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Cours : Trigonométrie en Maths Sup MPSI, PCSI, MP2I et PTSI

Résumé de cours Exercices et corrigés

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Résumé de cours et méthodes – Trigonométrie en Maths Sup

Fonctions circulaires

Plan :

1. Fonction sinus
2. Fonction cosinus
3. Fonction tangente

1. Fonction sinus

$\bullet$ Propriétés des angles
Pour tout réel $t$ ,
$\ast$ $\sin( t + 2\, \pi) = \sin(t)$
$\ast$ $\sin(- t) = - \sin(t)$
$\ast$ $\sin(\pi - t) = \sin(t)$
$\ast$ $\sin(\pi + t) = - \sin(t)$

$\bullet$ Les angles remarquables
$\sin(0) = 0$ $\quad \quad\quad$ $\displaystyle \sin \left ( \frac {\pi} 6 \right ) = \frac 1 2$
$\displaystyle \sin \left ( \frac {\pi} 4 \right ) = \frac 1 {\sqrt{2}}$ $\quad$ $\displaystyle \sin \left ( \frac {\pi} 3 \right ) = \frac {\sqrt{3}} 2$
$\displaystyle \sin \left ( \frac {\pi} 2 \right ) = 1$

$\bullet$ Étude de la fonction
$\ast$ $\sin$ est continue, strictement croissante sur $[- \pi/2 , \, \pi/2]$ .
$\ast$ la dérivée de $\sin$ est $\quad \quad t \mapsto \cos(t) = \sin ( \pi/2 + t)$ .
$\ast$ Le graphe de $\sin$ est symétrique par rapport à $(0 , 0)$ et par rapport à la droite d’équation $x = \pi/2$ .

2. Fonction cosinus

$\bullet$ Propriétés des angles
Pour tout réel $t$ ,
$\ast$ $\cos( t + 2 \, \pi) = \cos(t)$
$\ast$ $\cos(- t) = \cos(t)$
$\ast$ $\cos(\pi - t) = - \cos(t)$
$\ast$ $\cos(\pi + t) = - \cos(t)$

$\bullet$ Lien entre $\cos$ et $\sin$
Pour tout $t \in \mathbb{R}$
$\ast$ $\displaystyle \cos \left (\frac {\pi} 2 - t \right ) = \sin(t)$
$\ast$ $\displaystyle \sin\left (\frac {\pi} 2 - t \right ) = \cos(t)$
$\ast$ $\displaystyle \cos \left (\frac {\pi} 2 + t \right ) = - \sin(t)$
$\ast$ $\displaystyle \sin \left (\frac {\pi} 2 + t \right ) = \cos(t)$

$\bullet$ Les angles remarquables
$\cos(0) = 1$ $\quad \quad \quad$ $\displaystyle \cos\left ( \frac {\pi} 6 \right ) = \frac {\sqrt{3} } 2$
$\displaystyle \cos \left ( \frac {\pi} 4 \right ) = \frac 1 {\sqrt{2}}$ $\quad$ $\displaystyle \cos \left ( \frac {\pi} 3 \right ) = \frac {1} 2$
$\displaystyle \cos \left ( \frac {\pi} 2 \right ) = 0$

$\bullet$ Étude de la fonction
$\ast$ $\cos$ est continue, strictement décroissante sur $[0 , \, \pi]$ .
$\ast$ la dérivée de $\cos$ est $\quad t \mapsto - \sin (t) = \cos ( \pi/2 + t)$
$\ast$ Le graphe de $\cos$ est symétrique par rapport à $(\pi/2 , 0)$ et par rapport à la droite d’équation $x = 0$ .

3. Fonction tangente

Elle est définie sur $\mathcal {D} = \mathbb{R} \setminus \{ \pi/2 + k \, \pi \, / \, k \in \mathbb{Z} \}$ par $\displaystyle \tan(t) = \frac {\sin(t)} {\cos(t)}$ .

