Chapitres Maths en MPSI, PCSI, MP2I, PTSI

Exercices corrigés sur les suites numériques en maths sup

Q: Comment étudier une suite récurrente du type u(n+1) = f(u(n)) en maths sup ?

On étudie d'abord la fonction f : ses variations, le signe de f(x) - x et ses points fixes. On cherche ensuite un intervalle stable par f qui contient le premier terme. Sur cet intervalle, le signe de f(x) - x donne le sens de variation de la suite. Si la suite est monotone et bornée, elle converge, et sa limite est un point fixe de f quand f est continue. Sinon, l'inégalité des accroissements finis permet souvent de montrer la convergence vers le point fixe.

Q: Comment trouver le terme général d'une suite récurrente linéaire d'ordre 2 ?

Pour une suite vérifiant u(n+2) = a u(n+1) + b u(n), on résout l'équation caractéristique r² = a r + b. Avec deux racines réelles distinctes r1 et r2, le terme général s'écrit λ r1^n + μ r2^n. Avec une racine double r, il s'écrit (λ + μ n) r^n. Les constantes λ et μ se calculent avec les deux premiers termes. Avec des racines complexes conjuguées, on obtient une combinaison de cosinus et de sinus.

Q: Qu'est-ce que la constante d'Euler ?

La constante d'Euler, notée γ, est la limite de la suite 1 + 1/2 + ... + 1/n - ln(n). Elle vaut environ 0,577. Son existence se démontre en maths sup en montrant que cette suite est décroissante et minorée par 0, grâce à l'encadrement x/(x+1) ≤ ln(1+x) ≤ x. Elle sert notamment à prouver que la série harmonique alternée a pour somme ln(2).

Q: Quelle différence entre les suites en terminale et en maths sup ?

En terminale, on étudie surtout les suites arithmétiques et géométriques, le raisonnement par récurrence et les théorèmes de comparaison. En maths sup, la définition de la limite est formalisée avec des epsilon, et le programme ajoute les suites extraites, le théorème de Bolzano-Weierstrass, les suites adjacentes, les suites récurrentes linéaires d'ordre 2 et l'étude systématique des suites u(n+1) = f(u(n)).

Q: Quand étudie-t-on les suites numériques en MPSI, PCSI et PTSI ?

Le chapitre Nombres réels et suites numériques figure au premier semestre du programme de mathématiques de première année. Les suites reviennent ensuite tout au long de l'année : analyse asymptotique, sommes de Riemann dans le chapitre d'intégration, puis séries numériques au second semestre.

Par Seda Biber, le 27/10/2026

Pour étudier une suite numérique en maths sup, commencez toujours par reconnaître sa forme. Une suite arithmético-géométrique ou récurrente linéaire d’ordre 2 se calcule explicitement. Une suite définie par $u_{n+1}=f(u_n)$ s’étudie avec les variations de $f$ , le signe de $f(x)-x$ et les intervalles stables. Une suite donnée par une somme ou un produit se traite par encadrement, par télescopage ou avec une somme de Riemann. Les 21 exercices corrigés ci-dessous couvrent ces méthodes, du calcul de limites simples à la constante d’Euler. Ils suivent le chapitre « Nombres réels et suites numériques » du programme de première année en MPSI, MP2I, PCSI et PTSI, et chaque corrigé détaille la rédaction attendue en DS comme en colle.

Résumé de cours | Exercices et corrigés

Cours en ligne de maths en maths sup

Comment trouver le terme général d’une suite récurrente ?

Le programme de maths sup ne demande de savoir calculer explicitement le terme général que pour quelques familles de suites : arithmétiques, géométriques, arithmético-géométriques et récurrentes linéaires d’ordre 2. Le travail consiste donc souvent à se ramener à l’une d’elles par un changement de suite bien choisi (carré, inverse, logarithme).

Exercice 1 : se ramener à une suite arithmético-géométrique

Énoncé. Soit $u_0\in\mathbb{R}$ et, pour tout $n\in\mathbb{N}$ , $u_{n+1}=\sqrt{1+\dfrac{u_n^2}{2}}$ . Exprimer $u_n$ en fonction de $u_0$ et de $n$ .

Corrigé. Posons $v_n=u_n^2$ . La relation donne $v_{n+1}=1+\dfrac{v_n}{2}$ : $(v_n)$ est arithmético-géométrique.

On cherche la constante $C$ telle que $C=1+\dfrac{C}{2}$ , soit $C=2$ .
La suite $w_n=v_n-2$ vérifie $w_{n+1}=\dfrac{w_n}{2}$ . Elle est géométrique de raison $\dfrac12$ et de premier terme $w_0=u_0^2-2$ .
Donc $w_n=\dfrac{u_0^2-2}{2^n}$ puis $v_n=2+\dfrac{u_0^2-2}{2^n}$ .

Pour $n\geq1$ , $u_n$ est une racine carrée, donc $u_n\geq0$ et :

$u_n=\sqrt{2+\dfrac{u_0^2-2}{2^n}}\quad(n\geq1)$

La formule vaut aussi pour $n=0$ si $u_0\geq0$ (elle donne $|u_0|$ sinon). On en déduit que $(u_n)$ converge vers $\sqrt2$ .

