Chapitres Maths en MPSI, PCSI, MP2I, PTSI
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Cours sur l’espace préhilbertiens de Maths Sup
Résumé de cours Exercices et corrigés
Cours en ligne de Maths en Maths Sup
Le chapitre sur l’espace préhilbertien est un des chapitres les plus importants dans le programme de MPSI en Maths. Profitez de ce cours en ligne et nos cours de maths particulier pour revoir les notions de cours fondamentales ainsi que les méthodes et propriétés à connaître par cœur. Vous pourrez ainsi augmenter vos résultats et votre moyenne.
A. Démontrer que l’on a défini un produit scalaire en Maths Sup
M1 : Si est un -espace vectoriel,
vérifier que
est une forme bilinéaire symétrique en démontrant les deux propriétés :
… est linéaire
… et .
puis montrer que est positive non dégénérée en prouvant que :
…
…
ce qui est plus simple en général que de prouver que : .
M2 : Connaître les produits scalaires au programme.
Sur , le produit scalaire canonique défini pour
et
par
.
Sur , le produit scalaire canonique :
si et
.
Sur l’espace vectoriel des fonctions continues sur à valeurs dans ,
.
le résultat classique à savoir démontrer : Soit .
définit un produit scalaire sur .
Si est un produit scalaire sur l’espace vectoriel réel , on dit que est un espace préhilbertien réel.
Si de plus est de dimension finie, on dit que est un espace euclidien.
Savoir utiliser la bilinéarité du produit scalaire :
On suppose que est un préhilbertien,
Si et ,
Plus généralement, si vérifient ,
et
.
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B. Définir et manipuler une norme euclidienne en Maths Sup
Si est un produit scalaire sur , on définit la norme euclidienne de
par .
Alors vérifie
ssi
Si et ,
Si , (inégalité triangulaire).
On dit que est une norme euclidienne sur .
On dit que est unitaire lorsque .
Cas particuliers :
La norme euclidienne sur est définie si par :
.
La norme euclidienne de , .
Connaître la formule de polarisation
Si
.
On peut aussi démontrer que
.
P : On note un préhilbertien réel.
Soient , , et ,
.
C. Manipuler l’inégalité de Cauchy-Schwarz en Maths Sup
Le résultat général
Si est un préhilbertien réel, on peut utiliser l’inégalité de Cauchy-Schwarz :
Il y a égalité si, et seulement si, la famille est liée.
L’écriture dans
Si et sont deux familles de réels,
ce qui est équivalent à
L’écriture dans
si et sont éléments de ,
ou encore
D. Manipuler la notion d’orthogonalité en Maths Sup
M1 : Deux vecteurs et de sont orthogonaux ssi ssi (théorème de Pythagore).
On écrit .
M2 : Si est une partie non vide de , l’ensemble des vecteurs orthogonaux à tous les vecteurs de est un sous-espace vectoriel de qui est noté et appelé orthogonal de .
.
M3 : Pour démontrer qu’un vecteur de préhilbertien réel est nul, on peut
démontrer que
démontrer que , c’est-à-dire que .
M4 : Si est un sous-espace vectoriel du préhilbertien réel ,
.
M5 : Toute famille finie de vecteurs 2 à 2 orthogonaux et non nuls est libre.
E. Construire une famille orthonormale en Maths Sup
Dans ce paragraphe, est un préhilbertien réel.
M1 : Connaître le résultat complet du principe d’orthonormalisation de Gram-Schmidt
Si est une famille libre du préhilbertien de , il existe une unique famille orthonormale de telle que
pour tout ,
.
et .
M2 : Application pratique du procédé d’orthonormalisation de Gram-Schmidt :
Introduire une famille libre de .
Poser .
Puis construire les vecteurs par récurrence
après avoir construit , introduire si
puis calculer .
Théorème :
Dans le cas où est de dimension finie et où est une base de , on construit ainsi une base orthonormale de .
Tout sous-espace vectoriel de dimension finie strictement positive de admet une base orthonormale.
F. Utiliser l’orthogonal d’un sev de dimension finie en Maths Sup
Dans ce paragraphe, est un sous-espace vectoriel (sev) de dimension finie du préhilbertien .
Si , admet une base orthonormale.
.
La projection de sur parallèle- ment à est appelée projection orthogonale sur et notée .
Si et si est une base orthonormale de , la projection orthogonale sur est définie par
.
Si est la projection orthogonale sur , pour tout ,
.
On en déduit que .
Si , admet un plus petit élément appelé distance de à et noté .
Ce mininum est atteint en un seul point .
Donc
et .
G. Reconnaître et résoudre un problème de distance à un sev
Dans ce paragraphe, est un espace préhilbertien réel.
Soit donné. Dans le cas où l’on demande de déterminer la borne inférieure de l’ensemble
étant à valeurs positives ou nulles, il y a de fortes chances de se trouver devant un problème de distance à un sous-espace vectoriel.
Pour cela, il faut :
1. préciser l’espace vectoriel considéré, lorsqu’il n’est pas donné par l’énoncé.
2. trouver le produit scalaire utilisé.
3. trouver le sous-espace vectoriel de dimension , c’est-à-dire écrire
et interpréter le problème sous l’une des deux formes :
.
4. définir le projeté orthogonal de sur (cf § 6).
5. calculer
ou
(théorème de Pythagore).
N’hésitez pas à compléter vos révisions de cours en MPSI, PCSI et PTSI avec l’ensemble de nos autres cours en ligne de Maths pour les Maths Sup. Revoyez par exemple, les notions essentielles des chapitres qui suivent :