Chapitres Maths en MPSI, PCSI, MP2I, PTSI
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Cours : Suites numériques en Maths Sup
Résumé de cours Exercices et corrigés
Cours en ligne de Maths en Maths Sup
Résumé de cours et méthodes – Suites numériques en Maths Sup
Plan :
1. Les suites récurrentes particulières
2. Cas des suites monotones
3. Cas général
4. Une aide pour les suites de la forme
5. Suites définies implicitement.
Ce cours en ligne proposé gratuitement par Groupe Réussite vous aidera à comprendre le cours sur les suites en prépa maths sup et à appréhender les méthodes qui vous permettront de résoudre la plupart des exercices. Pour aller plus loin, nous vous proposons sur notre plateforme des professeurs particuliers de maths pour vous aider à travailler et à éliminer les zones d’ombres du cours.
1. Les suites récurrentes particulières en MPSI, PCSI, MP2I et PTSI
1.1. Suites arithmétiques
On suppose que .
D : Les suites arithmétiques sont les suites définies par leur premier terme et telles qu’il existe tel que si .
est appelé la raison.
P1 : La suite arithmétique de raison vérifie .
P2 : Si est une suite arithmétique et si ,
.
Cas particulier :
1.2. Suites géométriques
D : Les suites géométriques sont les suites définies par leur premier terme et telles qu’il existe tel que si .
est appelé la raison.
P1 : La suite géométri- que de raison vérifie
.
P2 : Si est une suite géométrique de raison ,
si .
Cas particulier qu’il est indispensable de connaître par cœur :
si , .
1.3. Suites arithmético-géométriques
D : Les suites arithmético-géométri- ques sont les suites définies par une relation du type :
il existe , où ,.
Méthode :
On commence par déterminer un complexe tel que .
Si , on note .
En faisant la soustraction des relations et , on démontre que la suite est une suite géométrique de raison .
On en déduit où puis on termine par .
1.4. Suites récurrentes linéaires d’ordre 2
Soit .
On veut déterminer le terme général des suites vérifiant .
On forme l’équation caractéristique .
1er cas. L’équation caractéristique admet deux racines distinctes notées et dans :
il existe
.
2ème cas. L’équation caractéristique admet une racine double :
il existe , .
3ème cas. et l’équation caractéristique admet deux racines complexes conjuguées notées
et :
il existe .
En général, on calcule les constantes et en utilisant les valeurs de et .
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2. Étudier la convergence d’une suite monotone
2.1. Des conseils
a) Quand la suite est donnée par récurrence : penser à vérifier qu’elle est bien définie.
b) Il vaut mieux étudier la monotonie d’une suite en étudiant le signe de .
Si vous voulez absolument raisonner avec le quotient, vous devez commen- cer par dire que pour tout et démontrer que
… pour tout pour prouver que est croissante
… pour tout pour prouver que est décroissante
c) Pour traduire que la suite réelle est majorée :
on écrit qu’il existe tel que pour tout
à respecter l’ordre des quantificateurs mathématiques ;
.
s’il existe tel que soit majorée, la suite est majorée.
d) Pour traduire que la suite réelle est minorée :
on écrit qu’il existe tel que pour tout .
à respecter l’ordre des quantificateurs :
.
e) Pour traduire que la suite réelle ou complexe est bornée, on écrit qu’il existe tel que pour tout
.
à respecter l’ordre des quantifica- teurs :
.
Pour une suite réelle, il est nettement plus simple d’utiliser cette caractérisation que d’écrire qu’elle est majorée et minorée.
f) Pour l’étude d’une suite de terme général où , écrire
et déterminer la limite de la suite .
Dans le cas où
et,
on a une forme indéterminée.
2.2. Suite croissante
Le résultat :
Si est croissante, est convergente ssi elle est majorée
Si elle est majorée, elle converge vers .
Si elle n’est pas majorée, elle diverge vers .