Exercice 2 : passer à la suite des inverses

Énoncé. Déterminer la suite $(u_n)$ définie par $u_0=1$ , $u_1=2$ et, pour tout $n\geq2$ , $u_n=\dfrac{2}{\dfrac{1}{u_{n-1}}+\dfrac{1}{u_{n-2}}}$ .

Corrigé. Il faut d’abord justifier que la suite existe. Comme $u_{n+2}$ dépend de deux termes, on utilise une récurrence double avec l’hypothèse $H_n$ : « $u_n>0$ et $u_{n+1}>0$ ».

$H_0$ est vraie puisque $u_0=1$ et $u_1=2$ .
Si $H_n$ est vraie, alors $\dfrac{1}{u_n}+\dfrac{1}{u_{n+1}}>0$ , donc $u_{n+2}$ est défini et $u_{n+2}>0$ . $H_{n+1}$ est vraie.

La suite est donc définie et à valeurs strictement positives. Posons $v_n=\dfrac{1}{u_n}$ . La relation devient $2v_{n+2}=v_{n+1}+v_n$ : c’est une suite récurrente linéaire d’ordre 2, d’équation caractéristique $2r^2-r-1=(2r+1)(r-1)=0$ . Il existe donc $(\lambda,\mu)\in\mathbb{R}^2$ tels que, pour tout $n$ :

$v_n=\lambda\left(-\dfrac12\right)^n+\mu$

Avec $v_0=1$ et $v_1=\dfrac12$ , on obtient $\lambda+\mu=1$ et $-\dfrac{\lambda}{2}+\mu=\dfrac12$ , d’où $\lambda=\dfrac13$ et $\mu=\dfrac23$ . Finalement :

$u_n=\dfrac{3\times2^n}{2^{n+1}+(-1)^n}$

Vérification : $u_0=\dfrac{3}{3}=1$ , $u_1=\dfrac{6}{3}=2$ et $u_2=\dfrac{12}{9}=\dfrac43$ , qui est bien la moyenne harmonique de 1 et 2.

Exercice 3 : passer au logarithme

Énoncé. Soit $u_0>0$ , $u_1>0$ et, pour tout $n\in\mathbb{N}$ , $u_{n+2}=\left(u_{n+1}^3\,u_n\right)^{1/4}$ . Déterminer $u_n$ .

Corrigé. Une récurrence double, comme dans l’exercice 2, montre que la suite est définie et que $u_n>0$ pour tout $n$ . On peut donc poser $v_n=\ln(u_n)$ . En prenant le logarithme de la relation :

$4v_{n+2}=3v_{n+1}+v_n$

L’équation caractéristique $4r^2-3r-1=(4r+1)(r-1)=0$ a pour racines $1$ et $-\dfrac14$ . Il existe $(\lambda,\mu)\in\mathbb{R}^2$ tels que $v_n=\lambda\left(-\dfrac14\right)^n+\mu$ , avec $v_0=\lambda+\mu$ et $v_1=\mu-\dfrac{\lambda}{4}$ . On en tire $5\mu=v_0+4v_1$ et $\dfrac{5\lambda}{4}=v_0-v_1$ , donc :

$v_n=\dfrac15\left((v_0-v_1)\dfrac{(-1)^n}{4^{n-1}}+v_0+4v_1\right)$

En revenant à $u_n=\mathrm{e}^{v_n}$ :

$u_n=u_0^{1/5}\,u_1^{4/5}\,\exp\left(\ln\left(\dfrac{u_0}{u_1}\right)\dfrac{(-1)^n}{5\times4^{n-1}}\right)$

En particulier, $(u_n)$ converge vers $u_0^{1/5}\,u_1^{4/5}$ .

Comment calculer la limite d’une suite simple ?

Face à une forme indéterminée, trois réflexes suffisent dans la plupart des cas : factoriser par le terme dominant, multiplier par la quantité conjuguée, ou passer au logarithme quand l’exposant dépend de $n$ . Les limites usuelles sont rappelées dans le cours sur les limites et la continuité.

Exercice 4 : factoriser dans un logarithme

Énoncé. Pour $n\geq2$ , $u_n=\dfrac{\ln(n^2+n+1)}{\ln(n)}$ . Déterminer la limite de $(u_n)$ .

Corrigé. On factorise par $n^2$ dans le logarithme :

$\ln(n^2+n+1)=2\ln(n)+\ln\left(1+\dfrac1n+\dfrac{1}{n^2}\right)$

donc $u_n=2+\dfrac{1}{\ln(n)}\ln\left(1+\dfrac1n+\dfrac{1}{n^2}\right)$ . Les deux facteurs du second terme tendent vers 0, donc $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=2$ .

Exercice 5 : encadrer un sinus

Énoncé. Pour $n\geq1$ , $u_n=n\sin\left(\dfrac{\pi}{n^2}\right)$ . Déterminer la limite de $(u_n)$ .

Corrigé. Montrons que $0\leq\sin(x)\leq x$ pour $x\in[0,\pi]$ . La fonction $g:x\mapsto x-\sin(x)$ a pour dérivée $1-\cos(x)\geq0$ : elle est croissante et $g(0)=0$ , donc $g\geq0$ . Le sinus est positif sur $[0,\pi]$ .