$\bullet$ Propriétés des angles
Pour tout réel $t \in \mathcal {D}$ ,
$\ast$ $\tan( t + \pi) = \tan(t)$
$\ast$ $\tan(- t) = - \tan(t)$
$\ast$ $\displaystyle\tan\left ( \frac {\pi} 2 - t \right ) = \frac 1 {\tan (t)}$
$\ast$ $\displaystyle \frac 1 {\cos^2(t)} = 1 + \tan^2(t)$ .

$\bullet$ Les angles remarquables
$\tan(0) = 0$ $\quad \quad \quad$ $\displaystyle \tan \left ( \frac {\pi} 6 \right ) = \frac 1 {\sqrt{3}}$
$\displaystyle \tan \left ( \frac {\pi} 4 \right ) = 1$ $\quad \quad$ $\displaystyle \tan \left ( \frac {\pi} 3 \right ) = \sqrt{3}$

$\bullet$ Étude de la fonction
$\ast$ $\tan$ est continue, strictement croissante sur $]- \pi/2 , \, \pi/2[$ .
$\ast$ La dérivée de $\tan$ est $\quad t \mapsto 1 + \tan^2(t) = \displaystyle \frac 1 { \cos^2 (t)}$ .
$\ast$ $\displaystyle \lim_{t \to \pi/2 ^-} \tan(t) = +\infty$ .
$\; \; \displaystyle \lim_{t \to - \pi/2 ^+} \tan(t) = - \infty$ .

$\ast$ Le graphe de $\tan$ est symétrique par rapport à $(0 , 0)$ .
Les droites d’équations $x = \displaystyle \frac {\pi} 2 + n \, \pi$ où $n \in \mathbb{Z}$ sont asymptotes à la courbe.

4. S’aider du cercle trigonométrique

On peut retrouver les valeurs liant les $\cos$ et $\sin$ des angles $t$ et $-t$ , $t$ et $\pi - t$ $t$ et $\pi/2 - t$ , en plaçant les points correspondants sur le cercle trigonométrique.

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Méthodes

Plan :

1. Retrouver les formules
2. Équations de base
3. Calcul de $\cos(n\, t)$ et $\sin(n\, t)$ .

Le temps dépend de vos capacités à retenir les formules.

1. Retrouver les formules.

Il faut apprendre ces fichues formules, rien de pire à l’oral qu’un étudiant coincé devant une formule de trigonométrie, les jurys trépignent !
Devoir les retrouver c’est
a) perdre un temps précieux
b) et surtout ne pas avoir idée de transformations qui pourraient débloquer les calculs !

Ce paragraphe indique comment retrouver ces formules à partir des formules d’Euler :
$\quad \quad \textrm{e} ^{\textrm{i} \, t} = \cos(t) + \textrm{i} \, \sin(t)$
$\quad \quad \cos t = \displaystyle \frac 1 2 \left ( \textrm{e} ^{\textrm{i} \, t} + \textrm{e} ^{- \textrm{i} \, t} \right )$
$\quad \quad \sin t = \displaystyle \frac 1 {2 \, \textrm{i} } \left ( \textrm{e} ^{\textrm{i} \, t} - \textrm{e} ^{- \textrm{i} \, t} \right )$

et de la relation : $\textrm{e} ^{\textrm{i} \, a} \, \textrm{e} ^{\textrm{i} \, b} = \textrm{e} ^{\textrm{i} \, (a + b)}$ .

1.1. Valeur de $\cos, \sin , \tan$ de $a \pm b$

$\bullet$ M1. somme
$\ast$ $\cos(a + b) =$ $\quad \quad \quad \cos(a) \, \cos(b) - \sin(a) \, \sin(b)$
$\ast$ $\sin(a + b) =$ $\quad \quad \quad \sin(a) \, \cos(b) + \sin(b) \, \cos(a)$
On utilise $\textrm{e} ^{\textrm{i} \, a} \, \textrm{e} ^{\textrm{i} \, b} = \textrm{e} ^{\textrm{i} \, (a + b)}$ , soit
$\cos(a + b) + \textrm{i} \, \sin(a + b) =$ $\quad \quad \quad (\cos a + \textrm{i} \, \sin a )(\cos b + \textrm{i} \, \sin b)$
et on termine en égalant les parties réelles et imaginaires.

