Chapitres Maths en MPSI, PCSI, MP2I, PTSI

Cours : Suites numériques en Maths Sup

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Résumé de cours Exercices et corrigés

Cours en ligne de Maths en Maths Sup

Résumé de cours et méthodes – Suites numériques en Maths Sup

Plan :

1. Les suites récurrentes particulières
2. Cas des suites monotones
3. Cas général
4. Une aide pour les suites de la forme $u_{n + 1} = f(u_n)$
5. Suites définies implicitement.

Ce cours en ligne proposé gratuitement par Groupe Réussite vous aidera à comprendre le cours sur les suites en prépa maths sup et à appréhender les méthodes qui vous permettront de résoudre la plupart des exercices. Pour aller plus loin, nous vous proposons sur notre plateforme des professeurs particuliers de maths pour vous aider à travailler et à éliminer les zones d’ombres du cours.

1. Les suites récurrentes particulières en MPSI, PCSI, MP2I et PTSI

1.1. Suites arithmétiques

On suppose que $k \in \mathbb{N}$ .

D : Les suites arithmétiques sont les suites définies par leur premier terme $u_k$ et telles qu’il existe $a \in \mathbb{C}$ tel que si $n \geq k, \, u_{n + 1} = u_n + a$ .

$a$ est appelé la raison.

P1 : La suite $(u_n)_{n \geq k}$ arithmétique de raison $a$ vérifie $\quad \forall \, n \geq k, \, u_n = u_k + (n - k)\, a$ .

P2 : Si $(u_n)_{n\geq k}$ est une suite arithmétique et si $q \geq p \geq k$ ,

$\quad \displaystyle \sum _ {i = p} ^{q} u_i = \frac {q - p + 1} 2 (u_p + u_q)$ .

Cas particulier : $\displaystyle \sum _ {k = 1} ^n k = \frac {n(n + 1)} 2$

1.2. Suites géométriques

D : Les suites géométriques sont les suites définies par leur premier terme $u_k$ et telles qu’il existe $q \in \mathbb{C}^*$ tel que si $n \geq k, \, u_{n + 1} = q \, u_n$ .

$q$ est appelé la raison.

P1 : La suite $(u_n)_{n \geq k}$ géométri- que de raison $q$ vérifie

$\quad \quad \forall \, n \geq k, \, u_n = u_k \, q ^ {n - k}\,$ .

P2 : Si $(u_n)_{n\geq k}$ est une suite géométrique de raison $q \neq 1$ ,

si $n \geq p \geq k, \, \displaystyle \sum _ {i = p} ^{n} u_i = u_p \frac {1 - q ^{n - p + 1}} {1 - q}$ .

Cas particulier qu’il est indispensable de connaître par cœur :

si $q \neq 1$ , $\displaystyle \sum _ {i = 0} ^n q ^i = \frac {1 - q ^{n + 1}} {1 - q}$ .

1.3. Suites arithmético-géométriques

D : Les suites arithmético-géométri- ques sont les suites définies par une relation du type :

il existe $(a ,\, b) \in \mathbb{C} ^2$ , où $a \neq 1$ , $\quad \quad \forall\, n \in \mathbb{N}, \, u_{n + 1} = a \, u_n + b$ .

Méthode :

On commence par déterminer un complexe $C$ tel que $C = a \, C + b$ .

Si $n \in \mathbb{N},$ , on note $\, w_n = u_n - C$ .

En faisant la soustraction des relations $u_{n + 1} = a \, u_n + b$ et $C = a\, C + b$ , on démontre que la suite $(w_n)_n$ est une suite géométrique de raison $a$ .

On en déduit $w_n = a^n \, w_0$ où $w_0 = u_0 - C$ puis on termine par $u_n = w_n + C$ .

1.4. Suites récurrentes linéaires d’ordre 2

Soit $(a , \, b) \in \mathbb{K} \times \mathbb{K}^*$ .

On veut déterminer le terme général des suites $(u_n)_n$ vérifiant $\quad \forall \, n \in \mathbb{N}, \, u_{n + 2} = a\, u_{n + 1} + b \, u_n \,$ .

On forme l’équation caractéristique $\quad \quad \quad x^2 - a \, x - b = 0$ .

$\bullet$ 1er cas. L’équation caractéristique admet deux racines distinctes notées $r_1$ et $r_2$ dans $\mathbb{K}$ :

il existe $(\lambda , \, \mu) \in \mathbb{K} ^2,$

$\quad \quad \quad \, \forall \, n \in \mathbb{N} , \, u_n = \lambda \, r_1 ^n + \mu \, r_2 ^n\,$ .

$\bullet$ 2ème cas. L’équation caractéristique admet une racine double $r$ :

il existe $(\lambda , \, \mu) \in \mathbb{K} ^2$ , $\quad \quad \quad \forall \, n \in \mathbb{N} , \, u_n = ( n \lambda + \mu) \, r ^n$ .

$\bullet$ 3ème cas. $(a , b) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}^*$ et l’équation caractéristique admet deux racines complexes conjuguées notées

$\rho \, \textrm{e} ^{\textrm{i} \, \theta }$ et $\rho \, \textrm{e} ^{- \textrm{i} \, \theta }$ :

il existe $(\lambda , \, \mu) \in \mathbb{K} ^2,$ $\forall \, n \in \mathbb{N} ,$ $\quad u_n = \rho ^n \left ( \lambda \, \cos(n\, \theta) + \mu \, \sin (n \, \theta) \right )$ .

En général, on calcule les constantes $\lambda$ et $\mu$ en utilisant les valeurs de $u_0$ et $u_1$ .

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2. Étudier la convergence d’une suite monotone

2.1. Des conseils

$\bullet$ a) Quand la suite est donnée par récurrence : penser à vérifier qu’elle est bien définie.

$\bullet$ b) Il vaut mieux étudier la monotonie d’une suite $(u_n)_n$ en étudiant le signe de $u_{n + 1} - u_n$ .

Si vous voulez absolument raisonner avec le quotient, vous devez commen- cer par dire que pour tout $n \in \mathbb{N}, \, u_n > 0$ et démontrer que

… $\displaystyle \frac {u_{n + 1}} {u_n} \geq 1$ pour tout $n$ pour prouver que $(u_n)_n$ est croissante

… $\displaystyle \frac {u_{n + 1}} {u_n} \leq 1$ pour tout $n$ pour prouver que $(u_n)_n$ est décroissante

$\bullet$ c) Pour traduire que la suite réelle $(u_n)_n$ est majorée :

on écrit qu’il existe $M \in \mathbb{R}$ tel que pour tout $n \in \mathbb{N}, \, u_n \leq M$

à respecter l’ordre des quantificateurs mathématiques ;

$\quad \quad \exists \, M \in \mathbb{R} , \, \forall \, n \in \mathbb{N}, \, u_n \leq M$ .

s’il existe $k \in \mathbb{N}^*$ tel que $(u_n)_{n \geq k}$ soit majorée, la suite $(u_n)_n$ est majorée.