Comme $\dfrac{\pi}{n^2}\in[0,\pi]$ , on obtient $0\leq u_n\leq n\times\dfrac{\pi}{n^2}=\dfrac{\pi}{n}$ . Par encadrement, $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=0$ .

Exercice 6 : la quantité conjuguée

Énoncé. Pour $n\geq1$ , $u_n=\sqrt{n^2+n+1}-\sqrt{n^2-n+1}$ . Déterminer la limite de $(u_n)$ .

Corrigé. On multiplie et on divise par la quantité conjuguée, puis on factorise par $n$ au dénominateur :

$u_n=\dfrac{2n}{\sqrt{n^2+n+1}+\sqrt{n^2-n+1}}=\dfrac{2}{\sqrt{1+\frac1n+\frac{1}{n^2}}+\sqrt{1-\frac1n+\frac{1}{n^2}}}$

Le dénominateur tend vers 2, donc $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=1$ .

Exercice 7 : un exposant qui dépend de n

Énoncé. Pour $n\geq2$ , $u_n=(n+1)^{1/\ln(n)}$ . Déterminer la limite de $(u_n)$ .

Corrigé. On a $u_n>0$ et $\ln(u_n)=\dfrac{\ln(n+1)}{\ln(n)}$ . En écrivant $\ln(n+1)=\ln(n)+\ln\left(1+\dfrac1n\right)$ :

$\ln(u_n)=1+\dfrac{1}{\ln(n)}\ln\left(1+\dfrac1n\right)\longrightarrow1$

Par continuité de la fonction exponentielle, $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=\mathrm{e}$ .

Exercice 8 : une croissance comparée

Énoncé. Pour $n\geq2$ , $u_n=(\ln n)^{1/n}$ . Déterminer la limite de $(u_n)$ .

Corrigé. Pour $n\geq2$ , $\ln n>0$ , donc on peut écrire :

$\ln(u_n)=\dfrac{\ln(\ln n)}{n}=\dfrac{\ln(\ln n)}{\ln n}\times\dfrac{\ln n}{n}$

Comme $\displaystyle\lim_{t\to+\infty}\dfrac{\ln t}{t}=0$ , chacun des deux facteurs tend vers 0 (le premier avec $t=\ln n$ ). Donc $\ln(u_n)\to0$ et, par continuité de l’exponentielle, $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=1$ .

💡 Astuce : dès qu’une suite s’écrit

$a_n^{b_n}$ avec un exposant qui dépend de

$n$ , passez à la forme exponentielle

$\mathrm{e}^{b_n\ln(a_n)}$ . Vous n’avez plus qu’une limite de produit à étudier, puis la continuité de l’exponentielle conclut.

Comment encadrer une suite pour trouver sa limite ?

Quand la suite est une somme dont on ne connaît pas la valeur exacte, on encadre chaque terme, puis on somme les inégalités. Le théorème d’encadrement (dit « des gendarmes ») conclut si les deux bornes ont la même limite.

Exercice 9 : une somme de racines (oral Mines-Télécom MP 2018)

Énoncé. Étudier la convergence de la suite de terme général $u_n=\displaystyle\sum_{k=n^2}^{(n+1)^2}\dfrac{1}{\sqrt k}$ .

Corrigé. La somme compte $(n+1)^2-n^2+1=2n+2$ termes. Chacun est compris entre $\dfrac{1}{\sqrt{(n+1)^2}}=\dfrac{1}{n+1}$ et $\dfrac{1}{\sqrt{n^2}}=\dfrac1n$ . Donc :

$\dfrac{2n+2}{n+1}\leq u_n\leq\dfrac{2n+2}{n}\quad\text{soit}\quad2\leq u_n\leq2+\dfrac2n$

Par encadrement, $(u_n)$ converge vers 2.

Exercice 10 : montrer d’abord que la suite est bornée

Énoncé. Soit $u_0\in\,]0,1[$ et, pour tout $n\in\mathbb{N}$ , $u_{n+1}=1+\dfrac{u_n}{n+1}$ . Étudier la suite $(u_n)$ .

Corrigé. Montrons par récurrence la propriété $H_n$ : « $0< u_n< 2$ ».

$H_0$ est vraie, et $H_1$ aussi car $u_1=1+u_0\in\,]1,2[$ .
Supposons $H_n$ vraie pour un $n\geq1$ . Alors $u_{n+1}>0$ et $u_{n+1}< 1+\dfrac{2}{n+1}\leq2$ car $n+1\geq2$ .

La suite est bornée, donc $\dfrac{u_n}{n+1}\to0$ et $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_{n+1}=1$ . La suite $(u_n)$ converge vers 1.

Exercice 11 : trouver une suite auxiliaire monotone

Énoncé. Soit $u_1>0$ et, pour $n\geq1$ , $u_{n+1}=\dfrac{n\,u_n}{n+1+u_n}$ . Étudier la convergence de $(u_n)$ .