$\bullet$ M2. différence
$\ast$ $\cos(a - b) =$ $\quad \quad \quad \cos(a) \, \cos(b) + \sin(a) \, \sin(b)$
$\ast$ $\sin(a - b) =$ $\quad \quad \quad \sin(a) \, \cos(b) - \sin(b) \, \cos(a)$
en utilisant $M1$ en remplaçant $b$ par $-b$ sans oublier que $\cos$ est paire et $\sin$ est impaire.

$\bullet$ M3. Et les conséquences :
$\quad \ast$ $\cos( 2\, a) = \cos^2(a) - \sin^2(a)$
$\quad \ast$ $\cos(2 \, a) = 2 \cos ^2 (a) - 1$
$\quad \ast$ $\cos(2 \,a) = 1 - 2 \sin ^2(a)$
$\quad \ast$ $\sin(2\, a) = 2 \, \sin(a) \, \cos(a)$
qui peuvent bien sûr s’écrire aussi
$\quad \ast$ $\cos ^2 (t) = \displaystyle \frac {\cos(2 \,t) + 1} 2$
$\quad \ast$ $\sin ^2(t) = \displaystyle \frac {1 - \cos(2 \, t)} 2$ .

$\bullet$ M4. sous réserve de définition des trois tangentes :
$\ast$ $\tan(a + b) = \displaystyle \frac {\tan(a) + \tan(b)} {1 - \tan(a) \, \tan(b)}$
obtenue en faisant le quotient des formules de M1 puis en divisant numérateur et dénominateur par $\cos(a) \, \cos(b)$ .

$\bullet$ M5. en conséquence de M4
sous réserve de définition des trois tangentes :
$\ast$ $\tan(a - b) = \displaystyle \frac {\tan(a) - \tan(b)} {1 + \tan(a) \, \tan(b)}$
$\ast$ $\tan(2\, a) = \displaystyle \frac {2 \, \tan(a)} {1 - \tan^2(a)}$
en remplaçant $b$ par $-b$ et en utilisant $\tan$ est une fonction impaire.
puis en posant $b = a$ dans la formule de M4.

Il y a des cas où il est préférable de s’affranchir de ces formules
a) Si $n \in \mathbb{Z}$ et $x \in \mathbb{R}$ ,
$\quad \ast$ $\cos(n\, \pi + x) = (- 1) ^n \cos(x)$
$\quad \ast$ $\sin(n \, \pi + x) = (-1) ^n \, \sin(x)$

b) $\ast$ $\displaystyle \cos \left (\frac {\pi} 2 + x \right) = - \sin(x)$ ,
$\quad \; \ast \displaystyle \sin \left ( \frac {\pi} 2 + x \right ) = \cos(x)$

c) $\ast$ $\displaystyle \cos \left (\frac {\pi} 2 - x \right) = \sin(x)$ ,
$\quad \; \ast \displaystyle \sin \left ( \frac {\pi} 2 - x \right ) = \cos(x)$ .

La démonstration :

a) Si $n$ est pair, $\cos(x + n \,\pi) = \cos(x)$ et $\sin(x + n\, \pi) = \sin(x)$
Si $n$ est impair, $\cos(x + n \, \pi) = \cos(x + \pi ) = - \cos(x)$ et $\sin(x + n \, \pi) = \sin(x + \pi ) = - \sin(x)$ .
De plus $(- 1) ^n = - 1$

b) La dérivée de $u : x \mapsto \cos(x)$ peut s’écrire $u'(x) = -\sin(x) = \cos(x + \pi/2)$
la dérivée de $v : x \mapsto \sin(x)$ peut s’écrire $v'(x) = \cos(x) = \sin(x + \pi/2)$

c) à l’aide d’un dessin du cercle trigonométrique ou en remplaçant $x$ par $-x$ dans les formules du b).

