) , \, \textrm{i}^n + 1 = a \, \textrm{i} + b$ .
$\ast$ Si $n = 2\, p$ , $(-1)^p + 1 = a\, \textrm{i} + b$ avec $a$ et $b$ réels, donc $a = 0$ et $b = (-1)^p + 1$ , le reste est égal à $R = 1 + (- 1)^p$ .
$\ast$ Si $n = 2\, p + 1$ , $\textrm{i}\, (- 1)^p + 1 = a \, \textrm{i} + b$ avec $a$ et $b$ réels, donc $a = (-1)^p$ et $b = 1$ , le reste est $R. = (-1)^p \, \textrm{X} + 1$ .

On remarque que $B$ divise $A$ ssi il existe $q \in \mathbb{N}$ tel que $n = 4\, q + 2$ .

$\bullet$ M3. Pour déterminer le reste $R$ de la division de $A$ par $(X - a)^ k$ , on écrit que $A - R$ est divisible par $(\textrm{X} - a)^k$ , c’est-à-dire que
$\; \forall \, i \in [\![0 , \, k - 1]\!], \; A^{(i) } (a) = R^{(i)}(a)$ ,
Donc $R = \displaystyle \sum _ {i = 0} ^{k - 1} \frac {A^{[i)} (a)} {i !} (\textrm{X} - a) ^{i}$ en utilisant la formule de Taylor.

exemple 3
Reste de la division de $A = \textrm{X} ^n + 1$ où $n \geq 3$ par $(\textrm{X} - 1)^3$ .

Correction : Le reste $R$ de la division par $(\textrm{X} - 1)^3$ est un polynôme de degré inférieur ou égal à $2$ qui vérifie : $A - R$ est divisible par $(\textrm{X} - 1)^3$
donc $(A - R) (1) = (A - R)'(1) = 0$ et $(A - R)''(1) = 0$
soit $R(1) = A(1) = 2 ,\, R'(1) = A'(1) = n$ et $R''(1) = A''(1) = n (n - 1)$ .
Par la formule de Taylor, $R = R(1) + R'(1) (\textrm{X} - 1)$ $\displaystyle \quad \quad \quad \quad \quad \quad +\, \frac 1 2 R''(1) (\textrm{X} - 1) ^2$
$R = 2 + n(\textrm{X} - 1) + \displaystyle \frac 1 2 n(n - 1) (\textrm{X} - 1)^2$ .

7. Nombre de racines d’un polynôme

7.1. Théorème de D’Alembert-Gauss.
Si $A \in \mathbb{C} [\textrm{X}]$ est de degré au moins égal à 1, $A$ admet au moins une racine réelle.

Le nombre de racines distinctes d’un polynôme de degré $n \geq 1$ est majoré par $n$ .

7.2. Comment utiliser qu’un polynôme de degré $n$ admet au plus $n$ racines distinctes ?
$\bullet$ M1. Pour démontrer que le polynôme $P$ est nul, il suffit de prouver que $P$ a une infinité de zéros.
M1bis. Pour prouver que $P$ est nul, on peut raisonner par l’absurde et supposer que $P$ est de degré $n$ . Si l’on peut trouver $n+1$ racines distinctes de $P$ , $P$ est nul.
M1ter. Pour démontrer que les polynômes $P$ et $Q$ sont égaux, il suffit de trouver $n$ racines distinctes de $P - Q$ lorsque $\textrm{deg }(P - Q) < n$ .

$\bullet$ M2. Un polynôme à coefficients réels de degré impair a au moins une racine réelle.
Le nombre de racines non réelles d’un polynôme à coefficients dans $\mathbb{R}$ est pair.

$\bullet$ M3. Les seuls polynômes périodi- ques sont les polynômes constants, ou ce qui est équivalent :
si $P \in \mathbb{K} [\textrm{X}]$ vérifie : il existe $a \in \mathbb{K}^*$ tel que $\forall \, x \in \mathbb{K}, \, P(x + a) = P(x)$ ,
$P$ est constant.