Corrigé. Par récurrence immédiate, $u_n>0$ pour tout $n\geq1$ . On réécrit la relation :

$(n+1)u_{n+1}+u_n\,u_{n+1}=n\,u_n$

Avec $v_n=n\,u_n$ , cela donne $v_n-v_{n+1}=u_n\,u_{n+1}>0$ . La suite $(v_n)$ est décroissante et positive, donc $0\leq v_n\leq v_1=u_1$ , soit $0< u_n\leq\dfrac{u_1}{n}$ . Par encadrement, $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=0$ .

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Comment trouver un équivalent d’une suite définie par récurrence ?

Pour obtenir le comportement précis d’une suite, on procède par étapes : une majoration, puis un équivalent, puis le terme suivant du développement. Chaque question s’appuie sur la précédente.

Exercice 12. Énoncé. Soit $(u_n)_{n\geq1}$ définie par $u_1=1$ et, pour $n\geq2$ , $u_n=\sqrt{n+u_{n-1}}$ .

Montrer que pour tout $n\geq1$ , $u_n\leq\sqrt{2n+1}$ .
Déterminer $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\dfrac{u_n}{\sqrt n}$ .
Déterminer $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\left(u_n-\sqrt n\right)$ .

Corrigé de la question 1. On raisonne par récurrence. Pour $n=1$ , $u_1=1< \sqrt3$ . Supposons $u_n\leq\sqrt{2n+1}$ . Par croissance de la racine carrée, $u_{n+1}=\sqrt{n+1+u_n}\leq\sqrt{n+1+\sqrt{2n+1}}$ . Il reste à comparer ce majorant à $\sqrt{2n+3}$ . Les réels comparés étant positifs, on peut raisonner par équivalence en élevant au carré :

$\sqrt{n+1+\sqrt{2n+1}}\leq\sqrt{2n+3}\iff\sqrt{2n+1}\leq n+2\iff2n+1\leq n^2+4n+4\iff n^2+2n+3\geq0$

La dernière inégalité est vraie, donc $u_{n+1}\leq\sqrt{2n+3}$ et la propriété est démontrée.

💡 Astuce : pour deux réels positifs

$a$ et

$b$ , montrer

$a\leq b$ revient à montrer

$a^2\leq b^2$ . Pensez à écrire que les deux membres sont positifs avant d’élever au carré : c’est ce que le correcteur vérifie.

Corrigé de la question 2. On écrit $\dfrac{u_n}{\sqrt n}=\sqrt{1+\dfrac{u_{n-1}}{n}}$ . D’après la question 1, $0\leq\dfrac{u_{n-1}}{n}\leq\dfrac{\sqrt{2n-1}}{n}$ , qui tend vers 0. Par encadrement, $\dfrac{u_{n-1}}{n}\to0$ , donc $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\dfrac{u_n}{\sqrt n}=1$ .

Corrigé de la question 3. On lève l’indétermination avec la quantité conjuguée, en utilisant $u_n^2-n=u_{n-1}$ :

$u_n-\sqrt n=\dfrac{u_{n-1}}{u_n+\sqrt n}=\dfrac{u_{n-1}/\sqrt{n-1}}{1+u_n/\sqrt n}\times\sqrt{\dfrac{n-1}{n}}$

D’après la question 2, $\dfrac{u_{n-1}}{\sqrt{n-1}}\to1$ et $\dfrac{u_n}{\sqrt n}\to1$ , et $\sqrt{\dfrac{n-1}{n}}\to1$ . Donc $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\left(u_n-\sqrt n\right)=\dfrac12$ . Autrement dit, $u_n=\sqrt n+\dfrac12+o(1)$ .

Une suite bornée vérifiant 2u_n ≤ u_n-1 + u_n+1 converge-t-elle ?

Exercice 13. Énoncé. Soit $(u_n)$ une suite bornée telle que, pour tout $n\geq1$ , $2u_n\leq u_{n-1}+u_{n+1}$ . On pose $v_n=u_n-u_{n-1}$ pour $n\geq1$ .

Montrer que $(v_n)_{n\geq1}$ converge.
Montrer par l’absurde que $(v_n)$ converge vers 0.
En déduire que $(u_n)$ converge.

Corrigé de la question 1. On a $v_{n+1}-v_n=u_{n+1}+u_{n-1}-2u_n\geq0$ : $(v_n)$ est croissante. Si $|u_n|\leq M$ pour tout $n$ , alors $|v_n|\leq2M$ . Croissante et majorée, $(v_n)$ converge vers un réel $L$ .

Corrigé de la question 2. Supposons $L>0$ . Il existe $N$ tel que $v_k\geq\dfrac L2$ pour tout $k\geq N$ . Pour $n\geq N$ , on somme ces inégalités de $k=N+1$ à $k=n+1$ : la somme est télescopique et donne

$u_{n+1}-u_N\geq\dfrac{(n-N+1)L}{2}$

Le membre de droite tend vers $+\infty$ , donc $u_n\to+\infty$ , ce qui contredit le fait que $(u_n)$ est bornée. Le cas $L< 0$ se traite de la même façon et conduit à $u_n\to-\infty$ . Donc $L=0$ .

Corrigé de la question 3. La suite $(v_n)$ est croissante et converge vers 0, donc $v_n\leq0$ pour tout $n\geq1$ , soit $u_n\leq u_{n-1}$ . La suite $(u_n)$ est décroissante et bornée : elle converge.