$\bullet$ d) Pour traduire que la suite réelle $(u_n)_n$ est minorée :

on écrit qu’il existe $m \in \mathbb{R}$ tel que pour tout $n \in \mathbb{N}, \, u_n \geq m$ .

à respecter l’ordre des quantificateurs :

$\quad \quad \exists \, m \in \mathbb{R} , \, \forall \, n \in \mathbb{N}, \, u_n \geq m$ .

$\bullet$ e) Pour traduire que la suite réelle ou complexe $(u_n)_n$ est bornée, on écrit qu’il existe $M \in \mathbb{R} ^+$ tel que pour tout

$n \in \mathbb{N}, \, \vert u_n \vert \leq M$ .

à respecter l’ordre des quantifica- teurs :

$\quad \; \exists \, M \in \mathbb{R}^+ , \, \forall \, n \in \mathbb{N}, \, \vert u_n \vert \leq M$ .

Pour une suite réelle, il est nettement plus simple d’utiliser cette caractérisation que d’écrire qu’elle est majorée et minorée.

$\bullet$ f) Pour l’étude d’une suite de terme général ${u_n}^ {v_n}$ où $\forall\, n \in \mathbb{N},\, u_n > 0$ , écrire

${u_n}^ {v_n}= \exp(v_n \ln ( u_n))$ et déterminer la limite de la suite $(v_n \ln ( u_n))_n$ .

Dans le cas où

$\quad \; \displaystyle \lim_{n\to + \infty} u_n = 1$ et $\displaystyle \lim_{n\to + \infty}v_n = \infty$ ,

on a une forme indéterminée.

2.2. Suite croissante

Le résultat :

Si $(u_n)_n$ est croissante, $(u_n)_n$ est convergente ssi elle est majorée

$\ast$ Si elle est majorée, elle converge vers $L = \displaystyle \sup _{n \in \mathbb{N}} u_n\,$ .

$\ast$ Si elle n’est pas majorée, elle diverge vers $+\infty$ .

$\bullet$ M1. Si $(u_n)_n$ est croissante, pour démontrer qu’elle converge, il suffit de prouver qu’elle est majorée.

$\bullet$ M2. Pour trouver un majorant d’une suite croissante, on peut chercher quelle peut être la limite $L$ de la suite et démontrer que

pour tout $n$ de $\mathbb{N}$ , $u_n \leq L$ .

$\bullet$ M3. Pour démontrer qu’une suite croissante diverge vers $+ \infty$ , on peut supposer qu’elle converge et montrer qu’il y a une contradiction (par exemple en prouvant qu’elle devrait converger vers un nombre $L \geq u_n$ puisque la limite d’une suite croissante est sa borne supérieure ).

exemple 1

Étude de la suite lorsque $u_0 = 0$ et $\forall\, n \in \mathbb{N}, \, u_{n + 1} = \sqrt{u_n + 2}$ .

Correction : $\ast$ On démontre facilement par récurren- ce que pour tout $n \in \mathbb{N}$ , $u_n$ est défini et $u_n \geq 0$ .

$\ast$ $u_1 = \sqrt{2} > u_0\,$ .
Si l’on suppose démontré que $u_n < u_{n + 1}$ , alors $2 + u_n < 2 + u_{n + 1}$ et comme la fonction racine carrée est strictement croissante : $u_{n + 1} < u_{n + 2} \,$ .
Par récurrence sur $n$ , $u_n < u_{n + 1}\,$ . La suite est donc strictement croissante.

$\ast$ Pour deviner un majorant de la suite, on raisonne ainsi :
Si la suite $(u_n)_n$ est convergente, elle admet une limite $L \geq 0$ (car $u_n \geq 0$ ) et vérifiant, en passant à la limite dans la relation $u_{n + 1} ^2 = 2 + u_n\,$ , $L^2 = L + 2$ soit $L \in \{- 1 , 2\}$ , donc $L = 2$ .

$\ast$ On démontre que $(u_n)_n$ est majorée par 2.
Si $n \in \mathbb{N}$ , on note $H_n : u_n < 2$ .
$H_0$ est vraie, puisque $u_0 = 0$ .
Si elle est vraie au rang $n$ , $u_n + 2 < 4$ , donc $u_{n+1} < 2$ .

$\ast$ La suite est croissante et majorée par $2$ , elle converge, et on a vu que la seule limite possible était égale à $2$ , elle converge vers 2.

exemple 2

Étude de la suite définie par $u_0 = 1$ et $\forall \, n \in \mathbb{N},\, u_{n + 1} = u_n + u_n^2\,$ .

Correction : $\forall\, n \, u_{n + 1} = u_n + u_n^2 \geq u_n\,$ , la suite est croissante. Si elle était convergente, elle convergerait vers $L$ tel que $L = L + L^2$ , donc $L = 0$ . Mais comme $L \geq u_0 \geq 1$ , on aboutit à une contradiction.
La suite étant croissante, elle diverge vers $+\infty$ .

Comme pour tout $n \in \mathbb{N}, \, u_n \geq u_0$ , si la suite était convergente, elle convergerait vers $L \geq u_0 > 2$ ce qui est impossible.
La suite $(u_n)_n$ est croissante et divergente, elle diverge vers $+ \infty$ .

2.3. Suite décroissante

Le résultat :

Si $(u_n)_n$ est décroissante, $(u_n)_n$ est convergente ssi elle est minorée

$\ast$ Si elle est minorée, elle converge vers $L = \displaystyle \inf _{n \in \mathbb{N}} u_n\,$ .

$\ast$ Si elle n’est pas minorée, elle diverge vers $-\infty$ .

$\bullet$ M4. Pour trouver un minorant d’une suite décroissante, on peut chercher quelle peut être la limite $L$ de la suite et démontrer que pour tout $n$ de $\mathbb{N}$ , $u_n \geq L$ .