7.3. Application aux polynômes d’interpolation de Lagrange
(en exercice en PCSI).
Soient $(a_0\, , \,a_1\, ,\, \cdots \, , \,a_n)$ $n + 1$ éléments de $\mathbb{K}$ , deux à deux distincts.
Résultat 1
Pour tout $i$ de $[\![0 , n]\!],$ il existe un unique polynôme $L_i \in \mathbb{K}_n[{\textrm X}]$ tel que
$\forall j \in [\![0 , n]\!]$ , $L_i(a_j)= \delta_{i , j}\,$ .
Les polynômes $(L_i)_{ 0 \leqslant i \leqslant n}$ sont appelés polynômes d’interpolation de Lagrange sur les points $(a_0\, , \, a_1\, ,\, .\cdots \, , \, a_n).$
Résultat 2
Pour tout $i$ de $[\![0 , n]\!]$ ,
$L_i = \displaystyle\prod_{0\leqslant j\leqslant n,\,j\neq i}\left(\frac{ {\textrm X} - a_j}{a_i-a_j}\right)$ .
Résultat 3
$\forall\; (b_0 \, ,\, b_1 \, ,\; \cdots \; ,\, b_n) \in \mathbb{K}^{n + 1}$ , $\exists\, ! \, P\in \mathbb{K}_n[{\textrm X}]$ tel que $\forall \, i \in [\![0 , n]\!]$ , $P(a_i)= b_i\,$ , de plus $P =\displaystyle\sum_{i=0}^{n}b_i\, L_i \,$ .

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8. Comment factoriser un polynôme en produit de facteurs irréductibles ?

Rappel :
$\ast$ Les polynômes irréductibles de $\mathbb{C} [\textrm{X}]$ sont les polynômes de degré 1.
$\ast$ Les polynômes irréductibles de $\mathbb{R} [\textrm{X}]$ sont les polynômes de degré 1 et les polynômes $\lambda (\textrm{X}^2 + p \, \textrm{X} + q)$ où $\lambda$ , $p$ et $q$ sont des réels tels que $p ^2 - 4\, q < 0$ et $\lambda \neq 0$ .
$\ast$ Tout polynôme de $\mathbb{K} [\textrm{X}]$ de degré au moins égal à 1 s’écrit d’une unique façon (à l’ordre près des facteurs) comme produit de polynômes irréduc- tibles dans $\mathbb{K} [\textrm{X}]$ .
C’est-à-dire
$\ast$ Si $P \in \mathbb{C}[\textrm{X}]$ n’est pas constant de coefficient dominant $\lambda$ , il existe $n \in \mathbb{N}^*$ , des complexes $(a_k)_{1\leq k \leq n}$ deux à deux distincts et des entiers $(\alpha_k)_{1 \leq k \leq n}$ strictement positifs tels que
$\quad \quad \quad P = \displaystyle \lambda \prod _ {k = 1} ^n (\textrm{X} - a_k) ^{\alpha_ k}$ .
$\ast$ Si $P \in \mathbb{R}[\textrm{X}]$ n’est pas constant de coefficient dominant $\lambda$ , il existe
… $n \in \mathbb{N}$ , des complexes $(a_k)_{1\leq k \leq n}$ deux à deux distincts et des entiers $(\alpha_k)_{1 \leq k \leq n}$ strictement positifs,
… $r \in \mathbb{N}$ et une famille de couples deux à deux distincts $(p_k \, , \, q_k) \in \mathbb{R}^2$ tels que $p_k^2 - 4 \, q _k < 0$ et une famille d’entiers strictement positifs $(\beta_k)_{1 \leq k \leq r}$
tels que $P$ s’écrive :
$\displaystyle\lambda \prod _ {k = 1} ^n (\textrm{X} - a_k) ^{\alpha_ k} \prod _{k = 1} ^r (\textrm{X} ^2 + p_k \, \textrm{X} + q_k) ^{\beta _ k}$ .