Comment étudier une suite de racines carrées emboîtées ?

Exercice 14. Énoncé. Soit $a>0$ , $u_0=\sqrt a$ et, pour tout $n$ , $u_{n+1}=\sqrt{a+u_n}$ . On note $\alpha=\dfrac12\left(1+\sqrt{1+4a}\right)$ .

Montrer que $u_n\leq\alpha$ pour tout $n$ , puis étudier la convergence de $(u_n)$ .
Soit $(a_n)_{n\geq1}$ une suite telle que $0\leq a_n\leq a$ pour tout $n\geq1$ , et $v_n=\sqrt{a_1+\sqrt{a_2+\cdots+\sqrt{a_n}}}$ . Montrer que $(v_n)$ converge.

Corrigé de la question 1. Remarquons d’abord que $\alpha$ est la racine positive de $x^2-x-a=0$ , donc $\alpha^2=a+\alpha$ .

Majoration. $\alpha\geq\dfrac12\sqrt{4a}=\sqrt a=u_0$ . Si $u_n\leq\alpha$ , la croissance de $x\mapsto\sqrt{a+x}$ donne $u_{n+1}\leq\sqrt{a+\alpha}=\sqrt{\alpha^2}=\alpha$ . Par récurrence, $u_n\leq\alpha$ pour tout $n$ .
Monotonie. Avec la quantité conjuguée, $u_{n+1}-u_n=\dfrac{a+u_n-u_n^2}{\sqrt{a+u_n}+u_n}$ . Or $a+x-x^2=(\alpha-x)(x-\beta)$ avec $\beta=\dfrac{1-\sqrt{1+4a}}{2}< 0$ . Comme $0\leq u_n\leq\alpha$ , les deux facteurs sont positifs et $u_{n+1}\geq u_n$ .
Limite. La suite est croissante et majorée, elle converge vers $\ell\geq0$ . En passant à la limite dans $u_{n+1}^2=a+u_n$ , on obtient $\ell^2=a+\ell$ , donc $\ell\in\{\alpha,\beta\}$ . Comme $\ell\geq0>\beta$ , $\ell=\alpha$ .

Corrigé de la question 2. On a $\sqrt{a_n}\leq\sqrt{a_n+\sqrt{a_{n+1}}}$ . En réinjectant cette inégalité de proche en proche dans les racines emboîtées, qui sont des fonctions croissantes, on obtient $v_n\leq v_{n+1}$ . De plus, en majorant chaque $a_k$ par $a$ , $v_n$ est majoré par l’expression à $n$ racines $\sqrt{a+\sqrt{a+\cdots+\sqrt a}}$ , qui vaut $u_{n-1}$ . Donc $v_n\leq\alpha$ . Croissante et majorée, $(v_n)$ converge.

Comment démontrer l’existence de la constante d’Euler ?

Cet exercice en six questions est un classique de première année. Il relie la série harmonique au logarithme, puis en déduit la somme de la série harmonique alternée. Il prépare directement le chapitre sur les séries numériques.

Exercice 15. Énoncé. On note $H_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac1k$ pour $n\geq1$ .

Montrer que pour tout $x\geq0$ , $\dfrac{x}{x+1}\leq\ln(1+x)\leq x$ .
Montrer que la suite $a_n=H_n-\ln(n)$ converge. On note $\gamma$ sa limite.
Déterminer la limite de $R_n=\displaystyle\sum_{k=n+1}^{2n}\dfrac1k$ .
On note $S_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{(-1)^{k+1}}{k}$ . Montrer que $(S_n)$ converge et déterminer sa limite.
Soit $(x_n)_{n\geq1}$ définie par $x_1\in\mathbb{R}$ et $x_{n+1}+x_n=\dfrac1n$ . Exprimer $x_n$ en fonction de $S_{n-1}$ et $x_1$ pour $n\geq2$ , puis donner une condition nécessaire et suffisante pour que $(x_n)$ converge.
Étudier la convergence des suites $(c_n)$ et $(d_n)$ définies par $c_1$ , $d_1$ et, pour $n\geq1$ , $c_{n+1}=d_n+\dfrac1n$ et $d_{n+1}=c_n-\dfrac1n$ .

Corrigé de la question 1. La fonction $g:x\mapsto x-\ln(1+x)$ est dérivable sur $\mathbb{R}^+$ , avec $g'(x)=\dfrac{x}{x+1}\geq0$ et $g(0)=0$ , donc $g\geq0$ . De même, $h:x\mapsto\ln(1+x)-\dfrac{x}{x+1}$ vérifie $h'(x)=\dfrac{x}{(x+1)^2}\geq0$ et $h(0)=0$ , donc $h\geq0$ .

Corrigé de la question 2.

Monotonie. $a_{n+1}-a_n=\dfrac{1}{n+1}-\ln\left(1+\dfrac1n\right)$ . La question 1 avec $x=\dfrac1n$ donne $\dfrac{1}{n+1}\leq\ln\left(1+\dfrac1n\right)$ , donc $(a_n)$ est décroissante.
Minoration. La question 1 donne aussi $\ln(k+1)-\ln(k)\leq\dfrac1k$ . En sommant de $k=1$ à $n$ , la somme télescopique vaut $\ln(n+1)$ , donc $H_n\geq\ln(n+1)$ et $a_n\geq\ln(n+1)-\ln(n)>0$ .