1.2. Linéarisation

$\bullet$ M6 Formules au programme
$\ast$ $2 \, \cos(a) \, \cos(b) =$ $\quad \quad \quad \quad \cos(a + b) + \cos(a - b)$
$\ast$ $2 \, \sin(a) \, \sin(b) =$ $\quad \quad \quad \quad \cos(a - b) - \cos(a + b)$
$\ast$ $2 \, \sin(a) \cos(b) =$ $\quad \quad \quad \quad \sin(a + b) + \sin(a - b)$

La justification :

$\bullet$ Par M1 et M2
$\cos(a + b) = \cos(a) \, \cos(b) - \sin(a) \, \sin(b)$
et $\cos(a - b) = \cos(a) \, \cos(b) + \sin(a) \, \sin(b)$
Par somme et différence :
$\cos(a + b) + \cos(a - b) = 2 \, \cos(a) \, \cos (b)$
$\cos(a - b) - \cos(a - b) = 2 \, \sin(a) \, \sin (b)$

$\bullet$ Par M1 et M2
$\sin(a + b) = \sin(a) \, \cos(b) + \sin(b) \, \cos(a)$
et $\sin(a - b) = \sin(a) \, \cos(b) - \sin(b) \, \cos(a)$
et on additionne
$\sin(a + b) + \sin(a - b) = 2 \sin(a) \, \cos(b)$ .

$\bullet$ M7. Formules à retrouver
$\ast$ $\cos(p) + \cos(q) =$ $\quad \quad \quad 2 \, \displaystyle \cos \left ( \frac {p + q} 2 \right ) \, \cos \left ( \frac {p - q} 2 \right )$
$\ast$ $\cos(p) - \cos(q) =$ $\quad \quad \quad - 2 \, \displaystyle \sin \left ( \frac {p + q} 2 \right ) \, \sin \left ( \frac {p - q} 2 \right )$
$\ast$ $\sin(p) + \sin(q) =$ $\quad \quad \quad 2 \, \displaystyle \sin \left ( \frac {p + q} 2 \right ) \, \cos \left ( \frac {p - q} 2 \right )$
et en remplaçant $q$ par $- q$ ,
$\ast$ $\sin(p) - \sin(q) =$ $\quad \quad \quad 2\, \displaystyle \sin \left ( \frac {p - q} 2 \right ) \, \cos \left ( \frac {p + q} 2 \right )$ .

la démonstration :
On pose $p = a + b$ et $q =a - b$ ssi $a = (p + q)/2$ et $b = (p - q) /2$
Les formules de M6
$\cos(a + b) + \cos(a - b) = 2 \, \cos(a) \, \cos (b)$
$\cos(a - b) - \cos(a - b) = 2 \, \sin(a) \, \sin (b)$
deviennent
$\cos(p) + \cos(q) =$ $\quad \quad 2 \, \displaystyle \cos \left ( \frac {p + q} 2 \right ) \, \cos \left ( \frac {p - q} 2 \right )$
$\cos(p) - \cos(q) =$ $\quad \quad - 2\, \displaystyle \sin \left ( \frac {p + q} 2 \right ) \, \sin \left ( \frac {p - q} 2 \right )$

La formule :
$\sin(a + b) + \sin(a - b) = 2 \sin(a) \, \cos(b)$ .
devient
$\sin(p) + \sin(q) =$ $\quad \quad 2\, \displaystyle \sin \left ( \frac {p + q} 2 \right ) \, \cos \left ( \frac {p - q} 2 \right )$ .