Il y a unicité à l’ordre près des facteurs de cette décomposition.

⚠️ dans la factorisation, ne pas oublier de multiplier par le coefficient domi- nant.

$\bullet$ M1. Pour factoriser un polynôme bicarré, on l’écrit sous la forme $\quad \quad A^2 - B^2 = (A - B) (A + B )$ .

exemple 1 : Factoriser dans $\mathbb{R}[\textrm{X} ]$ $\textrm{X} ^4 + 1$ et $\textrm{X}^4 + \textrm{X} ^2 + 1$ .

$\bullet$ M2. Pour factoriser un polynôme $P \in \mathbb{R} [\textrm{X}]$ dans $\mathbb{R} [\textrm{X}]$ (lorsque la décomposition n’est pas évidente), on cherche les racines de $P$ .
On les classe en
$\quad \ast$ racines réelles
$\quad \ast$ racines complexes non réelles que l’on regroupe deux par deux en racines conjuguées .
Ne pas oublier devant la factorisation le coefficient dominant du polynôme .

$\bullet$ M3. Pour factoriser dans $\mathbb{R} [\textrm{X}]$ un polynôme de la forme $\textrm{X}^n - 1$ ou $\textrm{X}^n + 1$ (ou tout polynôme faisant intervenir les racines $n$ -ièmes d’un complexe) :
ces racines $n$ -ièmes dépendent d’un entier $k$ qui doit prendre $n$ valeurs consécutives entières.
👍 Choisir si possible ces valeurs consécutives de façon à pouvoir regrouper facilement les racines conjuguées.

exemple 3 : Factoriser $\textrm{X}^{2n} - 1$ et $\textrm{X}^{2 n + 1} - 1$ dans $\mathbb{R}[\textrm{X}]$ .

9. Polynômes scindés

D : Un polynôme $P\in \mathbb{K}[\textrm{X}]$ de degré $n \geq 1$ est scindé sur $\mathbb{K}$ lorsqu’on peut l’écrire sous l’une des deux formes suivantes :
$\quad \ast$ $P = \displaystyle a_n \prod_{k = 1} ^n (\textrm{X} - x_k)$
où $(x_k)_{1 \leq k \leq n}$ est une famille de $n$ éléments de $\mathbb{K}$ et $a_n$ son coefficient dominant.

$\quad \ast$ Il existe $p \in \mathbb{N} ^*$ une famille $(x_k)_{1 \leq k \leq p}$ d’éléments 2 à 2 distincts de $\mathbb{K}$ et une famille $(\alpha _k)_{1 \leq k \leq p} \in \mathbb{N}^{* p}$ , de somme égale à $n$ tels que $\quad \quad P = \displaystyle a_n \prod_{k = 1} ^p (\textrm{X} - x_k)^{\alpha_k}$
où $a_n$ est son coefficient dominant.

$\bullet$ Si $P\in \mathbb{K}[\textrm{X}]$ de degré $n \geq 1$ est scindé sur $\mathbb{K}$ et si $x_1 \, , \, \cdots \,, \, x_n$ sont ses $n$ racines, lorsque $P = \displaystyle \sum_{k = 0} ^{n} a_k \,\textrm{X}^k$ ,
$\quad \quad \quad \displaystyle \sum _ {i = 1} ^n x_i = \frac {- a_{n - 1}}{a_n}$
$\quad \quad \textrm{ et } \displaystyle \prod _ {i = 1} ^n x_i = (-1) ^n \, \frac { a_{0}}{a_n}$ .

🧡 Savoir démontrer les résultats suivants
$\bullet$ R1 : Si $P \in \mathbb{R}[\textrm{X}]$ est scindé sur $\mathbb{R}$ à racines distinctes de degré $n \geq 2$ , $P'$ est scindé sur $\mathbb{R}$ à racines distinctes.