Décroissante et minorée par 0, $(a_n)$ converge vers un réel $\gamma$ , la constante d’Euler : $\gamma\approx0{,}577$ .

Corrigé de la question 3. $R_n=H_{2n}-H_n=a_{2n}-a_n+\ln(2n)-\ln(n)=a_{2n}-a_n+\ln2$ . Comme $a_{2n}$ et $a_n$ tendent toutes deux vers $\gamma$ , $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}R_n=\ln2$ .

Corrigé de la question 4. Dans $S_{2n}-H_{2n}=\displaystyle\sum_{k=1}^{2n}\dfrac{(-1)^{k+1}-1}{k}$ , les termes d’indice impair sont nuls et ceux d’indice pair $k=2p$ valent $-\dfrac{2}{2p}=-\dfrac1p$ . Donc $S_{2n}-H_{2n}=-H_n$ , soit $S_{2n}=R_n\to\ln2$ . Comme $S_{2n+1}=S_{2n}+\dfrac{1}{2n+1}$ , on a aussi $S_{2n+1}\to\ln2$ . Les deux suites extraites des termes pairs et impairs ayant la même limite, $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}S_n=\ln2$ .

Corrigé de la question 5. Posons $y_n=(-1)^n x_n$ . En multipliant la relation par $(-1)^{n+1}$ , on obtient $y_{n+1}-y_n=\dfrac{(-1)^{n+1}}{n}$ . En sommant de 1 à $n-1$ : $y_n-y_1=S_{n-1}$ . Comme $y_1=-x_1$ :

$x_n=(-1)^n\left(S_{n-1}-x_1\right)\quad(n\geq2)$

Comme $S_{n-1}\to\ln2$ , on a $x_{2n}\to\ln2-x_1$ et $x_{2n+1}\to x_1-\ln2$ . Ces deux limites sont égales si et seulement si $x_1=\ln2$ . La suite $(x_n)$ converge donc si et seulement si $x_1=\ln2$ , et sa limite est alors 0.

Corrigé de la question 6. La somme $s_n=c_n+d_n$ vérifie $s_{n+1}=s_n$ : elle est constante, égale à $c_1+d_1$ . La différence $\delta_n=c_n-d_n$ vérifie $\delta_{n+1}=-\delta_n+\dfrac2n$ , donc $\dfrac{\delta_n}{2}$ satisfait la relation de la question 5 avec le premier terme $\dfrac{c_1-d_1}{2}$ . Comme $c_n=\dfrac{s_n+\delta_n}{2}$ et $d_n=\dfrac{s_n-\delta_n}{2}$ , les suites $(c_n)$ et $(d_n)$ convergent si et seulement si $(\delta_n)$ converge, c’est-à-dire si et seulement si $c_1-d_1=2\ln2$ . Elles ont alors la même limite $\dfrac{c_1+d_1}{2}$ . Dans le cas contraire, elles divergent toutes les deux.

Comment calculer la limite d’un produit avec la trigonométrie ?

Exercice 16. Énoncé. Soit $t\in[0,\frac{\pi}{2}[$ et, pour $n\geq1$ , $P_n=\displaystyle\prod_{k=1}^{n}\left(1-\tan^2\left(\dfrac{t}{2^k}\right)\right)$ . Justifier l’existence de $P_n$ , montrer que la suite converge et trouver sa limite.

Corrigé. Pour $k\geq1$ , $0\leq\dfrac{t}{2^k}< \dfrac{\pi}{4}$ , donc chaque tangente est définie et $P_n$ existe. Si $t=0$ , $P_n=1$ . Supposons $t\neq0$ . La formule de trigonométrie $\tan(2u)=\dfrac{2\tan(u)}{1-\tan^2(u)}$ donne, pour $u\in\,]0,\frac{\pi}{4}[$ :

$1-\tan^2(u)=\dfrac{2\tan(u)}{\tan(2u)}$

En l’appliquant à $u=\dfrac{t}{2^k}$ , le produit devient télescopique :

$P_n=\displaystyle\prod_{k=1}^{n}\dfrac{2\tan(t/2^k)}{\tan(t/2^{k-1})}=2^n\,\dfrac{\tan(t/2^n)}{\tan(t)}$

Enfin $2^n\tan\left(\dfrac{t}{2^n}\right)=t\times\dfrac{\sin(t/2^n)}{t/2^n}\times\dfrac{1}{\cos(t/2^n)}\to t$ , car $\dfrac{\sin x}{x}\to1$ quand $x\to0$ . Donc $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}P_n=\dfrac{t}{\tan(t)}$ .

Comment montrer qu’une suite converge vers ln 2 avec une somme de Riemann ?

La même suite peut se traiter de deux façons selon le moment de l’année : au premier semestre, on montre seulement qu’elle converge ; au second, une fois l’intégration vue, on calcule sa limite.