1.3. Utilisation de $t = \tan(x /2)$

En posant $t = \displaystyle \tan \left ( \frac x 2 \right )$ , on démontre
$\quad \ast$ $\cos(x) = \displaystyle \frac {1 - t ^2} {1 + t ^2}$
$\quad \ast$ $\sin(x) = \displaystyle \frac {2\, t} {1 + t ^2}$
$\quad \ast$ $\tan(x) = \displaystyle \frac {2\, t} {1 - t ^2}$ .

la démonstration :
On utilise l’angle double et les résultats de M3
$\cos(x) = 2 \cos^2(x / 2) - 1$ et $\cos^2(x / 2) = \displaystyle \frac 1 { 1 + \tan^2(x/2) } = \frac 1 {1 + t ^2}$
$\cos(x) = \displaystyle \frac 2 {1 + t ^2} - 1 = \frac {1 - t ^2} {1 + t^2}$
et M5
$\tan(x) = \displaystyle \frac {2 \, \tan(x /2)} {1 + \tan^2(x/2)} = \frac {2 \, t } {1 + t^2}$
Puis on termine avec $\quad \quad \sin(x) = \cos(x) \, \tan(x)$ .

1.4. Transformation de $A \cos(x) + B \sin(x)$ si $(A , B) \neq (0 , 0)$

Introduire la forme trigonométrique de $A + \textrm{i} \, B = \rho \, \textrm{e} ^{\textrm{i} \, \varphi}$
$A \cos(x) + B \sin(x) =$ $\quad \quad \rho \left ( \cos(\varphi) \, \cos(x) + \sin(\varphi) \, \sin(x) \right )$
$A \cos(x) + B \sin(x) = \rho \cos(x -\varphi )$ .

2. Équations de base

$\bullet$ E1 avec des cosinus :
$\ast$ $\cos(x) = \cos(y)$
$\quad \Leftrightarrow$ $\exists\, k \in \mathbb{Z}, \, x = y + 2 \, k \, \pi$
$\quad \; \textrm{ou } \exists\, p \in \mathbb{Z}, \, x = - y + 2 \, p\, \pi$
$\ast$ Si $a \in \, [- 1 \,, \, 1]$ ,
$\cos(x) = a$
$\quad \Leftrightarrow$ $\exists\, k \in \mathbb{Z}, \, x = \textrm{Arccos } a + 2 \, k\, \pi$
$\quad \; \textrm{ou } \exists\, p \in \mathbb{Z}, \, x = - \textrm{Arccos } a + 2 \, p\, \pi$ .

$\bullet$ E2 avec des sinus
$\sin(x) = \sin (y)$
$\quad \Leftrightarrow$ $\exists\, k \in \mathbb{Z}, \, x = y + 2 \, k \pi$
$\quad \; \textrm{ou } \exists\, p \in \mathbb{Z}, \, x = \pi - y + 2 \, p \pi$
$\ast$ Si $a \in \, [- 1 \,, \, 1]$ ,
$\sin(x) = a$
$\quad \Leftrightarrow$ $\exists\, k \in \mathbb{Z}, \, x = \textrm{Arcsin } a + 2 \, k\, \pi$
$\quad \; \textrm{ou } \exists\, p \in \mathbb{Z}, \, x = \pi - \textrm{Arcsin } a + 2 \, p\, \pi$

$\bullet$ E3 avec des tangentes
$\ast$ $\tan(x) = \tan (y)$
$\quad \Leftrightarrow$ $\exists\, k \in \mathbb{Z}, \, x = y +k \, \pi$
$\ast$ Si $a \in \mathbb{R}$ ,
$\tan(x) = a$
$\quad \Leftrightarrow$ $\exists\, k \in \mathbb{Z}, \, x = \textrm{Arctan } a + \, k\, \pi$ .

Lorsque les équations sont « compliquées », il y a moins de risque d’erreur à utiliser des égalités à $k\, \pi$ ou $2\, k \, \pi$ près plutôt que les modulos.

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3. Calcul de $\cos(n t)$ et $\sin(n t)$

Il faut savoir au moins traiter le cas du calcul de $\cos(n \, t)$ ou de $\sin(n \, t)$ lorsque $n$ est un entier donné « faible ».
Le calcul dans le cas général comme il est donné ci-dessous pourrait faire l’objet d’une question de sujet de concours.