$\bullet$ R2 : Si $P \in \mathbb{R}[\textrm{X}]$ est scindé sur $\mathbb{R}$ de degré $n \geq 2$ , $P'$ est scindé sur $\mathbb{R}$ .

$\bullet$ R3. Si $P = \displaystyle a_n \prod_{k = 1} ^n (\textrm{X} - x_k)$
lorsque $x \in \mathbb{K} \setminus \{ (x_k)_{1 \leq k \leq n}\}$ ,
$\quad \quad \quad \displaystyle \frac {P'(x)}{ P(x) } =\sum _{k = 1} ^n \frac 1 {x - x_k}$ .

$\bullet$ R4. Si $P = \displaystyle a_n \prod_{k = 1} ^p (\textrm{X} - x_k)^{\alpha_k}$
lorsque $x \in \mathbb{K} \setminus \{ (x_k)_{1 \leq k \leq n} \}$ ,
$\quad \quad \quad \displaystyle \frac {P\, '(x)}{ P(x) } =\sum _{k = 1} ^p \frac {\alpha_k} {x - x_k}$ .

10. Utiliser la notion d’espace vectoriel

Une compilation de résultats sur les polynômes et espaces vectoriels

$\bullet$ $\mathbb{K}[\textrm{X}]$ est un $\mathbb{K}$ -espace vectoriel de dimension infinie, stable par multipli- cation.

$\bullet$ Si $(P_1\, , \, \cdots \, , \, P_n)$ est une famille de polynômes de degrés 2 à 2 distincts, c’est une famille libre de $\mathbb{K}[\textrm{X}]$ .

$\bullet$ Si $n \in \mathbb{N}$ , $\mathbb{K}_n[\textrm{X}]$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{K}[\textrm{X}]$ , de dimension $n + 1$ .
$\ast$ $(1 , \, \textrm{X}, \, \cdots \, ,\, \textrm{X}^n)$ est la base canon- ique de $\mathbb{K}_n[\textrm{X}]$ .
$\ast$ Si $\forall\, k \in [\![0 \, , \, n]\,],$ $P_k \in \mathbb{K}[\textrm{X}]$ est de degré $k$ , $(P_0\, , \, P_1\, , \, \cdots \, , \, P_n)$ est une base de $\mathbb{K}_n[\textrm{X}]$ .
$\ast$ Si $P \in \mathbb{K}[\textrm{X}]$ est de degré $n$ , $\quad \quad \quad (P,\, P' , \, \cdots \, , \, P ^{(n)})$
est une base de $\mathbb{K}_n[\textrm{X}]$ .
$\ast$ Soient $a_0\, , \,a_1\, ,\, ...\, , \,a_n\,$ , $n + 1$ éléments de $\mathbb{K}$ , deux à deux distincts. La famille $(L_i)_{ 0 \leqslant i \leqslant n}$ des polynômes d’interpolation de Lagrange sur les points $(a_0\, , \, a_1 \, ,\, ...\, , \, a_n)$ est une base de $\mathbb{K}_n[\textrm{X}]$ . Pour tout $Q \in \mathbb{K}_n[\textrm{X}]$ , $Q = \displaystyle \sum _{k = 0} ^n Q(a_k) \, L_k\,$ . (MPSI seulement)

Si vous maîtrisez le chapitre sur les polynômes, prenez de l’avance en combinant avec les cours de maths sur les révisions des chapitres qui vont suivre comme :

Cours : Polynômes en Maths Sup MPSI, PTSI, MP2I, PCSI

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2. Opérations sur les polynômes et degrés

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3. Polynôme dérivé

4. Racines multiples

5. Comment démontrer qu’un polynôme divise un autre polynôme ?

6. Comment trouver le reste de la division de $A$ par $B$ ?

7. Nombre de racines d’un polynôme

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9. Polynômes scindés

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