Exercice 17. Énoncé. Pour $n\geq1$ , $u_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{\sqrt{(n+k)(n+k+1)}}$ .

(Premier semestre) Montrer que $(u_n)$ est croissante et majorée, donc convergente.
(Second semestre) Montrer que $(u_n)$ converge vers $\ln2$ .

Corrigé de la question 1. Attention à remplacer $n$ par $n+1$ aux trois endroits : $u_{n+1}=\displaystyle\sum_{k=1}^{n+1}\dfrac{1}{\sqrt{(n+1+k)(n+k+2)}}$ . Avec $p=k+1$ et $\varphi(p)=\dfrac{1}{\sqrt{(n+p)(n+p+1)}}$ , on obtient $u_{n+1}=\displaystyle\sum_{p=2}^{n+2}\varphi(p)$ , donc :

$u_{n+1}-u_n=\varphi(n+1)+\varphi(n+2)-\varphi(1)=\dfrac{1}{\sqrt{2n+2}}\left(\dfrac{1}{\sqrt{2n+1}}+\dfrac{1}{\sqrt{2n+3}}-\dfrac{2}{\sqrt{2n+4}}\right)$

Chacune des deux premières fractions de la parenthèse est strictement supérieure à $\dfrac{1}{\sqrt{2n+4}}$ , donc $u_{n+1}-u_n>0$ . Enfin $u_n$ est la somme de $n$ termes inférieurs à $\dfrac{1}{n}$ , donc $u_n\leq1$ . Croissante et majorée, la suite converge.

Corrigé de la question 2. Pour $k\geq1$ , $n+k\leq\sqrt{(n+k)(n+k+1)}\leq n+k+1$ , donc en sommant :

$a_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{n+k+1}\leq u_n\leq b_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{n+k}$

On écrit $b_n=\dfrac1n\displaystyle\sum_{k=1}^{n}f\left(\dfrac kn\right)$ avec $f(x)=\dfrac{1}{1+x}$ , continue sur $[0,1]$ . C’est une somme de Riemann, donc $b_n\to\displaystyle\int_0^1\dfrac{\mathrm{d}t}{1+t}=\ln2$ . Par ailleurs, avec $p=k+1$ , $a_n=b_n+\dfrac{1}{2n+1}-\dfrac{1}{n+1}$ , donc $a_n\to\ln2$ aussi. Par encadrement, $(u_n)$ converge vers $\ln2$ .

Comment étudier une suite récurrente u_n+1 = f(u_n) ?

La méthode suit toujours le même plan : étudier les variations de $f$ et le signe de $f(x)-x$ , chercher les points fixes, trouver un intervalle stable par $f$ , en déduire la monotonie, puis conclure. La seule limite finie possible d’une telle suite est un point fixe de $f$ , si $f$ est continue.

💡 Astuce : sur un intervalle stable

$I$ , le sens de variation de

$(u_n)$ se lit sur le signe de

$f(x)-x$ : si

$f(x)\geq x$ sur

$I$ , alors

$u_{n+1}=f(u_n)\geq u_n$ et la suite est croissante. Ce critère évite une récurrence sur la monotonie.

Exercice 18 : une fonction croissante et deux points fixes

Énoncé. Soit $f(x)=\dfrac{3+2x^2}{5}$ et $(u_n)$ définie par $u_0\geq0$ et $u_{n+1}=f(u_n)$ . Déterminer les suites constantes, puis étudier la suite selon la valeur de $u_0$ .

Corrigé. $f$ est croissante sur $\mathbb{R}^+$ et $f(x)-x=\dfrac{2x^2-5x+3}{5}=\dfrac{(2x-3)(x-1)}{5}$ . Les points fixes sont $1$ et $\dfrac32$ : il y a deux suites constantes, obtenues pour $u_0=1$ et $u_0=\dfrac32$ . Le signe de $f(x)-x$ est positif sur $[0,1[$ et sur $]\frac32,+\infty[$ , négatif sur $]1,\frac32[$ .

Si $0\leq u_0< 1$ . Comme $f(0)=\dfrac35$ et $f(1)=1$ , l’intervalle $[0,1]$ est stable par $f$ , et $f(x)\geq x$ sur cet intervalle. La suite est croissante et majorée par 1, elle converge vers un point fixe de $[0,1]$ , donc vers 1.
Si $1< u_0< \frac32$ . L’intervalle $]1,\frac32[$ est stable et $f(x)< x$ : la suite est décroissante et minorée par 1. Sa limite est un point fixe inférieur ou égal à $u_0< \frac32$ , donc la suite converge vers 1.
Si $u_0>\frac32$ . L’intervalle $]\frac32,+\infty[$ est stable et $f(x)>x$ : la suite est croissante. Si elle convergeait, sa limite serait un point fixe supérieur ou égal à $u_0>\frac32$ ; il n’en existe pas. La suite diverge donc vers $+\infty$ .

Exercice 19 : utiliser l’inégalité des accroissements finis

Énoncé. Soit $f(x)=\dfrac x4+\dfrac{3}{2x}$ et $(u_n)$ définie par $u_0>0$ et $u_{n+1}=f(u_n)$ .