On utilise les formules de Moivre et la formule du binôme de Newton
$\cos(n t) + \textrm{i} \, \sin(n t) = ( \cos t + \textrm{i} \, \sin t ) ^n$
On sépare les indices $k = 2 \,p$ des indices $k = 2\, q + 1$ , pour comparer les parties réelles et imaginaires.

$\cos(n \, t) =$ $\quad \displaystyle \sum _ {p = 0} ^N \binom {n} {2 p } (\cos^2 t - 1 ) ^{p} \, \cos^{n - 2 p } t$
$\sin(n\, t) = \sin(t) \times$ $\displaystyle \times \sum _ {q = 0} ^{N'} \binom {n} {2 q + 1 } ( \cos ^2 t - 1 ) ^{ q } \, \cos^{n - 2 q - 1 } t$
avec $N = \displaystyle \left \lfloor \frac n 2 \right \rfloor$ et $N' = \displaystyle \left \lfloor \frac {n - 1} 2 \right \rfloor$ .

la démonstration complète :

Par la formule de Moivre, $\displaystyle \textrm{e} ^{\textrm{i} \, n\, t} = \sum _ {k = 0} ^n \binom {n} {k} ( \textrm{i} \, \sin(t) ) ^k \, \cos^{n - k} (t)$
On sépare les indices $k = 2\, p$ avec $\quad \quad 0 \leq p \leq n /2$
soit pour $p \in [\![0 , \, N]\!]$ avec $N = \displaystyle \left \lfloor \frac n 2 \right \rfloor$
des indices $k = 2 \, q + 1$ avec $\quad \quad 0 \leq q \leq (n- 1) /2$
soit pour $q \in [\![0 , \, N']\!]$ où $N' = \displaystyle \left \lfloor \frac {n-1} 2 \right \rfloor$

ce qui permet de séparer la partie réelle de la partie imaginaire
$\displaystyle \textrm{e} ^{\textrm{i} \, n\, t} = A _ n + \textrm{i} \, B_n$ avec
$A _n = \displaystyle \sum _ {p = 0} ^N \binom {n} {2 p } ( \textrm{i} \, \sin(t) ) ^{2 p} \, \cos^{n - 2 p } (t)$
et $B_n =$
$\displaystyle \sum _ {q = 0} ^{N'} \binom {n} {2 q + 1 } \textrm{i} ^ {2 q} \, \sin^{2 q + 1 }(t) \, \cos^{n - 2 q - 1 } (t)$

On simplifie ces écritures :
$\cos(n \,t) =$ $\; \; \displaystyle \sum _ {p = 0} ^N \binom {n} {2 p } ( - \, \sin ^2 (t) ) ^{p} \, \cos^{n - 2 p } (t)$
$\cos(n\, t) =$ $\; \; \displaystyle \sum _ {p = 0} ^N \binom {n} {2 p } (\cos^2(t) - 1 ) ^{p} \, \cos^{n - 2 p } (t)$

$\sin(n\, t) = \sin(t) \times$ $\times \displaystyle \sum _ {q = 0} ^{N'} \binom {n} {2 q + 1 } ( - \sin ^2 t ) ^{ q } \, \cos^{n - 2 q - 1 } t$
$\sin(n \,t) =\sin(t) \times$ $\times \displaystyle \sum _ {q = 0} ^{N'} \binom {n} {2 q + 1 } ( \cos ^2 t - 1 ) ^{ q } \, \cos^{n - 2 q - 1 } t$

Pour prendre de l’avance ou faire face à vos difficultés, retrouvez d’autres cours en ligne de maths et cours de maths à domicile pour les PCSI, PTSI et MPSI :

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1.2. Linéarisation

1.3. Utilisation de $t = \tan(x /2)$

1.4. Transformation de $A \cos(x) + B \sin(x)$ si $(A , B) \neq (0 , 0)$

2. Équations de base

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