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Exercices corrigés sur les suites numériques en Maths Sup

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Résumé de cours Exercices et corrigés

Cours en ligne de Maths en Maths Sup

Plan des exercices : Limites de suites, constante d’Euler

1. Utilisation des suites récurrentes du programme
2. Des limites de suites simples
3. En utilisant des inégalités
4. Suite définie par une relation de récurrence
5. Suite vérifiant une inégalité
6. Une superposition de racines carrées
7. Constante d’Euler
8. Avec de la trigonométrie
9. La même suite à deux périodes différentes de l’année
10. Deux exercices théoriques

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1. Utilisation des suites numériques récurrentes du programme

Exercice 1
Déterminer $(u_n)_n\,$ en fonction de $u_0$ si $\forall\, n \in \mathbb{N}, \, u_{n + 1} = \displaystyle \sqrt{1 + \frac {u_{n } ^2} 2}$ .

Correction : On note $v_n = u_n^2$ .
La relation implique $v_{n + 1} = \displaystyle 1 + \frac {v_{n } } 2 \,$ .

C’est une suite arithmético-géométrique.
On résout $C = 1 + \displaystyle \frac C 2 \Leftrightarrow C = 2$ .
On forme $w_n = v_n - C$ .
On obtient $\forall\, n \in \mathbb{N}, \, w_{n + 1} = \displaystyle \frac {w_n} 2$ .

$(w_n)_n$ est une suite géométrique de raison $1/2$ et de premier terme $\quad \quad \quad \quad w_0 = u_0^2 - 2$ .
On en déduit que $w_n = \displaystyle \frac 1 {2 ^n} w_ 0$ , donc $v _n = 2 + \displaystyle \frac 1 {2 ^n} w_ 0$ puis
$\quad \quad u_n = \displaystyle \sqrt {2+ \frac 1 {2 ^n} ( u_0^2 - 2) }$ .

Exercice 2
Déterminer la suite $(u_n)_n\,$ sachant que $u_0 = 1 ,\, u_1 = 2$ et pour tout $n \geq 2$ , $\quad \quad u_n = \displaystyle \frac 2 {1 / u_{n - 1} + 1/u_{n - 2}}$ .

Correction : $\bullet$ Il ne faut pas oublier de justifier l’existence de la suite $(u_n)_n\,$ .
👍 On définit le terme d’indice $n + 2$ en fonction des termes d’indices $n$ et $n + 1$ , on utilise une hypothèse de récurrence double contenant le résultat aux rangs $n$ et $n + 1$ .
On note
si $n \in \mathbb{N}, \, H_n \, : \, u_n > 0 \, , \, u_{n + 1} > 0$ .
$H_0$ est vraie par définition de $u_0$ et $u_1\,$ .
On suppose que $H_n$ est vraie.
En utilisant $\displaystyle \frac 1 { u_{n}} + \frac 1 {u_{n +1}} \; > 0$ , on en déduit que $u_{n + 2}$ est défini et $\quad \quad u_{n + 2} = \displaystyle \frac 2 {1 / u_{n + 1} + 1/u_{n }} > 0$ .
on a donc prouvé que $H_{n + 1}$ est vraie.
Par récurrence, on a prouvé que la suite est définie et à valeurs strictement positives.

$\bullet$ On note $\displaystyle v_n = \frac 1 {u_n}$ .
La suite $(v_n)_n$ vérifie
$\quad \quad \quad \displaystyle \frac 1 {v_{n + 2} } = \frac 2 {v_n + v_{n + 1}}$
soit $2\, {v_{n + 2} } = {v_n + v_{n + 1}}\,$ .
C’est une suite récurrente linéaire d’ordre 2 d’équation caractéristique
$\quad 2 \, r^2 - r - 1 = (2 \, r + 1) (r - 1) = 0$
Il existe $(\lambda \, , \, \mu) \in \mathbb{R}^2$ tel que pour tout $n$ , $\quad \quad \quad v_{n } = \displaystyle \lambda \frac {(-1) ^n} {2 ^n } + \mu$
avec $v_0 = 1$ et $v_1 = 1/2$ .

On obtient les équations
$\quad \left \{ \begin{matrix} \lambda + \mu &=& 1\\ - \lambda / 2 + \mu &=& 1/2 \end{matrix} \right.$
$\quad \Leftrightarrow \lambda = \displaystyle \frac 1 3$ , $\mu = \displaystyle \frac 2 3$
alors $v_n = \displaystyle \frac {(-1) ^n} {3 \,\, 2 ^n } + \frac 2 3$
et $u_n = \displaystyle \frac {3 \, \, 2 ^n} {2 ^{n + 1} + (-1) ^{n}}\; \; \;$ .

Exercice 3
Déterminer la suite $(u_n)_n$ si $u_0 > 0$ et $u_1 > 0$ et pour tout $n \in \mathbb{N}$ , $\quad \quad \quad u_{n + 2} = \left ( {u_{n + 1}^3 \, u_n } \right ) ^{1/4}\,$ .

Correction : $\bullet$ Il ne faut pas oublier de justifier l’existence de la suite $(u_n)_n\,$ .
On note
si $n \in \mathbb{N}, \, H_n \, : \, u_n > 0 \, , \, u_{n + 1} > 0$ .
$H_0$ est vraie par définition de $u_0$ et $u_1\,$ .
On suppose que $H_n$ est vraie.
On en déduit que $u_{n + 2}$ est défini et que $u_{n + 2} = \left ( {u_{n + 1}^3 \, u_n } \right ) ^{1/4} \, > 0$ .
Donc $H_{n + 1}$ est vraie.

