Chapitres Maths en MPSI, PCSI, MP2I, PTSI
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Exercices corrigés de Trigonométrie en Maths Sup
Résumé de cours Exercices et corrigés
Cours en ligne de Maths en Maths Sup
Plan des exercices : Equation, Inéquations, Linéarisation
1. Des calculs
2. Des équations
3. Des inéquations
4. Systèmes d’équations
5. Linéarisation
1. Des calculs de trigonométrie en maths sup
Exercice 1
Trouver tel que . On utilisera .
On obtient
avec
Correction :
.
On a obtenu :
donc
ou ,
ce qui donne
ou
et
Il n’y a aucune valeur de donnant une valeur de la forme dans .
La seule valeur de la forme dans est obtenue pour
Donc .
Exercice 2
Soient et dans vérifiant et .
a) En utilisant , calculer .
Correction :
.
On en déduit qu’il existe tel que .
On remarque que et donc .
est la seule valeur de la forme dans l’intervalle , donc .
b) Calculer .
Soit tel que . Exprimer et en fonction de .
Correction : On a vu que avec donc .
.
Comme car .
avec , donc
Comme , .
On a prouvé que et .
Exercice 3
Soit .
Calculer .
En déduire la valeur de .
Correction : On utilise
donc .
Donc en posant , donne soit .
Cette équation admet deux racines dont une seule est positive :
on en déduit que .
Exercice 4
Calculer puis .
Correction : On utilise la formule d’abord pour et on pose
ce qui donne
soit .
cette équation a deux racines : et ,
donc .
On réutilise la même méthode en posant .
On obtient l’équation
soit
admet un discriminant
Une seule des racines est positive :
puis
.
.
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2. Équations
Exercice 1
Résoudre
Correction :
ssi
ssi
ou
ssi
ou
ssi
ou .
Exercice 2
Ensemble des réels tels que l’équation
.
ait des solutions.
Les déterminer.
Correction : Pour que l’équation ait un sens, il est nécessaire que .
Comme , il existe tel que
et .
L’équation s’écrit alors
.
Elle admet des solution ssi
ssi
et .
est racine évidente de et on peut écrire :
donc ssi .
est racine évidente de et on peut écrire :
donc ssi .
L’équation a toujours des solutions lorsque .
On transforme
L’équation est donc équivalente à
ssi
ou
ssi
ou .
Exercice 3
Résoudre
Correction :
l’équation est équivalente à
ssi
ou
ssi
ou .
Exercice 4
Résoudre
Correction : Première méthode
On pose
ssi
ssi
L’équation admet une seule racine positive
ssi ou ou .
On introduit tel que
Les solutions sont les réels , et lorsque
Autre méthode
et comme , l’équation est équivalente à
ou
La deuxième équation s’écrit
L’équation admet une seule racine dans :
On note tel que .
L’ensemble des solutions est formé par les réels
où
où
où .
On pourra choisir .
3. Inéquations
Exercice 1
Résoudre l’inéquation
.
Correction : On cherche la forme trigonométrique de .
On doit donc résoudre :
ssi
ssi
ssi
Exercice 2
Résoudre
Correction : Les racines de l’équation
sont et
donc
et on doit résoudre :
ssi
ssi
ssi
Exercice 3
Résoudre si ,
.
Correction : On note
et en utilisant pour transformer et ,
donc s’écrit
en utilisant ensuite
.
On cherche les qui vérifient .
ssi où .
s’annule et change de signe en ces 4 points et est strictement positif sur .
ssi ou .
s’annule et change de signe en ces 2 points et est strictement positif sur .
ssi .
ce dernier facteur est strictement positif sur .
On utilise le tableau de signes qui suit pour donner l’ensemble des solutions lorsque .
Dans ce tableau, on fait apparaître les valeurs annulant et on écrit trois lignes résumant les signes des trois facteurs étudiés ci-dessus.
L’ensemble des solutions est défini par
.
4. Système d’équations
Exercice 1
Si est un réel donné, résoudre le système :
Correction : est équivalent à l’équation obtenue en prenant la somme de la première équation et de fois la deuxième soit à
soit en multipliant par :
en égalant les parties réelles et imaginaires, on obtient le système :
(1)
(2)
est impossible car l’équation (1) donnerait
donc (2) est équivalent à
ssi .
Alors (1) s’écrit
(1)
ssi
cas
ssi (a)
ou (b)
avec (c)
par somme et différence de (c) et (a), on obtient :
et
puis avec (c) et (b) :
et
cas
ssi (a)
ou (b)
avec (c)
Par somme et différence de (c) et (a), on obtient :
et
soit
et
puis avec (c) et (b),
et .
soit
et .
Les couples solutions sont les couples
où .
⚠️ N’oubliez pas de faire la synthèse des différents cas !
⚠️ Il ne faut surtout pas raisonner avec les modulos dans un problème faisant intervenir des sommes ou des différences d’équations valables modulo ou .
Par exemple, en notant , si l’on écrivait le premier groupe de solutions sous la forme :
et ,
le couple serait solution alors qu’il est impossible de l’écrire sous la forme puisque et n’admet pas de solution entière.
Exercice 2
Résoudre si est un réel donné le système :
Correction : est équivalent à l’équation obtenue en prenant la somme de la première équation et de fois la deuxième soit à
ssi
On distingue alors deux cas
Cas 1
et
donne
et (1) donne l’existence de tel que
(1 a)
ou
(1 b)
en formant la somme et la différence de (1a) et (2), on obtient :
en formant la somme et la différence de (1b) et (2), on obtient :
Cas 2
et
donne
et (3) donne l’existence de tel que
(3 a)
ou
(3 b)
en formant la somme et la différence de (3a) et (4), on obtient
en formant la somme et la différence de (3b) et (4), on obtient
Les couples solutions sont les couples
où .
⚠️ Les remarques faites à la fin de l’exercice 1 restent valables ici.
Exercice 3
Résoudre le système :
.
Correction : On utilise
Le système
donne et
Le système
donne et
Les couples solutions sont
où
⚠️ Il ne faut surtout pas raisonner avec les modulos dans un tel problème car on perdrait la condition .
👍 La méthode utilisée ici est plus simple que l’utilisation de la première équation pour écrire la deuxième équation sous la forme .
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5. Linéarisation
Question 1.
Linéarisation de lorsque et .
Correction : On utilise les formules d’Euler :
puis le binôme de Newton :
et en prenant la partie réelle
👍 Le principe est bien sûr le même pour obtenir par exemple ou .
Vérifiez que vous savez le faire !
Simplifier le résultat précédent pour
On transforme
en posant
par propriété du coefficient du binôme
et par parité de la fonction
.
Puis en considérant le terme pour de la somme :
Question 3
Simplifier l’écriture de .
Correction : Valeur de
On transforme
en posant
avec le même type de calculs que dans le cas pair :
donc
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