Chapitres Maths en MPSI, PCSI, MP2I, PTSI
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Exercices corrigés sur les suites numériques en Maths Sup
Résumé de cours Exercices et corrigés
Cours en ligne de Maths en Maths Sup
Plan des exercices : Limites de suites, constante d’Euler
1. Utilisation des suites récurrentes du programme
2. Des limites de suites simples
3. En utilisant des inégalités
4. Suite définie par une relation de récurrence
5. Suite vérifiant une inégalité
6. Une superposition de racines carrées
7. Constante d’Euler
8. Avec de la trigonométrie
9. La même suite à deux périodes différentes de l’année
10. Deux exercices théoriques
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1. Utilisation des suites numériques récurrentes du programme
Exercice 1
Déterminer en fonction de si .
Correction : On note .
La relation implique .
C’est une suite arithmético-géométrique.
On résout .
On forme .
On obtient .
est une suite géométrique de raison et de premier terme .
On en déduit que , donc puis
.
Exercice 2
Déterminer la suite sachant que et pour tout , .
Correction : Il ne faut pas oublier de justifier l’existence de la suite .
👍 On définit le terme d’indice en fonction des termes d’indices et , on utilise une hypothèse de récurrence double contenant le résultat aux rangs et .
On note
si .
est vraie par définition de et .
On suppose que est vraie.
En utilisant , on en déduit que est défini et .
on a donc prouvé que est vraie.
Par récurrence, on a prouvé que la suite est définie et à valeurs strictement positives.
On note .
La suite vérifie
soit .
C’est une suite récurrente linéaire d’ordre 2 d’équation caractéristique
Il existe tel que pour tout ,
avec et .
On obtient les équations
,
alors
et .
Exercice 3
Déterminer la suite si et et pour tout , .
Correction : Il ne faut pas oublier de justifier l’existence de la suite .
On note
si .
est vraie par définition de et .
On suppose que est vraie.
On en déduit que est défini et que .
Donc est vraie.
On peut calculer le de la relation :
soit en posant :
c’est une suite récurrente linéaire d’ordre 2, d’équation caractéristique
On en déduit qu’il existe tel que pour tout ,
avec et
ssi et
alors ,
.
2. Des limites de suites simples
exercice 1
Pour . Vers quoi la suite converge ?
Correction : On écrit
donc
Comme
et , .
Exercice 2
Pour . Vers quoi la suite converge-t-elle ?
Correction :On démontre que
si :
Soit , , est croissante sur avec donc .
Alors , donc par encadrement, .
Exercice 3
Pour . Vers quoi la suite converge ?
Correction : En utilisant la quantité conjuguée,
Exercice 4
Si , . Vers quoi la suite converge ?
Correction : et .
En écrivant
.
et
Par continuité de la fonction exponentielle, .
Exercice 5
Si , . Vers quoi la suite converge ?
Correction :
en utilisant ,
.
Par continuité de la fonction exponentielle, .
en utilisant ,
.
Par continuité de la fonction exponentielle, .
3. Utilisation d’inégalités
Exercice 1 Mines Telecom MP 2018
Nature de la suite de terme général
. Converge-t-elle ?
Correction : On additionne
termes compris entre
et
donc
soit .
Par encadrement par deux suites qui convergent vers , la suite converge vers .
Exercice 2
Soit de et .
Étude de la suite .
Correction : Soit si .
est vraie et aussi car .
On suppose que est vraie pour un entier .
Il est évident que
et car .
Comme la suite est bornée,
donc .
La suite converge vers .
Exercice 3
Convergence de la suite définie par et
Correction : Par récurrence simple,
.
On écrit la relation de définition sous la forme :
donc si , .
La suite est décroissante et à valeurs positives.
donne .
Par encadrement, .
4. Suites définies par une relation de récurrence
Exercice 1
Soit la suite définie par et pour tout entier , .
Question 1
Montrer que pour tout , .
Correction : Soit si
Pour , donc est vérifiée.
On suppose que est vraie :
donc
que l’on doit comparer à .
Les réels comparés étant positifs ou nuls, on peut raisonner par équivalence en élevant les termes au carré :
.
On obtient par équivalence une inégalité vérifiée, donc on a prouvé que
et alors , ce qui justifie .
La propriété est démontrée par récurrence.
👍 si et sont deux réels positifs, démontrer que revient à démontrer que .
Question 2
Déterminer .
Correction : ,
puis en utilisant l’inégalité de la question 1, ,
par encadrement, .
On a prouvé que .
Question 3
.
Correction : Pour lever l’indétermination, on utilise la quantité conjuguée, puis l’on divise numérateur et dénominateur par et respectivement, pour utiliser la question précédente :
On utilise ensuite
,
alors .
5. Suite vérifiant une inégalité
Soit une suite bornée telle que pour tout de , .
Question 1
Soit où . Montrer que la suite est convergente.
Correction :
est une suite croissante.
C’est une différence de deux suites bornées, elle est bornée.
est une suite croissante et majorée, elle est convergente.
Question 2
En raisonnant par l’absurde, on peut démontrer que la suite converge vers . Vrai ou Faux ?
Correction : On note la limite de la suite .
On suppose que .
Il existe si .
Soit ,
donne par minoration par une suite qui diverge vers ,
ce qui contredit le fait que la suite soit bornée.
Il est impossible que .
On suppose que .
Il existe si .
Soit ,
avec un raisonnement analogue au précédent,
donne par majoration par une suite qui diverge vers ,
ce qui contredit le fait que la suite soit bornée.
Il est impossible que .