$\bullet$ On peut calculer le $\ln$ de la relation :
$\quad \displaystyle \ln(u_{n + 2}) = \frac 3 4 \ln(u_{n + 1}) + \frac 1 4 \ln(u_n)$
soit en posant $v_n = \ln(u_n)$ :
$\quad \quad \quad 4\, v_{n + 2} = 3 \, v_{n + 1} + \, v_n$
c’est une suite récurrente linéaire d’ordre 2, d’équation caractéristique $\; \; 4 \, r ^2 - 3\, r - 1 = (4\, r + 1)\, (r - 1) = 0$
On en déduit qu’il existe $(\lambda \, , \, \mu) \in \mathbb{R}^2$ tel que pour tout $n$ , $\displaystyle v_{n } = \lambda \frac {(-1)^n} {4 ^n} + \mu$
avec $v_0 = \lambda + \mu$ et $v_1 = \mu - \lambda / 4$
ssi $5 \, \mu = v_0 + 4\, v_1$ et $\displaystyle \frac {5\, \lambda} 4 = v_0 - \, v_1$
alors $\forall \, n \in \mathbb{N}\,$ , $\displaystyle v_n = \frac 1 5 \left ( (v_0 - \, v_1) \frac {(-1)^n} {4 ^{n - 1} } + v_0 + 4\, v_1 \right )$
$\displaystyle u_n = \textrm{exp} \left ( \ln \left ( \frac {u_0} {u_1} \right ) \frac {(-1)^n} {5\, 4 ^{n - 1} } + \frac 1 5 \, \ln \left ( u_0 \, u_1^4 \right ) \right )$
$\displaystyle u_n = u_0^{1/5} \, u_1^{4/5} \; \textrm{exp} \left ( \ln \left ( \frac {u_0} {u_1} \right ) \frac {(-1)^n} {5 \, 4 ^{n - 1} } \right )$ .

2. Des limites de suites simples

exercice 1
Pour $n \geq 2,\, u_n = \displaystyle \frac {\ln(n ^2 + n + 1)} {\ln(n)}$ . Vers quoi la suite converge ?

Correction : On écrit
$\displaystyle \ln(n ^2 + n + 1) = \ln \left ( n ^2 \left ( 1 + \frac 1 n + \frac 1 {n ^2} \right ) \right )$
$\displaystyle \quad \quad =2 \ln(n) + \ln \left ( 1 + \frac 1 n + \frac 1 {n ^2} \right )$
donc $u_n = \displaystyle 2 + \frac 1 {\ln(n)} \ln \left ( 1 + \frac 1 n + \frac 1 {n ^2} \right )$

Comme $\displaystyle \lim_{n \to + \infty} \ln \left ( 1 + \frac 1 n + \frac 1 {n ^2} \right ) = 0$
et $\displaystyle \lim_{n \to + \infty} \frac 1 {\ln(n)} = 0$ , $\displaystyle \lim_{n \to + \infty} u_n = 2$ .

Exercice 2
Pour $n \geq 1,\, u_n = \displaystyle n \sin \frac {\pi} {n^2}$ . Vers quoi la suite converge-t-elle ?

Correction :On démontre que
$\quad \quad$ si $x \in [0 , \pi],$ $\, 0 \leq \sin(x) \leq x$ :
Soit $f : x \mapsto x - \sin(x)$ , $f'(x) = 1 - \cos(x) \geq 0$ , $f$ est croissante sur $[0 \, , \, \pi]$ avec $f(0) = 0$ donc $f(x) \geq 0$ .

Alors $\displaystyle 0 \leq u_n \leq n \frac {\pi} {n^2} \leq \frac {\pi} {n}$ , donc par encadrement, $\displaystyle \lim_{n \to + \infty} u_n = 0$ .

Exercice 3
Pour $n \in \mathbb{N}$ $\quad u_n = \sqrt{n ^2 +n + 1} - \sqrt{n ^2 - n + 1}$ . Vers quoi la suite converge ?

Correction : En utilisant la quantité conjuguée,
$\displaystyle u_n = \frac {(n^2 + n + 1) - (n ^2 - n + 1) } {\sqrt{n ^2 +n + 1} + \sqrt{n ^2 - n + 1}}$
$\displaystyle = \frac {2 \, n } {n \left ( \sqrt{1 + 1/n + 1 /n ^2 } + \sqrt{1 - 1/n + 1/n ^2 }\right ) }$
$\displaystyle= \frac {2 } { \sqrt{1 + 1/n + 1 /n ^2 } +\sqrt{1 - 1/n + 1/n ^2 }}$
$\displaystyle \lim_{n \to + \infty} u_n = \frac 2 2 = 1$

Exercice 4
Si $n \geq 2$ , $u_n = (n + 1) ^{1/\ln(n)}$ . Vers quoi la suite converge ?

Correction : $u_n > 0$ et $\ln(u_n) = \displaystyle \frac {\ln(n + 1)} {\ln(n)}$ .
En écrivant $\ln(n + 1) = \ln(n) + \displaystyle \ln \left ( 1 + \frac 1 n \right )$
$\ln(u_n) = \displaystyle 1 + \frac 1 {\ln(n)} \ln \left ( 1 + \frac 1 n \right )$ .

$\displaystyle \lim_{n\to + \infty} \frac 1 { \ln(n)} = 0$ et $\displaystyle \lim_{n\to + \infty} \ln \left ( 1 + \frac 1 n \right ) = 0$
$\Rightarrow \displaystyle \lim_{n\to + \infty} \ln(u_n) = 1$
Par continuité de la fonction exponentielle, $\displaystyle \lim_{n\to + \infty} u_n = \textrm{e}$ .

Exercice 5
Si $n \geq 2$ , $u_n = (\ln n) ^{1/n}$ . Vers quoi la suite converge ?

Correction : $\ln(u_n) = \displaystyle \frac {\ln(\ln n ) } {n} = \frac {\ln(\ln n ) } {\ln n } \, \frac {\ln n} n$
en utilisant $\displaystyle \lim _{t \to + \infty} \frac {\ln t} t = 0$ ,
$\displaystyle \lim _{n \to + \infty}\ln(u_n) = 0$ .
Par continuité de la fonction exponentielle, $\displaystyle \lim _{n \to + \infty}u_n = 1$ .