$\bullet$ M5. Pour démontrer qu’elle diverge vers $-\infty$ , on peut supposer qu’elle converge et montrer qu’il y a une contradiction (par exemple en prouvant qu’elle devrait converger vers un nombre $L \leq u_n$ puisque la limite d’une suite décroissante est sa borne inférieure ).

On a prouvé que $f$ est une surjection de $E$ sur $F$ .

exemple

Étude de la suite définie par

$\quad \forall\, n \in \mathbb{N},\,\displaystyle u_{n + 1} = \frac {4\, u_n - 1 - u_n^2} 2$

lorsque $u_0 < 1$ , puis $1 < u_0 < 3$ .

Correction : La suite est décroissante car :

$\quad \displaystyle u_{n + 1} - u_n = - \frac 1 2 (1 - u_n)^2 \geq 0$ .

Pour deviner un minorant de la suite , on raisonne ainsi :

Si la suite $(u_n)_n$ est convergente, elle admet une limite $L$ vérifiant, en passant à la limite dans la relation $\quad \quad u_{n + 1} -</em> <em>u_n =- \displaystyle \frac 1 2 (1 - u_n)^2$ ,

$0= - (1 - L) ^2$ soit $L = 1$ .

On étudie les deux cas demandés.

$\ast$ Cas $u_0 < 1$ .

Comme la suite est décroissante, pour tout $n \in \mathbb{N}, \, u_n \leq u_0 < 1$ .

Si la suite était minorée, elle converge- rait vers $L \leq u_0 < 1$ et $L = 1$ ce qui est impossible.

La suite est décroissante et non minorée, elle diverge vers $- \infty$ .

$\ast$ Cas $1 < u_0 < 3$ .

Comme la suite est décroissante, pour tout $n \in \mathbb{N},\, u_n \leq u_0 < 3$ .

On démontre par récurrence que pour tout $n$ , $1 < u_n\,$ .

La propriété est vraie pour $n = 0$ .

Si elle est vraie au rang $n$ ,

$u_{n + 1 } - 1 = \displaystyle \frac 1 2 \left ( {4\, u_n - 3 - u_n^2} \right )$ $u_{n + 1} - 1 = \displaystyle \frac 1 2 {( u_n - 1)(3 - u_n)} > 0$

donc $1 < u_{n + 1}\,$ .

La propriété est démontrée par récurrence. Elle est vraie pour tout $n$ .

La suite est décroissante et minorée par $1$ , elle converge vers $1$ unique limite possible de la suite.

Si $u_0 > 3$ , en utilisant :

$\quad u_{1 } - 1 = \displaystyle \frac 1 2 {( u_0 - 1)(3 - u_0)} < 0$

on obtient $u_1 < 1$ et d’après le premier cas (en commençant la suite au rang 1), la suite diverge vers $- \infty$ .

Si la suite $(u_n)_n$ est strictement décroissante et converge vers $L$ , pour tout $n \in \mathbb{N}, \, u_n > L$ .

Justification : On sait que $L = \displaystyle \inf _ {p \in \mathbb{N}} u_p\,$ ,

donc $\forall\, n \in \mathbb{N},\, u_{n + 1} \geq L$ et $u_n > u_{n + 1}$

$\Rightarrow u_n > L$ .

Retenir l’astuce d’introduire $u_{n + 1}$ !

2.4. Suites adjacentes

$\bullet$ M6. On donne deux suites à étudier : on peut chercher à démontrer qu’elles sont adjacentes.

On doit prouver que l’une des suites est croissante, l’autre décroissante et que la différence converge vers $0$ .

Si les suites $(u_n)_n$ et $(v_n)_n$ sont adjacentes, elles convergent vers la même limite $L$ qui est encadrée pour tout entier $n$ par

$u_n$ et $v_n\,$ .

Il est parfois possible d’exprimer la limite commune $L$ .

On détermine le signe de $u_n - v_n$ de façon à voir quelle doit être la suite croissante et la suite décroissante.

Si $\forall \, n \in \mathbb{N}, \,u_n - v_n \geq 0$ , on prouve que $(u_n)_n$ est décroissante et $(v_n)_n$ est croissante.

Si $\forall \, n \in \mathbb{N}, \,u_n - v_n \leq 0$ , on prouve que $(u_n)_n$ est croissante et $(v_n)_n$ est décroissante.

Un exemple classique

Les relations : pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ ,

$\quad u_n = \displaystyle \sum _{k = 0} ^n \frac 1 {k! }$ et $v_n = u_n + \displaystyle \frac 1 {n . \, n !}$

définissent des suites adjacentes de limite irrationnelle.

Démonstration : $\bullet$ Convergence des suites

$\ast$ Il est évident que $\quad \quad \quad \displaystyle \lim_{n \to + \infty} (v_n - u_n ) = 0$

$\ast$ Si $n \in \mathbb{N}^* , \, \displaystyle u_{n + 1} - u_n = \frac 1 {(n + 1)!} > 0$ . La suite $(u_n)_{n \geq 1}$ est strictement croissante.

$\ast$ Si $n \in \mathbb{N}^* ,$

$\displaystyle v_n - v_{n + 1} =$ $\quad \quad \displaystyle \frac {1 } {n \, n !} - \frac 1 {(n + 1) \, (n + 1)! } - \frac 1 {(n + 1)!}$ .

$\displaystyle v_n - v_{n + 1} =$ $\displaystyle \quad \frac {(n +1) ^2 - n - n (n + 1)} {n (n + 1) \, (n + 1)! }$

$\displaystyle v_n - v_{n + 1} = \frac {1} {n (n + 1) \, (n + 1)! } > 0$

La suite $(v_n)_{n \geq 1}$ est strictement décroissante.

Les suites $(u_n)_n$ et $(v_n)_n$ sont adjacentes, elles convergent vers la même limite $L$ , de plus $L \geq u_1$ donne $L \geq 2$ .

$\bullet$ La limite $L$ est irrationnelle.

Pour tout $n \in \mathbb{N}^* , \; u_{n + 1} \leq L \leq v_{n + 1}\,$ ,

donc $u_n < u_{n + 1} \leq L \leq v_{n + 1} < v_n$ donne $u_{n} < L < v_{n} \,$ .

On raisonne par l’absurde et on suppose que $L \in \mathbb{Q}$ . Il existe donc $(p , q) \in \mathbb{N}^{*2}$ tel que $L = \displaystyle \frac p q$ .

On vient de prouver que $\displaystyle u_{q} < \frac p q < v_{q} \,$ .

En multipliant par $q !$

$\quad \quad \quad \displaystyle q! \, u_{q} < p \, (q - 1)! < q! \, v_{q}\,$ .