M1. Si est croissante, pour démontrer qu’elle converge, il suffit de prouver qu’elle est majorée.
M2. Pour trouver un majorant d’une suite croissante, on peut chercher quelle peut être la limite de la suite et démontrer que
pour tout de , .
M3. Pour démontrer qu’une suite croissante diverge vers , on peut supposer qu’elle converge et montrer qu’il y a une contradiction (par exemple en prouvant qu’elle devrait converger vers un nombre puisque la limite d’une suite croissante est sa borne supérieure ).
exemple 1
Étude de la suite lorsque et .
Correction : On démontre facilement par récurren- ce que pour tout , est défini et .
.
Si l’on suppose démontré que , alors et comme la fonction racine carrée est strictement croissante : .
Par récurrence sur , . La suite est donc strictement croissante.
Pour deviner un majorant de la suite, on raisonne ainsi :
Si la suite est convergente, elle admet une limite (car ) et vérifiant, en passant à la limite dans la relation , soit , donc .
On démontre que est majorée par 2.
Si , on note .
est vraie, puisque .
Si elle est vraie au rang , , donc .
La suite est croissante et majorée par , elle converge, et on a vu que la seule limite possible était égale à , elle converge vers 2.
exemple 2
Étude de la suite définie par et .
Correction : , la suite est croissante. Si elle était convergente, elle convergerait vers tel que , donc . Mais comme , on aboutit à une contradiction.
La suite étant croissante, elle diverge vers .
Comme pour tout , si la suite était convergente, elle convergerait vers ce qui est impossible.
La suite est croissante et divergente, elle diverge vers .
2.3. Suite décroissante
Le résultat :
Si est décroissante, est convergente ssi elle est minorée
Si elle est minorée, elle converge vers .
Si elle n’est pas minorée, elle diverge vers .
M4. Pour trouver un minorant d’une suite décroissante, on peut chercher quelle peut être la limite de la suite et démontrer que pour tout de , .
M5. Pour démontrer qu’elle diverge vers , on peut supposer qu’elle converge et montrer qu’il y a une contradiction (par exemple en prouvant qu’elle devrait converger vers un nombre puisque la limite d’une suite décroissante est sa borne inférieure ).
On a prouvé que est une surjection de sur .
exemple
Étude de la suite définie par
lorsque , puis .
Correction : La suite est décroissante car :
.
Pour deviner un minorant de la suite , on raisonne ainsi :
Si la suite est convergente, elle admet une limite vérifiant, en passant à la limite dans la relation ,
soit .
On étudie les deux cas demandés.
Cas .
Comme la suite est décroissante, pour tout .
Si la suite était minorée, elle converge- rait vers et ce qui est impossible.
La suite est décroissante et non minorée, elle diverge vers .
Cas .
Comme la suite est décroissante, pour tout .
On démontre par récurrence que pour tout , .
La propriété est vraie pour .
Si elle est vraie au rang ,
donc .
La propriété est démontrée par récurrence. Elle est vraie pour tout .
La suite est décroissante et minorée par , elle converge vers unique limite possible de la suite.
Si , en utilisant :
on obtient et d’après le premier cas (en commençant la suite au rang 1), la suite diverge vers .
Si la suite est strictement décroissante et converge vers , pour tout .
Justification : On sait que ,
donc et
.
Retenir l’astuce d’introduire !
2.4. Suites adjacentes
M6. On donne deux suites à étudier : on peut chercher à démontrer qu’elles sont adjacentes.
On doit prouver que l’une des suites est croissante, l’autre décroissante et que la différence converge vers .
Si les suites et sont adjacentes, elles convergent vers la même limite qui est encadrée pour tout entier par
et .
Il est parfois possible d’exprimer la limite commune .
On détermine le signe de de façon à voir quelle doit être la suite croissante et la suite décroissante.
Si , on prouve que est décroissante et est croissante.
Si , on prouve que est croissante et est décroissante.