$\ln(u_n) = \displaystyle \frac {\ln(\ln n ) } {n} = \frac {\ln(\ln n ) } {\ln n } \, \frac {\ln n} n$
en utilisant $\displaystyle \lim _{t \to + \infty} \frac {\ln t} t = 0$ ,
$\displaystyle \lim _{n \to + \infty}\ln(u_n) = 0$ .
Par continuité de la fonction exponentielle, $\displaystyle \lim _{n \to + \infty}u_n = 1$ .

3. Utilisation d’inégalités

Exercice 1 Mines Telecom MP 2018
Nature de la suite de terme général
$u_n = \displaystyle \sum _{k = n ^2} ^{(n + 1)^2 } \frac 1 {\sqrt{k}}$ . Converge-t-elle ?

Correction : On additionne
$\quad \quad (n + 1) ^2 - n ^2 + 1 = 2 \, n + 2$
termes compris entre
$\displaystyle \frac {1} {\sqrt{(n + 1)^2}} = \frac 1 {n + 1 }$ et $\displaystyle \frac {1} {\sqrt{n ^2}} = \frac 1 {n}$
donc $\displaystyle \frac {2 n + 2} {n + 1} \leq u_n \leq \frac {2 n + 2} {n }$
soit $\displaystyle 2 \leq u_n \leq 2 + \frac 2 n\,$ .
Par encadrement par deux suites qui convergent vers $2$ , la suite $(u_n)_n\,$ converge vers $2$ .

Exercice 2
Soit $u_0$ de $]0 , \,1[$ et $\quad \forall\, n \in \mathbb{N}, \, u_{n + 1} = 1 + \displaystyle \frac {u_n } {n + 1}$ .
Étude de la suite $(u_n)_n\,$ .

Correction : Soit si $n \in \mathbb{N}, \, H_n \, : \, 0 < u_n < 2$ .
$H_0$ est vraie et $H_1$ aussi car $u_1 = 1 + u_0 \in \; ]1 , \, 2[$ .
On suppose que $H_n$ est vraie pour un entier $n \geq 1$ .
Il est évident que $u_{n + 1} > 0$
et $\displaystyle u_{n + 1} < 1 + \frac 2 {n + 1} \leq 2$ car $n + 1 \geq 2$ .

Comme la suite $(u_n)_n$ est bornée,
$\quad \quad \quad \displaystyle \lim_{n \to + \infty} \frac {u_n} {n + 1} = 0$
donc $\displaystyle \lim_{n \to + \infty} u_{n + 1} = 1$ .
La suite $(u_n)_n\,$ converge vers $1$ .

Exercice 3
Convergence de la suite $(u_n)_{n \geq 1}$ définie par $\displaystyle u_{n + 1} = \frac {n \, u_n } {n + 1 + u_n}$ et $u_1 > 0$

Correction : Par récurrence simple,
$\quad \quad \forall\, n \in \matbb{N}^* n \geq 1, \, u_n > 0$ .
On écrit la relation de définition sous la forme :
$\quad (n + 1) \, u_{n + 1} + u_n \, u_{n + 1} = n \, u_n$
donc si $v_n = n \, u_n\,$ , $\quad \quad v_n - v _{n + 1} = u_n \, u_{n + 1} > 0$ .
La suite $(v_n)_{n \geq 1}$ est décroissante et à valeurs positives.

$0 \leq v_n \leq v_1$ donne $\displaystyle 0 < u_n \leq \frac {u_1} {n }$ .
Par encadrement, $\displaystyle \lim_{n \to + \infty} u_n = 0$ .

4. Suites définies par une relation de récurrence

Exercice 1
Soit la suite $(u_n)_{n \geq 1}$ définie par $u_1 = 1$ et pour tout entier $n \geq 2$ , $\quad \quad \quad u_n = \sqrt{n + u_{n - 1} } \,$ .
Question 1
Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ , $\quad \quad \quad u_n \leq \sqrt{2 \, n + 1}$ .

Correction : Soit si $n \in \mathbb{N}^*\, , H_n \, : u_n \leq \sqrt{2 \, n + 1}$
Pour $n = 1,\, u_1 = 1 < \sqrt{3}$ , donc $H_1$ est vérifiée.
On suppose que $H_n$ est vraie :
$u_{n + 1} = \sqrt{n + 1 + u_n }$
donc $u_{n + 1} \leq \sqrt{n + 1 + \sqrt{2\, n + 1} }$
que l’on doit comparer à $\sqrt{2 \, n + 3}$ .
Les réels comparés étant positifs ou nuls, on peut raisonner par équivalence en élevant les termes au carré :
$\sqrt{n + 1 + \sqrt{2 \, n + 1} } \leq \sqrt{2 \, n + 3}$
$\Leftrightarrow {n + 1 + \sqrt{2 \, n + 1} } \leq {2 \, n + 3}$
$\Leftrightarrow { \sqrt{2 \, n + 1} } \leq {n + 2}$
$\Leftrightarrow { {2\, n + 1} } \leq {n^2 + 4\, n + 4}$
$\Leftrightarrow n ^2 + 2\, n + 3 \geq 0$ .

On obtient par équivalence une inégalité vérifiée, donc on a prouvé que
$\quad \sqrt{n + 1 + \sqrt{2 \, n + 1} } \leq \sqrt{2 \, n + 3}$
et alors $u_{n + 1} \leq \sqrt{2 \, n + 3}$ , ce qui justifie $H_{n + 1}$ .
La propriété est démontrée par récurrence.

👍 si $a$ et $b$ sont deux réels positifs, démontrer que $a \leq b$ revient à démontrer que $a^2 \leq b ^2$ .