$q! \, u_{q} = \displaystyle \sum _{k = 0} ^q \frac {q! } {k!} \in \mathbb{N}$

car si $0 \leq k \leq q,$

$\quad \quad \displaystyle \frac {q! } {k!} = q (q - 1) \, \cdots \, (q - k + 1) \in \mathbb{N}$

$q!\; v_{q} = q! \; u_{q} + 1$ est l’entier consécutif à $q! \; u_q\,$ .

$p\, (q - 1)!$ est un entier strictement compris entre deux entiers consécutifs, on aboutit à une contradiction.

La limite $L$ est irrationnelle.

On démontrera ultérieurement que $L = \textrm{e} ^1$ .

$\bullet$ M7. Dans certains cas, on parvient à démontrer que pour tout $n \in \mathbb{N}$ , $u_n \leq v_n$ , avec $(u_n)_n$ croissante et

$(v_n)_n$ décroissante, sans parvenir à prouver que la suite $(u_n - v_n)_n$ converge vers $0$ .

On démontre qu’alors la suite $(u_n)_n$ est majorée par $v_0$ (puisque pour tout $n \in \mathbb{N},\; u_n\leq v_n \leq v_0$ ) et que la suite

$(v_n)_n$ est minorée par $u_0$ (puisque pour tout $n \in \mathbb{N}$ , $u_0 \leq u_n \leq v_n$ ).

Elles sont toutes deux convergentes. On peut éventuellement chercher à démontrer que les limites des deux suites sont égales.

3. Convergence de suites dans le cas général en MPSI, MP2I, PCSI et PTSI

3.1. En utilisant les théorèmes sur les convergences

Il n’est pas toujours indispensable d’étudier la monotonie d’une suite pour en justifier la convergence (ou la divergence).

$\bullet$ M1 : La somme, le produit de deux suites convergentes sont des suites convergentes et

$\ast$ Somme de deux suites convergentes

$\displaystyle \lim_{n \to + \infty} (u_n + v_n ) = \lim_{n \to + \infty} u_n + \lim_{n \to + \infty} v_n$

$\ast$ Produit de deux suites convergentes

$\displaystyle \lim_{n \to + \infty} (u_n \, v_n ) = \lim_{n \to + \infty} u_n \times \lim_{n \to + \infty} v_n$

$\ast$ Produit d’une suite convergente par $\lambda \in \mathbb{K}$ , $\displaystyle \lim_{n \to + \infty} (\lambda \, u_n ) = \lambda \lim_{n \to + \infty} u_n \,$ .

$\bullet$ M2 : Si les suites $(u_n)_n$ et $(v_n)_n$ convergent respectivement vers $L$ et $L'$ avec $L' \neq 0$ , il existe un entier $N$ tel que si $n \geq N,\, v_n \neq 0$ et la suite $\displaystyle \left ( \frac {u_n} {v_n} \right ) _{n \geq N}$ converge vers $\displaystyle \frac L {L'}$ .

$\bullet$ M3 : Si la suite $(u_n)_n$ diverge vers $+ \infty$ (resp. $- \infty$ ), il existe un entier $N$ tel que si $n \geq N,\, u_n \neq 0$ et la suite $\displaystyle \left ( \frac 1 {u_n} \right ) _{n \geq N}$ converge vers $0$ .

$\bullet$ M4 : Si la suite $(u_n)_n$ converge vers $0$ et s’il existe un entier $N$ tel que si $n \geq N,\, u_n > 0$ (resp. $u_n < 0$ ),
la suite $\displaystyle \left ( \frac 1 {u_n} \right ) _{n \geq N}$ diverge vers $+ \infty$ (resp. vers $- \infty$ ).

$\bullet$ M5 : Si la fonction $f : I \to \mathbb{R}$ est continue en $a \in I$ et si la suite $(u_n)_n$ de $I$ converge vers $a$ , $\quad \quad \quad \displaystyle \lim_{n \to + \infty} f(u_n) = f(a)$ .

3.2. Utiliser des inégalités

$\bullet$ M1. Pour démontrer que la suite $(u_n)_n$ converge vers 0, il suffit de prouver que $(\vert u_n \vert )_n$ converge vers 0.

$\bullet$ M2. Si $\exists \, N \in \mathbb{N}, \, \forall\, n \geq N, \, u_n \geq v_n$ et $\displaystyle \lim_{n \to + \infty} v_n = + \infty$ , alors la suite $(u_n)_n$ diverge vers $+ \infty$ .

$\bullet$ M3. Si $\exists\, N \in \mathbb{N}, \, \forall\, n \geq N, \, u_n \leq v_n$ et $\displaystyle \lim_{n \to + \infty} v_n = - \infty$ , alors la suite $(u_n)_n$ diverge vers $- \infty$ .

$\bullet$ M4. Théorème d’encadrement

Si $\exists \,N \in \mathbb{N}, \, \forall\, n \geq N, \, v_n \leq u_n \leq w_n$ et si les suites $(v_n)_n$ et $(w_n)_n$ convergent vers la même limite $L$ , alors $\quad \quad \quad \quad \displaystyle \lim_{n \to + \infty} u_n = L$ .

Conseil : éviter tout nom « exotique » pour désigner le théorème d’encadre- ment.

$\bullet$ M5. $u_n = a_n \, b_n\,$ où la suite $(a_n)_n$ est bornée et la suite $(b_n)_n$ converge vers 0, alors la suite $(u_n)_n$ converge vers 0.

$\bullet$ M6. S’il existe $a$ et $k \in [0 ,\, 1[$ tels que pour tout $n \in \mathbb{N}$ , $\quad \quad \vert u_{n+1} - a \vert \leq k \, \vert u_{n} - a \vert$ ,
on démontre que pour tout $n \in \mathbb{N}$ , $\quad \quad \vert u_{n} - a \vert \leq k ^n \vert u_{0} - a \vert$
puis comme $k \in [0 , \,1[$ , la suite $(k ^n)_n$ converge vers $0$ et par encadrement la suite $(u_n)_n$ converge vers $a$ .

3.3. En utilisant les suites extraites

$\bullet$ M1 : Si la suite $(u_n)_n$ converge vers $L$ , toute suite extraite $(u _ {\varphi(n)} )_n$ converge vers $L$ .

(On rappelle que $\varphi$ est une fonction strictement croissante de $\mathbb{N}$ dans $\mathbb{N}$ ).