On a donc prouvé que .
Question 3
On peut prouver qu’il existe tel que soit monotone, donc la suite converge. Vrai ou Faux ?
Correction : La suite est croissante et converge vers 0, donc est la borne supérieure de la suite, ce qui donne
si , soit .
La suite est décroissante et bornée, elle converge.
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6. Une superposition de racines carrées
Question 1
Soit ,
et , .
On note .
Montrer que .
Étudier la convergence de la suite .
correction : Si , on note .
Comme ,
on a prouvé que .
On suppose que est vérifiée.
La fonction étant croissante, par
(*)
(*) donne .
La propriété est démontrée par récurrence.
en multipliant par la quantité conjuguée
.
Les racines de sont
et .
avec car
et , donc .
La suite de réels positifs est croissante et majorée, elle converge vers tel que (équation obtenue en passant à la limite dans la relation ), ce qui donne , donc .
Question 2
On suppose toujours .
Soit une suite telle que .
On définit pour
La suite converge.
Vrai ou Faux ?
Correction : En utilisant et la croissance de la fonction racine carrée,
puis
et en réitérant le raisonnement, .
En utilisant ,
(avec signes ) .
On a prouvé que donc .
La suite est croissante et majorée, elle est convergente.
7. Constante d’Euler
Question 1
Montrer que pour tout ,.
Correction : Soit .
est dérivable sur et .
est croissante sur donc
soit
.
Soit .
est dérivable sur et
est croissante sur donc
soit
.
Question 2.
Montrer que la suite de terme général converge.
On notera sa limite que l’on ne cherchera pas à calculer.
Correction : Monotonie
En utilisant la question 1 pour
soit
donc .
La suite est décroissante.
En utilisant la première question,
pour tout
donc par somme,
donc
et .
La suite est décroissante et minorée par 0, elle converge vers un réel appelé constante d’Euler.
.
Question 3
Déterminer la limite de la suite de terme général
donc .
converge vers .
On note .
Montrer que la suite converge et déterminer sa limite.
Correction :
si
si
Il ne subsiste que les termes lorsque avec ,
donc
soit
donc
et .
Comme ,
.
Par propriété des suites extraites, .
Question 5
On suppose que la suite est définie par et .
Si , exprimer en fonction de et .
En déduire une CNS pour que la suite converge.
Question 6
Étude de la convergence des suites et définies par leurs premiers termes et et les relations
.
8. Avec de la trigonométrie
Soit et si , .
Justifier l’existence de , démontrer que la suite converge et trouver sa limite.
Correction : donc est défini.
On suppose dans la suite que car sinon .
On rappelle que si , .
donc si
Si , ,
Puis avec ,
,
.
On rappelle que ,
donc
donc .
9. La même suite à deux périodes différentes de l’année
Version premier semestre
Si ,.
La suite est convergente. Vrai ou Faux ?
Correction :
⚠️ à bien remplacer par à trois emplacements !
Puis en posant ,
On note
donc
où
puis
et
donnent et .
La suite est croissante.
est la somme de termes tous inférieurs ou égaux à , donc .
La suite est croissante et majorée par 1, elle converge.
Version deuxième semestre
Si , .
La suite converge vers .
Vrai ou Faux ?
Correction : Pour tout ,
donc
par somme, on écrit
avec
et .
On remarque en posant
.
Puis en notant ,
.
On reconnaît une somme de Riemann associée à la fonction continue sur , donc
.
Puis comme
par encadrement, la suite converge vers .
10. Deux exercices théoriques (correction dans l’application mobile)
Exercice 1
Soit une suite réelle bornée et .
Si toutes les suites extraites et convergentes de convergent vers , la suite converge vers .
Exercice 2
Si la suite converge et ne prend qu’un nombre fini de valeurs, elle est stationnaire.
11. Exercices Supplémentaires (correction dans l’application mobile)
1. Exercice 1
Suite définie par et où .
Question 1
Il y a suites constantes.
Question 2
Si , la suite converge vers ?
Question 3
Si , converge, vrai ou faux ?
2. Exercice 2
Soit la suite définie par et où .
Question 1
admet deux points fixes vérifiant vrai ou faux ?
Question 2
La suite est stationnaire pour valeurs initiales positives de . vrai ouf aux ?
Question 3
est du signe de , vrai ou faux ?
Question 4
Si , la suite converge, vrai ou faux ?
Question 5
Si , diverge vers .
Question 6
Si , diverge ?
3. Un autre exemple de fonction décroissante
La suite définie par et où est convergente ssi elle est stationnaire. Vrai ou Faux ?
4. Exercice
Question 1
Les relations et où définissent une suite. Vrai ou Faux ?
Question 2
Si . Vrai ou Faux ?
Question 3
La suite converge vers ?
5. Exercice 5 avec un calcul numérique
Soit la suite définie par et où
Question 1
Montrer que admet un unique point fixe .
Montrer que si ,
En déduire la convergence de la suite.
Question 2
Donner un intervalle de longueur inférieure à contenant la limite de la suite.
6. Exercice 6
Soit la suite définie par et où .
Question 1
La suite est bien définie et minorée par un réel strtictement positif. Vrai ou Faux ?
Question 2
Si la suite converge, sa limite est égale à
Question 3
Si .
Question 4
La suite converge.
7. Dernier exemple
Soit la suite définie par et où .
Question 1
Étudier les variations de et le signe de .
Question 2
L’intervalle est -stable et on peut en déduire que la suite converge.
Question 3
L’intervalle est -stable et on peut en déduire que la suite converge.
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