Question 2
Déterminer $\displaystyle \lim_{n \to + \infty} \frac {u_n} {\sqrt{n}}$ .

Correction : $\displaystyle \frac {u_n } {\sqrt{n} } = \sqrt { 1 + \frac { u_{n - 1}} n }\; \;$ ,
puis en utilisant l’inégalité de la question 1, $\displaystyle 0 \leq \frac { u_{n - 1}} n \leq \frac { \sqrt{2\, n - 1}} n$ ,
par encadrement, $\displaystyle \lim_{n \to + \infty} \frac { u_{n - 1}} n\, = 0$ .
On a prouvé que $\displaystyle \lim_{n \to + \infty} \frac {u_n } {\sqrt{n} } = 1$ .

Question 3
$\displaystyle \lim_{n \to + \infty} ({u_n} - {\sqrt{n}} ) = \frac 1 a$ .

Correction : Pour lever l’indétermination, on utilise la quantité conjuguée, puis l’on divise numérateur et dénominateur par $\sqrt{n - 1}$ et $\sqrt{n}$ respectivement, pour utiliser la question précédente :
$\displaystyle {u_n} - {\sqrt{n}} = \frac {{u_n}^2 - {n}} {{u_n} + {\sqrt{n}}}$
$\displaystyle {u_n} - {\sqrt{n}} = \frac {u_{n - 1}} {u_n + \sqrt{n}}$
$\displaystyle {u_n} - {\sqrt{n}} = \frac {u_{n - 1}/ \sqrt{n - 1} } {1+ {u_n}/\sqrt{n}}\; \frac {\sqrt{n - 1}} {\sqrt{n}}$

On utilise ensuite
$\displaystyle \lim_{n \to + \infty} \frac {\sqrt{n - 1}} {\sqrt{n}} = \lim_{n \to + \infty} {\sqrt{1 - \frac 1 n }} = 1$
$\displaystyle \lim_{n \to + \infty} \frac {u_n } {\sqrt{n}} = \lim_{n \to + \infty} \frac {u_{n - 1} } {\sqrt{n - 1 }} = 1$ ,
alors $\displaystyle \lim_{n \to + \infty} ({u_n} - {\sqrt{n}} ) = \frac 1 2$ .

5. Suite vérifiant une inégalité

Soit $(u_n)_n$ une suite bornée telle que pour tout $n$ de $\mathbb{N}^*$ , $2\, u_n \leq u_{n - 1} + u_{n + 1}$ .
Question 1
Soit $v_n = u_n - u_{n - 1}$ où $n \in \mathbb{N}^*$ . Montrer que la suite $(v_n)_{n \geq 1}$ est convergente.

Correction : $v_{n + 1} - v_n = (u_{n + 1} - u_{n } ) - (u_n - u_{n - 1} )$
$v_{n + 1} - v_n = u_{n + 1}+ u_{n - 1} -2\, u_{n } \geq 0$
$(v_n)_{n \geq 1}$ est une suite croissante.

C’est une différence de deux suites bornées, elle est bornée.
$(v_n)_{n \geq 1}$ est une suite croissante et majorée, elle est convergente.

Question 2
En raisonnant par l’absurde, on peut démontrer que la suite $(v_n)_{n \geq 1}$ converge vers $0$ . Vrai ou Faux ?

Correction : On note $L$ la limite de la suite $(v_n)_{n \geq 1}$ .
$\ast$ On suppose que $L > 0$ .
Il existe $N \in \mathbb{N},$ si $n \geq N, \, v_n \geq L /2$ .
Soit $n \geq N$ , $\displaystyle \sum _{k = N} ^{n } v _ k \geq \sum _{k = N} ^{n } \frac L 2$
$\displaystyle \sum _{k = N} ^{n } u _ {k + 1} - \sum _{k = N} ^{n } u _ {k } \geq \frac {(n - N + 1) L} 2$
$\displaystyle \sum _{p = N+ 1 } ^{n + 1 } u _ {p} - \sum _{k = N} ^{n } u _ {k } \geq \frac {(n - N + 1) L} 2$
$\displaystyle u_{n + 1} - u_N \geq \frac {(n - N + 1) L} 2$
donne par minoration par une suite qui diverge vers $+\infty$ , $\displaystyle \lim_{n \to + \infty} {u_n}= + \infty$
ce qui contredit le fait que la suite soit bornée.

Il est impossible que $L > 0$ .

$\ast$ On suppose que $L < 0$ .
Il existe $N \in \mathbb{N},$ si $n \geq N, \, v_n \leq L /2$ .
Soit $n \geq N$ , $\displaystyle \sum _{k = N} ^{n } v _ k \leq \sum _{k = N} ^{n } \frac L 2$
avec un raisonnement analogue au précédent,
$\quad \quad \displaystyle u_{n + 1} - u_N \leq \frac {(n - N + 1) L} 2$
donne par majoration par une suite qui diverge vers $-\infty$ , $\displaystyle \lim_{n \to + \infty} {u_n}= - \infty$
ce qui contredit le fait que la suite soit bornée.

Il est impossible que $L < 0$ .

On a donc prouvé que $L = 0$ .

Question 3
On peut prouver qu’il existe $N \in \mathbb{N}$ tel que $(u_n)_{n \geq N}$ soit monotone, donc la suite $(u_n)_n$ converge. Vrai ou Faux ?

Correction : La suite $(v_n)_{n \geq 1}$ est croissante et converge vers 0, donc $0$ est la borne supérieure de la suite, ce qui donne
si $n \geq 1, \, v_n \leq 0$ , soit $u_n \leq u_{n - 1}\,$ .
La suite $(u_n)_{n }\,$ est décroissante et bornée, elle converge.