$\bullet$ M2. Si l’on trouve deux suites extraites de $(u_n)_n$ qui admettent des limites différentes, la suite $(u_n)_n$ diverge.

$\bullet$ M3. Pour montrer que $(u_n)_n$ converge vers $L$ , il suffit de prouver que $\displaystyle \lim_{n \to + \infty} u_ {2n} = L$ et

$\displaystyle \lim_{n \to + \infty} u_{2 n + 1} = L$ .

$\bullet$ M4 : Théorème de Bolzano Weierstrass.

Si la suite $(u_n)_n$ réelle ou complexe est bornée, il existe une suite extraite convergente.

3.4. Cas des suites complexes

$\bullet$ M1. Pour prouver qu’une suite complexe $(u_n)_n$ converge, on peut

démontrer que les suites $(a_n)_n$ et $(b_n)_n$ où $a_n = \mathcal{R}\textrm{e} \, (u_n)$ et $b_n = \mathcal{I}\textrm{m}\, (u_n)$ convergent.

Dans ce cas,

$\quad \displaystyle \lim_{n \to + \infty} u_ {n} = \lim_{n \to + \infty} a_ {n} + \textrm{i} \, \lim_{n \to + \infty} b_ {n}\,$ .

$\bullet$ M2. On peut chercher le module $\rho_n$ de $u_n$ et un argument $\theta_n$ de $u_n$ .

Si l’on peut démontrer que $(\rho_n)_n$ converge vers $r$ et $(\theta _ n)_n$ converge vers $t$ , en écrivant $\quad u_n = \rho_n \, \cos(\theta_n) + \textrm{i } \rho_n \, \sin(\theta_n)$ ,

$a_n = \mathcal{R}\textrm{e}\, (u_n) = \rho_n \, \cos(\theta_n)$ et $b_n = \mathcal{I}\textrm{m}\, (u_n) = \rho_n \, \sin(\theta_n)$ convergent vers $r \cos t$ et $r \sin t$ respectivement,

donc la suite $(u_n)_n$ converge vers $r \cos t + \textrm{i} \, r \sin t$ .

3.5. Sommes de suites qui convergent vers 0

On suppose dans ce paragraphe que $\displaystyle u_n = \sum _ {k = 0} ^n \varphi(k , n)$ .

il est interdit de faire la somme des limites puisqu’il ne s’agit pas d’une somme d’un nombre fixé de suites.

$\bullet$ M1. On peut chercher quel est le plus petit des termes et le plus grand des termes $\varphi( n , k )$ et encadrer $u_n$ entre deux suites. On pourra conclure si les deux suites qui encadrent $u_n$ ont même limite.

Par contre si $p$ est un entier fixé,

$\displaystyle u_n = \sum _ {k = 0} ^p \varphi(k , n)$ est la somme de $p + 1$ suites, il suffit de chercher la limite de la suite $(\varphi(k , n))_n$ pour $0 \leq k \leq p$ .

exemple 1

Étude de la suite définie pour $n \in \mathbb{N}^*$ par $\displaystyle u_n = \sum_{k = 0} ^ n \frac 1 {\sqrt{n ^2 + k}}$ .

Correction :

Comme pour tout $k$ entre $0$ et $n \geq 1$ , $0 < n \leq {\sqrt{n ^2 + k} }\leq \sqrt{n ^2 + n}$

$0 < n \leq {\sqrt{n ^2 + k} } \leq \sqrt{n ^2 + 2 n + 1}$

donc $\displaystyle \frac 1 {n + 1} \leq \frac 1 {\sqrt{n ^2 + k}} \leq \frac 1 n$

puis par somme, $\displaystyle \frac {n + 1} {n + 1} \leq u_n \leq \frac {n + 1} n$ , par encadrement entre deux suites qui convergent vers

$1$ , la suite $(u_n)_n$ converge vers $1$ .

Par contre :

si $p \in \mathbb{N}^*$ , $\displaystyle v_n = \sum_ {k = 0} ^ p \frac 1 {\sqrt{n ^2 + k}}$ ,

$v_n$ est la somme de $p + 1$ (fixé) termes qui convergent tous vers $0$ . Donc la suite $(v_n)_n$ converge vers $0$ .

exemple 2

La suite de terme général $S_n = \displaystyle \sum _ {k = 1} ^n \frac 1 k$ diverge vers $+\infty$

Correction :

C’est une suite croissante : $S_{n + 1} - S_n = \displaystyle \frac 1 {n + 1} > 0$ .

$S_{2 n } - S_n = \displaystyle \sum _{k = n + 1}^{2 n} \frac 1 k \geq \sum _{k = n + 1}^{2 n} \frac 1 {2 n}$

$S_{2 n} - S_n \geq \displaystyle \frac {n} {2 n}$ .

Si la suite $(S_n)_n$ convergeait vers $L$ , on aurait en passant à la limite $L - L \geq \displaystyle \frac 1 2$ , ce qui est impossible.

La suite croissante est divergente, elle diverge vers $+\infty$ .

$\bullet$ M2. Deuxième période. Reconnaître une somme de Riemann.
Si $f$ est une fonction continue sur $[a, \, b]$ à valeurs dans $\mathbb{K}$ , on note pour $n \in \mathbb{N}^*$ ,
$R_n(f) = \displaystyle \frac {b - a} n \, \sum _{k = 0} ^{n - 1} f \left ( a + k \, \frac {b - a} n \right )$
et $R'_n(f) = \displaystyle \frac {b - a} n \, \sum _{k = 1} ^{n } f \left ( a + k \, \frac {b - a} n \right )$
les sommes de Riemann d’ordre $n$ associées à la fonction $f$ .
$\displaystyle \lim_{n \to + \infty} R_n(f) = \int_a ^b f(t) \, \textrm{d} t$ .
$\displaystyle \lim_{n \to + \infty} R'_n(f) = \int_a ^b f(t) \, \textrm{d} t$ .

En général $[a, b] = [0 , 1]$ et il suffira de reconnaitre :
$R_n(f) = \displaystyle \frac {1} n \, \sum _{k = 0} ^{n - 1} f \left ( \frac {k} n \right )$
ou $R'_n(f) = \displaystyle \frac {1} n \, \sum _{k = 1} ^{n} f \left ( \frac {k} n \right )$
qui sont les termes généraux de deux suites qui convergent vers $\int_0 ^1 f(t) \, \textrm{d} t$ .

exemple 3
$\displaystyle \lim_ {n \to + \infty} \sum_{k = n + 1} ^{2n} \frac 1 k$

Correction : En posant $p = n + k$ ,
$\displaystyle u_n = \sum_{k = n + 1} ^{2n} \frac 1 k = \sum_{p = 1} ^{n} \frac 1 {p + n}$
$\displaystyle u_n = \frac 1 n \, \sum_{p = 1} ^{n} \frac 1 {1 + (p / n)}$ .