Un exemple classique
Les relations : pour tout ,
et
définissent des suites adjacentes de limite irrationnelle.
Démonstration : Convergence des suites
Il est évident que
Si . La suite est strictement croissante.
Si
.
La suite est strictement décroissante.
Les suites et sont adjacentes, elles convergent vers la même limite , de plus donne .
La limite est irrationnelle.
Pour tout ,
donc donne .
On raisonne par l’absurde et on suppose que . Il existe donc tel que .
On vient de prouver que .
En multipliant par
.
car si
est l’entier consécutif à .
est un entier strictement compris entre deux entiers consécutifs, on aboutit à une contradiction.
La limite est irrationnelle.
On démontrera ultérieurement que .
M7. Dans certains cas, on parvient à démontrer que pour tout , , avec croissante et
décroissante, sans parvenir à prouver que la suite converge vers .
On démontre qu’alors la suite est majorée par (puisque pour tout ) et que la suite
est minorée par (puisque pour tout , ).
Elles sont toutes deux convergentes. On peut éventuellement chercher à démontrer que les limites des deux suites sont égales.
3. Convergence de suites dans le cas général en MPSI, MP2I, PCSI et PTSI
3.1. En utilisant les théorèmes sur les convergences
Il n’est pas toujours indispensable d’étudier la monotonie d’une suite pour en justifier la convergence (ou la divergence).
M1 : La somme, le produit de deux suites convergentes sont des suites convergentes et
Somme de deux suites convergentes
Produit de deux suites convergentes
Produit d’une suite convergente par , .
M2 : Si les suites et convergent respectivement vers et avec , il existe un entier tel que si et la suite converge vers .
M3 : Si la suite diverge vers (resp. ), il existe un entier tel que si et la suite converge vers .
M4 : Si la suite converge vers et s’il existe un entier tel que si (resp. ),
la suite diverge vers (resp. vers ).
M5 : Si la fonction est continue en et si la suite de converge vers , .
3.2. Utiliser des inégalités
M1. Pour démontrer que la suite converge vers 0, il suffit de prouver que converge vers 0.
M2. Si et , alors la suite diverge vers .
M3. Si et , alors la suite diverge vers .
M4. Théorème d’encadrement
Si et si les suites et convergent vers la même limite , alors .
Conseil : éviter tout nom « exotique » pour désigner le théorème d’encadre- ment.
M5. où la suite est bornée et la suite converge vers 0, alors la suite converge vers 0.
M6. S’il existe et tels que pour tout , ,
on démontre que pour tout ,
puis comme , la suite converge vers et par encadrement la suite converge vers .
3.3. En utilisant les suites extraites
M1 : Si la suite converge vers , toute suite extraite converge vers .
(On rappelle que est une fonction strictement croissante de dans ).
M2. Si l’on trouve deux suites extraites de qui admettent des limites différentes, la suite diverge.
M3. Pour montrer que converge vers , il suffit de prouver que et
.
M4 : Théorème de Bolzano Weierstrass.
Si la suite réelle ou complexe est bornée, il existe une suite extraite convergente.
3.4. Cas des suites complexes
M1. Pour prouver qu’une suite complexe converge, on peut
démontrer que les suites et où et convergent.
Dans ce cas,
.
M2. On peut chercher le module de et un argument de .
Si l’on peut démontrer que converge vers et converge vers , en écrivant ,
et convergent vers et respectivement,
donc la suite converge vers .
3.5. Sommes de suites qui convergent vers 0
On suppose dans ce paragraphe que .
il est interdit de faire la somme des limites puisqu’il ne s’agit pas d’une somme d’un nombre fixé de suites.
M1. On peut chercher quel est le plus petit des termes et le plus grand des termes et encadrer entre deux suites. On pourra conclure si les deux suites qui encadrent ont même limite.
Par contre si est un entier fixé,
est la somme de suites, il suffit de chercher la limite de la suite pour .
exemple 1
Étude de la suite définie pour par .