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6. Une superposition de racines carrées

Question 1
Soit $a > 0$ , $u_0 = \sqrt{a}$
et $\forall \, n \in \mathbb{N}$ , $u_{n+1} = \sqrt{a + u_n}$ .
On note $\alpha = \displaystyle \frac 1 2 \left ( 1 + \sqrt{1 + 4 \, a} \right )$ .
Montrer que $\forall\, n \in \mathbb{N}, \, u_n \leq \alpha$ .
Étudier la convergence de la suite $(u_n)_n\,$ .

correction : Si $n \in \mathbb{N}$ , on note $,H_n \, : \, u_n \leq \alpha$ .
$\ast$ Comme $\quad\displaystyle \frac 1 2 \left ( 1 + \sqrt{1 + 4\, a} \right ) \geq \frac 1 2 \left (\sqrt{4 \,a} \right ) = \sqrt{a}$ ,
on a prouvé que $u_0 \leq \alpha$ .
$\ast$ On suppose que $H_n$ est vérifiée.
La fonction $x \mapsto \sqrt{a + x}$ étant croissante, par $H_n$
$u_{n + 1} \leq \sqrt{a + \alpha}$ (*)
$a + \alpha = \displaystyle \frac 1 2 \left ( 2 \,a + 1 + \sqrt{1 + 4\, a} \right )$
$a + \alpha = \displaystyle \frac 1 4 \left ( 4\, a + 2 + 2\, \sqrt{1 + 4\, a} \right )$
$a + \alpha = \displaystyle \frac 1 4 \left ( 1 + (\sqrt{1 + 4\, a}) ^2 + 2\, \sqrt{1 + 4 \,a} \right )$
$a + \alpha = \displaystyle \frac 1 4 \left ( 1 + \sqrt{1 + 4 \,a} \, \right ) ^2 = \alpha ^2$
(*) donne $u_{n + 1} \leq \alpha$ .
La propriété est démontrée par récurrence.

$u_{n + 1} - u_n = \sqrt {a + u_n } - u_n$
en multipliant par la quantité conjuguée
$u_{n + 1} - u_n = \displaystyle \frac {a + u_n - u_n^2} {\sqrt {a + u_n } + u_n } \;$ .
Les racines de $a + x - x^2 = 0$ sont
$\alpha$ et $\beta = \displaystyle \frac {1 - \sqrt{1 + 4\, a}} 2 < 0$ .
$a + u_n - u_n^2= (\alpha - u_n) (u_n - \beta)$
avec $u_n - \beta \geq - \beta > 0$ car $u_n \geq 0$
et $\alpha - u_n \geq 0$ , donc $u_{n + 1} - u_n \geq 0$ .

La suite $(u_n)_n$ de réels positifs est croissante et majorée, elle converge vers $L \geq 0$ tel que $L ^2 = a + L$ (équation obtenue en passant à la limite dans la relation $u_n^2 = a + u_n$ ), ce qui donne $L \in \{\alpha \, , \, \beta \}$ , donc $L = \alpha$ .

Question 2
On suppose toujours $a > 0$ .
Soit une suite $(a_n)_{n \geq 1}$ telle que $\quad \quad \forall\, n \in \mathbb{N}^*, \, 0 \leq a_n \leq a$ .
On définit pour $n \in \mathbb{N}^*,$ $\quad \, v_n = \sqrt{a_1 + \sqrt {a_2 \, + \cdots \, + \sqrt{a_n }}}$
La suite $(v_n)_{n \geq 1}$ converge.

Vrai ou Faux ?

Correction : $\bullet$ En utilisant $a_n \leq a_n +\sqrt{a_{n + 1}}$ et la croissance de la fonction racine carrée,
$\sqrt{a_n} \leq \sqrt{a_n +\sqrt{a_{n + 1}}}$
puis $\sqrt{a_{n - 1} + \sqrt{a_n}} \leq \sqrt{a_{n - 1} + \sqrt{a_n +\sqrt{a_{n + 1}}}}$
et en réitérant le raisonnement, $v_n \leq v_{n + 1}\,$ .

$\bullet$ En utilisant $\forall \, k \in \mathbb{N}^* \, , \, a_k \leq a$ ,
$\quad \quad v_n \leq \sqrt{a + \sqrt {a \, + \cdots \, + \sqrt{a }}}$
(avec $n$ signes $\sqrt{\, .\, }\,$ ) .
On a prouvé que $v_n \leq u_n$ donc $v_n \leq \alpha$ .
La suite $(v_n)_{n \geq 1}$ est croissante et majorée, elle est convergente.

7. Constante d’Euler

Question 1
Montrer que pour tout $x \geq 0$ , $\quad \quad \displaystyle \frac x {x+1}\leq \ln(1 + x)\leq x$ .

Correction : $\bullet$ Soit $u : x \mapsto x - \ln(1 + x)$ .
$u$ est dérivable sur $\mathbb{R} ^+$ et $u'(x) = 1 - \displaystyle \frac 1 {x + 1} = \frac {x} {x + 1} \geq 0$ .
$u$ est croissante sur $\mathbb{R} ^+$ donc
$\forall\, x \geq 0, \, u(x) \geq u(0)$ soit $u(x) \geq 0$
$\Rightarrow x - \ln(1 + x) \geq 0$ .

$\bullet$ Soit $v : x \mapsto \displaystyle \ln(1 + x)- \frac x {x+1}$ .
$v$ est dérivable sur $\mathbb{R} ^+$ et $v'(x) = \displaystyle \frac 1 {x + 1} - \frac 1 {(x + 1)^2} = \frac {x} {(x + 1)^2} \geq 0$
$v$ est croissante sur $\mathbb{R} ^+$ donc
$\forall\, x \geq 0,\, v(x) \geq v(0)$ soit $v(x) \geq 0$
$\Rightarrow \displaystyle \ln(1 + x) - \frac x {x+1} \geq 0$ .