On note $f : x \mapsto \displaystyle \frac 1 {1 + x}$ .
$f$ est continue sur $[0 , \, 1]$ .
$u_n = R'_n(f) = \displaystyle \frac {1} n \, \sum _{p = 1} ^{n} f \left ( \frac {p} n \right )$
donc $\displaystyle \lim_ {n \to + \infty} u_n = \int_0 ^1 f(t) \, \textrm{d} t = \left [ \ln(1 + t) \right] _0 ^1$ $\displaystyle \lim_{n \to + \infty} u_n = \ln(2)$ .

3.6. En désespoir de cause
La démonstration de la convergence d’une suite par les « $\varepsilon$ » et « $N$ » doit être réservée aux cas » théoriques » quand on a épuisé toutes les autres pistes
(un exemple de situation où il faut utiliser les « $\varepsilon$ » et « $N$ » : démonstration de la moyenne de Cesaro) .

Rappels :
$\bullet$ La suite $(u_n)_n$ converge vers $L$ ssi
$\forall\, \varepsilon \in \mathbb{R}^{+*}, \, \exists \, N \in \mathbb{N}, \forall \, n \in \mathbb{N},$ $\quad \quad \quad \,\left ( n \geq N \Rightarrow \vert u_n - L \vert \leq \varepsilon \right )$ .

$\bullet$ La suite $(u_n)_n$ diverge vers $+\infty$ ssi
$\forall\ A \in \mathbb{R}^{+*}, \, \exists \, N \in \mathbb{N}, \forall \, n \in \mathbb{N},$ $\quad \quad \quad \quad \,\left ( n \geq N \Rightarrow u_n \geq A \right )$ .

$\bullet$ La suite $(u_n)_n$ diverge vers $-\infty$ ssi
$\forall\ A \in \mathbb{R}^{+*}, \, \exists \, N \in \mathbb{N}, \forall \, n \in \mathbb{N},$ $\quad \quad \quad \quad \left ( n \geq N \Rightarrow u_n \leq - A \right )$ .

Il faut aussi savoir faire la négation des trois affirmations précédentes.

$\bullet$ La suite $(u_n)_n$ ne converge pas vers $L$ ssi $\exists\, \varepsilon \in \mathbb{R}^{+*}, \, \forall \, N \in \mathbb{N},$ $\quad \quad \exists \, n \in \mathbb{N},\, n \geq N \textrm{ et } \vert u_n - L \vert > \varepsilon$ .

$\bullet$ La suite $(u_n)_n$ ne diverge pas vers $+\infty$ ssi $\exists\ A \in \mathbb{R}^{+*}, \, \forall \, N \in \mathbb{N},$ $\quad \quad \exists\, n \in \mathbb{N},\, n \geq N \textrm{ et } u_n < A$ .

$\bullet$ La suite $(u_n)_n$ ne diverge pas vers $-\infty$ ssi $\exists\ A \in \mathbb{R}^{+*}, \, \forall \, N \in \mathbb{N},$ $\quad \quad \exists \, n \in \mathbb{N}, \,n \geq N \textrm{ et } u_n > - A$ .

Savoir redémontrer les propriétés suivantes :
$\bullet$ Si la suite $(u_n)_n$ converge vers $L > 0$ ,
$\exists \, N \in \mathbb{N},\, n \geq N \Rightarrow u_n \geq \displaystyle \frac L 2$ .

$\bullet$ Si la suite $(u_n)_n$ converge vers $L < 0$ ,
$\exists \, N \in \mathbb{N},\, n \geq N \Rightarrow u_n \leq \displaystyle \frac L 2$ .

Démonstration : $\bullet$ Si la suite $(u_n)_n$ converge vers $L > 0$ , on traduit cette limite en prenant $\varepsilon = L / 2$ ,
$\exists \, N \in \mathbb{N},\, n \geq N \Rightarrow \vert u_n - L \vert \leq \displaystyle \frac L 2$
donc $- L / 2 \leq u_n - L$ $\Rightarrow u_n \geq L / 2$ .

$\bullet$ Si la suite $(u_n)_n$ converge vers $L < 0$ , on applique le premier résultat à la suite $(- u_n)_n$ qui converge vers $- L > 0$ , donc $\exists \, N \in \mathbb{N},\, n \geq N \Rightarrow - u_n \geq \displaystyle - \frac L 2$ .
On termine en multipliant l’inégalité par $-1$ .

4. Une aide pour les suites $u_{n + 1} = f(u_n)$

Il n’y a aucun résultat au program- me, il faudra donner des explications complètes.
On suppose dans cette partie que $f$ est continue sur l’intervalle $I$ à valeurs dans $I$ (on dit que $I$ est un intervalle $f$ -stable).
Par démonstration par récurrence, on démontre que pour tout $n \in \mathbb{N}$ , $u_n \in I$ .

Les racines de $f(x) = x$ sont appelées points fixes de $f$ .

On peut s’aider d’un dessin précis.
On représente le graphe de $f$ et la droite $\Delta$ d’équation $y = x$ .
On se donne $u_0$ , on en déduit le point $(u_0 \, , \, u_1)$ puis en déterminant l’intersection la droite d’équation $y = u_1$ et $\Delta$ , on obtient le point $(u_1 \, , \, u_1)$ que l’on projette sur $Ox$ pour obtenir $(u_1 \, , \, 0)$ .
On réitère la construction.
Cela peut donner une idée des démonstrations à effectuer.

4.1. Fonction croissante sur $I$ , intervalle $f$ – stable
On suppose dans ce paragraphe que $u_0 \in I$ et $u_{n + 1} = f(u_n)$ où $f$ est continue et croissante de $I$ dans $I$ .

$\bullet$ Résultat 1 :
La suite $(u_n)_n$ est monotone, on cherche son sens de variation en utilisant le signe de $f(u_0) - u_0$ .

