Chapitres Maths en MPSI, PCSI, MP2I, PTSI
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Cours de Maths Sup sur les séries numériques en MPSI, MP2I, PTSI, PCSI
Résumé de cours Exercices et corrigés
Cours en ligne de Maths en Maths Sup
Être à jour dans ses cours de maths en Maths Sup est fondamental pour réussir les concours, surtout si l’on souhaite être admis dans les meilleures écoles d’ingénieurs françaises. Des révisions régulières, une bonne méthode de travail et des cours particuliers de maths sont les clés de la réussite, les mathématiques étant la matière avec le plus fort coefficient aux concours, aucune impasse ne sera excusée.
A. Définitions des séries numériques en Maths Sup
D1 : À toute suite numérique , on associe la suite où pour tout de , .
est la -ème somme partielle de la série de terme général .
La série de terme général est notée
ou .
La série converge (ou est convergente) lorsque la suite des sommes partielles converge.
Dans ce cas, la limite de la suite est appelée somme de la série et notée .
Si la suite diverge, on dit que la série est divergente.
On définit le reste d’ordre de la série convergente de terme général par .
La suite converge vers 0.
Attention aux notations !
a) représente un réel ou un complexe.
b) ou , à la rigueur représente la suite réelle ou complexe de terme général .
Il est indispensable de ne pas oublier les parenthèses pour parler de la suite.
c) ou est une abréviation pour « la série de terme général «
Cette notation ne peut intervenir dans une égalité ou une inégalité.
d) est la somme de la série convergente de terme général .
C’est un scalaire qui peut intervenir dans une égalité ou une inégalité.
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B. Propriétés des séries numériques en Maths Sup
P1 : Si la série converge, la suite converge vers 0.
Si la suite ne converge pas vers 0, on dit que la série de terme général diverge grossièrement.
P2 : Si les séries de termes généraux et convergent, il en est de même de la série de terme général et de la série de terme général (où est un scalaire) et
.
P3 : Soit une suite complexe, converge si, et seulement si, et convergent.
Dans ce cas,
et .
P4 : Comparaison suite-série.
La suite est convergente ssi la série de terme général est convergente.
Dans ce cas, .
P5 : Soit une série réelle ou complexe.
Si la série de terme général est convergente, on dit que la série de terme général est absolument convergente.
Si la série de terme général est absolument convergente, elle est convergente et de plus :
.
C. Étude de la convergence des séries de réels positifs ou nuls
P6 : On suppose que pour tout ,
a) La série de terme général est convergente si, et seulement si, il existe
, , .
Dans ce cas, où
b) Si la série de terme général positif ou nul diverge,
.
P7 : On suppose que et sont deux suites réelles telles qu’il existe que si , .
Si converge, converge.
Dans ce cas,
P8 : Soient et deux suites de réels strictement positifs à partir d’un certain rang telles que .
La série de terme général converge si, et seulement si, la série de terme général converge.
P9 : Comparaison série-intégrale
Soit et une fonction continue, décroissante sur à valeurs dans .
On note si et ,
Ce qui permet de démontrer le résultat au programme de deuxième année :
La série de terme général converge si, et seulement si, la suite
converge.
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D. Séries absolument convergentes en Maths Sup
P10 : Soit une suite de réels positifs ou nuls et une suite complexe telles que
c’est-à-dire il existe et tels que si , .
Si converge, converge absolument.
P11 : a) Soit une suite réelle ou complexe, telle qu’il existe telle que
,
alors converge absolument.
b) Soit une suite réelle à termes positifs pour telle qu’il existe
tel que alors diverge.
E. Développement décimal d’un réel positif en Maths Sup
Développement décimal d’un réel positif
Si , il existe une unique suite telle que
,
La suite n’est pas stationnaire égale à 9
et
Propriétés d’un développement décimal d’un réel positif
Si , est la -ième décimale de .
Si ,
est la valeur approchée de à près par défaut
est la valeur approchée de à près par excès.
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