Montrer que la suite est bien définie et que $u_n\geq\dfrac{\sqrt6}{2}$ pour tout $n\geq1$ .
Quelle est la seule limite possible de la suite ?
Montrer que pour $n\geq1$ , $\left|u_{n+1}-\sqrt2\right|\leq\dfrac34\left|u_n-\sqrt2\right|$ et conclure.

Corrigé de la question 1. Pour $x>0$ , $f(x)=\dfrac14\left(x+\dfrac6x\right)$ et $x+\dfrac6x\geq2\sqrt6$ , car $\left(\sqrt x-\sqrt{6/x}\right)^2\geq0$ . Donc $f(x)\geq\dfrac{\sqrt6}{2}>0$ . Par récurrence, chaque $u_n$ est strictement positif, la suite est bien définie, et $u_n\geq\dfrac{\sqrt6}{2}$ dès $n\geq1$ .

Corrigé de la question 2. Si la suite converge, sa limite $\ell$ vérifie $\ell\geq\dfrac{\sqrt6}{2}>0$ et, par continuité de $f$ , $\ell=f(\ell)$ , soit $\dfrac{3\ell}{4}=\dfrac{3}{2\ell}$ , donc $\ell^2=2$ et $\ell=\sqrt2$ .

Corrigé de la question 3. Sur $I=\left[\dfrac{\sqrt6}{2},+\infty\right[$ , $f'(x)=\dfrac14-\dfrac{3}{2x^2}$ avec $0< \dfrac{3}{2x^2}\leq1$ , donc $-\dfrac34\leq f'(x)< \dfrac14$ et $|f'(x)|\leq\dfrac34$ . Comme $u_n$ et $\sqrt2$ appartiennent à $I$ pour $n\geq1$ , l’inégalité des accroissements finis donne $|f(u_n)-f(\sqrt2)|\leq\dfrac34|u_n-\sqrt2|$ , c’est-à-dire l’inégalité demandée puisque $f(\sqrt2)=\sqrt2$ . Par récurrence, $|u_n-\sqrt2|\leq\left(\dfrac34\right)^{n-1}|u_1-\sqrt2|$ , qui tend vers 0. La suite converge vers $\sqrt2$ .

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Exercices théoriques : suites extraites et suites stationnaires

Ces deux exercices portent sur la définition de la limite et sur le théorème de Bolzano-Weierstrass (de toute suite réelle bornée, on peut extraire une suite convergente). Ils tombent souvent en question de cours développée lors des colles.

Exercice 20 : une suite bornée dont toutes les suites extraites convergentes ont la même limite

Énoncé. Soit $(u_n)$ une suite réelle bornée et $L\in\mathbb{R}$ . On suppose que toutes les suites extraites convergentes de $(u_n)$ convergent vers $L$ . Montrer que $(u_n)$ converge vers $L$ .

Corrigé. Raisonnons par l’absurde. Si $(u_n)$ ne converge pas vers $L$ , il existe $\varepsilon>0$ tel que, pour tout $N$ , il existe $n\geq N$ avec $|u_n-L|\geq\varepsilon$ . On construit ainsi une application strictement croissante $\varphi$ telle que $|u_{\varphi(n)}-L|\geq\varepsilon$ pour tout $n$ . La suite $(u_{\varphi(n)})$ est bornée : d’après le théorème de Bolzano-Weierstrass, elle admet une suite extraite convergente, de limite $\ell$ . C’est aussi une suite extraite de $(u_n)$ , donc $\ell=L$ par hypothèse. Mais en passant à la limite dans l’inégalité, $|\ell-L|\geq\varepsilon$ : contradiction.

L’hypothèse « bornée » est indispensable. La suite définie par $u_{2n}=0$ et $u_{2n+1}=n$ diverge, alors que toutes ses suites extraites convergentes tendent vers 0.

Exercice 21 : une suite convergente qui prend un nombre fini de valeurs

Énoncé. Montrer que si la suite $(u_n)$ converge et ne prend qu’un nombre fini de valeurs, elle est stationnaire.

Corrigé. Notons $L$ la limite et $A$ l’ensemble fini des valeurs prises par la suite. Si $A$ ne contient pas d’autre valeur que $L$ , la suite est constante. Sinon, $\delta=\min\{|a-L| : a\in A,\ a\neq L\}$ est strictement positif, car c’est le minimum d’un ensemble fini de réels strictement positifs. Par définition de la limite, il existe $N$ tel que $|u_n-L|< \delta$ pour tout $n\geq N$ . Pour ces indices, $u_n$ est une valeur de $A$ à distance de $L$ strictement inférieure à $\delta$ : c’est forcément $L$ . La suite est donc constante à partir du rang $N$ .

Si un exercice vous résiste ou si vous voulez reprendre tout le chapitre, un professeur peut vous accompagner en cours particuliers de maths, à domicile ou en ligne. Groupe Réussite organise aussi des stages intensifs de maths sup pendant les vacances, en petits groupes. Pour revoir les définitions et les théorèmes utilisés ici, reprenez le résumé de cours sur les suites numériques en maths sup.

FAQ sur les suites numériques en maths sup

Comment étudier une suite récurrente du type u(n+1) = f(u(n)) en maths sup ?