Démonstration : $\bullet$ Si $u_0 \geq u_1\,$ , on démontre que $\forall\, n \in \mathbb{N}, \, H_n : u_n \geq u_{n + 1}$ est vérifiée.
$H_0$ est vraie.
Si $H_n$ est vraie, par croissance de $f$ sur $I$ et sachant que l’on raisonne avec des points de $I$
$\; \; f(u_n) \geq f(u_{n + 1})$ soit $u_{n + 1} \geq u_{n + 2}$ ,
ce qui prouve $H_{n + 1}$ .
La propriété est démontrée par récurrence.

$\bullet$ Si $u_0 \leq u_1\,$ , on démontre que $\forall\, n \in \mathbb{N}, \, H_n : u_n \leq u_{n + 1}$ est vérifiée.
$H_0$ est vraie.
Si $H_n$ est vraie, par croissance de $f$ sur $I$ et sachant que l’on raisonne avec des points de $I$
$\; \; f(u_n) \leq f(u_{n + 1})$ soit $u_{n + 1} \leq u_{n + 2} \,$ ,
ce qui prouve $H_{n + 1}\,$ .
La propriété est démontrée par récurrence.

$\bullet$ Suite du raisonnement :
On introduit la fonction $\quad \quad g : x \mapsto f(x) - x$ .
Si $g$ s’annule sur $I$ en $a_1 \, < \, \cdots \, < a_p\,$ , on sera amené à étudier les cas :
$\ast$ $u_0 \in \{a_1 \, ,\, \cdots \, ,\, a_p \}$ , on démontre que la suite est stationnaire
$\ast$ $u_0 < a_1$ (si cette inégalité est possible)
$\ast$ il existe $k \in [\![1 , p - 1]\!]$ tel que $a_k < u_0 < a_{k + 1}$
$\ast$ $u_0 > a_p$ (si cette inégalité est possible).

On commence dans le cas d’une fonction croissante, à donner le tableau de variation de $f$ et le signe de $g(x)$ .
Faire apparaître dans le tableau de variation de $f$ les zéros de $g$ .

Un exemple d’illustration graphique :

4.2. Fonction décroissante sur $I$ , intervalle $f$ -stable
On suppose dans ce paragraphe que $u_0 \in I$ et $u_{n + 1} = f(u_n)$ où $f$ est continue et décroissante de $I$ dans $I$ .
Si $u_0$ est un point fixe $a$ de $f$ , la suite est constante égale à $a$ .

Première méthode
$\bullet$ Résultat 1 :
Les suites $(u_{2n})_n$ et $(u_{2 n + 1} )_n$ sont monotones et varient en sens contraire. On cherche les sens de variation en utilisant le signe de $f \circ f (u_0) - u_0\,$ .

$\bullet$ Résultat 2 : On cherche les points fixes de $f \circ f$ sur $I$ .
Si $f$ est une fonction polynôme, on peut trouver une fonction polynôme $Q$ telle que $f \circ f (x) = (f(x) - x) \, Q(x)$
Puis on étudie la suite $(u_{2n})_n$ en se plaçant sur un intervalle dont les bornes sont deux points fixes consécutifs de $h$ , en vérifiant que ces intervalles sont $h$ -stables.

démonstration résultat 1 : On note $h = f \circ f$ , $h$ est une fonction croissante de $I$ dans $I$ .
La suite $(u_{2n})_n$ est définie par
$u_0 \in I$ et $\forall \, n \in \mathbb{N}, \, u_{2(n + 1)}= h(u_{2\, n})$
donc elle est monotone.

Puis comme $u_{2 n + 1} = f(u_{2n})$ avec $f$ décroissante, la suite $(u_{2 n + 1})_n$ est monotone et varie en sens contraire de la suite $(u_{2n})_n \,$ .

Deuxième méthode :
les calculs précédents peuvent être lourds et l’énoncé peut proposer de trouver $k \in [0 , \, 1[$ tel que $\quad \forall \, x \in I,\, \vert f(x) - a \vert \leq k \, \vert x - a \vert$ .
On utilise ensuite la méthode M6 du paragraphe 3.2.

Un exemple d’illustration graphique :

Il est des cas où l’on sait résoudre alors que la fonction $f$ change de monotonie.
Exemple :
Étude de la suite définie par $u_ 0 \in \mathbb{R}$ et $u_{n + 1} = f(u_n)$ où $\quad \quad f : x \mapsto \displaystyle \frac {4 \, x - 1 - x^2} 2$ .

Correction : On reprend une étude plus systématique de l’exemple 3 du §2.3.
$f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $f'(x) = 2 - x$ .
$f$ est croissante sur $]- \infty\, , \, 2]$ et décroissante sur $[2 \, , \, +\infty[$ avec $f(2) = 5/2$ .
$f(x) - x = \displaystyle - \frac 1 2 (1 - x)^2$ .
On en déduit que la suite $(u_n)_n$ est toujours décroissante et que si la suite converge, elle converge vers $1$ .
On remarque que $f(1) = 1$ et $f(3) = 1$ .

On distingue les cas suivants :
$\bullet$ $u_0 = 1$ , la suite est constante égale à 1.
$\bullet$ $u_0 = 3$ , $u_1 = 1$ , la suite est stationnaire et converge vers $1$ .

$\bullet$ Cas $u_0 < 1$ .
L’intervalle $]- \infty\, , \, 1[$ est $f$ -stable, la suite $(u_n)_n$ est décroissante et $u_n < 1$ .
Si elle était convergente vers $L$ , $L = 1$ .
En utilisant $u_n \leq u_0 < 1$ , à la limite $L \leq u_0 < 1$ ce qui est impossible.
La suite est décroissante et divergente, elle diverge vers $- \infty$ .

$\bullet$ Cas $u_0 > 3$ .
Attention l’intervalle $]3 \, , \, + \infty[$ n’est pas stable.
Mais $f$ étant strictement décroissante sur $[3 \, , \, + \infty[$ , $u _ 1 < f(3)$ donc $u_1 < 1$ . On se ramène au cas précédent à partir du rang 1, la suite $(u_n)_n$ diverge vers $- \infty$ .

$\bullet$ Cas $1 < u_0 < 3$
En utilisant les variations de $f$ , $\quad \quad f(]1\, , \, 3[) =\; ]1 \, , \, 5/2] \subset\, ]1 \,,\, 3[$ ,
par récurrence, pour tout $n$ , $1 < u_n < 3$ .
La suite est décroissante et minorée par $1$ , elle converge vers $1$ unique limite possible de la suite.
Conclusion
La suite converge vers $1$ lorsque $1 \leq u_0 \leq 3$ et diverge vers $- \infty$ sinon.