Correction :
Comme pour tout entre et ,
donc
puis par somme, , par encadrement entre deux suites qui convergent vers
, la suite converge vers .
Par contre :
si , ,
est la somme de (fixé) termes qui convergent tous vers . Donc la suite converge vers .
exemple 2
La suite de terme général diverge vers
Correction :
C’est une suite croissante : .
.
Si la suite convergeait vers , on aurait en passant à la limite , ce qui est impossible.
La suite croissante est divergente, elle diverge vers .
M2. Deuxième période. Reconnaître une somme de Riemann.
Si est une fonction continue sur à valeurs dans , on note pour ,
et
les sommes de Riemann d’ordre associées à la fonction .
.
.
👍 En général et il suffira de reconnaitre :
ou
qui sont les termes généraux de deux suites qui convergent vers .
exemple 3
Correction : En posant ,
.
On note .
est continue sur .
donc .
3.6. En désespoir de cause
La démonstration de la convergence d’une suite par les « » et « » doit être réservée aux cas » théoriques » quand on a épuisé toutes les autres pistes
(un exemple de situation où il faut utiliser les « » et « » : démonstration de la moyenne de Cesaro) .
Rappels :
La suite converge vers ssi
.
La suite diverge vers ssi
.
La suite diverge vers ssi
.
⚠️ Il faut aussi savoir faire la négation des trois affirmations précédentes.
La suite ne converge pas vers ssi .
La suite ne diverge pas vers ssi .
La suite ne diverge pas vers ssi .
⚠️ Savoir redémontrer les propriétés suivantes :
Si la suite converge vers ,
.
Si la suite converge vers ,
.
Démonstration : Si la suite converge vers , on traduit cette limite en prenant ,
donc .
Si la suite converge vers , on applique le premier résultat à la suite qui converge vers , donc .
On termine en multipliant l’inégalité par .
4. Une aide pour les suites
⚠️ Il n’y a aucun résultat au program- me, il faudra donner des explications complètes.
On suppose dans cette partie que est continue sur l’intervalle à valeurs dans (on dit que est un intervalle -stable).
Par démonstration par récurrence, on démontre que pour tout , .
Les racines de sont appelées points fixes de .
👍 On peut s’aider d’un dessin précis.
On représente le graphe de et la droite d’équation .
On se donne , on en déduit le point puis en déterminant l’intersection la droite d’équation et , on obtient le point que l’on projette sur pour obtenir .
On réitère la construction.
Cela peut donner une idée des démonstrations à effectuer.
4.1. Fonction croissante sur , intervalle – stable
On suppose dans ce paragraphe que et où est continue et croissante de dans .
Résultat 1 :
La suite est monotone, on cherche son sens de variation en utilisant le signe de .
Démonstration : Si , on démontre que est vérifiée.
est vraie.
Si est vraie, par croissance de sur et sachant que l’on raisonne avec des points de
soit ,
ce qui prouve .
La propriété est démontrée par récurrence.
Si , on démontre que est vérifiée.
est vraie.
Si est vraie, par croissance de sur et sachant que l’on raisonne avec des points de
soit ,
ce qui prouve .
La propriété est démontrée par récurrence.
Suite du raisonnement :
On introduit la fonction .
Si s’annule sur en , on sera amené à étudier les cas :
, on démontre que la suite est stationnaire
(si cette inégalité est possible)
il existe tel que
(si cette inégalité est possible).
👍 On commence dans le cas d’une fonction croissante, à donner le tableau de variation de et le signe de .
Faire apparaître dans le tableau de variation de les zéros de .
Un exemple d’illustration graphique :
4.2. Fonction décroissante sur , intervalle -stable
On suppose dans ce paragraphe que et où est continue et décroissante de dans .
Si est un point fixe de , la suite est constante égale à .
Première méthode
Résultat 1 :
Les suites et sont monotones et varient en sens contraire. On cherche les sens de variation en utilisant le signe de .