Question 2.
Montrer que la suite de terme général $a_n = \displaystyle \sum _ {k = 1} ^n \frac 1 k - \ln(n)$ converge.
On notera $\gamma$ sa limite que l’on ne cherchera pas à calculer.

Correction : $\bullet$ Monotonie $a_{n + 1} - a_n = \displaystyle \frac 1 {n + 1} - \ln(n + 1) + \ln(n)$
$a_{n + 1} - a_n = \displaystyle \frac 1 {n + 1} - \ln \left ( 1 + \frac 1 n \right )$
En utilisant la question 1 pour $x = 1/ n$
$\displaystyle \frac {1/n} {1 + 1/n} - \ln \left ( 1 + \frac 1 n \right ) \leq 0$
soit $\displaystyle \frac 1 {n + 1} - \ln \left ( 1 + \frac 1 n \right ) \leq 0$
donc $a_{n + 1}- a_n \leq 0$ .
La suite $(a_n)_{n\geq 1}$ est décroissante.

$\bullet$ En utilisant la première question,
pour tout $k \geq 1, \; \displaystyle \ln \left ( 1 + \frac 1 k \right ) \leq \frac 1 k$
donc par somme,
$\displaystyle \sum_{k = 1} ^n \frac 1 k \geq \sum _ {k = 1} ^n (\ln(k + 1) - \ln(k))$
$\displaystyle u_n = \sum _ {k = 1} ^n (\ln(k + 1) - \ln(k))$
$\displaystyle u_n = \sum _ {k = 1} ^n \ln(k + 1) - \sum _ {k = 1} ^n\ln(k)$
$\displaystyle u_n = \sum _ {p = 2} ^{n + 1} \ln(p) - \sum _ {k = 1} ^n\ln(k)$ $u_n = \ln(n + 1) - \ln(1)$
donc $\displaystyle \sum_{k = 1} ^n \frac 1 k \geq \ln(n + 1)$
et $a_{n } \geq \ln(n + 1) - \ln(n) > 0$ .

La suite $(a_n)_{n\geq 1}$ est décroissante et minorée par 0, elle converge vers un réel $\gamma$ appelé constante d’Euler.
$\gamma \approx 0.577$ .

Question 3
Déterminer la limite de la suite de terme général $R_n = \displaystyle \sum _ {k = n + 1} ^{2 n } \frac 1 k$

Correction : On note dans la suite $H_n = \displaystyle \sum _ {k = 1} ^n \frac 1 k$ , donc $H_n = a_n + \ln(n)$ .
$R_n = H_{2 n} - H_n$ $R_n = a_{2 n } - a_n + \ln(2 \, n) - \ln(n)$
$R_n = a_{2 n } - a_n + \ln(2)$
donc $\displaystyle \lim_{n \to + \infty} R_n = \gamma - \gamma + \ln(2)$ .
$(R_n)_n$ converge vers $\ln(2)$ .

Question 4
On note

$\displaystyle S_n = \sum _{k = 1}^n \frac {(-1)^{k + 1} } {k}$ .
Montrer que la suite

$(S_n)_n$ converge et déterminer sa limite.

Correction : $\displaystyle S_{2 n } - H_{2 n} = \sum _ {k = 1} ^{2 n} \left ( \frac {(-1)^{k + 1} } {k} - \frac {1 } {k} \right )$
si $k = 2\, p + 1,\, (-1)^{k + 1} - 1 = 0$
si $k = 2 \, p ,\, (-1)^{k + 1} - 1 = - 2$
Il ne subsiste que les termes lorsque $k = 2 \, p$ avec $1 \leq p \leq n$ ,
donc $\displaystyle S_{2 n } - H_{2 n} = \sum _ {p = 1} ^{n} \frac {- 2} {2p}$
soit $\displaystyle S_{2 n } - H_{2 n} = - H_n$
donc $S_{2 n} = H_{2 n } - H_n = R_n$
et $\displaystyle \lim_{n \to + \infty} S_{2 n} = \ln(2)$ .

Comme $\displaystyle S_{2 n + 1} = S_{2 n} + \frac 1 {2 n + 1}$ ,
$\displaystyle \lim_{n \to + \infty} S_{2 n + 1} = \ln(2)$ .

Par propriété des suites extraites, $\quad \quad \quad \displaystyle \lim_{n \to + \infty} S_{n} = \ln(2)$ .

Question 5
On suppose que la suite $(x_n)_{n> 0}$ est définie par $x_1 \in \mathbb{R}$ et $\quad \quad \forall\, n \in \mathbb{N}^*, \, x_{n + 1} + x_n = \displaystyle \frac 1 n$ .
Si $n \geq 2$ , exprimer $x_n$ en fonction de $S_{n - 1}$ et $x_1\,$ .
En déduire une CNS pour que la suite $(x_n)_n$ converge.

Question 6
Étude de la convergence des suites $(c_n)_{n > 0}$ et $(d_n)_{n > 0}$ définies par leurs premiers termes $c_1$ et $d_1$ et les relations
$\quad \quad \forall \, n \, \in \mathbb{N}^*, \, \displaystyle c_{n + 1} = d_n + \frac 1 n$ $\quad \quad \quad \quad \textrm{et } \displaystyle d_{n + 1} = c_n - \frac 1 n$ .

8. Avec de la trigonométrie

Soit $t \in [0 , \pi/2[$ et si $n \in \mathbb{N}^*$ , $\quad \quad P_n = \displaystyle \prod _{k = 1}^n \left ( 1 - \tan^2 \left ( \frac t {2 ^k} \right ) \right)$ .
Justifier l’existence de $P_n\,$ , démontrer que la suite converge et trouver sa limite.

Correction : $\bullet$ $\displaystyle 0 \leq \frac t {2 ^k} \leq t < \frac {\pi} 2$ donc $P_n$ est défini.