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5. Suites définies implicitement

Pour démontrer qu’une équation écrite sous la forme $f_n(x) = 0$ admet une seule solution $x_n$ dans l’intervalle $I$ et étudier la suite $(x_n)_n\,$ :

$\bullet$ M1. On démontre que $f_n$ définit une bijection de $I$ sur $f_n(I)$ , avec $0 \in f_n(I)$ (en démontrant que $f_n$ est continue et strictement monotone sur $I$ ).
On obtient ainsi l’existence et l’unicité de $x_n\,$ .

$\bullet$ M2. L’énoncé ne demande pas de justifier la monotonie de la suite mais seulement d’étudier sa convergence.
Pour déterminer la limite de $(x_n)_n\,$ , écrire l’équation $f_n (x_n) = 0$ , de façon à pouvoir passer à la limite dans l’équation ainsi obtenue en raisonnant par des encadrements.

$\bullet$ M3. L’énoncé demande de justifier la monotonie de la suite.
$\ast$ On peut calculer $f_{n + 1} (x_n)$ en injectant dans cette relation l’équation vérifiée par $x_n\,$ (obtenue avec $f_n (x_n) = 0$ ) et déterminer son signe.
Si $f_{n + 1}$ est strictement croissante,
… $f_{n + 1}(x_n ) < 0$ s’écrit $\quad \quad \quad f_{n + 1}(x_n) < f_{n + 1} (x_{n + 1})$
et donne $x_n < x_{n+1}$
… $f_{n + 1}(x_n ) > 0$ s’écrit $\quad \quad \quad f_{n + 1}(x_n) > f_{n + 1} (x_{n + 1})$
et donne $x_n > x_{n+1}\,$ .

Si $f_{n + 1}$ est strictement décroissante,
… $f_{n + 1}(x_n ) < 0$ s’écrit $\quad \quad \quad f_{n + 1}(x_n) < f_{n + 1} (x_{n + 1})$
et donne $x_n > x_{n+1}$
… $f_{n + 1}(x_n ) > 0$ s’écrit $\quad \quad \quad f_{n + 1}(x_n) > f_{n + 1} (x_{n + 1})$
et donne $x_n < x_{n+1}\,$ .
(S’aider si nécessaire d’un tableau de variation). Dans ce cas, on a démontré que la suite $(x_n)_n\,$ est monotone.

$\ast$ Il reste alors à démontrer selon le cas que $(x_n)_n\,$ est majorée ou minorée.

$\ast$ Pour déterminer la limite de $(x_n)_n\,$ , écrire l’équation $f_n (x_n) = 0$ , de façon à pouvoir passer à la limite dans l’équation ainsi obtenue.

exemple 1
Montrer que l’équation $\quad \quad \quad \textrm{e} ^x + n\, x - 2 = 0$
admet une unique solution $a_n$ .
Démontrer que la suite $(a_n)_n$ converge, trouver sa limite et et celle de $(n\, a_n)_n\,$ .

Correction : $\bullet$ On note $f_n : x \mapsto \textrm{e} ^ x + n\, x - 2$ .
$f_n$ est continue et strictement croissan- te sur $\mathbb{R}$ , $\displaystyle \lim _ {x \to - \infty} f_n(x) = - \infty$ et $\displaystyle \lim _ {x \to + \infty} f_n(x) = + \infty$ .
$f_n$ définit une bijection de $\mathbb{R}$ sur $\mathbb {R}$ , il existe un unique réel $a_n$ tel que $f_n(a_n) = 0$ .
$f_n(0) = - 1$ et $f_n(1) = \textrm{e} + n - 2 > 0$ donnent $a_n \in \; ]0 \, ,\, 1[$ .

$\bullet$ En écrivant $a_n = \displaystyle \frac { 2 - \textrm{e} ^{a_n}} n \; \;$ avec $2 - \textrm{e} < 2 - \textrm{e} ^{a_n}< 1$ , $\displaystyle 0 < a_n < \frac 1 n$ , par encadrement, la suite $(a_n)_n$ converge vers $0$ .

$\bullet$ En écrivant $n \, a_n = 2 - \textrm{e} ^{a_n}$ , $\displaystyle \lim_{n \to + \infty} n \, a_n = 1$ , donc $\displaystyle a_n \underset {n \to + \infty} \sim \frac 1 n \,$ .

exemple 2.
Soit $n \in \mathbb{N}^*$ . Montrer que l’équation $\quad \quad \quad \ln(1 + x) - n\, x + 1 = 0$
admet une unique solution $a_n\,$ dans $\mathbb{R}^+$
Trouver le sens de variation de la suite $(a_n)_n\,$ , montrer qu’elle converge et trouver sa limite.

Correction : On note $f_n :\mathbb{R} ^+ \to \mathbb{R}, \; x \mapsto \ln(1 + x) - n\, x + 1$ .
$f_n$ est dérivable sur $\mathbb{R} ^+$ et $f _n'(x) = \displaystyle \frac 1 {x + 1} - n = \frac {1 - n - n \, x } {x + 1}< 0$ si $x > 0$ .
$f_n$ est continue sur $\mathbb{R}^+$ , strictement décroissante , $f_n(0) = 1$ et on démontre que $\displaystyle \lim_{x \to + \infty} f_n(x) = - \infty$ en écrivant $f_n(x) = \displaystyle x \left ( \frac {\ln(1 + x) } {1 + x} \, \frac {1 + x} x - n + \frac 1 {x + 1} \right )$

$f_{n + 1} (a_n) = f_n(a_n) - a_n = - a_n < 0$
$f_{n + 1} (a_n) < f_{n + 1} (a_{n + 1})$ et $f_{n + 1}$ est strictement décroissante donc $\quad \quad \quad \quad \quad a_n > a_{n + 1}\,$ .

La suite $(a_n)_n\,$ est décroissante et minorée par $0$ , elle converge. On note $L$ sa limite.
On écrit $\displaystyle a_n = \frac {\ln(1 + a_n) + 1} {n}$ .
La suite $( \ln(1 + a_n) + 1)_n$ converge vers $\ln(1 + L) + 1$ et $\displaystyle \lim_{n \to + \infty} \frac 1 n = 0$ , donc
$\displaystyle \lim_{n \to + \infty} a_n = 0$ .

En écrivant $n \, a_n = \ln(1 + a_n) +1$ , on obtient $\displaystyle \lim_{n \to + \infty} n \, a_n = 1$ .
Ce qui donne $\displaystyle a_n \underset {n \to + \infty} \sim \frac 1 n \,$ .

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