Résultat 2 : On cherche les points fixes de sur .
👍 Si est une fonction polynôme, on peut trouver une fonction polynôme telle que
Puis on étudie la suite en se plaçant sur un intervalle dont les bornes sont deux points fixes consécutifs de , en vérifiant que ces intervalles sont -stables.
démonstration résultat 1 : On note , est une fonction croissante de dans .
La suite est définie par
et
donc elle est monotone.
Puis comme avec décroissante, la suite est monotone et varie en sens contraire de la suite .
Deuxième méthode :
les calculs précédents peuvent être lourds et l’énoncé peut proposer de trouver tel que.
On utilise ensuite la méthode M6 du paragraphe 3.2.
Un exemple d’illustration graphique :
Il est des cas où l’on sait résoudre alors que la fonction change de monotonie.
Exemple :
Étude de la suite définie par et où .
Correction : On reprend une étude plus systématique de l’exemple 3 du §2.3.
est dérivable sur et .
est croissante sur et décroissante sur avec .
.
On en déduit que la suite est toujours décroissante et que si la suite converge, elle converge vers .
On remarque que et .
On distingue les cas suivants :
, la suite est constante égale à 1.
, , la suite est stationnaire et converge vers .
Cas .
L’intervalle est -stable, la suite est décroissante et .
Si elle était convergente vers , .
En utilisant , à la limite ce qui est impossible.
La suite est décroissante et divergente, elle diverge vers .
Cas .
Attention l’intervalle n’est pas stable.
Mais étant strictement décroissante sur , donc . On se ramène au cas précédent à partir du rang 1, la suite diverge vers .
Cas
En utilisant les variations de , ,
par récurrence, pour tout , .
La suite est décroissante et minorée par , elle converge vers unique limite possible de la suite.
Conclusion
La suite converge vers lorsque et diverge vers sinon.
5. Suites définies implicitement
Pour démontrer qu’une équation écrite sous la forme admet une seule solution dans l’intervalle et étudier la suite :
M1. On démontre que définit une bijection de sur , avec (en démontrant que est continue et strictement monotone sur ).
On obtient ainsi l’existence et l’unicité de .
M2. L’énoncé ne demande pas de justifier la monotonie de la suite mais seulement d’étudier sa convergence.
Pour déterminer la limite de , écrire l’équation , de façon à pouvoir passer à la limite dans l’équation ainsi obtenue en raisonnant par des encadrements.
M3. L’énoncé demande de justifier la monotonie de la suite.
On peut calculer en injectant dans cette relation l’équation vérifiée par (obtenue avec ) et déterminer son signe.
Si est strictement croissante,
… s’écrit
et donne
… s’écrit
et donne .
Si est strictement décroissante,
… s’écrit
et donne
… s’écrit
et donne .
(S’aider si nécessaire d’un tableau de variation). Dans ce cas, on a démontré que la suite est monotone.
Il reste alors à démontrer selon le cas que est majorée ou minorée.
Pour déterminer la limite de , écrire l’équation , de façon à pouvoir passer à la limite dans l’équation ainsi obtenue.
exemple 1
Montrer que l’équation
admet une unique solution .
Démontrer que la suite converge, trouver sa limite et et celle de .
Correction : On note .
est continue et strictement croissan- te sur , et .
définit une bijection de sur , il existe un unique réel tel que .
et donnent .
En écrivant avec , , par encadrement, la suite converge vers .
En écrivant , , donc .
exemple 2.
Soit . Montrer que l’équation
admet une unique solution dans
Trouver le sens de variation de la suite , montrer qu’elle converge et trouver sa limite.
Correction : On note .
est dérivable sur et si .
est continue sur , strictement décroissante , et on démontre que en écrivant
et est strictement décroissante donc .
La suite est décroissante et minorée par , elle converge. On note sa limite.
On écrit .
La suite converge vers et , donc
.
En écrivant , on obtient .
Ce qui donne .
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