$\bullet$ On suppose dans la suite que $t \neq 0$ car sinon $P_n = 1$ .
On rappelle que si $2 \, u \in [0 , \, \pi/2[$ , $\quad \quad \tan(2\, u) = \displaystyle \frac {2 \, \tan(u)} {1 - \tan^2(u)}$ .
donc si $u \in \; \displaystyle \left ]0 , \frac { \pi} 4\right [,$ $\quad \quad \quad \, \displaystyle 1 - \tan^2(u) = \frac {2 \tan(u)} {\tan(2\,u)}$
Si $k \in \mathbb{N}^*$ , $\displaystyle 0 \leq \frac t {2 ^k} < \frac {\pi} 4$ ,
$\quad \quad \quad P_n = \displaystyle \prod _{k = 1}^n \frac {2 \tan(t / 2 ^{k})} {\tan(t / 2 ^{k - 1} )}$
Puis avec $p = k - 1$ ,
$\quad \quad \displaystyle \prod _{k = 1}^n {\tan(t / 2 ^{k - 1} )} = \prod _{p = 0}^{n - 1} {\tan(t / 2 ^{p} )}$ ,
$P_n = \displaystyle 2 ^n \frac {\tan(t / 2 ^{n} )} {\tan(t) }$ .

$\displaystyle 2 ^n \, {\tan(t / 2 ^{n} )} = \frac {2 ^n \, \sin(t/2 ^n)} {\cos(t / 2^n)}$
On rappelle que $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac {\sin(x)} x = 1$ ,
donc $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \frac {\sin(t/2^n )} {t / 2 ^n} = 1$
$\Rightarrow \displaystyle \lim_{n \to +\infty} 2 ^n\, {\sin(t/2^n )} = t$
$\Rightarrow \displaystyle \lim_{n \to +\infty} 2 ^n\, {\tan(t/2^n )} = t$
donc $\displaystyle \lim_{n \to + \infty} P_n = \displaystyle \frac t {\tan(t)}$ .

9. La même suite à deux périodes différentes de l’année

Version premier semestre
Si $n \geq 1$ , $\quad u_n = \displaystyle \sum _{ k = 1} ^n \frac 1 {\sqrt{(n + k) (n + k + 1)} }$ .
La suite $(u_n)_n$ est convergente. Vrai ou Faux ?

Correction : $\bullet$ $u_{n + 1} = \displaystyle \sum _{ k = 1} ^{n + 1} \frac 1 {\sqrt{(n + 1 + k) (n + k + 2)} }$
⚠️ à bien remplacer $n$ par $n + 1$ à trois emplacements !
Puis en posant $p = k + 1$ ,
$u_{n + 1} = \displaystyle \sum _{ p = 2} ^{n + 2} \frac 1 {\sqrt{(n + p) (n + p + 1)} }$

$\bullet$ On note $\varphi(p) = \displaystyle \frac 1 {\sqrt{(n + p) (n + p + 1)} }$
$u_{n + 1} = \displaystyle \sum _{ p = 2} ^{n + 2} \varphi(p)$
$= \displaystyle \sum _{ p = 1} ^{n } \varphi(p) - \varphi(1) + \varphi(n + 1) + \varphi(n + 2)$
donc $u_{n + 1} - u_n =$ $\quad \quad \quad \quad \quad \quad \varphi(n + 1) + \varphi(n + 2) - \varphi(1)$
$u_{n + 1} - u_n = \displaystyle \frac 1 {\sqrt{(2 n + 1)(2 n + 2) } }$ $\displaystyle \quad \quad \quad \quad \quad \quad +\, \frac 1 {\sqrt{(2 n + 2)(2 n + 3)} }$ $\displaystyle \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad -\, \frac 1 {\sqrt{(n + 1)(n + 2) }}$
$u_{n + 1} - u_n = \displaystyle \frac 1 {\sqrt{2 n + 2 }} \; v_n$ où $v_n = \displaystyle \frac 1 {\sqrt{2 n + 1 }} + \frac 1 {\sqrt{2 n + 3 }} - \frac 2 {\sqrt{2 n + 4} }$
puis $\displaystyle \frac 1 {\sqrt{2 n + 1 }} > \frac 1 {\sqrt{2 n + 4 }}$
et $\displaystyle \frac 1 {\sqrt{2 n + 3 }} > \frac 1 {\sqrt{2 n + 4 }}$
donnent $v_n > 0$ et $u_{n + 1} - u_n > 0$ .
La suite est croissante.

$\bullet$ $u_n$ est la somme de $n$ termes tous inférieurs ou égaux à $\displaystyle \frac 1 {\sqrt{(n + 1)(n + 2)} }\leq \frac 1 n$ , donc $u_n \leq \displaystyle \frac n n$ .
La suite est croissante et majorée par 1, elle converge.

Version deuxième semestre
Si $n \geq 1$ , $\quad u_n = \displaystyle \sum _{ k = 1} ^n \frac 1 {\sqrt{(n + k) (n + k + 1)} }$ .
La suite converge vers $\ln 2$ .

Vrai ou Faux ?

Correction : $\bullet$ Pour tout $k > 0$ ,
$n + k \leq \sqrt{(n + k) (n + k + 1)} \leq n + k + 1$
donc $\displaystyle \frac 1 {n + k + 1} \leq \frac 1 {\sqrt{(n + k) (n + k + 1)} }$ $\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad\quad \quad \quad \quad \displaystyle \leq \frac 1 {n + k}$
par somme, on écrit $a_n \leq u_n \leq b_n$
avec $a_n = \displaystyle \sum _ {k = 1} ^n \frac 1 {n + k + 1}$
et $b_n = \displaystyle \sum _ {k = 1} ^n \frac 1 {n + k}$ .

$\bullet$ On remarque en posant $p = k + 1$
$a_n = \displaystyle \sum _ {p = 2} ^{n +1} \frac 1 {n + p}$
$a_n = \displaystyle b_n + \frac 1 {2\, n + 1} - \frac 1 {n + 1}$ .

$\bullet$ Puis en notant $f : x \mapsto \displaystyle \frac 1 {x + 1}$ ,
$b_n = \displaystyle \frac 1 n \sum _ {k = 1} ^n \frac 1 {1 + k/n}$
$b_n = \displaystyle \frac 1 n \sum _ {k = 1} ^n f \left ( \frac k n \right )$ .
On reconnaît une somme de Riemann associée à la fonction $f$ continue sur $[0\, , \, 1]$ , donc $\displaystyle \lim_{n \to + \infty} b_n = \int_0 ^1 \, f(t) \, \textrm {d} t$
$\displaystyle \lim_{n \to + \infty} b_n = \left [ \ln(1 + t) \right]_0 ^1 = \ln 2$ .

$\bullet$ Puis comme $\displaystyle \lim_{n \to + \infty} a_n = \displaystyle \lim_{n \to + \infty} b_n$
par encadrement, la suite $(u_n)_n$ converge vers $\ln 2$ .

10. Deux exercices théoriques (correction dans l’application mobile)

Exercice 1
Soit $(u_n)_n$ une suite réelle bornée et $L \in \mathbb{R}$ .
Si toutes les suites extraites et convergentes de $(u_n)_n$ convergent vers $L$ , la suite $(u_n)_n$ converge vers $L$ .

Exercice 2
Si la suite $(u_n)_n$ converge et ne prend qu’un nombre fini de valeurs, elle est stationnaire.

11. Exercices Supplémentaires (correction dans l’application mobile)

1. Exercice 1

Suite définie par $u_0 \geq 0$ et $\; \; u_{n + 1} = f(u_n)$ où $f(x) = \displaystyle \frac {3+ 2 \, x^2} 5$ .
Question 1
Il y a $a$ suites constantes.

Question 2
Si $0 \leq u_0 < 3/2$ , la suite converge vers ?

Question 3
Si $u_0 > 3/2$ , $(u_n)_n$ converge, vrai ou faux ?

2. Exercice 2

Soit la suite définie par $u_0 \geq 0$ et $\; \; u_{n + 1} = f(u_n)$ où $f(x) = \displaystyle \frac {1 - x^2} 2$ .
Question 1
$f$ admet deux points fixes vérifiant $\alpha < 0 < \beta$ vrai ou faux ?

Question 2
La suite est stationnaire pour $k$ valeurs initiales positives de $u_0\,$ . vrai ouf aux ?

Question 3
$f\circ f(x) - x$ est du signe de $f(x) - x$ , vrai ou faux ?

Question 4
Si $u_0 \in [0 , \, 1]$ , la suite converge, vrai ou faux ?

Question 5
Si $u_0 > - \alpha$ , $(u_{ n })_n$ diverge vers $+\infty$ .

Question 6
Si $1 < u_0 < - \alpha$ , $(u_{ n })_n$ diverge ?

3. Un autre exemple de fonction décroissante

La suite définie par $u_0 \in [0 \, , \, 1]$ et $u_{n + 1} = f(u_n)$ où $f(x) = 1 - x^2$ est convergente ssi elle est stationnaire. Vrai ou Faux ?

4. Exercice

Question 1
Les relations $- 2 \leq u_0 \leq 2$ et $\; \; u_{n + 1} = f(u_n)$ où $f(x) = \sqrt{2 - x}$ définissent une suite. Vrai ou Faux ?

Question 2
Si $n \in \mathbb{N}, \, n \geq 2$ $\quad \left \vert u_{n + 1} - 1 \right \vert \leq \displaystyle \frac 1 {1 + \sqrt{0,6}} \left \vert u_{n} - 1 \right \vert$ . Vrai ou Faux ?

Question 3
La suite $(u_n)_n$ converge vers ?

5. Exercice 5 avec un calcul numérique

Soit la suite définie par $u_0 \in \mathbb{R}$ et $u_{n + 1} = f(u_n)$ où $f(x) = \displaystyle \frac {1} {1 + \textrm{e} ^x }$
Question 1
Montrer que $f$ admet un unique point fixe $L$ .
Montrer que si $n \in \mathbb{N}^*$ , $\quad \quad \displaystyle \vert u_{n + 1} - L \vert \leq \frac 1 4 \vert u_n - L \vert$
En déduire la convergence de la suite.

Question 2
Donner un intervalle de longueur inférieure à $10^{- 5}$ contenant la limite de la suite.

6. Exercice 6

Soit la suite définie par $u_0 > 0$ et $u_{n + 1} = f(u_n)$ où $f(x) = \displaystyle \frac {x} 4 + \frac 3 {2\, x}$ .
Question 1
La suite $(u_n)_{n > 0}$ est bien définie et minorée par un réel strtictement positif. Vrai ou Faux ?

Question 2
Si la suite converge, sa limite est égale à $\sqrt{a}$

Question 3
Si $n \in \mathbb{N}^*,$ $\quad \, \left \vert u_{n + 1} - \sqrt{2} \right \vert \leq \displaystyle \frac {a } 4 \left \vert u_{n} - \sqrt{2} \right \vert$ .

Question 4
La suite converge.

7. Dernier exemple

Soit la suite définie par $u_0 \geq 0$ et $u_{n + 1} = f(u_n)$ où $f(x) = \displaystyle \frac {1+ x^2} {x - 1}$ .
Question 1
Étudier les variations de $f$ et le signe de $f(x) - x$ .

Question 2
L’intervalle $] - \infty \, , \, 1[$ est $f$ -stable et on peut en déduire que la suite converge.

Question 3
L’intervalle $]1 , + \infty[$ est $f$ -stable et on peut en déduire que la suite converge.

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